NCERT Solutions Class 8 Maths Chapter 02 Power Play (घातों का खेल) in Hindi

Question 1: निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) \( 6 \times 6 \times 6 \times 6 \)
(ii) \( y \times y \)
(iii) \( b \times b \times b \times b \)
(iv) \( 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \)
(v) \( 2 \times 2 \times a \times a \)
(vi) \( a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d \)

Answer:

किसी संख्या या चर को स्वयं से जितनी बार गुणा किया जाता है, वह संख्या उसकी घात (Exponent) बन जाती है।
(i) \( 6 \times 6 \times 6 \times 6 \) = \( 6^4 \)
(ii) \( y \times y \) = \( y^2 \)
(iii) \( b \times b \times b \times b \) = \( b^4 \)
(iv) \( 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \) = \( 5^2 \times 7^3 \)
(v) \( 2 \times 2 \times a \times a \) = \( 2^2 \times a^2 \)
(vi) \( a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d \) = \( a^3 \times c^4 \times d \)

मुख्य बिंदु:

• समान आधार वाले गुणा को घातांकीय रूप में लिखा जा सकता है।
• जितनी बार संख्या आती है, वह उसका घातांक बनती है।
• अलग-अलग चरों या संख्याओं के आधार अलग-अलग ही लिखे जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• गुणा की कुल संख्या को आधार मान लेना।
• विभिन्न चरों की घातों को आपस में जोड़ देना।
• गुणा के चिह्न को उत्तर में छोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक भाग को ध्यान से गिनकर घातांक लिखें।
b) चर और अचर पदों को अलग-अलग पहचानें।
c) घातांक हमेशा आधार के ऊपर दाईं ओर छोटा लिखा जाता है।

Question 2: नीचे दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कीजिए तथा इन्हें चरघातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) \( 648 \)
(ii) \( 405 \)
(iii) \( 540 \)
(iv) \( 3600 \)

Answer:

दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड निकालकर उन्हें घात के रूप में लिखने पर:
(i) \( 648 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
\( = 2^3 \times 3^4 \)
(ii) \( 405 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
\( = 3^4 \times 5 \)
(iii) \( 540 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
\( = 2^2 \times 3^3 \times 5 \)
(iv) \( 3600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
\( = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \)

मुख्य बिंदु:

• अभाज्य गुणनखंड विधि में केवल अभाज्य संख्याओं से भाग दिया जाता है।
• समान गुणनखंडों को घातांकीय रूप में संक्षेपित किया जाता है।
• गुणनखंडों का गुणनफल मूल संख्या के बराबर होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• भाज्य संख्याओं (जैसे 4 या 6) से गुणनखंड करना।
• गणना में कोई अभाज्य गुणनखंड छूट जाना।
• घातों की संख्या गलत गिनना।

Exam Tips:

a) सबसे छोटी अभाज्य संख्या (जैसे 2) से शुरुआत करें।
b) गुणनखंड करने के बाद उत्तर की जाँच गुणा करके अवश्य करें।
c) अंत में सभी समान गुणनखंडों को घातांकीय रूप में व्यवस्थित करें।

Question 3: नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजकों का संख्यात्मक मान लिखिए।
(i) \( 2 \times 10^3 \)
(ii) \( 7^2 \times 2^3 \)
(iii) \( 3 \times 4^4 \)
(iv) \( (-3)^2 \times (-5)^2 \)
(v) \( 3^2 \times 10^4 \)
(vi) \( (-2)^5 \times (-10)^6 \)

Answer:

दिए गए व्यंजकों के घातांक हल करके उनका मान ज्ञात करने पर:
(i) \( 2 \times 10^3 = 2 \times 1000 = 2000 \)
(ii) \( 7^2 \times 2^3 = 49 \times 8 = 392 \)
(iii) \( 3 \times 4^4 = 3 \times 256 = 768 \)
(iv) \( (-3)^2 \times (-5)^2 = 9 \times 25 = 225 \)
(v) \( 3^2 \times 10^4 = 9 \times 10000 = 90000 \)
(vi) \( (-2)^5 \times (-10)^6 = (-32) \times 1000000 = -32000000 \)

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक संख्या की सम घात धनात्मक होती है और विषम घात ऋणात्मक होती है।
• 10 की घातों का मान सीधा शून्य लगाकर लिखा जा सकता है।
• पहले घातांक को हल करें, फिर गुणा करें।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्नों को हल करते समय गलती करना।
• \( 4^4 \) को \( 4 \times 4 \) (16) समझ लेना जबकि यह 256 होता है।
• आधार और घात को आपस में गुणा कर देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें।
b) चिह्न के नियमों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम गणना सावधानीपूर्वक करें।

Question 1: \( 2^{224} \div 4^{32} \) के मान में इकाई अंक को ज्ञात कीजिए। [संकेत — \( 4 = 2^2 \)]

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( 2^{224} \div 4^{32} \)
चूँकि \( 4 = 2^2 \) है, इसलिए:
\( 4^{32} = (2^2)^{32} = 2^{64} \)
अब व्यंजक को हल करने पर:
\( 2^{224} \div 2^{64} = 2^{224 - 64} = 2^{160} \)
2 की घातों के इकाई अंकों का चक्र: 2, 4, 8, 6 (यह हर 4 घात के बाद दोहराता है)।
घात 160 को 4 से विभाजित करने पर:
\( 160 \div 4 = 40 \) (शेषफल = 0)
चूँकि शेषफल 0 है, इसलिए 2 के चक्रीय क्रम का अंतिम अंक (6) इकाई अंक होगा।
अतः इकाई अंक = 6

मुख्य बिंदु:

• आधार को समान बनाकर घातांक के नियमों का प्रयोग किया जाता है।
• इकाई अंकों का चक्र एक निश्चित संख्या के बाद दोहराता है।
• शेषफल 0 आने पर चक्र का अंतिम अंक इकाई अंक होता है।

आम गलतियाँ:

• आधार को बिनासमान बनाए सीधे घातों को भाग देना।
• चक्र की आवर्ती को गलत समझना।
• शेषफल शून्य होने पर गलत अंक चुनना।

Exam Tips:

a) संकेत का उपयोग करके आधार को समान करें।
b) घातांक के भाग के नियम \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) का प्रयोग करें।
c) चक्र विधि से इकाई अंक ज्ञात करते समय शेषफल पर ध्यान दें।

Question 2: एक बक्से में 5 बोतलें हैं। प्रत्येक दिन एक नया बक्सा लाया जाता है। 40 दिन के पश्चात वहाँ कितनी बोतलें होंगी?

Answer:

प्रश्ناनुसार प्रत्येक दिन एक नया बक्सा लाया जाता है और हर बक्से में 5 बोतलें हैं।
40 दिनों में कुल बक्से = 40
प्रत्येक बक्से में बोतलों की संख्या = 5
कुल बोतलों की संख्या ज्ञात करने के लिए बक्से की कुल संख्या को प्रति बक्से की बोतलों से गुणा करेंगे:
कुल बोतलें = \( 40 \times 5 = 200 \)
अतः 40 दिन के पश्चात कुल 200 बोतलें होंगी।

मुख्य बिंदु:

• यह एक व्यावहारिक दैनिक जीवन की समस्या है।
• कुल वस्तुओं की संख्या निकालने के लिए कुल इकाइयों को प्रति इकाई मान से गुणा किया जाता है।
• भाषा वाले प्रश्नों को स्टेप-बाय-स्टेप हल करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• बक्से की संख्या में भ्रमित होना।
• गलत गणितीय संक्रिया (जोड़ या भाग) का प्रयोग करना।
• इकाइयों को ध्यान में न रखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न की भाषा को ध्यानपूर्वक पढ़ें।
b) दी गई जानकारी को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) गणना को अंत में एक बार जाँच लें।

Question 3: नीचे दी गई संख्या को दो या दो से अधिक घातों के गुणनफल के रूप में तीन भिन्न-भिन्न प्रकारों से लिखिए। घातें कोई भी पूर्णांक हो सकती हैं।
(i) \( 64^3 \) (ii) \( 192^8 \) (iii) \( 32^{-5} \)

Answer:

(i) \( 64^3 \):
\( 64 = 2^6 \), अतः \( 64^3 = (2^6)^3 = 2^{18} \)
इसे दो घातों के गुणनफल के रूप में तीन प्रकार से लिख सकते हैं (जहाँ घातों का योग 18 हो):
1. \( 2^{10} \times 2^8 \)
2. \( 2^{12} \times 2^6 \)
3. \( 2^9 \times 2^9 \)

(ii) \( 192^8 \):
\( 192 = 64 \times 3 = 2^6 \times 3 \)
\( 192^8 = (2^6 \times 3)^8 = 2^{48} \times 3^8 \)
तीन प्रकार:
1. \( 2^{48} \times 3^8 \)
2. \( (2^{24} \times 3^4)^2 \)
3. \( (2^{12} \times 3^2)^4 \)

(iii) \( 32^{-5} \):
\( 32 = 2^5 \), अतः \( 32^{-5} = (2^5)^{-5} = 2^{-25} \)
तीन प्रकार (जहाँ घातों का योग -25 हो):
1. \( 2^{-10} \times 2^{-15} \)
2. \( (2^{-5})^5 \)
3. \( (2^{-1})^{25} \)

मुख्य बिंदु:

• आधार को अभाज्य गुणनखंड के रूप में बदलना उपयोगी होता है।
• घातों के नियम \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) का प्रयोग किया जाता है।
• एक ही संख्या को कई तरीकों से घातांकीय रूप में दर्शाया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• आधार बदलते समय घातों का गलत गुणा करना।
• ऋणात्मक घातों को जोड़ते समय चिह्न की गलती करना।
• तीनों प्रकार एक ही जैसे लिख देना।

Exam Tips:

a) पहले संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकालें।
b) घात के नियम का प्रयोग करके एकल आधार बनाएं।
c) विभिन्न संयोजनों का प्रयोग करके तीन अलग-अलग उत्तर दें।

Question 4: नीचे दिए गए प्रत्येक कथन की जाँच कीजिए और पता लगाइए कि यह सदैव सत्य है, ‘कभी-कभी सत्य है’ या ‘कभी सत्य नहीं है’। अपने तर्क की व्याख्या कीजिए。
(i) घन संख्याएँ भी वर्ग संख्याएँ होती हैं।
(ii) चतुर्थ घात वर्ग संख्याएँ भी होती हैं।
(iii) किसी संख्या की पाँचवीं घात उस संख्या के घन से विभाज्य होती है।
(iv) दो घन संख्याओं का गुणनफल एक घन संख्या होती है।
(v) \( q^{46} \) एक चतुर्थ घात और एक छठी घात दोनों है (\( q \) एक अभाज्य संख्या है)।

Answer:

(i) कभी-कभी सत्य
तर्क: सभी घन संख्याएँ वर्ग नहीं होतीं, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो वर्ग और घन दोनों होती हैं। उदाहरण: \( 64 = 4^3 = 8^2 \) ।

(ii) सदैव सत्य
तर्क: किसी भी संख्या की चतुर्थ घात को वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि \( a^4 = (a^2)^2 \) ।

(iii) सदैव सत्य
तर्क: किसी संख्या की पाँचवीं घात \( a^5 \) होती है और घन \( a^3 \) होता है। चूँकि \( a^5 \div a^3 = a^2 \), यह पूर्णतः विभाज्य है।

(iv) सदैव सत्य
तर्क: दो घन संख्याओं का गुणनफल भी एक घन संख्या होता है, क्योंकि \( a^3 \times b^3 = (ab)^3 \) ।

(v) कभी सत्य नहीं
तर्क: \( q^{46} \) में 46 संख्या न तो 4 से पूरी तरह विभाजित होती है और न ही 6 से, इसलिए यह न तो किसी पूर्णांक की चतुर्थ घात है और न ही छठी घात।

मुख्य बिंदु:

• गणितीय कथनों की सत्यता की जाँच नियमों और उदाहरणों से की जाती है।
• 'सदैव सत्य' के लिए सामान्य बीजगणितीय नियम आवश्यक हैं।
• 'कभी-कभी सत्य' के लिए प्रति-उदाहरण (Counter-example) दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• बिना जाँच किए सभी कथनों को सदैव सत्य मान लेना।
• बीजगणितीय नियमों को ठीक से न समझ पाना।
• तर्कों को स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक कथन को घातांक के नियमों के आधार पर परखें।
b) यदि कथन असत्य है तो उचित उदाहरण दें।
c) संक्षिप्त और सटीक तर्क लिखें।

Question 5: इन्हें सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए。
(i) \( 10^{-2} \times 10^{-5} \)
(ii) \( 5^7 \div 5^4 \)
(iii) \( 9^{-7} \div 9^4 \)
(iv) \( (13^{-2})^{-3} \)
(v) \( m^5 n^{12} (mn)^9 \)

Answer:

घातांक के नियमों का प्रयोग करके सरल करने पर:
(i) \( 10^{-2} \times 10^{-5} = 10^{(-2 - 5)} = 10^{-7} \)
(ii) \( 5^7 \div 5^4 = 5^{(7 - 4)} = 5^3 \)
(iii) \( 9^{-7} \div 9^4 = 9^{(-7 - 4)} = 9^{-11} \)
(iv) \( (13^{-2})^{-3} = 13^{(-2 \times -3)} = 13^6 \)
(v) \( m^5 n^{12} (mn)^9 = m^5 n^{12} \times m^9 n^9 = m^{(5 + 9)} n^{(12 + 9)} = m^{14} n^{21} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणा में समान आधार होने पर घातें जुड़ जाती हैं (\( a^m \times a^n = a^{m+n} \))।
• भाग में समान आधार होने पर घातें घट जाती हैं (\( a^m \div a^n = a^{m-n} \))।
• घात की घात होने पर उनका गुणा होता है (\( (a^m)^n = a^{m \times n} \))।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्नों को जोड़ते या घटाते समय गलती करना।
• भाग के नियम में घातों को आपस में जोड़ देना।
• कोष्ठک खोलते समय गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा उचित घातांक नियम का उल्लेख करें या मन में रखें।
b) समान आधार वाले पदों को ही एकसाथ हल करें।
c) अंतिम उत्तर घातांकीय रूप में ही छोड़ें।

Question 6: यदि \( 12^2 = 144 \) तो निम्न का मान क्या है?
(i) \( (1.2)^2 \)
(ii) \( (0.12)^2 \)
(iii) \( (0.012)^2 \)
(iv) \( 120^2 \)

Answer:

दिए गए मान \( 12^2 = 144 \) की सहायता से गणना करने पर:
(i) \( (1.2)^2 = \left(\frac{12}{10}\right)^2 = \frac{144}{100} = 1.44 \)
(ii) \( (0.12)^2 = \left(\frac{12}{100}\right)^2 = \frac{144}{10000} = 0.0144 \)
(iii) \( (0.012)^2 = \left(\frac{12}{1000}\right)^2 = \frac{144}{1000000} = 0.000144 \)
(iv) \( 120^2 = (12 \times 10)^2 = 144 \times 100 = 14400 \)

मुख्य बिंदु:

• दशमलव संख्याओं के वर्ग में दशमलव स्थान दोगुने हो जाते हैं।
• 10 की गुणज संख्याओं के वर्ग में शून्य दोगुने हो जाते हैं।
• भिन्न रूप में बदलकर गणना करना आसान होता है।

आम गलतियाँ:

• दशमलव के बाद अंकों की गिनती में भूल करना।
• शून्य की संख्या गलत लगा देना।
• मूल संख्या के मान का उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) दशमलव को भिन्न में बदलकर हल करें ताकि गलती न हो।
b) उत्तर में दशमलव स्थानों को अवश्य गिनें।
c) दी गई सूचना \( 12^2 = 144 \) का प्रत्यक्ष प्रयोग करें।

Question 7: समान संख्याओं पर घेरा लगाइए。
\( 2^4 \times 3^6 \) , \( 6^4 \times 3^2 \) , \( 18^2 \times 6^2 \) , \( 6^{24} \)

Answer:

दिए गए व्यंजकों के मान ज्ञात करके उनकी तुलना करने पर:
• \( 2^4 \times 3^6 = 16 \times 729 = 11664 \)
• \( 6^4 \times 3^2 = 1296 \times 9 = 11664 \)
• \( 18^2 \times 6^2 = 324 \times 36 = 11664 \)
• \( 6^{24} = \) एक बहुत बड़ी संख्या है।
अतः समान मान वाली संख्याएँ हैं: \( 2^4 \times 3^6 \), \( 6^4 \times 3^2 \) और \( 18^2 \times 6^2 \) ।

मुख्य बिंदु:

• अलग-अलग दिखने वाले व्यंजकों का संख्यात्मक मान समान हो सकता है।
• सभी व्यंजकों को उनके सरल संख्यात्मक रूप में बदलना चाहिए।
• बहुत बड़ी संख्याओं के मान की तुलना सावधानी से करनी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• केवल देखने के आधार पर संख्याओं को असमान मान लेना।
• गुणन की गणना में त्रुटि करना।
• सभी विकल्पों को हल न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक व्यंजक को अलग-अलग हल करें।
b) जिनके मान समान आएं, उन्हें छाँट लें।
c) गणना को दो बार जाँच लें।

Question 8: निम्नलिखित विकल्पों में से प्रत्येक बड़ी संख्या को पहचानिए。
(i) \( 4^3 \) या \( 3^4 \)
(ii) \( 2^8 \) या \( 8^2 \)
(iii) \( 100^2 \) या \( 2^{100} \)

Answer:

प्रत्येक विकल्प के मान की तुलना करने पर:
(i) \( 4^3 \) या \( 3^4 \):
\( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \)
चूँकि \( 81 > 64 \), अतः बड़ी संख्या = \( 3^4 \)

(ii) \( 2^8 \) या \( 8^2 \):
\( 2^8 = 256 \)
\( 8^2 = 64 \)
चूँकि \( 256 > 64 \), अतः बड़ी संख्या = \( 2^8 \)

(iii) \( 100^2 \) या \( 2^{100} \):
\( 100^2 = 10000 \)
\( 2^{100} \) एक बहुत बड़ी संख्या है (क्योंकि \( 2^{10} \) ही 1024 होता है)।
अतः बड़ी संख्या = \( 2^{100} \)

मुख्य बिंदु:

• घात वाली संख्याओं की तुलना उनके वास्तविक मान निकालकर की जाती है।
• बड़ी घात वाली संख्याएँ सामान्यतः बहुत बड़ी होती हैं।
• आधार और घातांक दोनों का प्रभाव मान पर पड़ता है।

आम गलतियाँ:

• आधार बड़ा होने पर पूरी संख्या को बड़ा मान लेना।
• \( 4^3 \) को \( 4 \times 3 = 12 \) समझ लेना।
• बड़े घातांक वाली संख्याओं की सही तुलना न करना।

Exam Tips:

a) दोनों संख्याओं का मान लिखकर तुलना करें।
b) छोटी संख्याओं के वर्ग और घन जुबान पर याद रखें।
c) स्पष्ट रूप से बताएं कि कौन सी संख्या बड़ी है।

Question 9: एक डेयरी एक वर्ष में दूध के 8.5 अरब पैकेट के उत्पादन की योजना बनाती है। वह प्रत्येक पैकेट पर एक विशिष्ट पहचान कोड (आई.डी.) दर्शाना चाहती है। यदि वह इसके लिए 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करती है तो बताइए कि कोड कितने अंकों का होना चाहिए?

Answer:

कुल पैकेटों की संख्या = 8.5 अरब = \( 8.5 \times 10^9 \)
0 से 9 तक कुल अंक = 10
यदि कोड 9 अंकों का हो, तो कुल संभावित कोड = \( 10^9 \)
परंतु \( 8.5 \times 10^9 \) पैकेटों के लिए \( 10^9 \) कोड पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि \( 8.5 \times 10^9 > 10^9 \) ।
10 अंकों से बनने वाले कुल कोड = \( 10^{10} \)
चूँकि \( 10^{10} \) की संख्या \( 8.5 \times 10^9 \) से अधिक है, अतः सभी पैकेटों को विशिष्ट कोड देने के लिए कोड कम से कम 10 अंकों का होना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• अरब को घातांकीय रूप (\( 10^9 \)) में बदला जाता है।
• n अंकों की संख्या से अधिकतम \( 10^n \) कोड बनाए जा सकते हैं।
• पैकेटों की संख्या से अधिक संयोजन होने पर ही कोड पर्याप्त होते हैं।

आम गलतियाँ:

• 8.5 अरब को मानक रूप में गलत लिखना।
• संभावित संयोजनों की संख्या का सही आकलन न करना।
• निष्कर्ष निकालते समय तुलना में गलती करना।

Exam Tips:

a) दी गई संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में बदलें।
b) अंकों के कुल विकल्पों से बनने वाले संयोजनों की गणना करें।
c) तर्कपूर्ण ढंग से अपना उत्तर समाप्त करें।

Question 10: 64 एक वर्ग संख्या (\( 8^2 \)) और एक घन संख्या (\( 4^3 \)) है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? क्या ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की कोई सामान्य विधि है?

Answer:

हाँ, ऐसी अनगिनत संख्याएँ होती हैं जो वर्ग और घन दोनों होती हैं। ऐसी संख्याएँ वास्तव में किसी संख्या की छठी घात होती हैं।
स्पष्टीकरण: किसी संख्या का वर्ग और घन होने के लिए उसे \( (n^3)^2 \) या \( (n^2)^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि \( n^6 \) के बराबर है।
अर्थात सामान्य रूप = \( n^6 \)
उदाहरण के लिए:
• जब \( n = 1 \), संख्या = \( 1^6 = 1 \)
• जब \( n = 2 \), संख्या = \( 2^6 = 64 \)
• जब \( n = 3 \), संख्या = \( 3^6 = 729 \)
• जब \( n = 4 \), संख्या = \( 4^6 = 4096 \)

मुख्य बिंदु:

• वर्ग और घन दोनों होने का अर्थ है कि संख्या की घात 2 और 3 दोनों से विभाजित हो।
• ऐसी संख्याएँ हमेशा छठी घात (\( n^6 \)) के रूप में होती हैं।
• प्राकृतिक संख्याओं के मान रखकर ऐसी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि 64 एकमात्र ऐसी संख्या है।
• छठी घात और वर्ग-घन के संबंध को न समझ पाना।
• सामान्य रूप गलत लिखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न का स्पष्ट 'हाँ' में उत्तर दें।
b) सामान्य रूप \( n^6 \) को अवश्य दर्शाएं।
c) कुछ उपयुक्त उदाहरण देकर अपने उत्तर की पुष्टि करें।

Question 11: एक डिजिटल लॉकर का 5 अक्षरांकीय (एल्फान्यूमेरिक) वाला (इसमें अंक एवं अक्षर दोनों हो सकते हैं) गुप्त संकेत है, जिसकी लंबाई 5 है। गुप्त संकेत (पासकोड) के कुछ उदाहरण G89PO, 38098, BRJKW और 003AZ हैं। इस प्रकार के कितने गुप्त संकेत संभव हैं?

Answer:

पासकोड की कुल लंबाई = 5
प्रत्येक स्थान पर आने वाले कुल विकल्प:
• अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षर (A से Z) = 26
• अंक (0 से 9) = 10
अतः प्रत्येक स्थान के लिए कुल विकल्प = \( 26 + 10 = 36 \)
चूँकि पासकोड 5 स्थानों का है और पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए कुल संभव गुप्त संकेतों की संख्या होगी:
\( 36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 = 36^5 \)
\( 36^5 = 60,466,176 \)
अतः कुल 60,466,176 गुप्त संकेत संभव हैं।

मुख्य बिंदु:

• एल्फान्यूमेरिक का अर्थ अक्षर और अंक दोनों का होना है।
• कुल विकल्प ज्ञात करने के लिए अक्षरों और अंकों की संख्या जोड़ी जाती है।
• गुणन के सिद्धांत (Fundamental Counting Principle) का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• केवल अक्षरों या केवल अंकों की संख्या लेना।
• विकल्पों को आपस में जोड़कर छोड़ देना, जबकि स्थानों के लिए गुणा करना होता है।
• गणना में बड़ी संख्या का गुणा गलत करना।

Exam Tips:

a) कुल वर्णों और अंकों की संख्या अलग-अलग लिखकर जोड़ें।
b) स्थानों की संख्या के आधार पर घात लगाएं।
c) अंतिम मान को घातांकीय या पूर्ण संख्या के रूप में लिखें।

Question 12: वर्ष 2024 में संपूर्ण विश्व में भेड़ों की संख्या लगभग \( 10^9 \) थी और बकरियों की संख्या भी लगभग भेड़ों के समान ही थी। बताइए कि भेड़ों और बकरियों की कुल संख्या कितनी है?
(i) \( 20^9 \) (ii) \( 10^{11} \) (iii) \( 10^{10} \) (iv) \( 10^{18} \) (v) \( 2 \times 10^9 \) (vi) \( 10^9 + 10^9 \text{ [सही विकल्प चुनिए]} \)

Answer:

भेड़ों की संख्या = \( 10^9 \)
बकरियों की संख्या (भेड़ों के समान) = \( 10^9 \)
कुल संख्या ज्ञात करने के लिए दोनों को जोड़ेंगे:
कुल संख्या = \( 10^9 + 10^9 \)
इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं: \( 2 \times 10^9 \)
अतः दिए गए विकल्पों में से सही विकल्प (v) और (vi) हैं।

मुख्य बिंदु:

• समान मान की दो राशियों को जोड़ने पर उनका दोगुना हो जाता है (\( x + x = 2x \))।
• घातांकीय पदों में सीधे घातांक नहीं जुड़ते जब बीच में जोड़ का चिह्न हो।
• बहुविकल्पीय प्रश्न में एक से अधिक सही विकल्प हो सकते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( 10^9 + 10^9 \) को \( 10^{18} \) लिख देना (जो कि गलत है)।
• केवल एक ही विकल्प चुनना जबकि दो सही हों।
• योग के नियम को घातांक के गुणा के नियम समझ लेना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय पद की तरह जोड़ें (\( 1\text{x} + 1\text{x} = 2\text{x} \))।
b) सभी विकल्पों को ध्यान से देखें।
c) सही विकल्पों के क्रमांक स्पष्ट लिखें।

Question 13: गणना कीजिए और अपने उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए。
(i) यदि विश्व में प्रत्येक व्यक्ति के पास 30 वस्त्र हों तो वस्त्रों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) विश्व में लगभग 100 मिलियन मधुमक्खियों के छत्ते हैं। यदि प्रत्येक छत्ते में 50,000 मधुमक्खियाँ हों, तो मधुमक्खियों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(iii) मानव शरीर में लगभग 38 ट्रिलियन (380 खरब) जीवाणु कोशिकाएँ होती हैं।
(iv) संपूर्ण जीवनकाल में खाने में व्यतीत किया गया कुल समय सेकंडों में ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) विश्व की जनसंख्या लगभग = \( 8 \times 10^9 \)
प्रत्येक व्यक्ति के पास वस्त्र = \( 30 = 3 \times 10^1 \)
कुल वस्त्र = \( (8 \times 10^9) \times (3 \times 10^1) = 24 \times 10^{10} = 2.4 \times 10^{11} \)

(ii) मधुमक्खियों के छत्ते = 100 मिलियन = \( 10^8 \)
प्रत्येक छत्ते में मधुमक्खियाँ = 50,000 = \( 5 \times 10^4 \)
कुल मधुमक्खियाँ = \( 10^8 \times 5 \times 10^4 = 5 \times 10^{12} \)

(iii) मानव शरीर में जीवाणु कोशिकाएँ = 38 ट्रिलियन = \( 38 \times 10^{12} = 3.8 \times 10^{13} \)
विश्व की जनसंख्या = \( 8 \times 10^9 \)
कुल जीवाणु कोशिकाएँ = \( (3.8 \times 10^{13}) \times (8 \times 10^9) = 30.4 \times 10^{22} = 3.04 \times 10^{23} \)

(iv) मान लेते हैं कि एक व्यक्ति प्रतिदिन 1 घंटा भोजन में व्यतीत करता है और औसत जीवनकाल 75 वर्ष है।
1 वर्ष में भोजन का समय = \( 365 \times 3600 = 1,314,000 = 1.314 \times 10^6 \) सेकंड
75 वर्षों में कुल समय = \( 75 \times 1.314 \times 10^6 = 98.55 \times 10^6 = 9.855 \times 10^7 \) सेकंड

मुख्य बिंदु:

• वैज्ञानिक संकेतन में संख्या को \( a \times 10^n \) के रूप में लिखा जाता है जहाँ \( 1 \le a < 10 \) ।
• बड़ी संख्याओं को 10 की घातों में बदलना आसान होता है।
• गुणन करते समय अंकों का अंकों से और 10 की घातों का 10 की घातों से गुणा होता है।

आम गलतियाँ:

• वैज्ञानिक संकेतन के मानक रूप (\( 1 \le a < 10 \)) का पालन न करना।
• ट्रिलियन और मिलियन के मान को गलत लिखना।
• समय के रूपांतरण में सेकंडों की गणना में भूल करना।

Exam Tips:

a) पहले दी गई बड़ी संख्याओं को मानक रूप में बदलें।
b) घातांक के नियमों का प्रयोग करके गणना करें।
c) अंतिम उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में ही प्रस्तुत करें।

Question 14: आज से 1 बिलियन या 1 अरब सेकंड पूर्व क्या दिनांक थी?

Answer:

1 अरब सेकंड = \( 10^9 \) सेकंड
1 दिन में सेकंडों की संख्या = \( 24 \times 60 \times 60 = 86,400 \) सेकंड
दिनों की कुल संख्या = \( 10^9 \div 86,400 \approx 11,574 \) दिन
वर्षों में बदलने पर: \( 11,574 \div 365 \approx 31 \) वर्ष और 251 दिन।
यदि आज की तिथि 16 मार्च 2026 मानी जाए, तो 1 अरब सेकंड (लगभग 31 वर्ष 251 दिन) पहले की तिथि होगी:
लगभग 8 जुलाई 1994

मुख्य बिंदु:

• सेकंड को दिनों और वर्षों में बदलने के लिए उचित रूपांतरण कारकों का उपयोग किया जाता है।
• 1 दिन में 86400 सेकंड होते हैं।
• यह समय गणना पर आधारित एक रोचक व्यावहारिक प्रश्न है।

आम गलतियाँ:

• 1 दिन में सेकंडों की संख्या गलत निकालना।
• दिनों को वर्षों में बदलते समय लीप वर्ष को नजरअंदाज करना (अनुमानित उत्तर मान्य है)।
• तिथि की गणना में वर्ष घटाने में गलती करना।

Exam Tips:

a) गणना को चरणों में विभाजित करें (सेकंड से दिन, दिन से वर्ष)।
b) स्पष्ट और लगभग मान लिखकर उत्तर दें।
c) इकाई रूपांतरण के सभी मान सही रखें।