NCERT Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 01 वर्ग और घन
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Practice Class 8 Mathematics Solutions: Chapter 01 वर्ग और घन
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Question 1: निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं?
(i) 2032 (ii) 2048 (iii) 1027 (iv) 1089
Answer:
पूर्ण वर्ग संख्याएँ सामान्यतः 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती हैं। दी गई संख्याओं का परीक्षण करने पर:
(i) 2032 का इकाई अंक 2 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 2048 का इकाई अंक 8 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 1027 का इकाई अंक 7 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iv) 1089 का इकाई अंक 9 है और \( 33^2 = 1089 \), इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अतः विकल्प (i), (ii) और (iii) पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
मुख्य बिंदु:
• किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 कभी नहीं हो सकता।
• संख्या 1089 का वर्गमूल 33 है।
• इकाई अंक देखकर तुरंत यह पता लगाया जा सकता है कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग हो सकती है या नहीं।
आम गलतियाँ:
• केवल इकाई अंक देखकर यह मान लेना कि सभी संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
• अभाज्य गुणनखंडन किए बिना सीधे अनुमान लगाना।
• संख्या के दहाई या सैकड़े के अंक को इकाई अंक समझ लेना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए संख्याओं के इकाई अंकों की सूची याद रखें।
b) यदि इकाई का अंक 2, 3, 7 या 8 हो, तो सीधे लिख दें कि संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है।
c) पूर्ण वर्ग संख्याओं के लिए उनके वर्गमूल की जाँच अवश्य करें।
Question 2: \( 64^2, 108^2, 292^2, 36^2 \) में से किसका इकाई अंक 4 है?
Answer:
दी गई संख्याओं के इकाई अंकों का वर्ग करके उनके परिणाम का इकाई अंक ज्ञात करते हैं:
\( 64^2 \to \) संख्या 64 का इकाई अंक 4 है, \( 4 \times 4 = 16 \), जिसका इकाई अंक 6 है (\( 64^2 = 4096 \))。
\( 108^2 \to \) संख्या 108 का इकाई अंक 8 है, \( 8 \times 8 = 64 \), जिसका इकाई अंक 4 है (\( 108^2 = 11664 \))。
\( 292^2 \to \) संख्या 292 का इकाई अंक 2 है, \( 2 \times 2 = 4 \), जिसका इकाई अंक 4 है (\( 292^2 = 85264 \))。
\( 36^2 \to \) संख्या 36 का इकाई अंक 6 है, \( 6 \times 6 = 36 \), जिसका इकाई अंक 6 है (\( 36^2 = 1296 \))。
अतः \( 108^2 \) और \( 292^2 \) के इकाई अंक 4 हैं।
मुख्य बिंदु:
• किसी संख्या के वर्ग का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए केवल दी गई संख्या के इकाई अंक का वर्ग करते हैं।
• यदि किसी संख्या का इकाई अंक 2 या 8 हो, तो उसके वर्ग का इकाई अंक हमेशा 4 होता है।
• पूरी संख्या का गुणा करने के बजाय केवल इकाई अंकों का गुणनफल देखना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• पूरी बड़ी संख्या का वर्ग निकालने में समय बर्बाद करना।
• इकाई अंक के गुणनफल में दहाई के अंक को भी शामिल कर देना।
• वर्ग और संख्या के इकाई अंक को आपस में मिला देना।
Exam Tips:
a) समय बचाने के लिए हमेशा केवल इकाई अंक के नियम का प्रयोग करें।
b) अपनी उत्तर पुस्तिका में स्पष्ट रूप से दिखाएँ कि इकाई अंक का वर्ग कैसे किया गया है।
c) गणना की पुष्टि के लिए अंत में पूरे वर्ग का मान भी लिख सकते हैं।
Question 3: यदि \( 125^2 = 15625 \) तो \( 126^2 \) का मान क्या होगा?
(i) 15625 + 126 (ii) 15625 + 26^2 (iii) 15625 + 253 (iv) 15625 + 251 (v) 15625 + 51^2
Answer:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका \( (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 \) होती है।
यहाँ \( n = 125 \) रखने पर:
\( 126^2 = (125 + 1)^2 \)
\( = 125^2 + 2 \times 125 + 1 \)
\( = 15625 + 250 + 1 \)
\( = 15625 + 251 \)
अतः सही विकल्प (iv) \( 15625 + 251 \) है।
मुख्य बिंदु:
• क्रमागत संख्याओं के वर्गों के बीच का संबंध सर्वसमिका द्वारा ज्ञात किया जाता है।
• \( n^2 \) और \( (n+1)^2 \) के बीच का अंतर \( 2n + 1 \) होता है।
• यहाँ \( 2 \times 125 + 1 = 251 \) जुड़ता है।
आम गलतियाँ:
• सीधे \( 126 \times 126 \) की लंबी गुणा करना।
• \( 15625 \) में केवल \( 126 \) जोड़ देना।
• सूत्र में \( 2n \) के स्थान पर केवल \( n \) लिखना।
Exam Tips:
a) ऐसे बहुविकल्पीय प्रश्नों में बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग सबसे तेज तरीका है।
b) परीक्षा में सूत्र लिखकर हल करने से पूरे अंक मिलते हैं।
c) विकल्प चुनते समय सही संख्या का मिलान सावधानीपूर्वक करें।
Question 4: 441 वर्गमीटर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल = \( 441 \) वर्ग मीटर
हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 \)
अतः वर्ग की भुजा = \( \sqrt{441} \)
अभाज्य गुणनखंडन या भाग विधि से वर्गमूल निकालने पर:
\( \sqrt{441} = 21 \)
अतः वर्ग की भुजा की लंबाई 21 मीटर है।
मुख्य बिंदु:
• वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा का वर्ग होता है।
• क्षेत्रफल से भुजा निकालने के लिए वर्गमूल ज्ञात किया जाता है।
• \( 21 \times 21 = 441 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• उत्तर में मात्रक (मीटर) लिखना भूल जाना।
• क्षेत्रफल को 4 से भाग दे देना (परिमाप समझकर)।
• वर्गमूल गलत निकालना।
Exam Tips:
a) उत्तर के साथ हमेशा उचित इकाई (मीटर) अवश्य लिखें।
b) यदि संभव हो तो भाग विधि या अभाज्य गुणनखंड विधि की एक छोटी सी झलक रफ़ कार्य में या मुख्य हल में दिखाएँ।
c) क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों में भ्रमित न हों।
Question 5: वह छोटी से छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 से विभाजित होती हो।
Answer:
सबसे पहले 4, 9 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं:
\( 4 = 2^2 \)
\( 9 = 3^2 \)
\( 10 = 2 \times 5 \)
\( \text{LCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \)
अब 180 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों को सम बनाते हैं:
\( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
यहाँ 5 की घात 1 (विषम) है, इसलिए संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे 5 से गुणा करना होगा:
\( 180 \times 5 = 900 \)
अतः अभीष्ट छोटी से छोटी वर्ग संख्या 900 है।
मुख्य बिंदु:
• दी गई संख्याओं से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका LCM होती है।
• पूर्ण वर्ग बनाने के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होनी चाहिए।
• जिस गुणनखंड की घात विषम हो, उसी संख्या से गुणा या भाग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल LCM निकालकर छोड़ देना और उसे पूर्ण वर्ग न बनाना।
• गलत अभाज्य गुणनखंड निकालना।
• 5 के बजाय किसी अन्य संख्या से गुणा करना।
Exam Tips:
a) 'छोटी से छोटी संख्या' शब्द देखकर तुरंत LCM निकालने की प्रक्रिया अपनाएँ।
b) गुणनखंडों के जोड़े (सम घातें) बनाना न भूलें।
c) अंतिम उत्तर की जाँच करें कि क्या वह 4, 9 और 10 से विभाजित होता है या नहीं।
Question 6: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9408 से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। प्राप्त गुणनफल का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
सबसे पहले 9408 का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
\( 9408 = 2^6 \times 3^1 \times 7^2 \)
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होनी चाहिए। यहाँ 3 की घात 1 (विषम) है।
अतः संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे 3 से गुणा करना होगा:
\( 9408 \times 3 = 28224 \)
अब नया गुणनफल: \( 28224 = 2^6 \times 3^2 \times 7^2 \)
इस प्रकार 28224 एक पूर्ण वर्ग है।
अब वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \sqrt{28224} = 2^3 \times 3^1 \times 7^1 \)
\( = 8 \times 3 \times 7 \)
\( = 168 \)
अतः वह छोटी से छोटी संख्या 3 है और प्राप्त गुणनफल का वर्गमूल 168 है।
मुख्य बिंदु:
• संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए अभाज्य गुणनखंडों की विषम घातों को सम बनाना पड़ता है।
• वर्गमूल निकालते समय प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात को आधा कर दिया जाता है।
• अभाज्य गुणनखंड विधि सबसे विश्वसनीय तरीका है।
आम गलतियाँ:
• गुणनखंड करते समय भाग देने में गलती करना।
• केवल गुणा की जाने वाली संख्या ज्ञात करके वर्गमूल निकालना भूल जाना।
• घातों को आधा करने में गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रश्न के दोनों भागों (गुणा करने वाली संख्या और वर्गमूल) का उत्तर स्पष्ट रूप से दें।
b) अभाज्य गुणनखंडन को चरण-दर-चरण साफ-सुथरा लिखें।
c) उत्तर की सत्यता जाँचने के लिए \( 168 \times 168 \) करके देख सकते हैं।
Question 7: निम्नांकित संख्याओं के वर्गों के मध्य कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 16 और 17 (ii) 99 और 100
Answer:
(i) 16 और 17 के वर्गों के मध्य की संख्याएँ:
हम जानते हैं कि यदि दो प्राकृतिक संख्याएँ n और \( n+1 \) हों, तो उनके वर्गों के बीच \( 2n \) संख्याएँ होती हैं।
यहाँ \( n = 16 \)
मध्य की संख्याएँ = \( 2 \times 16 = 32 \)
(सत्यापन: \( 16^2 = 256 \), \( 17^2 = 289 \)
बीच की संख्याएँ = \( 289 - 256 - 1 = 32 \))
(ii) 99 और 100 के वर्गों के मध्य की संख्याएँ:
यहाँ \( n = 99 \)
मध्य की संख्याएँ = \( 2 \times 99 = 198 \)
(सत्यापन: \( 99^2 = 9801 \), \( 100^2 = 10000 \)
बीच की संख्याएँ = \( 10000 - 9801 - 1 = 198 \))
मुख्य बिंदु:
• दो क्रमागत संख्याओं n और \( (n+1) \) के वर्गों के बीच हमेशा \( 2n \) पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
• इस शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके बड़े वर्गों का मान निकाले बिना सीधे उत्तर निकाला जा सकता है।
• साधारण विधि में दोनों के वर्ग निकालकर बड़े में से छोटा घटाकर फिर 1 घटाया जाता है।
आम गलतियाँ:
• सूत्र में केवल n से गुणा करना (2 भूल जाना)।
• सामान्य घटाव में अंत में 1 घटाना भूल जाना।
• बड़ी संख्याओं के वर्ग निकालने में समय नष्ट करना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में हमेशा \( 2n \) वाले गुणधर्म का प्रयोग करें ताकि समय बचे।
b) सूत्र लिखकर दिखाने से परीक्षक पर अच्छा प्रभाव पड़ता है।
c) गणना की जाँच के लिए छोटी संख्या पर सत्यापन विधि अपना सकते हैं।
Question 8: निम्नलिखित प्रतिरूप में विलुप्त संख्या अंकित कीजिए।
\( 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 \)
\( 2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2 \)
\( 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 \)
\( 4^2 + 5^2 + 20^2 = ( \_\_ )^2 \)
\( 9^2 + 10^2 + ( \_\_ )^2 = ( \_\_ )^2 \)
Answer:
दिए गए प्रतिरूप का अध्ययन करने पर हम पाते हैं कि:
पहला पद \( n^2 \), दूसरा पद \( (n+1)^2 \), तीसरा पद इन दोनों का गुणनफल अर्थात् \( [n(n+1)]^2 \) है और दाईं ओर का पद \( (n^2 + n + 1)^2 \) है।
चौथी पंक्ति के लिए \( n = 4 \):
\( 4^2 + 5^2 + (4 \times 5)^2 = (4^2 + 4 + 1)^2 \)
\( 4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2 \)
पाँचवीं पंक्ति के लिए \( n = 9 \):
\( 9^2 + 10^2 + (9 \times 10)^2 = (9^2 + 9 + 1)^2 \)
\( 9^2 + 10^2 + 90^2 = 91^2 \)
अतः रिक्त स्थानों में क्रमशः 21, 90 और 91 आएगा।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिरूप (Pattern) आधारित प्रश्नों में संख्याओं के बीच का संबंध ढूँढना होता है।
• तीसरे पद का आधार पहले दोनों आधारों का गुणनफल होता है।
• दाईं ओर की संख्या पहले पद के वर्ग, पहले पद और 1 के योग के बराबर होती है।
आम गलतियाँ:
• प्रतिरूप के नियम को ठीक से समझे बिना केवल अंदाaz लगाना।
• गुणनफल निकालने में गलती करना।
• कोष्ठक के अंदर सही मान न रखना।
Exam Tips:
a) पैटर्न के प्रश्नों को हल करने से पहले पहली तीन पंक्तियों के बीच का संबंध ध्यान से देखें।
b) यदि संभव हो तो बगल में बीजगणितीय नियम लिखकर स्पष्ट करें।
c) रिक्त स्थानों में केवल सही संख्या भरें।
Question 9: निम्नांकित चित्र में छोटे वर्गों की संख्या कितनी है? छोटे वर्गों की संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
Answer:
चित्र के अनुसार कुल पंक्तियाँ 9 और कुल स्तंभ 9 हैं, अर्थात कुल बड़े खंड = \( 9 \times 9 = 81 \)
प्रत्येक बड़े खंड में छोटे वर्गों की संख्या = \( 5 \times 5 = 25 \)
अतः छोटे वर्गों की कुल संख्या = \( 81 \times 25 \)
\( = 2025 \)
अब 2025 का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
\( 2025 = 45 \times 45 \)
\( = (9 \times 5) \times (9 \times 5) \)
\( = (3^2 \times 5) \times (3^2 \times 5) \)
\( = 3^4 \times 5^2 \)
अतः छोटे वर्गों की कुल संख्या 2025 है और इसका अभाज्य गुणनखंडन \( 3^4 \times 5^2 \) है।
मुख्य बिंदु:
• कुल छोटे वर्गों की संख्या निकालने के लिए बड़े खंडों की संख्या को एक खंड के छोटे वर्गों से गुणा करते हैं।
• संख्या 2025 का अभाज्य गुणनखंडन निकालते समय 3 और 5 का प्रयोग होता है।
• \( 45^2 = 2025 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• पंक्तियों और स्तंभों की गिनती में भूल करना।
• कुल संख्या निकालने के बाद अभाज्य गुणनखंडन करना भूल जाना।
• गुणनखंडों की घातों को गलत लिखना।
Exam Tips:
a) चित्र आधारित प्रश्नों को हल करते समय दी गई पंक्तियों और स्तंभों को सावधानीपूर्वक गिनें।
b) अभाज्य गुणनखंडन को चरणों में दिखाएँ ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
c) उत्तर में कुल संख्या और गुणनखंडन दोनों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।
Question 1: 27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) संख्या 27000 का घनमूल:
हम जानते हैं कि \( 30 \times 30 \times 30 = 27000 \), अर्थात \( 30^3 = 27000 \)
अतः \( \sqrt[3]{27000} = 30 \)
(ii) संख्या 10648 का घनमूल:
हम जानते हैं कि इकाई अंक 8 है, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 2 होगा।
\( 22 \times 22 \times 22 = 10648 \), अर्थात \( 22^3 = 10648 \)
अतः \( \sqrt[3]{10648} = 22 \)
मुख्य बिंदु:
• घनमूल निकालने के लिए अभाज्य गुणनखंडन विधि या अनुमान विधि का प्रयोग किया जाता है।
• 1 से 10 तक की संख्याओं के घन याद होने से बड़ी संख्याओं के घनमूल आसानी से निकाले जा सकते हैं।
• यदि किसी संख्या का इकाई अंक 8 है, तो उसके घनमूल का इकाई अंक 2 होता है।
आम गलतियाँ:
• वर्गमूल और घनमूल के संकेतों में भ्रमित होना (घनमूल में करणी के ऊपर 3 लिखा होता है)।
• गुणनखंड करते समय त्रिक (triplets) बनाने में गलती करना।
• शून्य की संख्या का गलत आकलन करना।
Exam Tips:
a) बड़ी संख्याओं के घनमूल निकालते समय अभाज्य गुणनखंडन विधि का ही चरणबद्ध प्रयोग करें।
b) तीन-तीन अंकों के समूह (triplets) बनाकर ही घनमूल निकालें।
c) परीक्षा में दोनों उत्तरों को अलग-अलग साफ-सुथरा दर्शाएँ।
Question 2: 1323 को घन संख्या बनाने के लिए आप किस संख्या से गुणा करेंगे?
Answer:
सबसे पहले 1323 का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
\( 1323 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \)
\( = 3^3 \times 7^2 \)
घन संख्या बनाने के लिए अभाज्य गुणनखंडों के तीन-तीन (triplets) के समूह होने चाहिए।
यहाँ 3 का एक त्रिक पूर्ण है, परंतु 7 केवल दो बार है (\( 7^2 \))।
इसे पूर्ण घन बनाने के लिए एक और 7 की आवश्यकता है।
परन्तु यदि प्रश्न में 'जोड़ने' की बात हो तो अलग विधि होती है, यहाँ गुणा करने के लिए कहा गया है:
\( 1323 \times 7 = 9261 \)
(नोट: यदि प्रश्न जोड़ने के संदर्भ में हो जैसा कि OCR पाठ में है कि 1331 बनाने के लिए 8 जोड़ेंगे, तो 1323 का निकटतम घन 1331 है, जिसमें 8 जोड़ा जाता है। यहाँ प्रश्न की मूल प्रकृति के अनुसार 7 से गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त होगा या 1331 के संदर्भ में 8 जोड़ा जाएगा। मानक एनसीइआरटी समाधान के अनुसार 1331 निकटतम घन है, अतः 8 जोड़ने पर 1331 बनता है।)
मुख्य बिंदु:
• किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंडों के तीन-तीन के जोड़े बनाए जाते हैं।
• जिस गुणनखंड की कमी हो, उसी से गुणा किया जाता है।
• निकटतम घन संख्या तक पहुँचने के लिए अंतर निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• गुणा और जोड़ने वाले प्रश्नों के अंतर को न समझना।
• अभाज्य गुणनखंडन में त्रिक के बजाय जोड़े (दो-दो के समूह) बनाना।
• गलत गुणनखंड निकालना।
Exam Tips:
a) प्रश्न ध्यान से पढ़ें कि 'गुणा करने' के लिए कहा गया है या 'जोड़ने' के लिए।
b) अभाज्य गुणनखंड विधि से गुणनखंडों के त्रिक बनाकर ही हल करें।
c) यदि निकटतम घन संख्या पूछी जाए तो 11 का घन (1331) ध्यान रखें।
Question 3: निम्न में से सत्य या असत्य बताइए तथा अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा।
(ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता है।
(iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है।
(iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
(v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
Answer:
(i) असत्य - कारण: किसी भी विषम संख्या का घन हमेशा विषम ही होता है, सम नहीं।
(ii) असत्य - कारण: संख्या 8 एक पूर्ण घन है (\( 2^3 = 8 \)), साथ ही \( 8^3 = 512 \) भी 8 पर समाप्त होता है।
(iii) सत्य - उदाहरण: \( 5^3 = 125 \), जो कि एक 3 अंकीय संख्या है।
(iv) असत्य - उदाहरण: \( 99^3 = 970299 \), जिसमें केवल 6 अंक हैं, 7 या अधिक नहीं।
(v) असत्य - कारण: केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या विषम होती है, घन संख्याओं के लिए यह नियम अनिवार्य नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• विषम संख्याओं के घन हमेशा विषम होते हैं।
• पूर्ण घन संख्याएँ 8 पर समाप्त हो सकती हैं (जैसे 8, 512)।
• दो अंकों की संख्या का घन 4, 5 या 6 अंकों का हो सकता है, लेकिन 3 अंकों का भी हो सकता है (जैसे 5 का घन 125)।
आम गलतियाँ:
• बिना उदाहरण के सीधे सत्य या असत्य लिख देना।
• नियमों को वर्ग और घन के साथ मिला देना।
• छोटी संख्याओं के घन की जाँच न करना।
Exam Tips:
a) ऐसे कथनों वाले प्रश्नों में अपने उत्तर के समर्थन में एक छोटा सा उदाहरण अवश्य दें।
b) प्रत्येक उप-भाग (i से v) का उत्तर अलग-अलग पंक्ति में लिखें।
c) तर्क स्पष्ट और संक्षिप्त होना चाहिए।
Question 4: आपको बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन संख्या है। इस संख्या का गुणनखंड किए बिना क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है? इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों का अनुमान लगाइए।
Answer:
बिना गुणनखंड के अनुमान लगाने की विधि (इकाई अंक और समूह विधि):
(i) 1331 के लिए:
अंतिम अंक 1 है, अतः घनमूल का इकाई अंक 1 होगा। पहले समूह '1' का घनमूल 1 है। अतः \( \sqrt[3]{1331} = 11 \) ।
(ii) 4913 के लिए:
अंतिम अंक 3 है, अतः घनमूल का इकाई अंक 7 होगा (क्योंकि \( 7^3 = 343 \))। पहले समूह '4' से छोटी घन संख्या 1 है, जिसका घनमूल 1 है। अतः \( \sqrt[3]{4913} = 17 \) ।
(iii) 12167 के लिए:
अंतिम अंक 7 है, अतः घनमूल का इकाई अंक 3 होगा (क्योंकि \( 3^3 = 27 \))। पहले समूह '12' से छोटी घन संख्या 8 है, जिसका घनमूल 2 है। अतः \( \sqrt[3]{12167} = 23 \) ।
(iv) 32768 के लिए:
अंतिम अंक 8 है, अतः घनमूल का इकाई अंक 2 होगा (क्योंकि \( 2^3 = 8 \))। पहले समूह '32' से छोटी घन संख्या 27 है, जिसका घनमूल 3 है। अतः \( \sqrt[3]{32768} = 32 \) ।
मुख्य बिंदु:
• अनुमान विधि में संख्या को दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के समूहों में बांटा जाता है।
• इकाई अंक के आधार पर घनमूल का इकाई अंक तय होता है (जैसे 3 का 7, 7 का 3, 8 का 2)।
• बाएं समूह से दहाई का अंक निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• गलत इकाई अंक का चयन करना (जैसे 3 के लिए 3 ही मान लेना)।
• बाएं समूह के लिए बड़ी घन संख्या चुन लेना।
• समूहों को बाएं से दाहिने बांटना (जबकि विभाजन हमेशा दाहिने से शुरू होता है)।
Exam Tips:
a) परीक्षा में अनुमान लगाने के चरणों को संक्षिप्त में लिखकर दिखाएँ।
b) 1 से 10 तक के घनों की सूची अपने दिमाग में स्पष्ट रखें।
c) सभी चारों भागों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।
Question 5: निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) \( 67^3 - 66^3 \)
(ii) \( 43^3 - 42^3 \)
(iii) \( 67^2 - 66^2 \)
(iv) \( 43^2 - 42^2 \)
Answer:
दी गई चारों संख्याओं का मान निकालते हैं:
(i) \( 67^3 - 66^3 = 300763 - 287496 = 13267 \)
(ii) \( 43^3 - 42^3 = 79507 - 74088 = 5419 \)
(iii) \( 67^2 - 66^2 = 4489 - 4356 = 133 \)
(iv) \( 43^2 - 42^2 = 1849 - 1764 = 85 \)
तुलना करने पर स्पष्ट है कि सबसे बड़ा मान 13267 है, जो कि \( 67^3 - 66^3 \) का मान है।
अतः सबसे बड़ा मान \( 67^3 - 66^3 \) है।
मुख्य बिंदु:
• क्रमिक संख्याओं के घनों का अंतर उनके वर्गों के अंतर से बहुत बड़ा होता है।
• बड़ी संख्या के घन का अंतर छोटी संख्या के घन के अंतर से हमेशा अधिक होता है।
• गणना करके सटीक मान निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है।
आम गलतियाँ:
• बिना गणना किए केवल संख्याओं के आकार को देखकर गलत अनुमान लगाना।
• घटाव करने में गणना की त्रुटि करना।
• वर्ग और घन के अंतर के नियमों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों के मान अलग-अलग निकालकर लिखें।
b) अंत में स्पष्ट रूप से निष्कर्ष लिखें कि कौन सा विकल्प सबसे बड़ा है।
c) गणना करते समय रफ़ कार्य में गुणा की सावधानी रखें।
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FAQs
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