NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 14 Probability (प्रायिकता) Exercise 14.2 in Hindi

Question 1: प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6, \omega_7\} \) के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है?
परिणाम \( \quad \omega_1 \quad \omega_2 \quad \omega_3 \quad \omega_4 \quad \omega_5 \quad \omega_6 \quad \omega_7 \)
(a) \( \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \quad \frac{1}{7} \)
(b) \( 0.1 \quad 0.01 \quad 0.05 \quad 0.03 \quad 0.01 \quad 0.2 \quad 0.6 \)
(c) \( 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.4 \quad 0.5 \quad 0.6 \quad 0.7 \)
(d) \( -0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.4 \quad -0.2 \quad 0.1 \quad 0.3 \)
(e) \( \frac{1}{14} \quad \frac{2}{14} \quad \frac{3}{14} \quad \frac{4}{14} \quad \frac{5}{14} \quad \frac{6}{14} \quad \frac{15}{14} \)

Answer:

(a) यहाँ प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता धनात्मक है तथा \( 1 \) से कम है।
सभी घटनाओं की प्रायिकता का योग \( = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 1 \)
अतः, यह प्रायिकता निर्धारण वैध है।

(b) यहाँ प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता धनात्मक है तथा \( 1 \) से कम है।
सभी घटनाओं की प्रायिकता का योग \( = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1 \)
अतः, यह प्रायिकता निर्धारण वैध है।

(c) सभी घटनाओं की प्रायिकता का योग \( = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8 \neq 1 \)
अतः, यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।

(d) यहाँ, पहली \( (-0.1) \) पाँचवीं \( (-0.2) \) प्रायिकता ऋणात्मक है।
हम जानते हैं कि किसी भी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः, यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।

(e) यहाँ सातवीं \( \left(\frac{15}{14}\right) \) प्रायिकता \( 1 \) से अधिक है।
हम जानते हैं कि किसी भी घटना की प्रायिकता कभी \( 1 \) से बड़ी नहीं हो सकती है।
अतः, यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी घटना की प्रायिकता \( 0 \) से कम या \( 1 \) से अधिक नहीं हो सकती।
• सभी प्राथमिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग सदैव \( 1 \) होता है।
• प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \( 0 \leq P(\omega_i) \leq 1 \) के बीच होनी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• केवल व्यक्तिगत प्रायिकताओं को देखकर संतुष्ट हो जाना और उनका योग न जाँच करना।
• ऋणात्मक प्रायिकता को वैध मान लेना।
• \( 1 \) से बड़ी भिन्न वाली प्रायिकताओं की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) दोनों शर्तों (योग \( 1 \) होना और प्रत्येक प्रायिकता \( 0 \) से \( 1 \) के बीच होना) की अलग-अलग जाँच करें।
b) भिन्नों को जोड़ते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।
c) अपने उत्तर को स्पष्ट रूप से लिखें कि कौन सा विकल्प वैध है और कौन सा नहीं।

Question 2: एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?

Answer:

जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{\text{HH, HT, TH, TT}\} \)
माना, घटना \( A \) कम से कम एक पट प्राप्त करना दर्शाता है। इसलिए, \( A = \{\text{HT, TH, TT}\} \)
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} \)
\( P(A) = \frac{3}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिदर्श समष्टि \( S \) के सभी संभव परिणामों को सही ढंग से लिखना।
• 'कम से कम एक पट' का अर्थ है एक पट या दो पट।
• प्रायिकता का सूत्र \( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} \) का प्रयोग करना।

आम गलतियाँ:

• 'कम से कम एक पट' में 'दो पट' के मामले को छोड़ देना।
• प्रतिदर्श समष्टि में \( \text{HT} \) और \( \text{TH} \) को एक ही परिणाम मान लेना।

Exam Tips:

a) सिक्के उछालने के प्रयोग के लिए हमेशा पहले प्रतिदर्श समष्टि \( S \) लिखें।
b) अनुकूल परिणामों के समुच्चय \( A \) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
c) अंतिम भिन्न को सरलतम रूप में लिखें।

Question 3: एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या प्रकट होना
(ii) 3 या 3 से अधिक संख्या प्रकट होना
(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना
(iv) 6 से बड़ी संख्या प्रकट होना
(v) 6 से छोटी संख्या प्रकट होना

Answer:

एकपासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(i) माना घटना \( A \) एक अभाज्य संख्या प्रकट होना दर्शाता है, इसलिए \( A = \{2, 3, 5\} \)
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूलपरिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

(ii) माना घटना \( B \) 3 या 3 से अधिक संख्या प्रकट होना दर्शाता है, इसलिए \( B = \{3, 4, 5, 6\} \)
\( P(B) = \frac{\text{B के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

(iii) माना घटना \( C \) 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना दर्शाता है, इसलिए \( C = \{1\} \)
\( P(C) = \frac{\text{C के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6} \)

(iv) माना घटना \( D \) 6 से बड़ी संख्या प्रकट होना दर्शाता है, इसलिए \( D = \phi \)
\( P(D) = \frac{\text{D के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{0}{6} = 0 \)

(v) माना घटना \( E \) 6 से छोटी संख्या प्रकट होना दर्शाता है, इसलिए \( E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( P(E) = \frac{\text{E के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• पासे के फलक \( 1 \) से \( 6 \) तक होते हैं।
• अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं (\( 2, 3, 5 \))।
• असंभव घटना की प्रायिकता \( 0 \) और निश्चित घटना की प्रायिकता \( 1 \) होती है।

आम गलतियाँ:

• संख्या \( 1 \) को अभाज्य संख्या मान लेना (जो कि गलत है)।
• '3 से अधिक' और '3 या 3 से अधिक' में अंतर न समझना।

Exam Tips:

• प्रत्येक उप-प्रश्न के लिए घटना को \( A, B, C \) आदि मानकर हल करें।
• भिन्नों को हमेशा न्यूनतम रूप में (\( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \)) बदलें।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) के लिए प्रायिकता शून्य लिखें।

Question 4: ताश की गद्दी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला गया है।
(a) प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिंदु हैं?
(b) पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है?
(c) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता (i) इक्का है (ii) काले रंग का है।

Answer:

(a) ताश की गद्दी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल परिणामों की संख्या \( 52 \) होगी अर्थात् प्रतिदर्श समष्टि में कुल \( 52 \) अवयव होंगे।
अतः, प्रतिदर्श समष्टि में कुल \( 52 \) बिंदु हैं।

(b) माना, घटना \( A \) पत्ते का हुकुम का इक्का होना दर्शाता है। इसलिए, \( n(A) = 1 \)
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{52} \)

(c) (i) माना, घटना \( E \) इक्का होना दर्शाता है। हम जानते हैं कि ताश की गद्दी में चार इक्के होते हैं। अतः \( n(E) = 4 \)
\( P(E) = \frac{\text{E के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)

(ii) माना, घटना \( F \) काले रंग के पत्ते को दर्शाता है। ताश की गद्दी में 26 काले रंग के पत्ते हैं। इसलिए, \( n(F) = 26 \)
\( P(F) = \frac{\text{F के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• ताश की कुल गद्दी में \( 52 \) पत्ते होते हैं (26 लाल और 26 काले)।
• प्रत्येक प्रकार (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी) के 13 पत्ते होते हैं।
• प्रत्येक श्रेणी में एक इक्का होता है।

आम गलतियाँ:

• हुकुम के इक्के को केवल इक्का समझकर उसकी संख्या 4 लिख देना।
• काले पत्तों की कुल संख्या 26 के स्थान पर गलत लिखना।

Exam Tips:

a) ताश के पत्तों के वर्गीकरण (रंग, सूट, और मुख्य कार्ड) की पूरी जानकारी रखें।
b) भिन्नों जैसे \( \frac{4}{52} \) को सरल करके \( \frac{1}{13} \) अवश्य लिखें।
c) प्रत्येक उप-भाग के लिए अलग से घटना मानकर हल करें।

Question 5: एक अभिनत सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग (i) 3 है। (ii) 12 है।

Answer:

दिया है: सिक्के के एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 है। पासे के फलकों पर संख्याएँ \( 1, 2, 3, 4, 5 \) और 6 हैं। इसलिए, प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
अतः, \( n(S) = 12 \)
(i) माना, घटना \( A \) संख्याओं के योग 3 को दर्शाती है। इसलिए, \( A = \{(1, 2)\} \)
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{12} \)

(ii) माना, घटना \( B \) संख्याओंके योग 12 को दर्शाती है। इसलिए, \( B = \{(6, 6)\} \)
\( P(B) = \frac{\text{B के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{12} \)

मुख्य बिंदु:

• अभिनत सिक्का यहाँ केवल \( 1 \) और \( 6 \) परिणाम देता है।
• पासे में \( 1 \) से \( 6 \) तक के अंक होते हैं।
• कुल प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या \( 2 \times 6 = 12 \) होगी।

आम गलतियाँ:

• सिक्के के परिणामों को सामान्य सिक्का (Head/Tail) मान लेना।
• योग 3 के लिए गलत युग्म चुनना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए सिक्के और पासे के विशिष्ट प्रतिबंधों को ध्यान से पढ़ें।
b) प्रतिदर्श समष्टि के सभी 12 युग्मों को सूचीबद्ध करें।
c) योग की गणना सावधानी से करें।

Question 6: नगर परिषद में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यदृच्छया एक परिषद सदस्य चुना गया तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी संभावना है?

Answer:

दिया है: नगर परिषद में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं।
समिति के लिए एक परिषद सदस्य चुनने के प्रतिदर्श समष्टि = \( 10 \) (\( 4 + 6 \)) अवयव
माना, घटना \( A \) स्त्री के चुने जाने को दर्शाता है। इसलिए, \( n(A) = 6 \)
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल सदस्यों की संख्या पुरुषों और स्त्रियों की संख्या का योग होती है।
• अनुकूल परिणाम स्त्रियों की कुल संख्या है।
• प्रायिकता एक सरल अनुपात होती है।

आम गलतियाँ:

• कुल सदस्यों की संख्या के स्थान पर केवल पुरुषों या स्त्रियों की संख्या लिख देना।
• भिन्न \( \frac{6}{10} \) को सरल न करना।

Exam Tips:

a) कुल व्यक्तियों की संख्या पहले निकालें।
b) अनुकूल परिणामों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
c) परिणाम को सरल भिन्न में बदलें।

Question 7: एक अभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित पर ₹1 जीतता है और प्रत्येक पट पर ₹1.50 हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालां में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं? साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।

Answer:

चूँकि सिक्के को चार बार उछाला गया है। इसलिए, अधिकतम 4 चितया पट आ सकते हैं।
यदि 4 चित आए, तो प्राप्त राशि \( = ₹1 + ₹1 + ₹1 + ₹1 = ₹4 \)
यदि 3 चित और 1 पट आए, तो प्राप्त राशि \( = ₹1 + ₹1 + ₹1 - ₹1.50 = ₹3 - ₹1.50 = ₹1.50 \)
यदि 2 चित और 2 पट आए तो प्राप्त राशि \( = ₹1 + ₹1 - ₹1.50 - ₹1.50 = -₹1 \), अर्थात, \( ₹1 \) की हानि
यदि 1 चित और 3 पट आए तो प्राप्त राशि \( = ₹1 - ₹1.50 - ₹1.50 - ₹1.50 = -₹3.50 \), अर्थात, \( ₹3.50 \) कीहानि
यदि 4 पट आए तो प्राप्त राशि \( = ₹1.50 - ₹1.50 - ₹1.50 - ₹1.50 = -₹6.00 \), अर्थात, \( ₹6.00 \) की हानि
यहाँ, प्रतिदर्श समष्टि \( S \) में \( 2^4 = 16 \) अवयव हैं अर्थात् \( n(S) = 16 \), जो निम्नलिखित हैं:
\( S = \{\text{HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, TTHH, TTTH, TTHT, THTT, THTH, TTTH, TTTT}\} \)
व्यक्ति \( ₹4.00 \) की राशि प्राप्त करता है यदि 4 चित आए अर्थात् घटना \( (\text{HHHH}) \) का होना।
इसलिए, \( P(₹4.00 \) प्राप्त करना \( ) = \frac{1}{16} \)
व्यक्ति \( ₹1.50 \) की राशि प्राप्त करता है यदि 3 चित और एक पट आए अर्थात् घटना \( (\text{HHHT, HHTH, HTHH, THHH}) \) का होना।
इसलिए, \( P(₹1.50 \) प्राप्त करना \( ) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
व्यक्ति को \( ₹1.00 \) की हानि होती है यदि 2 चित और 2 पट आए अर्थात् घटना \( (\text{HHTT, HTHT, HTTH, THTH, TTHH, THTT}) \) का होना।
इसलिए, \( P(-₹1.00 \) की हानि \( ) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)
व्यक्ति को \( ₹3.50 \) की हानि होती है यदि 1 चित और 3 पट आए अर्थात् घटना \( (\text{HTTT, THTT, TTHT, TTTH}) \) का होना।
इसलिए, \( P(-₹3.50 \) की हानि \( ) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
व्यक्ति को \( ₹6.00 \) की हानि होती है यदि 4 पट आए अर्थात् घटना \( (\text{TTTT}) \) का होना।
इसलिए, \( P(-₹6.00 \) की हानि \( ) = \frac{1}{16} \)

मुख्य बिंदु:

• चार सिक्कों को उछालने पर कुल \( 2^4 = 16 \) परिणाम होते हैं।
• चित आने पर लाभ (+) और पट आने पर हानि (-) होती है।
• समान संख्या में चित आने वाले परिणामों की प्रायिकता संयोजित होती है (द्विपद गुणांक के रूप में)।

आम गलतियाँ:

• विभिन्न राशियों की गणना में धन और ऋण चिन्ह की गलती करना।
• प्रत्येक प्रकार के परिणामों (जैसे 3 चित 1 पट) की कुल संख्या गिनने में भूल करना।

Exam Tips:

a) सभी 16 परिणामों को व्यवस्थित रूप से लिखें ताकि कोई छूटे नहीं।
b) चित और पट की संख्या के आधार पर परिणामों को समूहीकृत करें।
c) प्रत्येक प्रायिकता के अंश में अनुकूल परिणामों की सही संख्या लिखें।

Question 8: तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) तीन चित प्रकट होना
(ii) 2 चित प्रकट होना
(iii) न्यूनतम 2 चित प्रकट होना
(iv) अधिकतम 2 चित प्रकट होना
(v) एक भी चित प्रकट न होना
(vi) 3 पट प्रकट होना
(vii) तथ्यतः 2 पट प्रकट होना
(viii) कोई भी पट न प्रकट होना
(ix) अधिकतम 2 पट प्रकट होना

Answer:

यदि तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं तो प्रतिदर्श समष्टि
\( S = \{\text{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}\} \), इसलिए, \( n(S) = 8 \)
हम जानते हैं कि किसी घटना \( A \) की प्रायिकता
\( P(A) = \frac{\text{A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} \)

(i) माना, घटना \( B \) सिक्कों पर 3 चितप्रकट होना है अर्थात् \( B = \{\text{HHH}\} \)
\( P(B) = \frac{\text{B के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8} \)

(ii) माना, घटना \( C \) सिक्कों पर 2 चितप्रकट होना है अर्थात् \( C = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
\( P(C) = \frac{\text{C के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{8} \)

(iii) माना, घटना \( D \) सिक्कों पर कम से कम 2 चितप्रकट होना है अर्थात् \( D = \{\text{HHH, HHT, HTH, THH}\} \)
\( P(D) = \frac{\text{D के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)

(iv) माना, घटना \( E \) सिक्कों पर अधिकतम 2 चितप्रकट होना है
अर्थात् \( E = \{\text{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}\} \)
\( P(E) = \frac{\text{E के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{8} \)

(v) माना, घटना \( F \) सिक्कों पर कोई चित प्रकट न होना है अर्थात् \( F = \{\text{TTT}\} \)
\( P(F) = \frac{\text{F के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8} \)

(vi) माना, घटना \( G \) सिक्कों पर 3 पटप्रकट होना है अर्थात् \( G = \{\text{TTT}\} \)
\( P(G) = \frac{\text{G के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8} \)

(vii) माना, घटना \( H \) सिक्कों पर तथ्यतः 2 पटप्रकट होना है अर्थात् \( H = \{\text{HTT, THT, TTH}\} \)
\( P(H) = \frac{\text{H के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{8} \)

(viii) माना, घटना \( I \) सिक्कों पर कोई पट प्रकट न होना है अर्थात् \( I = \{\text{HHH}\} \)
\( P(I) = \frac{\text{I के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8} \)

(ix) माना, घटना \( J \) सिक्कों पर अधिकतम 2 पट प्रकट होना है
अर्थात् \( J = \{\text{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}\} \)
\( P(J) = \frac{\text{J के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन सिक्के उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि में \( 2^3 = 8 \) अवयव होते हैं।
• 'न्यूनतम' का अर्थ दी गई संख्या या उससे अधिक होता है।
• 'अधिकतम' का अर्थ दी गई संख्या या उससे कम होता है।

आम गलतियाँ:

• 'कम से कम 2 चित' में 3 चित वाले परिणामों को शामिल न करना।
• 'अधिकतम 2 चित' में 0 चित वाले परिणाम (TTT) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) तीनों सिक्कों के सभी 8 परिणामों को पहले ही लिख लें ताकि संदर्भ के लिए आसानी हो।
b) 'न्यूनतम' और 'अधिकतम' शब्दों के सटीक अर्थ को समझकर समुच्चय बनाएँ।
c) अंत में भिन्नों को सरल रूप में लिखना न भूलें।

Question 9: यदि किसी घटना A की प्रायिकता \( \frac{2}{11} \) है तो घटना 'A-नहीं' की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( P(A) = \frac{2}{11} \)
हम जानते हैं: \( P(A) + P(\text{A नहीं}) = 1 \)
\( \Rightarrow \frac{2}{11} + P(\text{A नहीं}) = 1 \)
\( \Rightarrow P(\text{A नहीं}) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11} \)
अतः, घटना 'A नहीं' की प्रायिकता \( \frac{9}{11} \) है।

मुख्य बिंदु:

• किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकता का योग सदैव \( 1 \) होता है।
• \( P(\text{A नहीं}) \) को \( P(A') \) या \( P(\bar{A}) \) भी लिखा जाता है।
• पूरक घटना की प्रायिकता \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \) होती है।

आम गलतियाँ:

• मान को \( 1 \) में से घटाने के बजाय अंश या हर में सीधे घटा देना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) सूत्र \( P(\text{A नहीं}) = 1 - P(A) \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) एक पूर्णांक में से भिन्न घटाने की विधि का सही प्रयोग करें।
c) उत्तर को भिन्न के रूप में ही छोड़ें जब तक दशमलव न पूछा जाए।

Question 10: शब्द 'ASSASSINATION' से एक अक्षर यदृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर
(i) एक स्वर है।
(ii) एक व्यंजन है।

Answer:

शब्द 'ASSASSINATION' में कुल 13 अक्षर हैं। इसलिए \( n(S) = 13 \)
(i) इस शब्द में केवल 6 स्वर हैं (\( A, A, I, A, I, O \))।
\( \therefore P(\text{स्वर}) = \frac{6}{13} \)

(ii) इस शब्द में कुल 7 व्यंजन हैं (\( S, S, S, S, N, T, N \))।
\( \therefore P(\text{व्यंजन}) = \frac{7}{13} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल अक्षरों की गिनती करते समय प्रत्येक वर्ण (पुनरावृत्ति सहित) को गिना जाता है।
• अंग्रेजी वर्णमाला में स्वर (Vowels) A, E, I, O, U होते हैं।
• स्वर और व्यंजन की प्रायिकताओं का योग \( \frac{6}{13} + \frac{7}{13} = 1 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• अद्वितीय (unique) अक्षरों की संख्या गिन लेना और कुल परिणामों को 13 के बजाय कुछ और मान लेना।
• स्वरों और व्यंजनों की गिनती में गलती करना।

Exam Tips:

a) शब्द में कुल अक्षरों की संख्या को गिनकर प्रतिदर्श समष्टि निर्धारित करें।
b) स्वर और व्यंजन को अलग-अलग छाँटकर उनकी संख्या लिखें।
c) दोनों प्रायिकताओं का योग \( 1 \) जाँचकर अपने उत्तर की पुष्टि करें।

Question 11: एक लाटरी में एक व्यक्ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएँ यदृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गई गईः संख्याएँ उन छः संख्याओं से मेल खाती हैं, जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्विनधारित कर रखा है, तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है। लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है? [संकेत: संख्याओं के प्राप्त होने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।]

Answer:

1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न संख्याएँ चुनने के तरीके = \( ^{20}C_6 \)
\( = \frac{20!}{6! (20 - 6)!} = \frac{20!}{6! 14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14!}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 14!} = 38760 \)
इस प्रकार, 6 संख्याओं से बनने वाले कुल 38760 संचय हैं।
इन सभी संચयों में केवल एक अद्वितीय संचय पर ही लाटरी जीती जा सकती है।
अतः, लाटरी जीतने की अभीष्ट प्रायिकता = \( \frac{1}{38760} \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के चयन में क्रम का महत्व नहीं होता, इसलिए संचय (Combination - \( ^nC_r \)) का प्रयोग किया जाता है।
• कुल संचय \( ^{20}C_6 \) ज्ञात किए जाते हैं।
• अनुकूल संचय केवल \( 1 \) होता है (जो समिति द्वारा निर्धारित है)।

आम गलतियाँ:

• संचय (\( ^nC_r \)) के स्थान पर क्रमचय (\( ^nPr \)) का प्रयोग करना।
• फैक्टोरियल को हल करते समय गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) संकेत के अनुसार समझें कि यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, अतः संयोजन सूत्र \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) का प्रयोग करें।
b) अंश और हर में समान फैक्टोरियल को आपस में काटकर सरल करें।
c) प्रायिकता का मान \( \frac{1}{\text{कुल संचय}} \) के रूप में लिखें।

Question 12: जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ \( P(A) \) और \( P(B) \) युक्ति संगत परिभाषित की गई हैं:
(i) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \cap B) = 0.6 \)
(ii) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \cup B) = 0.8 \)

Answer:

(i) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \cap B) = 0.6 \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cap B) \) का मान \( P(A) \) या \( P(B) \) से अधिक नहीं हो सकता हैं।
परंतु दिया है कि \( P(A \cap B) > P(A) \) है।
अतः, \( P(A) \) और \( P(B) \) युक्ति संगत परिभाषित नहीं हैं।

(ii) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \cup B) = 0.8 \)
हम जानते हैं यदि \( E \) और \( F \) घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( E \subset F \), तब \( P(E) \leq P(F) \) होगा।
यहाँ, हम देखते हैं कि \( P(A \cup B) > P(A) \) और \( P(A \cup B) > P(B) \) है।
अतः, \( P(A) \) और \( P(B) \) युक्ति संगत परिभाषित की गई हैं।

मुख्य बिंदु:

• प्रायिकता का नियम है कि \( P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \) ।
• \( P(A \cup B) \) का मान कभी भी व्यक्तिगत प्रायिकताओं \( P(A) \) और \( P(B) \) से कम नहीं हो सकता।
• किसी भी घटना की प्रायिकता \( 0 \) और \( 1 \) के बीच होनी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• प्रायिकता के बुनियादी असमिका नियमों की अनदेखी करना।
• सर्वनिष्ठ (\( \cap \)) और संघ (\( \cup \)) के गुणों को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) जाँच करें कि क्या \( P(A \cap B) \leq P(A) \) और \( P(A \cap B) \leq P(B) \) है।
b) जाँच करें कि क्या \( P(A \cup B) \geq P(A) \) और \( P(A \cup B) \geq P(B) \) है।
c) अपने निष्कर्ष को स्पष्ट कारण के साथ लिखें।

Question 13: निम्नलिखित सरणी में खाली स्थान भरिए:
 \( P(A) \)\( P(B) \)\( P(A \cap B) \)\( P(A \cup B) \)(i)\( \frac{1}{3} \)\( \frac{1}{5} \)\( \frac{1}{15} \)...(ii)\( 0.35 \)...\( 0.25 \)\( 0.6 \)(iii)\( 0.5 \)\( 0.35 \)...\( 0.7 \)

Answer:

(i) यहाँ, \( P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{5}, P(A \cap B) = \frac{1}{15} \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \therefore P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15} \)
\( \Rightarrow P(A \cup B) = \frac{5+3-1}{15} \)
\( \Rightarrow P(A \cup B) = \frac{7}{15} \)

(ii) यहाँ, \( P(A) = 0.35, P(A \cap B) = 0.25, P(A \cup B) = 0.6 \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \therefore 0.6 = 0.35 + P(B) - 0.25 \)
\( \Rightarrow P(B) = 0.6 - 0.35 + 0.25 \)
\( \Rightarrow P(B) = 0.5 \)

(iii) यहाँ, \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.35, P(A \cup B) = 0.7 \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \therefore 0.7 = 0.5 + 0.35 - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = 0.5 + 0.35 - 0.7 \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = 0.15 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रायिकता का मुख्य योग नियम: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) ।
• इस सूत्र में चार राशियाँ होती हैं, जिनमें से कोई भी एक अज्ञात होने पर बाकी तीन की सहायता से निकाली जा सकती है।
• भिन्नों और दशमलव दोनों पर यह नियम समान रूप से लागू होता है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( - P(A \cap B) \) के स्थान पर गलती से \( + \) लगा देना।
• समीकरण को पक्षांतर करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा मूल प्रायिकता सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) लिखें।
b) मानों को सूत्र में रखकर अज्ञात राशि के लिए समीकरण हल करें।
c) भिन्नों के लिए लघुत्तम (LCM) और दशमलव के लिए जोड़-घटाव सावधानी से करें।

Question 14: \( P(A) = \frac{3}{5} \) और \( P(B) = \frac{1}{5} \) दिया गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्ज़ी घटनाएँ हैं, तो \( P(A \) या \( B) \), ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ, \( P(A) = \frac{3}{5}, P(B) = \frac{1}{5} \)
हम जानते हैं कि परस्पर अपवर्ज़ी घटनाओं A और B के लिए: \( P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) \)
\( \therefore P(A \text{ या } B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)

मुख्य बिंदु:

• परस्पर अपवर्ज़ी (Mutually Exclusive) घटनाओं के लिए \( P(A \cap B) = 0 \) होता है।
• 'A या B' का अर्थ \( P(A \cup B) \) होता है।
• ऐसी घटनाओं में सर्वनिष्ठ शून्य होने के कारण सीधे प्रायिकताओं को जोड़ा जाता है।

आम गलतियाँ:

• अपवर्ज़ी घटनाओं में भी सामान्य सूत्र का प्रयोग करके \( P(A \cap B) \) घटाने का प्रयास करना।
• हर समान होने पर भी अंशों को न जोड़ना।

Exam Tips:

a) पहले उल्लेख करें कि चूँकि घटनाएँ परस्पर अपवर्ज़ी हैं, अतः \( P(A \cap B) = 0 \) है।
b) सीधा सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) लागू करें।
c) समान हर वाली भिन्नों को सीधे जोड़कर उत्तर प्राप्त करें।

Question 15: यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( P(E) = \frac{1}{4}, P(F) = \frac{1}{2} \) और \( P(E \text{ और } F) = \frac{1}{8} \), तो ज्ञात कीजिए
(i) \( P(E \text{ या } F) \),
(ii) \( P(\text{E-नहीं और F-नहीं}) \) ।

Answer:

यहाँ, \( P(E) = \frac{1}{4}, P(F) = \frac{1}{2} \) तथा \( P(E \text{ और } F) = \frac{1}{8} \)
(i) हम जानते हैं कि \( P(E \text{ या } F) = P(E) + P(F) - P(E \text{ और } F) \)
\( \therefore P(E \text{ या } F) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \)
\( \Rightarrow P(E \text{ या } F) = \frac{2 + 4 - 1}{8} = \frac{5}{8} \)

(ii) हम जानते हैं कि \( P(\text{E-नहीं और F-नहीं}) = 1 - P(E \text{ या } F) \)
\( \therefore P(\text{E-नहीं और F-नहीं}) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• 'E या F' का अर्थ \( P(E \cup F) \) है और 'E और F' का अर्थ \( P(E \cap F) \) है।
• डी मॉर्गन्स नियम के अनुसार \( P(E' \cap F') = P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F) \) ।
• भिन्नों को जोड़ने और घटाने में लघुत्तम (LCM) का प्रयोग महत्वपूर्ण है।

आम गलतियाँ:

• 'और' तथा 'या' के प्रतीकों (\( \cap \) और \( \cup \)) में भ्रमित होना।
• भाग (ii) में सीधे पूरक निकालने के बजाय गलत संक्रिया करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक भाग के लिए उपयुक्त प्रायिकता सूत्र स्पष्ट लिखें।
b) LCM निकालते समय सावधानी बरतें (यहाँ 4, 2, 8 का LCM 8 है)।
c) चरणों को क्रमिक रूप से हल करें।

Question 16: घटनाएँ E और F इसप्रकार हैं कि \( P(\text{E-नहीं या F-नहीं}) = 0.25 \), बताइए कि E और F परस्पर अपवर्ज़ी हैं या नहीं?

Answer:

दियाहै: \( P(\text{E-नहीं या F-नहीं}) = 0.25 \)
हम जानते हैं कि \( P(\text{E-नहीं या F-नहीं}) = 1 - P(\text{E और F}) \)
\( \therefore 1 - P(\text{E-नहीं या F-नहीं}) = 1 - 0.25 = 0.75 \neq 0 \Rightarrow P(A \cap B) \neq \phi \)
अतः, E और F परस्पर अपवर्ज़ी नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• डी मॉर्गन नियम: \( (\text{E' या F'}) = (\text{E और F})' \) ।
• परस्पर अपवर्ज़ी होने के लिए \( P(E \cap F) = 0 \) होना चाहिए।
• यदि \( P(E \cap F) \neq 0 \) है, तो घटनाएँ अपवर्ज़ी नहीं होती हैं।

आम गलतियाँ:

• 'या' और 'और' के नियमों का गलत रूपांतरण करना।
• अपवर्ज़ी होने की शर्त को गलत समझना।

Exam Tips:

a) डी मॉर्गन के पूरक नियमों का सही उपयोग करें।
b) \( P(E \cap F) \) का मान ज्ञात करके उसकी तुलना शून्य से करें।
c) अंत में स्पष्ट निष्कर्ष लिखें कि घटनाएँ अपवर्ज़ी हैं या नहीं।

Question 17: घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि \( P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 \) और \( P(A \text{ और } B) = 0.16 \). ज्ञात कीजिए:
(i) \( P(\text{A-नहीं}) \),
(ii) \( P(\text{B-नहीं}) \),
(iii) \( P(\text{A या B}) \)

Answer:

दिया है: \( P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A \text{ और } B) = 0.16 \)
(i) \( P(\text{A-नहीं}) = 1 - P(A) = 1 - 0.42 = 0.58 \)

(ii) \( P(\text{B-नहीं}) = 1 - P(B) = 1 - 0.48 = 0.52 \)

(iii) हम जानते हैं कि \( P(\text{A या B}) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) \)
\( \therefore P(\text{A या B}) = 0.42 + 0.48 - 0.16 = 0.74 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी घटना के नहीं होने की प्रायिकता \( 1 - P(A) \) होती है।
• 'A या B' का अर्थ \( P(A \cup B) \) होता है।
• योग नियम में सर्वनिष्ठ प्रायिकता घटाई जाती है।

आम गलतियाँ:

• दशमलव घटाव में स्थानीय मान (decimal place) की गलती करना।
• योग नियम में सर्वनिष्ठ को जोड़ने के बजाय छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-प्रश्न के लिए आवश्यक सूत्र पहले लिखें।
b) दशमलव संख्याओं के जोड़ और घटाव की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
c) अपने उत्तरों को साफ-सुथरे ढंग से प्रस्तुत करें।

Question 18: एक पाठशाला की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% जीव विज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा के 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यदृच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता होगा।

Answer:

माना, घटना A गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों को दर्शाता है और घटना B जीव विज्ञान पढ़ने वाले विद्यार्थियों को दर्शाता है।
\( P(A) = 40\% = 0.40, P(B) = 30\% = 0.30 \) तथा \( P(A \text{ और } B) = 10\% = 0.10 \)
हम जानते हैं कि \( P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) \)
\( \Rightarrow P(A \text{ या } B) = 0.40 + 0.30 - 0.10 = 0.60 \)
अतः, चुने गए विद्यार्थी द्वारा गणित या विज्ञान पढ़ने की प्रायिकता \( 0.6 \) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिशत को दशमलव या भिन्न में बदलना (जैसे 40% = 0.40)।
• 'गणित या जीव विज्ञान' का अर्थ \( P(A \cup B) \) होता है।
• 'दोनों' का अर्थ सर्वनिष्ठ \( P(A \cap B) \) होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत को सीधे जोड़ देना बिना सर्वनिष्ठ (दोनों) को घटाए।
• प्रतिशत को दशमलव में बदलते समय स्थान की भूल करना।

Exam Tips:

a) प्रतिशत के आँकड़ों को पहले दशमलव या भिन्न में बदलें।
b) समुच्चय सिद्धांत के योग सूत्र का सही अनुप्रयोग करें।
c) उत्तर को दशमलव या प्रतिशत दोनों रूपों में व्यक्त कर सकते हैं।

Question 19: एक प्रवेश परीक्षा को दो परीक्षणों के आधार पर श्रेणीबद्ध किया जाता है। किसी यदृच्छया चुने गए विद्यार्थी की पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है। दोनों में से कम से कम एक परीक्षण उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.95 है। दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, घटना A और घटना B क्रमशः पहले और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होना दर्शाता है।
\( P(A) = 0.8, P(B) = 0.7 \) और \( P(A \text{ या } B) = 0.95 \)
हम जानते हैं कि \( P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) \)
\( \therefore 0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A \text{ और } B) \Rightarrow P(A \text{ और } B) = 0.8 + 0.7 - 0.95 = 0.55 \)
अतः, दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता \( 0.55 \) है।

मुख्य बिंदु:

• 'कम से कम एक परीक्षण' का अर्थ \( P(A \cup B) \) होता है।
• 'दोनों परीक्षण' का अर्थ \( P(A \cap B) \) होता है।
• सूत्र का पक्षांतर करके अज्ञात पद ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• मानों को सूत्र में गलत स्थान पर रख देना।
• पक्षांतर करते समय चिन्ह बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए मानों को पहचानकर \( P(A), P(B) \) और \( P(A \cup B) \) के रूप में लिखें।
b) योग सूत्र लिखकर अज्ञात \( P(A \cap B) \) को सूत्र का विषय बनाएँ।
c) गणना की जाँच दो बार करें।

Question 20: एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिंदी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो तो हिंदी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, घटना A और B क्रमशः अंग्रेजी और हिंदी में उत्तीर्ण होना दर्शाती हैं।
\( P(A \text{ और } B) = 0.5, P(\text{A-नहीं और B-नहीं}) = 0.1 \)
हम जानते हैं कि \( P(\text{A-नहीं और B-नहीं}) = 1 - P(A \text{ या } B) \)
\( \therefore 0.1 = 1 - P(A \text{ या } B) \Rightarrow P(A \text{ या } B) = 1 - 0.1 = 0.9 \)
सूत्र \( P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) \) से
\( 0.9 = 0.75 + P(B) - 0.5 \Rightarrow P(B) = 0.9 - 0.75 + 0.5 \Rightarrow P(B) = 0.65 \)
अतः, हिंदी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता \( 0.65 \) है।

मुख्य बिंदु:

• डी मॉर्गन नियम की सहायता से \( P(A \cup B) \) ज्ञात करना।
• दोनों विषयों को उत्तीर्ण न करना \( P(A' \cap B') \) होता है।
• प्रायिकता के योग नियम का क्रमिक उपयोग।

आम गलतियाँ:

• 'कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने' को सीधे \( P(A \cup B) \) मान लेना।
• समीकरण हल करते समय दशमलव के जोड़-घटाव में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले डी मॉर्गन नियम से \( P(A \cup B) \) निकालें।
b) फिर मुख्य योग सूत्र का प्रयोग करके \( P(B) \) ज्ञात करें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से हल करें।

Question 21: एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन. सी. सी. (NCC), 32 ने एन. एस. एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यदृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) विद्यार्थी ने एन. सी. सी. या एन. एस. एस. को चुना है।
(ii) विद्यार्थी ने न तो एन. सी. सी. और न ही एन. एस. एस. को चुना है।
(iii) विद्यार्थी ने एन. एस. एस. को चुना है किंतु एन. सी. सी. को नहीं चुना है।

Answer:

माना, घटना A, NCC चुनने वाले विद्यार्थी और घटना B, NSS चुनने वाले विद्यार्थियों को दर्शाता है।
कुल विद्यार्थी \( = 60 \)
NCC चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या = \( 30 \)
\( \therefore P(A) = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \)
NSS चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या = \( 32 \)
\( \therefore P(B) = \frac{32}{60} = \frac{8}{15} \)
NCC और NSS दोनों चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या = \( 24 \)
\( \therefore P(A \text{ और } B) = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} \)
(i) हम जानते हैं कि \( P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) \)
\( \therefore P(A \text{ या } B) = \frac{1}{2} + \frac{8}{15} - \frac{2}{5} = \frac{15 + 16 - 12}{30} = \frac{19}{30} \)
अतः, NCC या NSS चुनने की प्रायिकता \( \frac{19}{30} \) है।

(ii) \( P(\text{A-नहीं और B-नहीं}) = 1 - P(A \text{ या } B) \)
\( \therefore P(\text{A-नहीं और B-नहीं}) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30} \)
अतः, विद्यार्थी द्वारा न तो NCC और न ही NSS चुनने की प्रायिकता \( \frac{11}{30} \) है।

(iii) NSS चुनने वाले परंतु NCC न चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या = \( n(B) - n(A \cap B) = 32 - 24 = 8 \)
अतः, विद्यार्थियों द्वारा NSS चुनने तथा NCC न चुनने की प्रायिकता = \( \frac{8}{60} = \frac{2}{15} \)

मुख्य बिंदु:

• वेन आरेख या समुच्चय के अंतर (Difference) गुणधर्म का प्रयोग करना।
• 'NSS चुना लेकिन NCC नहीं' का अर्थ समुच्चय \( B - A \) है।
• प्रायिकता निकालते समय अनुकूल परिणामों को कुल परिणामों से भाग देना।

आम गलतियाँ:

• भाग (iii) में केवल NSS की प्रायिकता में से NCC की प्रायिकता सीधे घटा देना (जबकि विद्यार्थियों की संख्या घटाकर प्रायिकता निकालनी चाहिए)।
• भिन्नों के जोड़-घटाव में LCM गलत लेना।

Exam Tips:

a) विद्यार्थियों की संख्या और प्रायिकता दोनों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) भाग (iii) के लिए समुच्चय सिद्धांत \( n(B - A) = n(B) - n(A \cap B) \) का प्रयोग करें।
c) सभी भिन्नों को सरलतम रूप में लिखें।