Step-by-Step Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 14 प्रायिकता
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Question 1: एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं। डिbbe से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि
(i) सभी गोलियाँ नीली हैं?
(ii) कम से कम एक गोली हरी है?
Answer:
कुल गोलियों की संख्या \( = 10 + 20 + 30 = 60 \)
दी गई 60 गोलियों में से 5 गोलियों के चयन करने के कुल तरीके \( = {}^{60}C_5 \)
(i) सभी गोलियाँ नीली तभी हो सकती हैं जब हम 5 गोलियों को 20 नीली गोलियों में से ही निकालें।
दी गई 20 नीली गोलियों में से 5 गोलियाँ निकालने के तरीके \( = {}^{20}C_5 \) होंगे।
अतः, सभी गोलियाँ नीली होने की प्रायिकता \( = \frac{{}^{20}C_5}{{}^{60}C_5} \)
(ii) पाँच गोलियों में से हरी गोली न निकालने के तरीके \( = {}^{20+10}C_5 = {}^{30}C_5 \)
अतः, कम से कम एक गोली हरी होने की प्रायिकता \( = 1 - \frac{{}^{30}C_5}{{}^{60}C_5} \)
मुख्य बिंदु:
• कुल संभावित परिणामों के लिए संचय (\({}^{n}C_r\)) का प्रयोग किया जाता है।
• "कम से कम एक" वाले प्रश्नों में पूरक घटना (complementary event) का उपयोग करना आसान होता है।
• अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
आम गलतियाँ:
• संचय का सूत्र गलत लगाना।
• कुल गोलियों की संख्या जोड़ने में गलती करना।
• पूरक प्रायिकता निकालते समय 1 में से घटाना भूल जाना।
Exam Tips:
a) संचय के मान निकालने के लिए गुणनखंड रूप को ठीक से सरल करें।
b) भाषा वाले प्रश्नों में घटना को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
c) गणना करते समय सावधानी बरतें ताकि गलती न हो।
Question 2: ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गद्दी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता है?
Answer:
ताश के 52 पत्तों में से 4 पत्ते निकालने के तरीके \( = {}^{52}C_4 \)
ताश के 52 पत्तों की गद्दी में 13 ईंट और 13 हुकुम के पत्ते होते हैं।
इसलिए, 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता निकालने के तरीके \( = {}^{13}C_3 \times {}^{13}C_1 \)
अतः, 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता निकलने की प्रायिकता \( = \frac{{}^{13}C_3 \times {}^{13}C_1}{{}^{52}C_4} \)
मुख्य बिंदु:
• ताश की गद्दी में कुल 52 पत्ते, 4 सूट (प्रत्येक में 13 पत्ते) होते हैं।
• 'और' (And) की स्थिति में संचयों का गुणनफल किया जाता है।
• प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)।
आम गलतियाँ:
• ईंट और हुकुम के पत्तों की कुल संख्या में भ्रमित होना।
• योग करने के स्थान पर गुणा न करना या इसके विपरीत करना।
• संयोजन की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) ताश के पत्तों के वर्गीकरण (लाल, काले, ईंट, पान, हुकुम, चिड़ी) को अच्छी तरह याद रखें।
b) परिणाम को भिन्न के रूप में सरलतम रूप में लिखें।
c) सूत्र लिखते समय चरणों को स्पष्ट दर्शाएं।
Question 3: एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या '1', अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या '2' अंकित है और एक फलक पर संख्या '3' अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) P(2)
(ii) P(1 या 3)
(iii) P(3-नहीं)
Answer:
फलकों की कुल संख्या \( = 6 \)
(i) संख्या '2' अंकित वाले फलकों की संख्या \( = 3 \), इसलिए
\( P(2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
(ii) संख्या '1' या '3' अंकित वाले फलकों की संख्या \( = 2 + 1 = 3 \), इसलिए
\( P(1 \text{ या } 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
(iii) \( P(3 \text{ नहीं}) = 1 - P(3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ पासा समसंभाव्य (equally likely) नहीं है क्योंकि फलकों पर संख्याएँ भिन्न प्रकार से अंकित हैं।
• 'या' (Or) की स्थिति में प्रायिकताओं को जोड़ा जाता है (यदि घटनाएँ परस्पर अपर्जी हों)।
• किसी घटना के न होने की प्रायिकता \( P(E') = 1 - P(E) \) होती है।
आम गलतियाँ:
• पासे को सामान्य मानकर हर बार कुल परिणाम 6 मान लेना, लेकिन यहाँ फलकों पर अंक अलग तरह से वितरित हैं।
• 'या' के लिए गुणन नियम का प्रयोग कर देना।
• घटाव में लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि प्रत्येक अंक कितने फलकों पर है।
b) भिन्न को हमेशा न्यूनतम रूप में बदलें।
c) पूरक घटनाओं के सूत्रों का सही जगह प्रयोग करें।
Question 4: एक लाटरी में 10,000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी इनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप (a) एक टिकट खरीदते हैं (b) दो टिकट खरीदते हैं (c) 10 टिकट खरीदते हैं?
Answer:
कुल बेचे गए टिकट \( = 10,000 \)
इनामों की संख्या \( = 10 \)
(a) यदि हम एक टिकट खरीदते हैं:
P (इनाम मिलना) \( = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} \)
P (इनाम न मिलना) \( = 1 - P(\text{इनाम मिलना}) = 1 - \frac{1}{1000} = \frac{999}{1000} \)
(b) यदि हम दो टिकट खरीदते हैं: इनाम न होने वाले टिकटों की संख्या \( = 10000 - 10 = 9990 \)
P (इनाम न मिलना) \( = \frac{{}^{9990}C_2}{{}^{10000}C_2} \)
(c) यदि हम 10 टिकट खरीदते हैं: इनाम न होने वाले टिकटों की संख्या \( = 10000 - 10 = 9990 \)
P (इनाम न मिलना) \( = \frac{{}^{9990}C_{10}}{{}^{10000}C_{10}} \)
मुख्य बिंदु:
• इनाम न मिलने की स्थिति में सभी टिकट बिना इनाम वाले टिकटों में से चुने जाते हैं।
• संचय का प्रयोग करके अनुकूल और कुल तरीकों का अनुपात निकाला जाता है।
• एक टिकट वाले मामले में पूरक प्रायिकता विधि सीधे लगाई जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• बड़े मानों के लिए संचय को पूरा हल करने की कोशिश करना (इसे वैसे ही छोड़ सकते हैं)।
• बिना इनाम वाले टिकटों की संख्या गलत निकालना।
• प्रायिकता 1 से अधिक या 0 से कम लिख देना।
Exam Tips:
a) बड़े संयोजन वाले उत्तरों को मानक संचय रूप में छोड़ा जा सकता है।
b) प्रत्येक भाग (a, b, c) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
c) मूल संकल्पना को ध्यान में रखें।
Question 5: 100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि
(a) आप दोनों एक ही वर्ग में हों?
(b) आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?
Answer:
दिया है: मैं और मेरा मित्र दोनों 100 विद्यार्थियों में शामिल हैं।
दिए गए 100 विद्यार्थियों में से 2 को चुनने के कुल तरीके \( = {}^{100}C_2 \)
(a) यदि मैं और मेरा मित्र एक ही वर्ग में हैं। या तो हम 40 विद्यार्थियों वाले वर्ग में होंगे या फिर 60 विद्यार्थियों वाले वर्ग में।
मेरे और मेरे मित्र के एक ही वर्ग में होने के कुल तरीके \( = {}^{40}C_2 + {}^{60}C_2 \)
अतः, हम दोनों के एक ही वर्ग में होने की प्रायिकता \( = \frac{{}^{40}C_2 + {}^{60}C_2}{{}^{100}C_2} \)
\( = \frac{\frac{40 \times 39}{2} + \frac{60 \times 59}{2}}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{780 + 1770}{4950} = \frac{2550}{4950} = \frac{17}{33} \)
(b) हम दोनों के अलग अलग वर्गों में होने की प्रायिकता \( = 1 - P(\text{दोनों के एक ही वर्ग में होने की प्रायिकता}) \)
\( = 1 - \frac{17}{33} = \frac{16}{33} \)
मुख्य बिंदु:
• विद्यार्थियों के दो समूहों (40 और 60) में चयन करना।
• परस्पर अपर्जी घटनाओं के लिए योग नियम का प्रयोग।
• पूरक घटना का उपयोग करके दूसरे भाग को आसानी से हल करना।
आम गलतियाँ:
• संचय के मानों को हल करने में गणना की त्रुटि करना।
• अलग-अलग वर्गों की प्रायिकता के लिए फिर से लंबा सूत्र लगाना जबकि पूरक विधि आसान है।
• कुल तरीकों में हर में 2 से भाग देना भूल जाना।
Exam Tips:
a) अंश और हर को सरल करते समय उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें।
b) भाग (b) के लिए भाग (a) के परिणाम का सीधे उपयोग करें।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
Question 6: तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है। पत्रों को लिफाfों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया है कि प्रत्येक लिफाфа में एक ही पत्र है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।
Answer:
माना, \( L_1, L_2 \) और \( L_3 \) तीन पत्र तथा \( E_1, E_2 \) और \( E_3 \) तीन लिफाफे हैं। निम्नलिखित 6 तरीकों से 3 पत्र 3 लिफाفों में डाल सकते हैं:
\( S = \{(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3), (L_1E_2, L_2E_1, L_3E_3), (L_1E_3, L_2E_2, L_3E_1), (L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2), (L_1E_2, L_2E_3, L_3E_1), (L_1E_3, L_2E_1, L_3E_2)\} \)
इनमें से 4 निम्नलिखित तरीके हैं जब कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में डाला जाता है:
\( A = \{(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3), (L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2), (L_1E_3, L_2E_2, L_3E_1), (L_1E_2, L_2E_1, L_3E_3)\} \)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
मुख्य बिंदु:
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) में कुल संभव विन्यासों (permutations) की संख्या \( 3! = 6 \) होती है।
• कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में होने का अर्थ है 1 या 3 पत्रों का सही होना।
• अनुकूल परिणामों की गिनती सावधानी से करनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• सभी 6 परिणामों को सही ढंग से न लिख पाना।
• "कम से कम एक" का गलत अर्थ निकालना।
• भिन्न को सरल न करना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के क्रमचय (Derangements) वाले प्रश्नों में प्रतिदर्श समष्टि लिखकर हल करना सुरक्षित रहता है।
b) कुल परिणामों की संख्या \( n! \) होती है।
c) उत्तर को सरल करके लिखें।
Question 7: A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 \) और \( P(A \cap B) = 0.35 \). ज्ञात कीजिए
(i) \( P(A \cup B)
(ii) P(A' \cap B')
(iii) P(A \cap B')
(iv) P(B \cap A') \)
Answer:
दिया है: \( P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A \cap B) = 0.35 \)
(i) सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88 \)
(ii) सूत्र \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) \)
\( P(A' \cap B') = 1 - 0.88 = 0.12 \)
(iii) सूत्र \( P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B') = 0.54 - 0.35 = 0.19 \)
(iv) सूत्र \( P(B \cap A') = P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(B \cap A') = 0.69 - 0.35 = 0.34 \)
मुख्य बिंदु:
• प्रायिकता के योग नियम और डी मॉर्गन के नियमों का प्रयोग किया जाता है।
• \( P(A \cap B') \) का अर्थ है "केवल A घटित होना, B नहीं"।
• दशमलव संख्याओं का जोड़ और घटाव सावधानी से करें।
आम गलतियाँ:
• गलत सूत्रों का प्रयोग करना (जैसे संघ और सर्वनिष्ठ में भ्रम)।
• दशमलव के नीचे दशमलव रखकर न घटाना।
• डी मॉर्गन नियम \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) को भूल जाना।
Exam Tips:
a) सभी मानक प्रायिकता सर्वसमिकाएँ याद रखें।
b) प्रत्येक भाग को सूत्र लिखकर ही हल करें।
c) गणना की जाँच दो बार अवश्य करें।
Question 8: एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन करने के लिए प्रबंध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिखित है:
क्रम, नाम, लिंग, आयु (वर्षों में)
1. हरीश, M, 30
2. रोहन, M, 33
3. शीतल, F, 46
4. एलिस, F, 28
5. सलीम, M, 41
इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की क्या प्रायिकता है?
Answer:
माना, घटना E पुरुष प्रवक्ता पद को दर्शाता है और घटना F प्रवक्ता के 35 वर्ष से अधिक आयु को दर्शाता है।
इसलिए, \( P(E) = \frac{3}{5} \) और \( P(F) = \frac{2}{5} \)
क्योंकि केवल एक ही पुरुष 35 वर्ष से अधिक आयु का है, इसलिए \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} \)
सूत्र, \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \)
\( P(E \cup F) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)
अतः, प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की प्रायिकता \( \frac{4}{5} \) है।
मुख्य बिंदु:
• "या" (OR) का अर्थ यूनियन (\(\cup\)) होता है।
• प्रायिकता के संयोजन सूत्र \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \) का उपयोग।
• दी गई तालिका से अनुकूल परिणामों की संख्या सीधे देखना।
आम गलतियाँ:
• सर्वनिष्ठ भाग \( P(E \cap F) \) को घटाना भूल जाना।
• तालिका से आयु या लिंग को गलत पढ़ना।
• कुल कर्मचारियों की संख्या हर में न लिखना।
Exam Tips:
a) तालिका वाले प्रश्नों को हल करने से पहले डेटा को ध्यान से समझें।
b) घटना E और F को स्पष्ट शब्दों में परिभाषित करें।
c) भिन्नों का हर समान होने पर जोड़ना-घटाना आसान होता है।
Question 9: यदि 0, 1, 3, 5, और 7 अंकों द्वारा 5,000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब, (i) अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए (ii) अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?
Answer:
(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो हजार का स्थान दो अंकों 5 या 7 में से किसी एक से भरा जा सकता है। शेष 3 स्थानों को शेष 4 अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
5000 से बड़ी 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या \( = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48 \)
जब हजार के स्थान पर अंक 5 है, तो इकाई का स्थान केवल 0 से भरा जा सकता है और दहाई और सैकड़ों स्थानों को शेष 3 अंकों में से किसी दो से भरा जा सकता है।
यहाँ, 5 से शुरू होने वाली और 5 से विभाज्य 4 अंकों वाली संख्याओं की संख्या \( = 3 \times 2 = 6 \)
जब हजार के स्थान पर अंक 7 हो, तो इकाई के स्थान को दो तरह से भरा जा सकता है (0 या 5) और दहाई और सैकड़ों स्थानों को शेष 3 अंकों में से किनहीं दो से भरा जा सकता है।
यहाँ, 7 से शुरू होने वाली और 5 से विभाज्य होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 1 \times 2 \times 3 \times 2 = 12 \)
5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हैं \( = 6 + 12 = 18 \)
इस प्रकार, अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होने पर 5 से विभाज्य संख्या बनने की प्रायिकता \( = \frac{18}{48} = \frac{3}{8} \)
(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति होती है, तो 5000 से बड़ी चार अंकों वाली संख्याएँ बनाने के लिए, सबसे बाईं ओर का अंक या तो 7 या 5 होगा। शेष 3 स्थानों को 0, 1, 3, 5 में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है।
5000 से अधिक 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या \( = 2 \times 5 \times 5 \times 5 - 1 = 250 - 1 = 249 \)
[यहाँ, 5000 की गणना नहीं की जा सकती है। इसलिए, कुल योग में से 1 घटाना है]
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई स्थान पर अंक 0 या 5 हो।
5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हैं \( = 2 \times 5 \times 5 \times 2 - 1 = 100 - 1 = 99 \)
अतः, पुनरावृत्ति के साथ, 5 से विभाज्य संख्या बनने की प्रायिकता \( = \frac{99}{249} = \frac{33}{83} \)
मुख्य बिंदु:
• क्रमचय और संयोजन के सिद्धांतों का उपयोग करके कुल संख्याएँ ज्ञात करना।
• संख्या के 5 से विभाज्य होने की शर्त: इकाई का अंक 0 या 5 होना चाहिए।
• 5000 से बड़ी संख्या के लिए हजार के स्थान पर 5 या 7 होना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• पुनरावृत्ति वाले मामले में 5000 को घटाना भूल जाना।
• इकाई के स्थान पर 0 और 5 की स्थितियों को अलग-अलग न गिनना।
• कुल संभव संख्याएँ गलत निकालना।
Exam Tips:
a) स्थान मान (Place value) विधि का प्रयोग करके बॉक्स बनाकर हल करें।
b) विभाज्य होने के नियमों को स्पष्ट रूप से ध्यान में रखें।
c) गणना को धैर्यपूर्वक हल करें ताकि गलती न हो।
Question 10: किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से लेकर 9 तक अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?
Answer:
दिया है: ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं।
10 में से 4 संख्याओं को चुनने के तरीके \( = {}^{10}C_4 \)
इन 4 संख्याओं से बनने वाले क्रमचयों की संख्या \( = 4! \)
इसलिए, बिना पुनरावृत्ति के, चार अंकों से बनने वाले सभी तरीके \( = {}^{10}C_4 \times 4! = 5040 \)
केवल एक ही तरीका है जो अटैची खोलने के लिए सही है।
अतः, अटैची खोलने की अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{1}{5040} \)
मुख्य बिंदु:
• 4 अंकों का विशिष्ट क्रम यानी क्रमचय (Permutation) का प्रयोग।
• कुल संभव परिणामों की संख्या \( {}^{10}P_4 \) या \( {}^{10}C_4 \times 4! \) होती है।
• सही संयोजन केवल 1 ही होता है।
आम गलतियाँ:
• संचय और क्रमचय में अंतर न समझकर केवल संचय निकाल कर छोड़ देना।
• कुल अंकों की संख्या 10 के स्थान पर 9 मान लेना।
• प्रायिकता में अनुकूल परिणाम 1 के स्थान पर कुछ और लिख देना।
Exam Tips:
a) जहाँ क्रम (Order) महत्वपूर्ण हो, वहाँ क्रमचय का प्रयोग करें।
b) गुणनफल को ध्यान से हल करें (\( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \))।
c) अंतिम उत्तर भिन्न के रूप में लिखें।
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NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 14 प्रायिकता
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