NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 14 प्रायिकता
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Question 1: एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E "पासे पर संख्या 4 दर्शाता है" और घटना F "पासे पर सम संख्या दर्शाता" है। क्या E और F परस्पर अपवर्जित हैं?
Answer:
एक पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) है।
घटना E के अनुकूल परिणाम: \( E = \{4\} \)
घटना F के अनुकूल परिणाम: \( F = \{2, 4, 6\} \)
अब, दोनों घटनाओं का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करने पर:
\( E \cap F = \{4\} \neq \emptyset \)
चूँकि \( E \cap F \) रिक्त समुच्चय नहीं है, इसलिए घटनाएँ E और F परस्पर अपवर्जित नहीं हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जित कहलाती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय हो।
• यहाँ \( E \cap F \) में अवयव 4 उभयनिष्ठ है।
• प्रतिदर्श समष्टि में कुल 6 परिणाम होते हैं।
आम गलतियाँ:
• केवल एक घटना को देखकर निष्कर्ष निकाल लेना।
• सर्वनिष्ठ समुच्चय ठीक से न निकालना।
• रिक्त समुच्चय \( \emptyset \) और शून्य (0) में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) परस्पर अपवर्जित घटनाओं के लिए हमेशा \( A \cap B = \emptyset \) सिद्ध करें।
b) प्रतिदर्श समष्टि स्पष्ट रूप से लिखें।
c) परिभाषा के अनुसार अपना उत्तर तर्कसंगत बनाएँ।
Question 2: एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A: संख्या 7 से कम है।
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C: संख्या 3 का गुणज है।
(iv) D: संख्या 4 से कम है।
(v) E: 4 से बड़ी सम संख्या है।
(vi) F: संख्या 3 से कम नहीं है।
\( A \cup B, A \cap B, E \cup F, D \cap E, A - C, D - E, F', E \cap F' \) भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) है।
घटनाओं का वर्णन:
(i) \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(ii) \( B = \emptyset \)
(iii) \( C = \{3, 6\} \)
(iv) \( D = \{1, 2, 3\} \)
(v) \( E = \{6\} \)
(vi) \( F = \{3, 4, 5, 6\} \)
अब विभिन्न समुच्चयों के संक्रियाओं के मान:
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( A \cap B = \emptyset \)
\( A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( D \cap E = \emptyset \)
\( A - C = \{1, 2, 4, 5\} \)
\( D - E = \{1, 2, 3\} \)
\( F' = \{1, 2\} \)
\( E \cap F' = \emptyset \)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय सिद्धांत के बुनियादी नियमों का प्रयोग किया गया है।
• रिक्त समुच्चय \( \emptyset \) किसी भी घटना के संभव न होने को दर्शाता है।
• अंतर समुच्चय \( A - C \) में वे अवयव आते हैं जो A में हैं लेकिन C में नहीं।
आम गलतियाँ:
• पूरक समुच्चय (Complement) निकालते समय प्रतिदर्श समष्टि के तत्वों को भूल जाना।
• अंतर निकालते समय गलत क्रम में घटाना।
• रिक्त समुच्चय को गलत तरीके से लिखना।
Exam Tips:
a) सभी उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करते समय प्रतिदर्श समष्टि की सीमा का ध्यान रखें।
b) संघ (Union) और सर्वनिष्ठ (Intersection) के प्रतीकों में अंतर स्पष्ट रखें।
c) प्रत्येक उप-भाग को क्रमानुसार हल करें ताकि कोई छूटे नहीं।
Question 3: एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासां पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जित हैं?
Answer:
जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में कुल 36 परिणाम होते हैं:
\( S = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\} \)
दी गई घटनाओं के अनुकूल परिणाम:
\( A = \{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\} \)
\( B = \{(2,2)\} \)
\( C = \{(3,4), (4,5), (5,4), (6,3), (3,6), (6,6)\} \)
अब युग्मों के सर्वनिष्ठ की जाँच:
\( A \cap B = \emptyset \)
\( B \cap C = \emptyset \)
\( A \cap C = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\} \neq \emptyset \)
अतः, घटनाएँ A और B तथा B और C परस्पर अपवर्जित हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो पासों के फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि में 36 अवयव होते हैं।
• परस्पर अपवर्जित युग्म वे होते हैं जिनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय हो।
• शर्तों को ध्यानपूर्वक पढ़कर ही समुच्चय बनाएँ।
आम गलतियाँ:
• "योग 8 से अधिक" में 8 को शामिल कर लेना।
• "कम से कम 7" में 7 से कम योग वाले मान ले लेना।
• सभी संभावित युग्मों की जाँच न करना।
Exam Tips:
• ऐसे प्रश्नों में सभी संभव परिणामों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
• योग से संबंधित शर्तों को ध्यान से पढ़ें (जैसे: अधिक, कम से कम)।
• अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि कौन से युग्म अपवर्जित हैं।
Question 4: तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए घटना 'तीन चित दिखाना' को A से, घटना 'दो चित और एक पट दिखाना' को B से और घटना 'पहले सिक्के पर चित दिखाना' को C से और घटना 'पहले सिक्के पर पट दिखाना' को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन सी घटनाएँ
(i) परस्पर अपवर्जित हैं?
(ii) सरल हैं?
(iii) मिश्र हैं?
Answer:
तीन सिक्कों को एक बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\} \)
दी गई घटनाओं के अनुकूल परिणाम:
\( A = \{HHH\} \)
\( B = \{HHT, HTH, THH\} \)
\( C = \{HHH, HHT, HTH, HTT\} \)
\( D = \{THH, THT, TTH, TTT\} \)
(i) परस्पर अपवर्जित घटनाएँ वे हैं जिनका सर्वनिष्ठ रिक्त हो:
\( A \cap B = \emptyset \)
\( A \cap C = \{HHH\} \neq \emptyset \)
\( A \cap D = \emptyset \)
\( B \cap C = \emptyset \)
\( B \cap D = \{HHT, HTH\} \neq \emptyset \)
\( C \cap D = \emptyset \)
अतः परस्पर अपवर्जित युग्म (A, B), (A, D), (B, C) और (C, D) हैं।
(ii) सरल घटनाएँ (Simple events) वे हैं जिनमें केवल एक अवयव हो:
यहाँ घटना A एक सरल घटना है क्योंकि \( A = \{HHH\} \) ।
(iii) मिश्र घटनाएँ (Compound events) वे हैं जिनमें एक से अधिक अवयव हों:
घटनाएँ B, C और D मिश्र घटनाएँ हैं।
मुख्य बिंदु:
• सरल घटना में ठीक एक प्रतिदर्श बिंदु होता है।
• मिश्र घटना में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु होते हैं।
• परस्पर अपवर्जित होने के लिए दोनों का सर्वनिष्ठ शून्य होना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• सरल और मिश्र घटना की परिभाषा में भ्रमित होना।
• सभी संभव जोड़ों का सर्वनिष्ठ न निकालना।
• सिक्कों के परिणामों (H और T) को गलत लिखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग का उत्तर देने से पहले सभी घटनाओं के समुच्चय स्पष्ट रूप से लिख लें।
b) परिभाषाओं (सरल, मिश्र, अपवर्जित) को अपने उत्तर में उद्धृत करें।
c) चरणों को सिलसिलेवार हल करें।
Question 5: तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए:
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित और निःशेष हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।
Answer:
तीन सिक्कों को एक बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\} \)
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं:
A: एकभी चित न होना (\( A = \{TTT\} \))
B: एक भी पट न होना (\( B = \{HHH\} \))
चूँकि \( A \cap B = \emptyset \), अतः ये परस्पर अपवर्जित हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित और निःशेष (exhaustive) हैं:
A: एकभी चित न होना (\( A = \{TTT\} \))
B: केवल एक चित प्राप्त करना (\( B = \{HHT, HTH, THH\} \))
C: कम से कम दो चित प्राप्त करना (\( C = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \))
यहाँ \( A \cup B \cup C = S \) और सभी युग्म परस्पर अपवर्जित हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित नहीं हैं:
A: तीन चित प्राप्त करना (\( A = \{HHH\} \))
B: कम से कम 2 चित प्राप्त करना (\( B = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \))
चूँकि \( A \cap B = \{HHH\} \neq \emptyset \), ये अपवर्जित नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं किंतु निःशेष नहीं हैं:
A: केवल एक चित प्राप्त करना (\( A = \{HHT, HTH, THH\} \))
B: केवल एक पट प्राप्त करना (\( B = \{HHT, HTH, THH\} \) - गलत, माना B = {TTT})
यहाँ सही युग्م: A = {HHT, HTH, THH}, B = {TTT}, जिनका सर्वनिष्ठ रिक्त है पर संघ पूरा S नहीं है।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जित हैं किंतु निःशेष नहीं हैं:
A: तीन चित प्राप्त करना (\( A = \{HHH\} \))
B: एक चित और दो पट प्राप्त करना (\( B = \{HTT, THT, TTH\} \))
C: दो चित और एक पट प्राप्त करना (\( C = \{HHT, HTH, THH\} \))
यहाँ तीनों का सर्वनिष्ठ रिक्त है लेकिन संघ S के बराबर नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• निःशेष घटनाएँ वे होती हैं जिनका संघ (Union) पूरा प्रतिदर्श समष्टि S हो।
• परस्पर अपवर्जित घटनाओं का सर्वनिष्ठ रिक्त होता है।
• एक ही प्रतिदर्श समष्टि से कई प्रकार की घटनाएँ बनाई जा सकती हैं।
आम गलतियाँ:
• निःशेष (Exhaustive) और अपवर्जित (Mutually Exclusive) की शर्तों को मिला देना।
• समुच्चयों का संघ निकालते समय गलती करना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में अपनी ओर से सही घटनाएँ मानकर उन्हें सिद्ध करना होता है।
b) परिभाषाओं की गणितीय शर्तों (\( A \cap B = \emptyset \) और \( \cup = S \)) का पालन करें।
c) उत्तर को छोटे-छोटे बिंदुओं में समझाएँ।
Question 6: दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासां पर प्राप्त संख्याओं का योग \( \le 5 \) होना।
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A'
(ii) B-नहीं
(iii) A या B
(iv) A और B
(v) A किंतु नहीं
(vi) B या C
(vii) B और C
(viii) \( A \cap B' \cap C' \)
Answer:
दो पासों को फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि S में 36 परिणाम होते हैं:
\( S = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\} \)
दी गई घटनाएँ हैं:
\( A = \{(2,1), (2,2), \dots, (6,6)\} \)
\( B = \{(1,1), (1,2), \dots, (5,6)\} \)
\( C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\} \)
(i) \( A' = B = \text{पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना} \)
(ii) \( B\text{-नहीं} = A = \text{पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना} \)
(iii) \( A \text{ या } B = A \cup B = S \)
(iv) \( A \text{ और } B = A \cap B = \emptyset \)
(v) A किंतु नहीं = \( A - C = \{(2,4), (2,5), (2,6), (4,2), \dots, (6,6)\} \)
(vi) B या C = \( B \cup C = B \)
(vii) B और C = \( B \cap C = C \)
(viii) \( A \cap B' \cap C' = A \cap A \cap C' = A - C \)
मुख्य बिंदु:
• 'या' (Or) का अर्थ संघ (Union) होता है।
• 'और' (And) का अर्थ सर्वनिष्ठ (Intersection) होता है।
• 'नहीं' (Not) पूरक (Complement) को दर्शाता है।
आम गलतियाँ:
• प्रतीकों का अर्थ गलत समझ लेना।
• समुच्चय संचालन में युग्मों को छोड़ देना।
• भाषा को गणितीय रूप में बदलते समय गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग के लिए समुच्चय प्रतीकों का सही उपयोग करें।
b) बड़े समुच्चयों को लिखते समय पैटर्न का ध्यान रखें।
c) तार्किक रूप से उत्तर की जाँच करें।
Question 7: उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
(i) A और B परस्पर अपवर्जित हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जित और निःशेष हैं।
(iii) A = B'
(iv) A और C परस्पर अपवर्जित हैं।
(v) A और B' परस्पर अपवर्जित हैं।
(vi) A', B', C परस्पर अपवर्जित और निःशेष घटनाएँ हैं।
Answer:
प्रश्न 6 के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि S और घटनाएँ A, B, C दी गई हैं।
(i) सत्य, क्योंकि \( A \cap B = \emptyset \) ।
(ii) सत्य, क्योंकि \( A \cap B = \emptyset \) और \( A \cup B = S \) ।
(iii) सत्य, क्योंकि पहले पासे पर सम संख्या न होना अर्थात विषम संख्या होना है, जो B है।
(iv) असत्य, क्योंकि \( A \cap C = \{(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)\} \neq \emptyset \) ।
(v) असत्य, क्योंकि \( B' = A \), अतः \( A \cap B' = A \cap A = A \neq \emptyset \) ।
(vi) असत्य, क्योंकि \( B' \cap C = A \cap C \neq \emptyset \), इसलिए ये परस्पर अपवर्जित नहीं हैं।
मुख्य बिंदु:
• सत्य/असत्य बताने के लिए गणितीय कारण देना अनिवार्य है।
• परस्पर अपवर्जित के लिए सर्वनिष्ठ रिक्त होना चाहिए।
• निःशेष के लिए सभी घटनाओं का संघ S होना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• बिना कारण बताए सीधे सत्य या असत्य लिख देना।
• सर्वनिष्ठ की गणना में त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक कथन की सत्यता की जाँच परिभाषा के अनुसार करें।
b) कारण में उपयुक्त समुच्चय संबंध (\( \cap \) या \( \cup \)) अवश्य दर्शाएँ।
c) अपने उत्तर को स्पष्ट और संक्षिप्त रखें।
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