Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 13 सांख्यिकी
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 13 सांख्यिकी
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Question 1: आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 हैं। यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12 और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना शेष दो प्रेक्षण \( x \) और \( y \) हैं।
दिए गए कुल प्रेक्षणों की संख्या \( n = 8 \)
माध्य \( \bar{x} = 9 \) और प्रसरण \( \sigma^2 = 9.25 \)
माध्य का सूत्र उपयोग करने पर:
\( \bar{x} = \frac{6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y}{8} = 9 \)
\( \Rightarrow 60 + x + y = 72 \)
\( \Rightarrow x + y = 12 \quad \text{--- (1)} \)
प्रसरण का सूत्र उपयोग करने पर:
\( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \)
\( \Rightarrow 9.25 = \frac{1}{8} [(6-9)^2 + (7-9)^2 + (10-9)^2 + (12-9)^2 + (12-9)^2 + (13-9)^2 + (x-9)^2 + (y-9)^2] \)
\( \Rightarrow 9.25 = \frac{1}{8} [9 + 4 + 1 + 9 + 9 + 16 + x^2 + y^2 - 18(x + y) + 162] \)
समीकरण (1) से \( (x + y) = 12 \) रखने पर:
\( \Rightarrow 9.25 = \frac{1}{8} [48 + x^2 + y^2 - 216 + 162] \)
\( \Rightarrow 9.25 = \frac{1}{8} [x^2 + y^2 - 6] \)
\( \Rightarrow x^2 + y^2 = 80 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) का वर्ग करने पर:
\( (x + y)^2 = 144 \)
\( \Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = 144 \quad \text{--- (3)} \)
समीकरण (2) और (3) से:
\( 2xy = 64 \quad \text{--- (4)} \)
अब \( (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \) का उपयोग करने पर:
\( (x - y)^2 = 80 - 64 = 16 \)
\( \Rightarrow x - y = \pm 4 \quad \text{--- (5)} \)
समीकरण (1) और (5) को हल करने पर:
यदि \( x - y = 4 \), तब \( x = 8 \) और \( y = 4 \)
यदि \( x - y = -4 \), तब \( x = 4 \) और \( y = 8 \)
अतः, शेष दो प्रेक्षण 4 और 8 हैं।
मुख्य बिंदु:
• माध्य और प्रसरण के मूल सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
• अज्ञात राशियों को निकालने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया जाता है।
• समीकरणों के निकाय को हल करके मान प्राप्त किए जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• प्रसरण के सूत्र में वर्ग करना भूल जाना।
• माध्य के योग में मान गलत रखना।
• समीकरण हल करते समय चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) सभी चरणों को क्रमानुसार लिखें ताकि गणना में भूल न हो।
b) बीजगणितीय सूत्रों जैसे \( (x+y)^2 \) और \( (x-y)^2 \) का सही उपयोग करें।
c) अंतिम उत्तर की जाँच दिए गए माध्य में मान रखकर कर सकते हैं।
Question 2: साथ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 तथा 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना शेष दो प्रेक्षण \( x \) और \( y \) हैं।
कुल प्रेक्षणों की संख्या \( n = 7 \)
माध्य \( \bar{x} = 8 \) और प्रसरण \( \sigma^2 = 16 \)
माध्य का सूत्र उपयोग करने पर:
\( \bar{x} = \frac{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + x + y}{7} = 8 \)
\( \Rightarrow 42 + x + y = 56 \)
\( \Rightarrow x + y = 14 \quad \text{--- (1)} \)
प्रसरण का सूत्र उपयोग करने पर:
\( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{7} (x_i - \bar{x})^2 \)
\( \Rightarrow 16 = \frac{1}{7} [(2-8)^2 + (4-8)^2 + (10-8)^2 + (12-8)^2 + (14-8)^2 + (x-8)^2 + (y-8)^2] \)
\( \Rightarrow 16 = \frac{1}{7} [36 + 16 + 4 + 16 + 36 + x^2 + y^2 - 16(x + y) + 128] \)
समीकरण (1) से \( (x + y) = 14 \) रखने पर:
\( \Rightarrow 16 = \frac{1}{7} [236 + x^2 + y^2 - 224] \)
\( \Rightarrow 16 = \frac{1}{7} [12 + x^2 + y^2] \)
\( \Rightarrow x^2 + y^2 = 100 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) का वर्ग करने पर:
\( (x + y)^2 = 196 \)
\( \Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = 196 \quad \text{--- (3)} \)
समीकरण (2) और (3) से:
\( 2xy = 96 \quad \text{--- (4)} \)
अब \( (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \) का उपयोग करने पर:
\( (x - y)^2 = 100 - 96 = 4 \)
\( \Rightarrow x - y = \pm 2 \quad \text{--- (5)} \)
समीकरण (1) और (5) को हल करने पर:
यदि \( x - y = 2 \), तब \( x = 8 \) और \( y = 6 \)
यदि \( x - y = -2 \), तब \( x = 6 \) और \( y = 8 \)
अतः, शेष दो प्रेक्षण 6 और 8 हैं।
मुख्य बिंदु:
• सात प्रेक्षणों के लिए समान विधि का प्रयोग किया गया है।
• समीकरणों को रैखिक और द्विघात रूप में हल किया जाता है।
• प्रेक्षणों के मान धनात्मक या ऋणात्मक दोनों स्थितियों में समान आते हैं।
आम गलतियाँ:
• वर्ग गणना में जोड़ या घटाव की गलती करना।
• सूत्र में प्रेक्षणों की संख्या \( n \) गलत रखना।
• समीकरण हल करते समय चिह्न की अशुद्धि।
Exam Tips:
a) सभी चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
b) गणना की बार-बार जाँच करें।
c) अंतिम परिणाम स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 3: छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दिए गए प्रेक्षण \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \) हैं।
दिया है: माध्य \( \bar{x} = 8 \) और मानक विचलन \( \sigma = 4 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{6} = 8 \quad \text{--- (1)} \)
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए, तो नए प्रेक्षण \( y_i = 3x_i \) होंगे।
नया माध्य \( \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6}{6} \)
\( \bar{y} = \frac{3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 3x_6}{6} \)
\( \bar{y} = 3 \times \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{6}\right) = 3 \times 8 = 24 \)
मानक विचलन \( \sigma = 4 \Rightarrow \sigma^2 = 16 \)
प्रसरण का सूत्र:
\( \sum_{i=1}^{6} (x_i - \bar{x})^2 = 16 \times 6 = 96 \quad \text{--- (2)} \)
नए प्रेक्षणों का प्रसरण:
\( \sigma_1^2 = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} (y_i - \bar{y})^2 \)
चूँकि \( y_i = 3x_i \) और \( \bar{y} = 3\bar{x} \), इसलिए \( (y_i - \bar{y})^2 = 9(x_i - \bar{x})^2 \)
\( \sigma_1^2 = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} 9(x_i - \bar{x})^2 = \frac{9}{6} \times 96 = 9 \times 16 = 144 \)
अतः, नए प्रेक्षणों का मानक विचलन \( \sqrt{144} = 12 \) है।
मुख्य बिंदु:
• किसी संख्या से प्रेक्षणों को गुणा करने पर माध्य भी उसी संख्या से गुना हो जाता है।
• मानक विचलन गुणा करने वाली संख्या के मापांक से गुना हो जाता है।
• प्रसरण गुणा की गई संख्या के वर्ग से गुना हो जाता है।
आम गलतियाँ:
• मानक विचलन में सीधे 3 से गुणा करना (जबकि यह प्रसरण पर वर्ग प्रभाव डालता है)।
• माध्य के परिवर्तन को सही से न समझना।
• सूत्रों के मान में गणना की त्रुटि।
Exam Tips:
a) गुणधर्मों को याद रखें ताकि प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचे।
b) लिखित परीक्षा में पूरे व्युत्पत्ति चरण दिखाएं।
c) मानक विचलन और प्रसरण के अंतर को स्पष्ट रखें।
Question 4: यदि \( n \) प्रेक्षणों \( x_1, x_2, \dots, x_n \) का माध्य \( \bar{x} \) तथा प्रसरण \( \sigma^2 \) हैं तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों \( ax_1, ax_2, ax_3, \dots, ax_n \) का माध्य और प्रसरण क्रमशः \( a\bar{x} \) तथा \( a^2\sigma^2 \) (\( a \neq 0 \)) हैं।
Answer:
दिए गए \( n \) प्रेक्षणों \( x_1, x_2, \dots, x_n \) का माध्य \( \bar{x} \) तथा प्रसरण \( \sigma^2 \) है।
\( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \quad \text{--- (1)} \)
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को \( a \) से गुणा किया जाए, तो नए प्रेक्षण \( y_i = ax_i \) हैं।
नया माध्य \( \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ax_i = a \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\right) = a\bar{x} \)
अब नए प्रेक्षणों का प्रसरण \( \sigma_1^2 \) ज्ञात करने के लिए:
\( \sigma_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 \)
\( \sigma_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (ax_i - a\bar{x})^2 \)
\( \sigma_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^2(x_i - \bar{x})^2 \)
\( \sigma_1^2 = a^2 \left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\right] \)
समीकरण (1) से मान रखने पर:
\( \sigma_1^2 = a^2 \sigma^2 \)
अतः, नए प्रेक्षणों का माध्य \( a\bar{x} \) तथा प्रसरण \( a^2\sigma^2 \) है।
मुख्य बिंदु:
• यह एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक प्रश्न है।
• योग के गुणधर्म से स्थिरांक को बाहर निकाला जा सकता है।
• प्रसरण में स्थिरांक का वर्ग बाहर आता है।
आम गलतियाँ:
• प्रसरण में \( a \) का वर्ग करना भूल जाना।
• माध्य में \( a \) से गुणा न करना।
• Σ (सिग्मा) के संकेतों का सही प्रयोग न करना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के उपपत्ति वाले प्रश्नों में प्रत्येक पद को विस्तार से लिखें।
b) कोष्ठक और वर्ग चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 5: बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जाँच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि:
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।
Answer:
प्रेक्षणों की संख्या \( n = 20 \), गलत माध्य \( \bar{x} = 10 \), गलत मानक विचलन \( \sigma = 2 \)
गलत प्रेक्षणों का योग \( = 20 \times 10 = 200 \)
(i) जब गलत प्रेक्षण हटा दिया जाता है:
शेष प्रेक्षणों की संख्या \( n = 19 \)
सही योग \( = 200 - 8 = 192 \)
सही माध्य \( = \frac{192}{19} \approx 10.105 \)
गलत प्रसरण \( \sigma^2 = 4 \)
मानक विचलन के सूत्र से: \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 \)
\( 4 = \frac{1}{20} (\text{गलत } \sum x_i^2) - (10)^2 \)
\( \Rightarrow \text{गलत } \sum x_i^2 = 20 \times (4 + 100) = 2080 \)
सही \( \sum x_i^2 = \text{गलत } \sum x_i^2 - (8)^2 = 2080 - 64 = 2016 \)
सही मानक विचलन \( = \sqrt{\frac{\text{सही } \sum x_i^2}{19} - (\text{सही माध्य})^2} = \sqrt{\frac{2016}{19} - (10.105)^2} \approx 2.02 \)
(ii) जब प्रेक्षण 8 को 12 से बदल दिया जाता है:
प्रेक्षणों की संख्या \( n = 20 \)
सही योग \( = 200 - 8 + 12 = 204 \)
सही माध्य \( = \frac{204}{20} = 10.2 \)
सही \( \sum x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160 \)
सही मानक विचलन \( = \sqrt{\frac{2160}{20} - (10.2)^2} = \sqrt{108 - 104.04} = \sqrt{3.96} \approx 1.98 \)
मुख्य बिंदु:
• गलत आँकड़े को हटाने और बदलने के दोनों मामलों में योग और वर्गों के योग में परिवर्तन होता है।
• \( \sum x_i^2 \) के मान से ही सही मानक विचलन निकाला जाता है।
• गणना में दशमलव के बाद दो अंकों तक शुद्धता रखें।
आम गलतियाँ:
• गलत \( \sum x_i^2 \) निकालते समय वर्ग करना भूल जाना।
• \( n \) के मान में बदलाव (हटाने पर 19 और बदलने पर 20) का ध्यान न रखना।
• वर्गमूल निकालते समय गणना त्रुटि।
Exam Tips:
a) दोनों भागों (i) और (ii) को अलग-अलग व स्पष्ट रूप से हल करें।
b) सूत्र \( \sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) \) का प्रयोग करना आसान होता है।
c) अंतिम चरणों में लघुगणक या वर्गमूल सावधानी से निकालें।
Question 6: 100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण 21, 21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रेक्षणों की संख्या \( n = 100 \)
गलत माध्य \( \bar{x} = 20 \), मानक विचलन \( \sigma = 3 \)
प्रेक्षणों का कुल गलत योग \( = 100 \times 20 = 2000 \)
गलत प्रेक्षण 21, 21 और 18 हैं। इन्हें हटाने पर:
प्रेक्षणों की संख्या \( n = 100 - 3 = 97 \)
सही योग \( = 2000 - 21 - 21 - 18 = 2000 - 60 = 1940 \)
सही माध्य \( = \frac{1940}{97} = 20 \)
प्रसरण \( \sigma^2 = 9 \) होने पर गलत \( \sum x_i^2 \) ज्ञात करना:
\( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 \)
\( 3^2 = \frac{1}{100} (\text{गलत } \sum x_i^2) - (20)^2 \)
\( \Rightarrow 9 = \frac{1}{100} (\text{गलत } \sum x_i^2) - 400 \)
\( \Rightarrow \text{गलत } \sum x_i^2 = 100 \times 409 = 40900 \)
सही \( \sum x_i^2 = 40900 - (21^2 + 21^2 + 18^2) \)
\( = 40900 - (441 + 441 + 324) = 40900 - 1206 = 39694 \)
सही मानक विचलन \( = \sqrt{\frac{39694}{97} - (20)^2} = \sqrt{409.216 - 400} = \sqrt{9.216} \approx 3.036 \)
मुख्य बिंदु:
• तीन प्रेक्षणों को एक साथ हटाया गया है, इसलिए योग में से तीनों के मान और वर्गों के योग में से तीनों के वर्गों को घटाया गया है।
• नई संख्या \( n = 97 \) का प्रयोग किया गया है।
• वर्गमूल की गणना सटीकता से करनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• केवल एक प्रेक्षण हटाकर गणना करना जबकि तीन प्रेक्षण गलत हैं।
• \( \sum x_i^2 \) में से केवल मान घटाना, वर्ग न करना।
• \( n \) के मान को 100 ही रखना।
Exam Tips:
a) प्रेक्षण हटाने पर \( n \) के मान में हुई कमी को न भूलें।
b) बड़े अंकों की गणना करते समय केल्कुलेशन दो बार चेक करें।
c) मानक विचलन के सूत्र में सही मान ही प्रतिस्थापित करें।
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