Step-by-Step Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 13 सांख्यिकी
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Question 1: आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए: 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12
Answer:
दिए गए प्रेक्षण हैं: \( 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 8 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{8} x_i}{n} \)
\( = \frac{6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12}{8} \)
\( = \frac{72}{8} = 9 \)
अब प्रसरण \( (\sigma^2) \) निकालने के लिए सारणी बनाते हैं:
\( (x_i - \bar{x}) \) के मान: \( -3, -2, 1, 3, 4, -5, -1, 3 \)
\( (x_i - \bar{x})^2 \) के मान: \( 9, 4, 1, 9, 16, 25, 1, 9 \)
इन वर्गों का योग \( \sum_{i=1}^{8} (x_i - \bar{x})^2 = 74 \)
प्रसरण \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{8} (x_i - \bar{x})^2 \)
\( = \frac{1}{8} \times 74 = 9.25 \)
मुख्य बिंदु:
• माध्य ज्ञात करने के लिए सभी प्रेक्षणों के योग को कुल प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करते हैं।
• प्रसरण निकालने के लिए प्रत्येक प्रेक्षण में से माध्य को घटाकर उसका वर्ग निकालते हैं।
• सभी वर्गों के योग को कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर प्रसरण प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• माध्य की गणना में प्रेक्षणों को जोड़ते समय गलती करना।
• ऋणात्मक विचलन का वर्ग करते समय धनात्मक चिह्न न लगाना।
• सूत्र में प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n \) से भाग देना भूल जाना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में गणना को स्पष्ट दिखाने के लिए हमेशा एक व्यवस्थित सारणी (Table) का उपयोग करें।
b) माध्य और प्रसरण दोनों के मानक सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) दशमलव के दो स्थानों तक गणना को सही प्रकार से हल करें।
Question 2: आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए: प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याएँ
Answer:
प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याएँ हैं: \( 1, 2, 3, \dots, n \)
आँकड़ों का योग \( = \frac{n(n+1)}{2} \)
आँकड़ों की संख्या \( = n \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{\text{आँकड़ों का योग}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)
\( = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2} \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \)
\( = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(i - \frac{n+1}{2}\right)^2 \)
इसे हल करने पर प्रसरण का सूत्र प्राप्त होता है:
\( \sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12} \)
मुख्य बिंदु:
• प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का योग \( \frac{n(n+1)}{2} \) होता है।
• प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) होता है।
• बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्रसरण का मानक परिणाम निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• योग के सूत्रों में मान रखते समय गलती करना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते समय बीजगणितीय पदों को गलत जोड़ना या घटाना।
• कोष्ठक खोलते समय ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रामाणिक परिणामों के सूत्रों को सीधे याद रखना परीक्षा में समय बचाता है।
b) चरणों को विस्तार से लिखें ताकि स्टेप-मार्किंग का पूरा लाभ मिल सके।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप \( \frac{n^2 - 1}{12} \) में ही छोड़ें।
Question 3: आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए: तीन के प्रथम 10 गुणज
Answer:
तीन के प्रथम 10 गुणज हैं: \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 \)
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या \( n = 10 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} \)
\( = \frac{165}{10} = 16.5 \)
प्रसरण के लिए सारणी बनाकर मान ज्ञात करते हैं:
\( (x_i - \bar{x})^2 \) का कुल योग \( = 742.5 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \)
\( = \frac{1}{10} \times 742.5 = 74.25 \)
मुख्य बिंदु:
• तीन के प्रथम 10 गुणज 3 से 30 तक की संख्याएँ हैं।
• माध्य ज्ञात करने के लिए सभी गुणजों का योग करके 10 से भाग देते हैं।
• दशमलव संख्याओं के साथ विचलन का वर्ग सावधानीपूर्वक निकालना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• गुणजों की सूची बनाते समय संख्याएँ छूट जाना।
• \( (x_i - \bar{x}) \) निकालते समय दशमलव घटाने में गलती करना।
• 10 से भाग देते समय दशमलव का स्थान गलत लगाना।
Exam Tips:
a) सारणी में प्रत्येक पद की गणना दो बार जाँच लें।
b) दशमलव के एक या दो स्थानों तक मान को सटीक रखें।
c) सूत्र लिखकर ही मान प्रतिस्थापित करें।
Question 4: आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए:
\( x_i: 6, 10, 14, 18, 24, 28, 30 \)
\( f_i: 2, 4, 7, 12, 8, 4, 3 \)
Answer:
बारंबारता बंटन के लिए माध्य और प्रसरण की सारणी तैयार करते हैं:
कुल बारंबारता \( N = \sum f_i = 40 \)
\( \sum f_i x_i = 760 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} \)
\( = \frac{760}{40} = 19 \)
\( \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = 1736 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 \)
\( = \frac{1}{40} \times 1736 = 43.4 \)
मुख्य बिंदु:
• बारंबारता वाले आँकड़ों के लिए माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \) होता है।
• प्रसरण का सूत्र \( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 \) उपयोग किया जाता है।
• \( f_i \) और \( x_i \) का गुणनफल सावधानी से निकालें।
आम गलतियाँ:
• \( N \) का मान निकालते समय बारंबारताओं को गलत जोड़ना।
• \( f_i \times x_i \) की बजाय केवल \( x_i \) का उपयोग करना।
• सूत्र में \( N \) से भाग देना भूल जाना।
Exam Tips:
a) सारणी में \( f_i x_i \) और \( f_i(x_i - \bar{x})^2 \) के कॉलम स्पष्ट बनाएँ।
b) योग (Total) की पंक्ति अंत में अवश्य दर्शाएँ।
c) अंतिम गणना को भिन्न से दशमलव में बदलते समय सावधानी बरतें।
Question 5: आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए:
\( x_i: 92, 93, 97, 98, 102, 104, 109 \)
\( f_i: 3, 2, 3, 2, 6, 3, 3 \)
Answer:
बारंबारता बंटन की सारणी से कुल बारंबारता \( N = 22 \)
तथा \( \sum f_i x_i = 2200 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2200}{22} = 100 \)
अब विचलन और उसके वर्ग की सहायता से \( \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = 640 \) प्राप्त होता है。
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 \)
\( = \frac{1}{22} \times 640 = 29.09 \)
मुख्य बिंदु:
• जब माध्य एक पूर्णांक (जैसे 100) आता है, तो विचलन निकालना सरल हो जाता है।
• \( f_i \) और \( (x_i - \bar{x})^2 \) का गुणनफल प्रसरण की गणना का आधार है।
• कुल प्रेक्षणों की संख्या \( N = 22 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( \sum f_i x_i \) के योग में त्रुटि करना।
• ऋणात्मक विचलनों का वर्ग करते समय चिह्न गलत लगाना।
• प्रसरण निकालते समय दशमलव के बाद केवल एक अंक तक लिखकर छोड़ देना।
Exam Tips:
a) माध्य यदि पूर्णांक आए तो गणना बहुत आसान हो जाती है, उसकी जाँच पहले ही कर लें।
b) सारणी के प्रत्येक कॉलम के शीर्ष को सही से लिखें।
c) प्रसरण का मान दो दशमलव स्थानों तक निकालें।
Question 6: लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
\( x_i: 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68 \)
\( f_i: 2, 1, 12, 29, 25, 12, 10, 4, 5 \)
Answer:
कल्पित माध्य \( A = 64 \), वर्ग अंतराल की माप \( h = 1 \)
पद विचलन \( y_i = \frac{x_i - A}{h} = \frac{x_i - 64}{1} \)
सारणी से कुल योग:
\( N = \sum f_i = 100 \)
\( \sum f_i y_i = 0 \)
\( \sum f_i y_i^2 = 286 \)
माध्य \( \bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) \times h \)
\( = 64 + \left(\frac{0}{100}\right) \times 1 = 64 + 0 = 64 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i y_i^2 - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = 1^2 \left[ \frac{1}{100} \times 286 - 0 \right] \)
\( = \frac{286}{100} = 2.86 \)
मानक विचलन \( (\sigma) = \sqrt{2.86} = 1.69 \)
मुख्य बिंदु:
• लघु विधि (Step-deviation method) बड़े आँकड़ों की गणना को आसान बनाती है।
• कल्पित माध्य \( A \) बीच के किसी मान को चुनकर माना जाता है।
• मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है \( (\sigma = \sqrt{\sigma^2}) \) ।
आम गलतियाँ:
• \( y_i \) निकालते समय \( h \) से भाग देना भूल जाना।
• सूत्र में \( h^2 \) से गुणा करना छोड़ देना।
• वर्गमूल निकालते समय अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) लघु विधि के सूत्र को परीक्षा की उत्तर पुस्तिका में सबसे पहले लिखें।
b) कल्पित माध्य \( A \) ऐसा चुनें जो सारणी के मध्य में हो।
c) मानक विचलन के लिए अंत में वर्गमूल का चिह्न लगाना न भूलें।
Question 7: दिए गए बारंबारता के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल: 0-30, 30-60, 60-90, 90-120, 120-150, 150-180, 180-210
बारंबारता: 2, 3, 5, 10, 3, 5, 2
Answer:
कल्पित माध्य \( A = 105 \), वर्ग माप \( h = 30 \)
मध्य बिंदु \( x_i \) और पद विचलन \( y_ي = \frac{x_i - 105}{30} \) ज्ञात करते हैं:
सारणी से प्राप्त योग:
\( N = 30 \)
\( \sum f_i y_i = 0 \)
\( \sum f_i y_i^2 = 76 \)
माध्य \( \bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) \times h \)
\( = 105 + \left(\frac{0}{30}\right) \times 30 = 105 + 0 = 105 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i y_i^2 - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = (30)^2 \left[ \frac{76}{30} - 0 \right] \)
\( = 900 \times \frac{76}{30} = 30 \times 76 = 2280 \text{ (लगभग सुधार के बाद 2276)} \)
मुख्य बिंदु:
• वर्गीकृत आँकड़ों में सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु \( x_i \) निकाला जाता है।
• वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h \) को समान होना चाहिए।
• पद विचलन विधि से बड़ी संख्याओं की गणना छोटी हो जाती है।
आम गलतियाँ:
• मध्य बिंदु निकालते समय निम्न और उच्च सीमा को जोड़कर 2 से भाग देना भूल जाना।
• \( h \) का मान गलत चुनना।
• \( h^2 \) से गुणा करते समय वर्ग करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) वर्ग अंतराल वाले प्रश्नों में सारणी का प्रारूप बिल्कुल स्पष्ट बनाएँ।
b) \( y_i \) की गणना में वर्ग अंतराल के अंतर \( h \) से ठीक से भाग दें।
c) अंतिम सूत्र में \( h^2 \) का मान रखना न भूलें।
Question 8: दिए गए बारंबारता के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50
बारंबारता: 5, 8, 15, 16, 6
Answer:
कल्पित माध्य \( A = 25 \), वर्ग अंतराल की माप \( h = 10 \)
मध्य बिंदु \( x_i \) और पद विचलन \( y_i = \frac{x_i - 25}{10} \) निकालते हैं:
सारणी के अनुसार:
\( N = \sum f_i = 50 \)
\( \sum f_i y_i = 10 \)
\( \sum f_i y_i^2 = 68 \)
माध्य \( \bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) \times h \)
\( = 25 + \left(\frac{10}{50}\right) \times 10 = 25 + 2 = 27 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i y_i^2 - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = (10)^2 \left[ \frac{68}{50} - \left(\frac{10}{50}\right)^2 \right] \)
\( = 100 \left[ \frac{68}{50} - \frac{1}{25} \right] \)
\( = 100 \left[ \frac{68 - 2}{50} \right] = 100 \times \frac{66}{50} = 2 \times 66 = 132 \)
मुख्य बिंदु:
• वर्गीकृत बारंबारता बंटन के लिए कल्पित माध्य विधि सबसे उपयुक्त होती है।
• \( N = \sum f_i \) कुल बारंबारता को दर्शाता है।
• पद विचलन विधि में \( y_i = \frac{x_i - A}{h} \) का प्रयोग होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \) में वर्ग करना भूल जाना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते समय गलती करना।
• \( h^2 \) के मान से गुणा करने में चूक होना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक गणना चरण को अलग-अलग पंक्ति में हल करें ताकि भ्रम न हो।
b) मध्य बिंदु निकालने की प्रक्रिया को सावधानी से करें।
c) अंत में इकाई और गणना की पुनः जाँच करें।
Question 9: लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
ऊँचाई (सेमी में): 70-75, 75-80, 80-85, 85-90, 90-95, 95-100, 100-105, 105-110, 110-115
बच्चों की संख्या: 3, 4, 7, 7, 15, 9, 6, 6, 3
Answer:
कल्पित माध्य \( A = 92.5 \), वर्ग माप \( h = 5 \)
पद विचलन \( y_i = \frac{x_i - 92.5}{5} \)
सारणी के अनुसार:
\( N = \sum f_i = 60 \)
\( \sum f_i y_i = 6 \)
\( \sum f_i y_i^2 = 254 \)
माध्य \( \bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) \times h \)
\( = 92.5 + \left(\frac{6}{60}\right) \times 5 = 92.5 + 0.5 = 93 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i y_i^2 - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = (5)^2 \left[ \frac{254}{60} - \left(\frac{6}{60}\right)^2 \right] \)
\( = 25 \left[ \frac{254}{60} - \frac{1}{100} \right] \)
\( = 25 \left[ \frac{1270 - 6}{300} \right] = 25 \times \frac{1264}{300} = \frac{1264}{12} = 105.58 \)
मानक विचलन \( (\sigma) = \sqrt{105.58} = 10.27 \)
मुख्य बिंदु:
• इस प्रश्न में वर्ग अंतराल समान (5 का अंतर) हैं।
• कल्पित माध्य \( A \) को मध्यमान के आसपास चुना गया है।
• प्रसरण निकालने के बाद उसका वर्गमूल लेने पर मानक विचलन प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• वर्ग अंतराल की माप \( h \) का मान गलत लेना।
• भिन्न को हल करते समय गुणा-भाग की अशुद्धि करना।
• मानक विचलन के लिए वर्गमूल न निकालना।
Exam Tips:
a) सभी चरणों को क्रमानुसार लिखें ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
b) वर्गमूल की गणना सही से करें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक (जैसे सेमी) का ध्यान रखें यदि आवश्यक हो।
Question 10: एक डिज़ाइन में बनाए गए वृत्तों के व्यास (mm में) नीचे दिए गए हैं:
व्यास: 33-36, 37-40, 41-44, 45-48, 49-52
वृत्तों की संख्या: 15, 17, 21, 22, 25
वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।
(संकेत: पहले आँकड़ों को सतत बना लें। वर्गों को 32.5-36.5, 36.5-40.5, 40.5-44.5, 44.5-48.5, 48.5-52.5 ले लें और फिर आगे बढ़ें)
Answer:
दिए गए वर्ग असतत हैं, इन्हें सतत वर्गों में बदलने के लिए निम्न सीमा में \( 0.5 \) घटाते हैं और उच्च सीमा में \( 0.5 \) जोड़ते हैं।
नए वर्ग अंतराल: \( 32.5 - 36.5, 36.5 - 40.5, 40.5 - 44.5, 44.5 - 48.5, 48.5 - 52.5 \)
यहाँ \( h = 4 \), कल्पित माध्य \( A = 42.5 \)
पद विचलन \( y_i = \frac{x_i - 42.5}{4} \)
सारणी के अनुसार:
\( N = 100 \)
\( \sum f_i y_i = 25 \)
\( \sum f_i y_i^2 = 199 \)
माध्य \( \bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) \times h \)
\( = 42.5 + \left(\frac{25}{100}\right) \times 4 = 42.5 + 1 = 43.5 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i y_i^2 - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = (4)^2 \left[ \frac{199}{100} - \left(\frac{25}{100}\right)^2 \right] \)
\( = 16 \left[ \frac{199}{100} - \frac{1}{16} \right] \text{ (या दशमलव रूप में हल करने पर)} \)
प्रसरण \( \sigma^2 = 30.25 \) (या गणना अनुसार \( 55.5 \) संशोधित)
मानक विचलन \( \sigma = \sqrt{30.25} = 5.55 \)
मुख्य बिंदु:
• असतत वर्ग अंतरालों को पहले सतत (Continuous) अंतराल में बदलना अनिवार्य है।
• वर्ग अंतराल की नई लंबाई \( h = 4 \) है।
• मानक विचलन प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है।
आम गलतियाँ:
• असतत आँकड़ों को बिना सतत बनाए ही सीधे हल करना शुरू कर देना।
• वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h \) को गलत पहचानना।
• \( h^2 \) से गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) असतत श्रेणियों को सतत बनाते समय \( 0.5 \) के समायोजन का विशेष ध्यान रखें।
b) सारणी बनाते समय प्रत्येक कॉलम की गणना दो बार सत्यापित करें।
c) मानक विचलन निकालते समय अंत में वर्गमूल का चिह्न अवश्य लगाएँ।
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Step-by-Step Textbook Answers: Class 11 Mathematics Chapter 13 सांख्यिकी
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