NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 13 Statistics (सांख्यिकी) Exercise 13.1 in Hindi

Question 1: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17

Answer:

दिए गए आँकड़े हैं: \( 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17 \)
आँकड़ों की कुल संख्या \( n = 8 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17}{8} \)
\( \bar{x} = \frac{80}{8} = 10 \)
प्रत्येक प्रेक्षण का माध्य से विचलन \( |x_i - \bar{x}| \) ज्ञात करने पर:
\( |4 - 10| = 6 \)
\( |7 - 10| = 3 \)
\( |8 - 10| = 2 \)
\( |9 - 10| = 1 \)
\( |10 - 10| = 0 \)
\( |12 - 10| = 2 \)
\( |13 - 10| = 3 \)
\( |17 - 10| = 7 \)
विचलन का योग \( \sum_{i=1}^{8} |x_i - \bar{x}| = 6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7 = 24 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| \)
M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{24}{8} = 3 \)

मुख्य बिंदु:

• सबसे पहले दिए गए आँकड़ों का माध्य ज्ञात करते हैं।
• प्रत्येक प्रेक्षण का माध्य से अंतर (विचलन) निकालते हैं और उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
• सभी निरपेक्ष विचलनों के योग को कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर माध्य विचलन निकालते हैं।

आम गलतियाँ:

• माध्य निकालते समय पदों के योग या पदों की संख्या में गलती करना।
• विचलन निकालते समय ऋणात्मक चिह्नों को धनात्मक न करना।
• भाग देते समय गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) गणना को सरल बनाने के लिए योग सावधानी से करें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें ताकि परीक्षा में पूरे अंक मिल सकें।
c) अंतिम उत्तर के साथ मात्रक या स्पष्टीकरण अवश्य लिखें।

Question 2: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44

Answer:

दिए गए आँकड़े हैं: \( 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 10 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44}{10} \)
\( \bar{x} = \frac{500}{10} = 50 \)
माध्य से विचलनों के निरपेक्ष मान \( |x_i - \bar{x}| \):
\( |38 - 50| = 12 \)
\( |70 - 50| = 20 \)
\( |48 - 50| = 2 \)
\( |40 - 50| = 10 \)
\( |42 - 50| = 8 \)
\( |55 - 50| = 5 \)
\( |63 - 50| = 13 \)
\( |46 - 50| = 4 \)
\( |54 - 50| = 4 \)
\( |44 - 50| = 6 \)
विचलनों का योग \( \sum |x_i - \bar{x}| = 12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6 = 84 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{84}{10} = 8.4 \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गीकृत या अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्य विचलन का सूत्र याद रखें।
• माध्य ज्ञात करने के लिए सभी प्रेक्षणों का योग किया जाता है।
• विचलनों के मापांक (निरपेक्ष मान) हमेशा धनात्मक होते हैं।

आम गलतियाँ:

• जोड़ते समय किसी संख्या को छोड़ देना।
• दशमलव लगाने में गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी चरणों को क्रमबद्ध तरीके से लिखें।
b) योग की दोबारा जाँच अवश्य करें।
c) सूत्र का उल्लेख करना न भूलें।

Question 3: आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17

Answer:

दिए गए आँकड़े हैं: \( 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 12 \) (जो एक सम संख्या है)।
आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर:
\( 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18 \)
माध्यिका \( M = \frac{(\frac{n}{2})^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } + (\frac{n}{2} + 1)^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण }}{2} \)
\( M = \frac{6^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } + 7^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण }}{2} \)
\( M = \frac{13 + 14}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \)
माध्यिका से विचलनों के निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \):
\( |10 - 13.5| = 3.5, |11 - 13.5| = 2.5, |11 - 13.5| = 2.5, |12 - 13.5| = 1.5 \)
\( |13 - 13.5| = 0.5, |13 - 13.5| = 0.5, |14 - 13.5| = 0.5, |16 - 13.5| = 2.5 \)
\( |16 - 13.5| = 2.5, |17 - 13.5| = 3.5, |17 - 13.5| = 3.5, |18 - 13.5| = 4.5 \)
विचलनों का योग \( \sum |x_i - M| = 3.5 + 2.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 2.5 + 2.5 + 3.5 + 3.5 + 4.5 = 28 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{28}{12} = 2.33 \)

मुख्य बिंदु:

• माध्यिका निकालने के लिए सबसे पहले आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।
• यदि n सम हो, तो माध्यिका दो मध्य पदों का औसत होती है।
• माध्यिका के सापेक्ष विचलन में माध्य के स्थान पर माध्यिका M का उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• आँकड़ों को क्रम में व्यवस्थित करना भूल जाना।
• सम संख्या के लिए गलत सूत्र का प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) आरोही क्रम में लिखते समय कोई पद छूटे नहीं, इसकी गिनती ज़रूर करें।
b) दशमलव की गणना सावधानी से करें।
c) अंतिम उत्तर को दो दशमलव स्थान तक निकालें।

Question 4: आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49

Answer:

दिए गए आँकड़े हैं: \( 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 10 \) (सम संख्या)।
आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
\( 36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72 \)
माध्यिका \( M = \frac{5^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } + 6^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण }}{2} \)
\( M = \frac{46 + 49}{2} = \frac{95}{2} = 47.5 \)
माध्यिका से विचलनों के निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \):
\( |36 - 47.5| = 11.5, |42 - 47.5| = 5.5, |45 - 47.5| = 2.5, |46 - 47.5| = 1.5, |46 - 47.5| = 1.5 \)
\( |49 - 47.5| = 1.5, |51 - 47.5| = 3.5, |53 - 47.5| = 5.5, |60 - 47.5| = 12.5, |72 - 47.5| = 24.5 \)
विचलनों का योग \( \sum |x_i - M| = 11.5 + 5.5 + 2.5 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 + 12.5 + 24.5 = 70 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{70}{10} = 7 \)

मुख्य बिंदु:

• आरोही क्रम में सजाने के बाद मध्य पदों को पहचानें।
• माध्यिका ज्ञात करने के पश्चात प्रत्येक पद से उसका अंतर निकालें।
• विचलनों के योग को कुल प्रेक्षणों से भाग दें।

आम गलतियाँ:

• एक ही मान वाले पदों (जैसे दो बार 46) को छोड़ देना।
• घटाव में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रेक्षणों की संख्या \( n \) की गिनती बार-बार कर लें।
b) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।
c) गणना में समय बचाने के लिए कैलकुलेशन की दो बार जाँच करें।

Question 5: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
\( x_i \): 5, 10, 15, 20, 25
\( f_i \): 7, 4, 6, 3, 5

Answer:

सारणी से गणना करने पर:
\( N = \sum f_i = 7 + 4 + 6 + 3 + 5 = 25 \)
\( \sum f_ix_i = (7 \times 5) + (4 \times 10) + (6 \times 15) + (3 \times 20) + (5 \times 25) \)
\( \sum f_ix_i = 35 + 40 + 90 + 60 + 125 = 350 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum f_ix_i = \frac{350}{25} = 14 \)
अब माध्य से विचलनों के निरपेक्ष मान \( |x_i - \bar{x}| \) और \( f_i|x_i - \bar{x}| \) ज्ञात करते हैं:
जब \( x_i = 5 \), \( |5 - 14| = 9 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 7 \times 9 = 63 \)
जब \( x_i = 10 \), \( |10 - 14| = 4 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 4 \times 4 = 16 \)
जब \( x_i = 15 \), \( |15 - 14| = 1 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 6 \times 1 = 6 \)
जब \( x_i = 20 \), \( |20 - 14| = 6 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 3 \times 6 = 18 \)
जब \( x_i = 25 \), \( |25 - 14| = 11 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 5 \times 11 = 55 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - \bar{x}| = 63 + 16 + 6 + 18 + 55 = 158 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - \bar{x}| = \frac{158}{25} = 6.32 \)

मुख्य बिंदु:

• बारंबारता वाले आँकड़ों में माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i} \) होता है।
• प्रत्येक विचलन को उसकी संगत बारंबारता \( f_i \) से गुणा करते हैं।
• सभी गुणनफलों के योग को \( N \) से भाग देते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( f_ix_i \) निकालते समय गुणा में गलती करना।
• \( f_i \) से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा एक व्यवस्थित सारणी (Table) बनाकर हल करें।
b) सारणी के प्रत्येक कॉलम की हेडिनिंग स्पष्ट लिखें।
c) परीक्षा में कैलकुलेशन के लिए अंत में भाग की प्रक्रिया सावधानी से करें।

Question 6: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
\( x_i \): 10, 30, 50, 70, 90
\( f_i \): 4, 24, 28, 16, 8

Answer:

सारणी बनाकर मान ज्ञात करने पर:
\( N = \sum f_i = 4 + 24 + 28 + 16 + 8 = 80 \)
\( \sum f_ix_i = (4 \times 10) + (24 \times 30) + (28 \times 50) + (16 \times 70) + (8 \times 90) \)
\( \sum f_ix_i = 40 + 720 + 1400 + 1120 + 720 = 4000 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum f_ix_i = \frac{4000}{80} = 50 \)
माध्य से विचलन और उनका गुणनफल:
जब \( x_i = 10 \), \( |10 - 50| = 40 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 4 \times 40 = 160 \)
जब \( x_i = 30 \), \( |30 - 50| = 20 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 24 \times 20 = 480 \)
जब \( x_i = 50 \), \( |50 - 50| = 0 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 28 \times 0 = 0 \)
जब \( x_i = 70 \), \( |70 - 50| = 20 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 16 \times 20 = 320 \)
जब \( x_i = 90 \), \( |90 - 50| = 40 \), \( f_i|x_i - \bar{x}| = 8 \times 40 = 320 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - \bar{x}| = 160 + 480 + 0 + 320 + 320 = 1280 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - \bar{x}| = \frac{1280}{80} = 16 \)

मुख्य बिंदु:

• असतत बारंबारता बंटन के लिए माध्य विचलन का मानक तरीका अपनाएँ।
• सारणी के कॉलम: \( x_i, f_i, f_ix_i, |x_i - \bar{x}|, f_i|x_i - \bar{x}| \)

आम गलतियाँ:

• माध्य निकालते समय गलत कुल योग का उपयोग करना।
• निरपेक्ष मान निकालते समय गलत घटाव करना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में तालिका बनाना अनिवार्य है।
b) प्रत्येक पंक्ति की गणना अलग से जाँच लें।
c) सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।

Question 7: आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
\( x_i \): 5, 7, 9, 10, 12, 15
\( f_i \): 8, 6, 2, 2, 2, 6

Answer:

संचयी बारंबारता (c.f.) सारणी तैयार करने पर:
\( x_i = 5, f_i = 8, \text{c.f.} = 8 \)
\( x_i = 7, f_i = 6, \text{c.f.} = 14 \)
\( x_i = 9, f_i = 2, \text{c.f.} = 16 \)
\( x_i = 10, f_i = 2, \text{c.f.} = 18 \)
\( x_i = 12, f_i = 2, \text{c.f.} = 20 \)
\( x_i = 15, f_i = 6, \text{c.f.} = 26 \)
कुल योग \( N = \sum f_i = 26 \) (सम संख्या है)।
माध्यिका \( M = \frac{(\frac{N}{2})^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } + (\frac{N}{2} + 1)^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण }}{2} = \frac{13^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } + 14^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण }}{2} \)
13वाँ और 14वाँ प्रेक्षण 7 है, अतः \( M = \frac{7 + 7}{2} = 7 \)
माध्यिका से विचलन और उनके गुणनфल:
जब \( x_i = 5 \), \( |5 - 7| = 2 \), \( f_i|x_i - M| = 8 \times 2 = 16 \)
जब \( x_i = 7 \), \( |7 - 7| = 0 \), \( f_i|x_i - M| = 6 \times 0 = 0 \)
जब \( x_i = 9 \), \( |9 - 7| = 2 \), \( f_i|x_i - M| = 2 \times 2 = 4 \)
जब \( x_i = 10 \), \( |10 - 7| = 3 \), \( f_i|x_i - M| = 2 \times 3 = 6 \)
जब \( x_i = 12 \), \( |12 - 7| = 5 \), \( f_i|x_i - M| = 2 \times 5 = 10 \)
जब \( x_i = 15 \), \( |15 - 7| = 8 \), \( f_i|x_i - M| = 6 \times 8 = 48 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - M| = 16 + 0 + 4 + 6 + 10 + 48 = 84 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{1}{26} \times 84 = 3.23 \)

मुख्य बिंदु:

• असतत बारंबारता बंटन में माध्यिका निकालने के लिए संचयी बारंबारता (c.f.) सारणी बनाते हैं।
• \( N \) सम होने पर \( \frac{N}{2} \) वें और \( (\frac{N}{2} + 1) \) वें पदों का औसत लेते हैं।
• विचलन हमेशा माध्यिका \( M \) से निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• संचयी बारंबारता (c.f.) निकालने में जोड़ की भूल करना।
• गलत प्रेक्षण को माध्यिका मान लेना।

Exam Tips:

a) c.f. का अंतिम मान कुल बारंबारता \( N \) के बराबर होना चाहिए।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
c) भाग की प्रक्रिया को सही प्रकार से हल करें।

Question 8: आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
\( x_i \): 15, 21, 27, 30, 35
\( f_i \): 3, 5, 6, 7, 8

Answer:

संचयी बारंबारता (c.f.) सारणी बनाने पर:
\( x_i = 15, f_i = 3, \text{c.f.} = 3 \)
\( x_i = 21, f_i = 5, \text{c.f.} = 8 \)
\( x_i = 27, f_i = 6, \text{c.f.} = 14 \)
\( x_i = 30, f_i = 7, \text{c.f.} = 21 \)
\( x_i = 35, f_i = 8, \text{c.f.} = 29 \)
कुल योग \( N = \sum f_i = 29 \) (विषम संख्या है)।
माध्यिका \( M = (\frac{N + 1}{2})^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } = (\frac{29 + 1}{2})^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } = 15^{\text{th}} \text{ प्रेक्षण } \)
संचयी बारंबारता सारणी से 15वाँ प्रेक्षण 30 है, अतः \( M = 30 \)
माध्यिका से विचलन और उनके गुणनफल:
जब \( x_i = 15 \), \( |15 - 30| = 15 \), \( f_i|x_i - M| = 3 \times 15 = 45 \)
जब \( x_i = 21 \), \( |21 - 30| = 9 \), \( f_i|x_i - M| = 5 \times 9 = 45 \)
जब \( x_i = 27 \), \( |27 - 30| = 3 \), \( f_i|x_i - M| = 6 \times 3 = 18 \)
जब \( x_i = 30 \), \( |30 - 30| = 0 \), \( f_i|x_i - M| = 7 \times 0 = 0 \)
जब \( x_i = 35 \), \( |35 - 30| = 5 \), \( f_i|x_i - M| = 8 \times 5 = 40 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - M| = 45 + 45 + 18 + 0 + 40 = 148 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{1}{29} \times 148 = 5.1 \)

मुख्य बिंदु:

• जब \( N \) विषम होता है, तो माध्यिका \( (\frac{N+1}{2}) \) वाँ पद होती है।
• c.f. में यह मान देखकर संगत \( x_i \) को माध्यिका चुनते हैं।

आम गलतियाँ:

• विषम संख्या के लिए सम वाला सूत्र लगा देना।
• c.f. देखने में गलती करना।

Exam Tips:

a) c.f. की गणना की जाँच अवश्य करें।
b) सूत्र और मान सही क्रम में दर्शाएँ।
c) उत्तर को एक या दो दशमलव स्थान तक लिखें।

Question 9: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
आय प्रतिदिन (₹ में): 0-100, 100-200, 200-300, 300-400, 400-500, 500-600, 600-700, 700-800
व्यक्तियों की संख्या: 4, 8, 9, 10, 7, 5, 4, 3

Answer:

वर्ग अंतराल, मध्य-बिंदु \( (x_i) \), बारंबारता \( (f_i) \), \( f_ix_i \), विचलन \( |x_i - \bar{x}| \) और \( f_i|x_i - \bar{x}| \) की सारणी:
\( N = \sum f_i = 4 + 8 + 9 + 10 + 7 + 5 + 4 + 3 = 50 \)
\( \sum f_ix_i = 200 + 1200 + 2250 + 3500 + 3150 + 2750 + 2600 + 2250 = 17900 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum f_ix_i = \frac{17900}{50} = 358 \)
प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु से विचलन \( |x_i - 358| \) और \( f_i|x_i - \bar{x}| \):
0-100 (मध्य-बिंदु 50): \( |50 - 358| = 308 \), गुणनफल = \( 4 \times 308 = 1232 \)
100-200 (मध्य-बिंदु 150): \( |150 - 358| = 208 \), गुणनफल = \( 8 \times 208 = 1664 \)
200-300 (मध्य-बिंदु 250): \( |250 - 358| = 108 \), गुणनफल = \( 9 \times 108 = 972 \)
300-400 (मध्य-बिंदु 350): \( |350 - 358| = 8 \), गुणनफल = \( 10 \times 8 = 80 \)
400-500 (मध्य-बिंदु 450): \( |450 - 358| = 92 \), गुणनफल = \( 7 \times 92 = 644 \)
500-600 (मध्य-बिंदु 550): \( |550 - 358| = 192 \), गुणनफल = \( 5 \times 192 = 960 \)
600-700 (मध्य-बिंदु 650): \( |650 - 358| = 292 \), गुणनफल = \( 4 \times 292 = 1168 \)
700-800 (मध्य-बिंदु 750): \( |750 - 358| = 392 \), गुणनफल = \( 3 \times 392 = 1176 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - \bar{x}| = 7896 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - \bar{x}| = \frac{1}{50} \times 7896 = 157.92 \) (नोट: यदि N=25 या अन्य मान हो तो उसके अनुसार, यहाँ 50 के आधार पर 157.92 है, एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक के अनुसार विधि यही रहेगी).

मुख्य बिंदु:

• वर्गीकृत आँकड़ों में सबसे पहले प्रत्येक वर्ग का मध्य-बिंदु \( x_i \) निकालते हैं।
• मध्य-बिंदु \( x_i = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2} \)
• इसके बाद असतत बारंबारता की तरह ही माध्य और माध्य विचलन ज्ञात करते हैं।

आम गलतियाँ:

• मध्य-बिंदु निकालते समय योग या भाग में त्रुटि करना।
• बड़ी संख्याओं के गुणा में गलती करना।

Exam Tips:

a) सारणी बनाते समय प्रत्येक कॉलम को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) गणना के लिए कैलकुलेशन की पुनः जाँच करें।
c) सूत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 10: आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
ऊँचाई (cm में): 95-105, 105-115, 115-125, 125-135, 135-145, 145-155
लड़कों की संख्या: 9, 13, 26, 30, 12, 10

Answer:

वर्ग अंतराल, मध्य-बिंदु \( (x_i) \), बारंबारता \( (f_i) \), \( f_ix_i \), विचलन और गुणनफल की सारणी:
\( N = \sum f_i = 9 + 13 + 26 + 30 + 12 + 10 = 100 \)
मध्य-बिंदु \( x_i \): 100, 110, 120, 130, 140, 150
\( \sum f_ix_i = (9 \times 100) + (13 \times 110) + (26 \times 120) + (30 \times 130) + (12 \times 140) + (10 \times 150) \)
\( \sum f_ix_i = 900 + 1430 + 3120 + 3900 + 1680 + 1500 = 12530 \)
माध्य \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum f_ix_i = \frac{12530}{100} = 125.3 \)
माध्य से विचलन \( |x_i - 125.3| \) और \( f_i|x_i - \bar{x}| \):
जब \( x_i = 100 \), \( |100 - 125.3| = 25.3 \), गुणनफल = \( 9 \times 25.3 = 227.7 \)
जब \( x_i = 110 \), \( |110 - 125.3| = 15.3 \), गुणनफल = \( 13 \times 15.3 = 198.9 \)
जब \( x_i = 120 \), \( |120 - 125.3| = 5.3 \), गुणनफल = \( 26 \times 5.3 = 137.8 \)
जब \( x_i = 130 \), \( |130 - 125.3| = 4.7 \), गुणनफल = \( 30 \times 4.7 = 141.0 \)
जब \( x_i = 140 \), \( |140 - 125.3| = 14.7 \), गुणनफल = \( 12 \times 14.7 = 176.4 \)
जब \( x_i = 150 \), \( |150 - 125.3| = 24.7 \), गुणनफल = \( 10 \times 24.7 = 247.0 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - \bar{x}| = 1128.8 \)
माध्य विचलन M.D.(\(\bar{x}\)) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - \bar{x}| = \frac{1}{100} \times 1128.8 = 11.288 \) (लगभग 11.29)

मुख्य बिंदु:

• वर्गीकृत आँकड़ों के लिए मध्य-बिंदु निकालकर माध्य निकालते हैं।
• दशमलव वाली संख्याओं के साथ गुणा करते समय सावधानी बरतें।

आम गलतियाँ:

• मध्य-बिंदु निकालने में अंतराल की चौड़ाई को गलत जोड़ना।
• दशमलव बिंदु के स्थान में गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी चरणों को स्पष्ट तालिका में प्रदर्शित करें।
b) अंतिम गणना को दो दशमलव स्थानों तक निकालें।
c) सूत्र अवश्य लिखें।

Question 11: निम्नलिखित आँकड़े के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
अंक: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60
लड़कियों की संख्या: 6, 8, 14, 16, 4, 2

Answer:

संचयी बारंबारता (c.f.) सारणी तैयार करने पर:
0-10: \( f_i = 6, \text{c.f.} = 6 \)
10-20: \( f_i = 8, \text{c.f.} = 14 \)
20-30: \( f_i = 14, \text{c.f.} = 28 \)
30-40: \( f_i = 16, \text{c.f.} = 44 \)
40-50: \( f_i = 4, \text{c.f.} = 48 \)
50-60: \( f_i = 2, \text{c.f.} = 50 \)
कुल योग \( N = \sum f_i = 50 \)
\( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
संचयी बारंबारता में 25 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 28 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 20-30 है। अतः माध्यिका वर्ग 20-30 है।
माध्यिका \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
यहाँ \( l = 20, C = 14, f = 14, h = 10, \frac{N}{2} = 25 \)
\( M = 20 + \frac{25 - 14}{14} \times 10 = 20 + \frac{11}{14} \times 10 = 20 + \frac{110}{14} = 20 + 7.85 = 27.85 \)
अब प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु \( (x_i) \) से माध्यिका का विचलन \( |x_i - 27.85| \) और \( f_i|x_i - M| \):
0-10 (मध्य-बिंदु 5): \( |5 - 27.85| = 22.85, f_i|...| = 6 \times 22.85 = 137.1 \)
10-20 (मध्य-बिंदु 15): \( |15 - 27.85| = 12.85, f_i|...| = 8 \times 12.85 = 102.8 \)
20-30 (मध्य-बिंदु 25): \( |25 - 27.85| = 2.85, f_i|...| = 14 \times 2.85 = 39.9 \)
30-40 (मध्य-बिंदु 35): \( |35 - 27.85| = 7.15, f_i|...| = 16 \times 7.15 = 114.4 \)
40-50 (मध्य-बिंदु 45): \( |45 - 27.85| = 17.15, f_i|...| = 4 \times 17.15 = 68.6 \)
50-60 (मध्य-बिंदु 55): \( |55 - 27.85| = 27.15, f_i|...| = 2 \times 27.15 = 54.3 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - M| = 517.1 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{1}{50} \times 517.1 = 10.34 \)

मुख्य बिंदु:

• सतत बारंबारता बंटन में माध्यिका निकालने के लिए \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \) सूत्र का प्रयोग करते हैं।
• माध्यिका निकालने के बाद प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु से विचलन निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• माध्यिका वर्ग का चयन गलत करना (जैसे \( \frac{N}{2} \) से छोटी c.f. चुन लेना)।
• सूत्र में मान रखते समय \( C \) या \( f \) के गलत मान रखना।

Exam Tips:

a) माध्यिका का सूत्र लिखकर प्रत्येक प्रतीक का अर्थ स्पष्ट करें।
b) सारणी बनाते समय मध्य-बिंदु सही निकालें।
c) गणना को दो दशमलव तक शुद्ध रखें।

Question 12: नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए:
आयु (वर्ष में): 16-20, 21-25, 26-30, 31-35, 36-40, 41-45, 46-50, 51-55
संख्या: 5, 6, 12, 14, 26, 12, 16, 9
(संकेत: प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में से 0.5 घटा कर व उसकी उच्च सीमा में 0.5 जोड़ कर दिए गए आँकड़ों को सतत बारंबारता में बदलिए)

Answer:

दिए गए असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलने पर (निम्न सीमा में से 0.5 घटाकर और उच्च सीमा में 0.5 जोड़कर):
15.5 - 20.5, 20.5 - 25.5, 25.5 - 30.5, 30.5 - 35.5, 35.5 - 40.5, 40.5 - 45.5, 45.5 - 50.5, 50.5 - 55.5
अब संचयी बारंबारता (c.f.) सारणी तैयार करने पर:
15.5 - 20.5: \( f_i = 5, \text{c.f.} = 5 \)
20.5 - 25.5: \( f_i = 6, \text{c.f.} = 11 \)
25.5 - 30.5: \( f_i = 12, \text{c.f.} = 23 \)
30.5 - 35.5: \( f_i = 14, \text{c.f.} = 37 \)
35.5 - 40.5: \( f_i = 26, \text{c.f.} = 63 \)
40.5 - 45.5: \( f_i = 12, \text{c.f.} = 75 \)
45.5 - 50.5: \( f_i = 16, \text{c.f.} = 91 \)
50.5 - 55.5: \( f_i = 9, \text{c.f.} = 100 \)
कुल योग \( N = 100 \), अतः \( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
संचयी बारंबारता में 50 से ठीक बड़ी c.f. 63 है, जिसका संगत वर्ग 35.5 - 40.5 है। अतः माध्यिका वर्ग 35.5 - 40.5 है।
यहाँ \( l = 35.5, C = 37, f = 26, h = 5 \)
माध्यिका \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h = 35.5 + \frac{50 - 37}{26} \times 5 \)
\( M = 35.5 + \frac{13 \times 5}{26} = 35.5 + \frac{65}{26} = 35.5 + 2.5 = 38 \)
अब प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु \( (x_i) \) से माध्यिका का विचलन और \( f_i|x_i - M| \):
15.5-20.5 (मध्य-बिंदु 18): \( |18 - 38| = 20, f_i|...| = 5 \times 20 = 100 \)
20.5-25.5 (मध्य-बिंदु 23): \( |23 - 38| = 15, f_i|...| = 6 \times 15 = 90 \)
25.5-30.5 (मध्य-बिंदु 28): \( |28 - 38| = 10, f_i|...| = 12 \times 10 = 120 \)
30.5-35.5 (मध्य-बिंदु 33): \( |33 - 38| = 5, f_i|...| = 14 \times 5 = 70 \)
35.5-40.5 (मध्य-बिंदु 38): \( |38 - 38| = 0, f_i|...| = 26 \times 0 = 0 \)
40.5-45.5 (मध्य-बिंदु 43): \( |43 - 38| = 5, f_i|...| = 12 \times 5 = 60 \)
45.5-50.5 (मध्य-बिंदु 48): \( |48 - 38| = 10, f_i|...| = 16 \times 10 = 160 \)
50.5-55.5 (मध्य-बिंदु 53): \( |53 - 38| = 15, f_i|...| = 9 \times 15 = 135 \)
विचलनों के गुणनफल का योग \( \sum f_i|x_i - M| = 100 + 90 + 120 + 70 + 0 + 60 + 160 + 135 = 735 \)
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) \( = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{735}{100} = 7.35 \)

मुख्य बिंदु:

• यदि वर्ग अंतराल असतत (जैसे 16-20, 21-25) हों, तो उन्हें पहले सतत (जैसे 15.5-20.5, 20.5-25.5) बनाते हैं।
• सतत बनाने के बाद ही माध्यिका और माध्य विचलन की गणना की जाती है।

आम गलतियाँ:

• असतत वर्ग अंतरालों को सीधे हल करना शुरू कर देना (सीमाओं को समायोजित किए बिना)।
• वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h \) गलत लेना।

Exam Tips:

• संकेत का पालन करते हुए सबसे पहले आँकड़ों को सतत बारंबारता में बदलें।
• माध्यिका सूत्र लिखकर सभी मान सावधानीपूर्वक रखें।
• तालिका के हर चरण की जाँच करें ताकि अंतिम उत्तर सही आए।