NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 12 Limits and Derivatives (सीमा और अवकलज) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) \(-x\)
(ii) \((-x)^{-1}\)
(iii) \(\sin(x+1)\)
(iv) \(\cos\left(x - \frac{\pi}{8}\right)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) \) दिया गया फलन है। प्रथम सिद्धांत (अवकलज की परिभाषा) के अनुसार:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

(i) दिया गया है: \( f(x) = -x \)
अतः \( f(x+h) = -(x+h) \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-(x+h) - (-x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-x - h + x}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (-1) = -1 \)

(ii) दिया गया है: \( f(x) = (-x)^{-1} = \frac{-1}{x} \)
अतः \( f(x+h) = \frac{-1}{x+h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-1}{x+h} - \left(\frac{-1}{x}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{-x + (x+h)}{x(x+h)} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{h}{x(x+h)} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x(x+h)} = \frac{1}{x^2} \)

(iii) दिया गया है: \( f(x) = \sin(x+1) \)
अतः \( f(x+h) = \sin(x+h+1) \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+1) - \sin(x+1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \left(\frac{x+h+1+x+1}{2}\right) \sin \left(\frac{x+h+1-x-1}{2}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \left[ 2 \cos \left(x + 1 + \frac{h}{2}\right) \frac{\sin(h/2)}{h} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos \left(x + 1 + \frac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \frac{1}{2} \)
\( = \cos(x+1) \cdot 1 = \cos(x+1) \)

(iv) दिया गया है: \( f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{8}\right) \)
अतः \( f(x+h) = \cos\left(x+h - \frac{\pi}{8}\right) \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos\left(x+h - \frac{\pi}{8}\right) - \cos\left(x - \frac{\pi}{8}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{2x+h - \pi/4}{2}\right) \sin(h/2)}{h} \)
\( = -\lim_{h \to 0} \sin\left(x - \frac{\pi}{8} + \frac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \)
\( = -\sin\left(x - \frac{\pi}{8}\right) \cdot 1 = -\sin\left(x - \frac{\pi}{8}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• प्रथम सिद्धांत का सूत्र सभी प्रकार के फलनों के अवकलज निकालने के लिए आधार है।
• त्रिकोणमितीय फलनों में सीमा के मानक परिणामों जैसे \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का उपयोग किया जाता है।
• लघुगणकीय और बीजगणितीय सरलीकरण करते समय सीमाओं के अस्तित्व का ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय योग और अंतर के सूत्रों में गलत चिह्न लगाना।
• \( h \) को शून्य की ओर अग्रसर करते समय हर में \( h \) को सही से न काटना।
• सीमा के मानक परिणामों का गलत तरीके से प्रतिस्थापन करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में स्पष्ट रूप से 'प्रथम सिद्धांत से' लिखा हो, तो परिभाषा वाला सूत्र अवश्य लिखें।
b) त्रिकोणमितीय प्रश्नों में चरण दर चरण त्रिकोणमितीय रूपांतरण स्पष्ट दिखाएं।
c) अंत में उत्तर को सरलतम रूप में ही छोड़ें।

Question 2: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((x+a)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = x + a \)
प्रथम सिद्धांत (अवकलज की परिभाषा) से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
यहाँ \( f(x+h) = x + h + a \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + a) - (x + a)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (1) = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी अचर का अवकलज शून्य होता है।
• रैखिक फलन \( x+a \) का अवकलज केवल \( x \) के गुणांक पर निर्भर करता है जो कि 1 है।
• सीमा की परिभाषा का उपयोग करके बीजगणितीय फलनों को आसानी से हल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• अचर पद \( a \) का अवकलज गलती से \( a \) ही लिख देना।
• \( h \) का मान सीधे फलन में रख देना बिना सीमा लिए।
• कोष्ठक खोलते समय चिह्नों की गलती करना।

Exam Tips:

a) सरल फलनों के लिए सीधे मानक सूत्रों का भी प्रयोग कर सकते हैं यदि विधि प्रतिबंधित न हो।
b) सीमा के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर के साथ इकाई या फलन का नाम स्पष्ट दर्शाएं।

Question 3: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((px+q)\left(\frac{r}{x}+s\right)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (px + q)\left(\frac{r}{x} + s\right) \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (px + q)\frac{d}{dx}\left(\frac{r}{x} + s\right) + \left(\frac{r}{x} + s\right)\frac{d}{dx}(px + q) \)
\( = (px + q)\left(r\frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(s)\right) + \left(\frac{r}{x} + s\right)(p) \)
\( = (px + q)(-r x^{-2}) + \left(\frac{r}{x} + s\right)p \)
\( = \frac{-pr}{x} - \frac{qr}{x^2} + \frac{pr}{x} + ps \)
\( = ps - \frac{qr}{x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम: \( \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \) ।
• \( \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \) का उपयोग।
• अचर राशि का अवकलज शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल नियम में प्लस की जगह माइनस चिह्न लगाना।
• \( \frac{r}{x} \) का अवकलज निकालते समय \( x^{-1} \) के सूत्र में घातांक की गलती करना।
• पदों को गुणा करते समय लघुतम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती।

Exam Tips:

a) आप चाहें तो पहले दोनों ब्रैकेट्स को गुणा करके सामान्य बहुपद बना सकते हैं, फिर अवकलज ले सकते हैं।
b) गुणनफल नियम का अभ्यास अधिक करें क्योंकि यह बड़े प्रश्नों में उपयोगी है।
c) अंतिम परिणाम को सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 4: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((ax+b)(cx+d)^2\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (ax+b)(cx+d)^2 \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (ax+b) \frac{d}{dx}(cx+d)^2 + (cx+d)^2 \frac{d}{dx}(ax+b) \)
\( = (ax+b) [2(cx+d) \cdot \frac{d}{dx}(cx+d)] + (cx+d)^2 (a) \)
\( = (ax+b) [2(cx+d)(c)] + a(cx+d)^2 \)
\( = 2c(ax+b)(cx+d) + a(cx+d)^2 \)
\( = (cx+d) [2c(ax+b) + a(cx+d)] \)
\( = (cx+d) [2cax + 2bc + acx + ad] \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग संयुक्त फलन \( (cx+d)^2 \) के लिए किया गया है।
• गुणनफल नियम के साथ बीजगणितीय गुणनखंडन से उत्तर सरल हो जाता है।
• प्रत्येक पद के अवकलज को ध्यान से हल करें।

आम गलतियाँ:

• \( (cx+d)^2 \) का अवकलज करते समय केवल घात का अवकलज करना और अंदर के फलन \( (cx+d) \) का अवकलज छोड़ देना।
• सामान्य गुणनखंड (Common factor) बाहर न निकालना जिससे उत्तर बहुत बड़ा हो जाता है।
• कोष्ठक खोलने में गुणा की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) जहाँ तक संभव हो, अंतिम उत्तर में से उभयनिष्ठ (Common) पद बाहर निकालकर सरल करें।
b) श्रृंखला नियम का उपयोग करते समय आंतरिक फलन के अवकलज से गुणा करना न भूलें।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।

Question 5: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{ax+b}{cx+d}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \)
अवकलज के भागफल नियम (Quotient Rule) से:
\( f'(x) = \frac{(cx+d) \frac{d}{dx}(ax+b) - (ax+b) \frac{d}{dx}(cx+d)}{(cx+d)^2} \)
\( = \frac{(cx+d)(a) - (ax+b)(c)}{(cx+d)^2} \)
\( = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx+d)^2} \)
\( = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \) ।
• अंश और हर के अवकलज को अलग-अलग ज्ञात करना।
• बीजगणितीय सरलतीकरण द्वारा पदों को काटना।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम के अंश में ऋणात्मक चिह्न की जगह धनात्मक चिह्न लगाना (यानी \( v u' + u v' \) लिखना)।
• हर में \( (cx+d) \) का वर्ग करना भूल जाना।
• कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न का अंदर गुणा करने में गलती।

Exam Tips:

a) भागफल नियम का सूत्र पहले कॉपी के कोने में लिख लें ताकि गलती न हो।
b) अंश को सरल करते समय विपरीत चिह्नों वाले पदों को सावधानी से काटें।
c) हर को हमेशा \( (cx+d)^2 \) रूप में ही रखें, उसे पूरा न खोलें।

Question 6: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{1+ \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)

Answer:

दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( f(x) = \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x+1}{x-1}, \text{ जहाँ } x \neq 0, 1 \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(x-1) \frac{d}{dx}(x+1) - (x+1) \frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2} \)
\( = \frac{(x-1)(1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} \)
\( = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} \)
\( = \frac{-2}{(x-1)^2}, \text{ जहाँ } x \neq 0, 1 \)

मुख्य बिंदु:

• जटिल भिन्नों को पहले साधारण भिन्न में बदलना अवकलज को आसान बनाता है।
• भागफल नियम का सटीक अनुप्रयोग।
• फलन के प्रांत (Domain) की शर्तों का ध्यान रखना।

आम गलतियाँ:

• बिना फलन को सरल किए सीधे जटिल रूप में भागफल नियम लगाना, जिससे गणना कठिन हो जाती है।
• अंश में \( (x-1) - (x+1) \) को हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• प्रतिबंधित मानों (\( x \neq 0, 1 \)) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँच करें कि क्या अवकलज लेने से पहले फलन को बीजगणितीय रूप से सरल किया जा सकता है।
b) भागफल नियम लगाते समय हर का वर्ग हर चरण में साथ रखें।
c) अंतिम उत्तर में परिभाषित सीमाओं का उल्लेख अवश्य करें।

Question 7: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{1}{ax^2+bx+c} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(ax^2+bx+c) \frac{d}{dx}(1) - (1) \frac{d}{dx}(ax^2+bx+c)}{(ax^2+bx+c)^2} \)
\( = \frac{(ax^2+bx+c)(0) - (2ax + b)}{(ax^2+bx+c)^2} \)
\( = \frac{-(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में अचर पद 1 होने के कारण इसका अवकलज शून्य हो जाता है।
• द्विघात बहुपद \( ax^2+bx+c \) का अवकलज \( 2ax + b \) होता है।
• भागफल नियम या श्रृंखला नियम (\( [g(x)]^{-1} \)) दोनों से हल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• अचर 1 का अवकलज 1 लिख देना जबकि यह 0 होना चाहिए।
• हर के अवकलज में \( x^2 \) का अवकलज करते समय 2 आगे लाना भूल जाना।
• ऋणात्मक चिह्न को भूल जाना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों को आप श्रृंखला नियम से भी कर सकते हैं: \( \frac{d}{dx}(u^{-1}) = -u^{-2} \cdot u' \)。
b) गणना को साफ रखें और चरणों को न छोड़ें।
c) परिणाम को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 8: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{ax+b}{px^2+qr+r}\) (नोट: यहाँ हर में पद \( px^2 + qx + r \) माना गया है)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{ax+b}{px^2+qx+r} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(px^2+qx+r) \frac{d}{dx}(ax+b) - (ax+b) \frac{d}{dx}(px^2+qx+r)}{(px^2+qx+r)^2} \)
\( = \frac{(px^2+qx+r)(a) - (ax+b)(2px+q)}{(px^2+qx+r)^2} \)
\( = \frac{apx^2 + aqx + ar - (2apx^2 + aqx + 2bpx + bq)}{(px^2+qx+r)^2} \)
\( = \frac{apx^2 + aqx + ar - 2apx^2 - aqx - 2bpx - bq}{(px^2+qx+r)^2} \)
\( = \frac{-apx^2 - 2bpx + ar - bq}{(px^2+qx+r)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का मानक अनुप्रयोग।
• बहुपदों का आपस में गुणा करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखना।
• समान पदों (Like terms) को आपस में जोड़ना या घटाना।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठक के बाहर माइनस होने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न न बदलना।
• हर के अवकलज में \( qx \) का अवकलज \( q \) लिखना भूल जाना।
• गुणा करते समय कोई पद छूट जाना।

Exam Tips:

a) विस्तार करते समय प्रत्येक पद का गुणा अलग से लिखकर जाँच लें।
b) हर वाले पद को पूरे व्यंजक में समान रूप से नीचे स्क्वायर के रूप में बनाए रखें।
c) अंतिम उत्तर में घटते क्रम में घातों को व्यवस्थित करें।

Question 9: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{px^2+qr+r}{ax+b}\) (नोट: अंश में \( px^2 + qx + r \))

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{px^2+qx+r}{ax+b} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(ax+b) \frac{d}{dx}(px^2+qx+r) - (px^2+qx+r) \frac{d}{dx}(ax+b)}{(ax+b)^2} \)
\( = \frac{(ax+b)(2px+q) - (px^2+qx+r)(a)}{(ax+b)^2} \)
\( = \frac{2apx^2 + aqx + 2bpx + bq - (apx^2 + aqx + ar)}{(ax+b)^2} \)
\( = \frac{2apx^2 + aqx + 2bpx + bq - apx^2 - aqx - ar}{(ax+b)^2} \)
\( = \frac{apx^2 + 2bpx + bq - ar}{(ax+b)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का पुनः अनुप्रयोग।
• द्विघात और रैखिक बहुपदों का गुणन।
• बीजगणितीय सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• अंश और हर के अवकलज को आपस में मिला देना।
• ऋण चिह्न के वितरण में गलती करना।
• हर में \( (ax+b) \) का वर्ग लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अंश के प्रसार में सभी चार पदों को सावधानीपूर्वक गुणा करें।
b) सजातीय पदों (Like terms) को एक साथ समूहीकृत करके घटाएं।
c) हर को सरल न करें, उसे वर्ग के रूप में ही छोड़ दें।

Question 10: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{a}{x^4} - \frac{b}{x^2} + \cos x\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{a}{x^4} - \frac{b}{x^2} + \cos x = a x^{-4} - b x^{-2} + \cos x \)
योग नियम और घात नियम से अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(a x^{-4}) - \frac{d}{dx}(b x^{-2}) + \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( = a \frac{d}{dx}(x^{-4}) - b \frac{d}{dx}(x^{-2}) + (-\sin x) \)
\( = a(-4 x^{-5}) - b(-2 x^{-3}) - \sin x \)
\( = \frac{-4a}{x^5} + \frac{2b}{x^3} - \sin x \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \) का प्रयोग।
• त्रिकोणमितीय फलन \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) होता है।
• अचर गुणांक फलन के अवकलज से बाहर रहता है।

आम गलतियाँ:

• \( x^{-4} \) का अवकलज निकालते समय घात में से 1 घटाने पर \( -4-1 = -5 \) की जगह \( -3 \) लिख देना।
• \(\cos x\) का अवकलज धनात्मक \(\sin x\) लिख देना।
• ऋणात्मक चिह्नों का गुणन ठीक से न करना।

Exam Tips:

a) भिन्न रूप में दिए गए पदों को पहले ऋणात्मक घातांक रूप (\( x^{-n} \)) में बदल लें।
b) प्रत्येक पद का अवकलज अलग-अलग स्पष्ट दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर को धनात्मक घातांक या भिन्न रूप में वापस बदल दें।

Question 11: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(4\sqrt{x} - 2\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = 4\sqrt{x} - 2 = 4x^{1/2} - 2 \)
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^{1/2} - 2) \)
\( = 4 \frac{d}{dx}(x^{1/2}) - \frac{d}{dx}(2) \)
\( = 4 \left(\frac{1}{2} x^{1/2 - 1}\right) - 0 \)
\( = 2 x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}} \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल को घातांक रूप \( x^{1/2} \) में बदलना।
• मानक घात सूत्र \( \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \) का प्रयोग।
• अचर पद 2 का अवकलज शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{2} - 1 \) को हल करने में गलती करके \( \frac{1}{2} \) लिख देना जबकि यह \( -\frac{1}{2} \) होता है।
• अचर पद 2 का अवकलज 2 ही लिख देना।
• गुणा करते समय 4 और \( \frac{1}{2} \) को आपस में ठीक से न काटना।

Exam Tips:

a) रूट वाले फलनों को हमेशा घातांक रूप में लिखकर ही अवकलज निकालें।
b) ऋणात्मक घातांक को हर में ले जाकर धनात्मक बना दें।
c) चरण स्पष्ट रखें ताकि गलती न हो।

Question 12: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((ax+b)^n\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (ax+b)^n \)
प्रथम सिद्धांत (अवकलज की परिभाषा) से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
यहाँ \( f(x+h) = (ax+ah+b)^n \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(ax+ah+b)^n - (ax+b)^n}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(ax+b)^n \left[\left(1 + \frac{ah}{ax+b}\right)^n - 1\right]}{h} \)
द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का प्रयोग करने पर:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(ax+b)^n}{h} \left[ 1 + n\left(\frac{ah}{ax+b}\right) + \frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{ah}{ax+b}\right)^2 + \dots - 1 \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} (ax+b)^n \left[ \frac{na}{ax+b} + \frac{n(n-1)a^2h}{2(ax+b)^2} + \dots \right] \)
\( = (ax+b)^n \left[ \frac{na}{ax+b} + 0 + 0 + \dots \right] \)
\( = \frac{n(ax+b)^n \cdot a}{ax+b} = na(ax+b)^{n-1} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रथम सिद्धांत और द्विपद प्रमेय का संयोजन।
• \( (1+x)^n \) के प्रसार का उपयोग।
• सीमा लेने पर \( h \) वाले सभी उच्च घात के पद शून्य हो जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• द्विपद प्रसार में पदों के गुणांक गलत लिखना।
• \( h \) को उभयनिष्ठ निकालकर हर वाले \( h \) से काटना भूल जाना।
• श्रृंखला नियम के अचर \( a \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) यह श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रमाण भी है, इसे ध्यान से समझें।
b) द्विपद प्रसार के पहले दो-तीन पद ही पर्याप्त हैं।
c) अंतिम उत्तर मानक रूप \( na(ax+b)^{n-1} \) में ही आना चाहिए।

Question 13: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((ax+b)^m(cx+d)^n\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (ax+b)^m(cx+d)^n \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (ax+b)^m \frac{d}{dx}(cx+d)^n + (cx+d)^n \frac{d}{dx}(ax+b)^m \)
श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
\( = (ax+b)^m [n(cx+d)^{n-1} \cdot c] + (cx+d)^n [m(ax+b)^{m-1} \cdot a] \)
\( = cn(ax+b)^m (cx+d)^{n-1} + am(cx+d)^n (ax+b)^{m-1} \)
उभयनिष्ठ पद \( (ax+b)^{m-1}(cx+d)^{n-1} \) बाहर लेने पर:
\( = (ax+b)^{n-1} (cx+d)^{n-1} [cn(ax+b) + am(cx+d)] \) (यहाँ प्रथम पद में घात \( m-1 \))

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का एक साथ प्रयोग।
• उभयनिष्ठ (Common) न्यूनतम घात वाले पदों को बाहर निकालना।
• बहुपदों के अवकलज की मानक प्रक्रिया।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम लगाते समय अंदर के फलन का अवकलज गुणा करना भूल जाना (जैसे \( c \) या \( a \))।
• उभयनिष्ठ लेते समय घातांक में गलती करना।
• कोष्ठक के बाहर के पदों को अंदर ठीक से न जोड़ना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के बड़े प्रश्नों में गुणनफल नियम लगाते समय शांत रहकर एक-एक पद हल करें।
b) उभयनिष्ठ निकालकर उत्तर को जितना हो सके संक्षिप्त करें।
c) घातांक के नियमों का सही प्रयोग करें।

Question 14: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\sin(x+a)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \sin(x+a) \)
प्रथम सिद्धांत (अवकलज की परिभाषा) से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+a) - \sin(x+a)}{h} \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(\frac{x+h+a+x+a}{2}\right) \sin\left(\frac{x+h+a-x-a}{2}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \left[ 2 \cos\left(x+a + \frac{h}{2}\right) \frac{\sin(h/2)}{h} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos\left(x+a + \frac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot 1 \)
\( = \cos(x+a) \cdot 1 = \cos(x+a) \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के लिए प्रथम सिद्धांत का मानक तरीका।
• \( \sin C - \sin D \) का सूत्र।
• मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) ।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में कोणों को जोड़ते या घटाते समय चिह्न की गलती करना।
• हर में 2 से गुणा और भाग करना भूल जाना।
• सीमा का मान सीधे रखते समय कोण के अचर भाग को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) यदि प्रथम सिद्धांत न कहा जाए, तो सीधे \( \cos(x+a) \) लिख सकते हैं।
b) त्रिकोणमितीय रूपांतरण के चरणों को साफ-सुथरा दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर की शुद्धता की जाँच करें।

Question 15: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\operatorname{cosec} x \cot x\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \operatorname{cosec} x \cot x \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = \operatorname{cosec} x \frac{d}{dx}(\cot x) + \cot x \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\operatorname{cosec}^2 x \) और \( \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) = -\operatorname{cosec} x \cot x \)
अतः,
\( f'(x) = \operatorname{cosec} x (-\operatorname{cosec}^2 x) + \cot x (-\operatorname{cosec} x \cot x) \)
\( = -\operatorname{cosec}^3 x - \operatorname{cosec} x \cot^2 x \)
\( = -\operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x) \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम का उपयोग।
• मानक त्रिकोणमितीय अवकलज सूत्र: \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\operatorname{cosec}^2 x \) और \( \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) = -\operatorname{cosec} x \cot x \)。
• उभयनिष्ठ पद बाहर निकालना।

आम गलतियाँ:

• \( \cot x \) और \( \operatorname{cosec} x \) के अवकलज के ऋणात्मक चिह्नों को भूल जाना।
• गुणा करते समय घातों को गलत जोड़ना (\(\operatorname{cosec}^3 x\) की जगह कुछ और लिखना)।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का आगे उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के सभी सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) गुणनफल नियम लगाते समय दोनों भागों का अवकलज अलग से लिखकर फिर जोड़ें।
c) परिणाम को उभयनिष्ठ लेकर संक्षिप्त करें।

Question 16: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{\cos x}{1+\sin x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(1+\sin x)\frac{d}{dx}(\cos x) - \cos x\frac{d}{dx}(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} \)
\( = \frac{(1+\sin x)(-\sin x) - \cos x(\cos x)}{(1+\sin x)^2} \)
\( = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} \)
\( = \frac{-\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\sin x)^2} \)
चूँकि \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) होता है:
\( = \frac{-\sin x - 1}{(1+\sin x)^2} = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} = \frac{-1}{1+\sin x} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का सटीक प्रयोग।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का उपयोग।
• अंश और हर के समान पदों को काटना।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम में बीच में प्लस चिह्न लगा देना।
• \( \sin^2 x + \cos^2 x \) को 1 न लिखकर छोड़ देना।
• हर के पद \( (1+\sin x) \) से अंश के पद को काटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय प्रश्नों में सर्वसमिकाओं का उपयोग करके उत्तर को जितना संभव हो छोटा करें।
b) भागफल नियम लगाते समय कोष्ठक का सही उपयोग करें ताकि चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर सरलतम रूप में ही प्रस्तुत करें।

Question 17: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(\sin x + \cos x)\frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) - (\sin x - \cos x)\frac{d}{dx}(\sin x + \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} \)
\( = \frac{(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} \)
\( = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} \)
\( = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x) + (\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} \)
\( = \frac{1 + 1 + 2\sin x \cos x + 1 + 1 - 2\sin x \cos x}{(\sin x + \cos x)^2} \)
\( = \frac{2 + 2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} \) (या पूर्ण विस्तार से)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का प्रयोग।
• बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) का उपयोग।
• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• प्रसार करते समय मध्य पदों \( 2\sin x \cos x \) के चिह्नों में गड़बड़ी करना।
• भागफल नियम के सूत्र में ऋण चिह्न की भूल।
• हर के वर्ग को गलत खोलना।

Exam Tips:

a) इस प्रश्न को आप \( \tan(x - \pi/4) \) में बदलकर भी कर सकते हैं जो कि और सरल है।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों को स्टेप-बाय-स्टेप लिखें।
c) अंतिम उत्तर को संक्षिप्त रूप में ही लिखें।

Question 18: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{\sec x - 1}{\sec x + 1} = \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\frac{1}{\cos x} + 1} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)
अब इस फलन का अवकलज भागफल नियम से ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = \frac{(1 + \cos x)\frac{d}{dx}(1 - \cos x) - (1 - \cos x)\frac{d}{dx}(1 + \cos x)}{(1 + \cos x)^2} \)
\( = \frac{(1 + \cos x)(\sin x) - (1 - \cos x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \)
\( = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{(1 + \cos x)^2} \)
\( = \frac{2\sin x}{(1 + \cos x)^2} \)
चूँकि \( 1 + \cos x = 2\cos^2(x/2) \) और \( \sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2) \):
\( = \frac{2(2\sin(x/2)\cos(x/2))}{(2\cos^2(x/2))^2} = \frac{4\sin(x/2)\cos(x/2)}{4\cos^4(x/2)} = \frac{\sin(x/2)}{\cos^3(x/2)} = \tan(x/2)\sec^2(x/2) \) (या सामान्य रूप में \( \frac{2\sin x}{(1+\cos x)^2} \))

मुख्य बिंदु:

• \( \sec x \) को \( \frac{1}{\cos x} \) में बदलकर फलन को सरल बनाना।
• भागफल नियम का प्रयोग।
• त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके परिणाम को सरल करना।

आम गलतियाँ:

• बिना सरल किए सीधे \( \sec x \) के साथ भागफल नियम लगाना जिससे गणना बहुत लंबी हो जाती है।
• \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) लिखते समय चिह्न की गलती करना।
• अंश के पदों को जोड़ते समय समान पदों को न काटना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों वाले प्रश्नों में पहले उन्हें साईन (sin) और कोसाइन (cos) में बदल लें।
b) भागफल नियम के बाद बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय सरलीकरण अवश्य करें।
c) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।

Question 19: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\sin^n x\)

Answer:

मान लीजिए \( y = \sin^n x \)
यदि \( n = 1 \) हो, तो \( y = \sin x \) और \( \frac{dy}{dx} = \cos x \)
यदि \( n = 2 \) हो, तो \( y = \sin^2 x \), गुणनफल नियम से:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x \cdot \sin x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x \)
यदि \( n = 3 \) हो, तो \( y = \sin^3 x \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x \cdot \sin^2 x) = \sin x (2\sin x \cos x) + \sin^2 x (\cos x) = 2\sin^2 x \cos x + \sin^2 x \cos x = 3\sin^2 x \cos x \)
व्यापक रूप से (गणितीय आगमन सिद्धांत या श्रृंखला नियम से):
\( \frac{d}{dx}(\sin^n x) = n \sin^{n-1} x \cos x \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का व्यापक अनुप्रयोग।
• घात नियम और त्रिकोणमितीय अवकलज का संयोजन।
• \( n \) के विभिन्न मानो के लिए पैटर्न समझना।

आम गलतियाँ:

• केवल घात का अवकलज करके \( \sin x \) का अवकलज \( \cos x \) करना भूल जाना।
• \( n-1 \) घात लिखना भूल जाना।
• गुणनफल नियम से करते समय पदों को सही से न जोड़ना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के फलनों के लिए सीधे श्रृंखला नियम (\( f(g(x)) \)) का उपयोग करें।
b) परीक्षा में सूत्र को सीधे \( n \sin^{n-1} x \cos x \) लिखा जा सकता है।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 20: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{a+b\sin x}{c+d\cos x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{a+b\sin x}{c+d\cos x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(c+d\cos x)\frac{d}{dx}(a+b\sin x) - (a+b\sin x)\frac{d}{dx}(c+d\cos x)}{(c+d\cos x)^2} \)
\( = \frac{(c+d\cos x)(b\cos x) - (a+b\sin x)(-d\sin x)}{(c+d\cos x)^2} \)
\( = \frac{bc\cos x + bd\cos^2 x + ad\sin x + bd\sin^2 x}{(c+d\cos x)^2} \)
\( = \frac{bc\cos x + ad\sin x + bd(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(c+d\cos x)^2} \)
चूँकि \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):
\( = \frac{bc\cos x + ad\sin x + bd}{(c+d\cos x)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का मानक अनुप्रयोग।
• \( \sin x \) का अवकलज \( \cos x \) तथा \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) होता है।
• सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का उपयोग करके पदों को सरल करना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \) का अवकलज करते समय ऋण चिह्न लगाना भूल जाना।
• भागफल नियम के अंश में ऋण चिह्न की जगह प्लस लगाना।
• \( bd\cos^2 x + bd\sin^2 x \) में से \( bd \) को कॉमन न लेना।

Exam Tips:

a) भागफल नियम के प्रश्नों में अंश का प्रसार करते समय सर्वसमिका बनने वाले पदों पर विशेष ध्यान दें।
b) हर को वैसे ही वर्ग के रूप में रहने दें।
c) अंतिम उत्तर को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 21: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{\sin(x+a)}{\cos x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{\sin(x+a)}{\cos x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{\cos x \frac{d}{dx}(\sin(x+a)) - \sin(x+a) \frac{d}{dx}(\cos x)}{(\cos x)^2} \)
\( = \frac{\cos x \cos(x+a) - \sin(x+a)(-\sin x)}{\cos^2 x} \)
\( = \frac{\cos x \cos(x+a) + \sin(x+a)\sin x}{\cos^2 x} \)
हम जानते हैं कि \( \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B) \) होता है। यहाँ \( A = x+a \) और \( B = x \):
\( = \frac{\cos(x+a - x)}{\cos^2 x} \)
\( = \frac{\cos a}{\cos^2 x} = \cos a \sec^2 x \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का प्रयोग।
• त्रिकोणमितीय सूत्र \( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \) का उपयोग।
• \( a \) एक अचर है, इसलिए \( \cos a \) भी एक अचर पद है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सूत्र पहचान न पाना और गणना को लंबा खींचना।
• \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) का चिह्न गलत लिखना।
• \( \cos a \) को चर मान लेना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय योग और अंतर के सूत्रों को हमेशा ध्यान में रखें, इससे बड़े व्यंजक तुरंत छोटे हो जाते हैं।
b) हर को \( \cos^2 x \) या \( \sec^2 x \) के रूप में व्यक्त करें।
c) चरणों की स्पष्टता बनाए रखें।

Question 22: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(x^4(5\sin x - 3\cos x)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = x^4(5\sin x - 3\cos x) \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = x^4 \frac{d}{dx}(5\sin x - 3\cos x) + (5\sin x - 3\cos x) \frac{d}{dx}(x^4) \)
\( = x^4 (5\cos x - 3(-\sin x)) + (5\sin x - 3\cos x)(4x^3) \)
\( = x^4 (5\cos x + 3\sin x) + 4x^3(5\sin x - 3\cos x) \)
\( = x^3 [ x(5\cos x + 3\sin x) + 4(5\sin x - 3\cos x) ] \)
\( = x^3 [ 5x\cos x + 3x\sin x + 20\sin x - 12\cos x ] \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम का प्रयोग।
• \( \sin x \) और \( \cos x \) के मानक अवकलज।
• \( x^3 \) को उभयनिष्ठ (Common) निकालकर सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• \( -3\cos x \) का अवकलज करते समय चिह्न की गलती करना (\(-3(-\sin x) = +3\sin x\) होता है)।
• \( x^4 \) का अवकलज \( 4x^3 \) लिखना भूल जाना।
• उभयनिष्ठ लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) गुणनफल नियम लगाते समय दोनों पदों के अवकलज अलग से कोष्ठक में निकालें।
b) जहाँ तक संभव हो, \( x \) की न्यूनतम घात को कॉमन निकालें।
c) अंतिम उत्तर को व्यवस्थित करें।

Question 23: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((x^2+1)\cos x\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (x^2+1)\cos x \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (x^2+1) \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \frac{d}{dx}(x^2+1) \)
\( = (x^2+1)(-\sin x) + \cos x (2x) \)
\( = -(x^2+1)\sin x + 2x\cos x \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम: \( (uv)' = u'v + uv' \)。
• द्विघात फलन और त्रिकोणमितीय फलन का गुणन।
• \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) ।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल नियम में बीच में माइनस चिह्न लगा देना।
• \( \cos x \) के अवकलज का ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• बहुपद \( x^2+1 \) का अवकलज निकालते समय 1 को छोड़ देना या गलत करना।

Exam Tips:

a) गुणनफल नियम बहुत सरल है, इसे अभ्यास से पक्का करें।
b) ऋणात्मक पदों को आगे या पीछे लिखते समय चिह्नों का ध्यान रखें।
c) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।

Question 24: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((ax^2+\sin x)(p+q\cos x)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (ax^2+\sin x)(p+q\cos x) \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (ax^2+\sin x) \frac{d}{dx}(p+q\cos x) + (p+q\cos x) \frac{d}{dx}(ax^2+\sin x) \)
\( = (ax^2+\sin x)(-q\sin x) + (p+q\cos x)(2ax + \cos x) \)
\( = -q\sin x(ax^2+\sin x) + (p+q\cos x)(2ax + \cos x) \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम का व्यापक अनुप्रयोग।
• \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) और \( ax^2 \) का अवकलज \( 2ax \) ।
• अचर पद \( p \) का अवकलज शून्य।

आम गलतियाँ:

• \( p+q\cos x \) का अवकलज करते समय अचर \( p \) को भूल जाना या उसका अवकलज \( p \) ही लिख देना।
• गुणनफल के प्रसार में चिह्नों की अशुद्धि।
• श्रृंखला नियम या योग नियम में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) बड़े गुणनफल वाले प्रश्नों में पहले दोनों ब्रैकेट्स के अवकलज अलग से लिखकर फिर गुणा करें।
b) चिह्नों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
c) परिणाम को मानक रूप में छोड़ें।

Question 25: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((x+\cos x)(x-\tan x)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (x+\cos x)(x-\tan x) \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (x+\cos x) \frac{d}{dx}(x-\tan x) + (x-\tan x) \frac{d}{dx}(x+\cos x) \)
\( = (x+\cos x)(1 - \sec^2 x) + (x-\tan x)(1 - \sin x) \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम का प्रयोग।
• मानक अवकलज: \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \) और \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)。
• \( x \) का अवकलज 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan x \) का अवकलज \( \sec^2 x \) की जगह कुछ और लिख देना।
• \( \cos x \) के अवकलज का ऋण चिह्न छोड़ देना।
• गुणनफल नियम में योग की जगह अंतर का चिह्न लगाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के सभी मानक सूत्र याद होने चाहिए।
b) गुणनफल नियम के दोनों भागों को स्पष्ट रूप से अलग दिखाएं।
c) यदि संभव हो तो उत्तर को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से और सरल करें।

Question 26: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{4x+5\sin x}{3x+7\cos x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{4x+5\sin x}{3x+7\cos x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(3x+7\cos x)\frac{d}{dx}(4x+5\sin x) - (4x+5\sin x)\frac{d}{dx}(3x+7\cos x)}{(3x+7\cos x)^2} \)
\( = \frac{(3x+7\cos x)(4 + 5\cos x) - (4x+5\sin x)(3 - 7\sin x)}{(3x+7\cos x)^2} \)
\( = \frac{12x + 15x\cos x + 28\cos x + 35\cos^2 x - (12x - 28x\sin x + 15\sin x - 35\sin^2 x)}{(3x+7\cos x)^2} \)
\( = \frac{12x + 15x\cos x + 28\cos x + 35(\cos^2 x + \sin^2 x) - 12x + 28x\sin x - 15\sin x}{(3x+7\cos x)^2} \)
चूँकि \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):
\( = \frac{15x\cos x + 28\cos x + 28x\sin x - 15\sin x + 35}{(3x+7\cos x)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का व्यापक अनुप्रयोग।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) का उपयोग।
• बहुपदों का प्रसार और समान पदों का संकलन।

आम गलतियाँ:

• \( 7\cos x \) का अवकलज करते समय ऋण चिह्न भूल जाना (\(-7\sin x\))।
• ऋण चिह्न के वितरण में अंश के प्रसार के दौरान गलती करना।
• हर के वर्ग को गलत रूप में खोलना।

Exam Tips:

a) बड़े व्यंजकों वाले भागफल नियम के प्रश्नों में गुणा करते समय विशेष सावधानी रखें।
b) सर्वसमिकाओं की पहचान करके व्यंजक को तुरंत छोटा करें।
c) हर को हमेशा वर्ग के रूप में ही सुरक्षित रखें।

Question 27: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{x^2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{x^2\cos(\pi/4)}{\sin x} \)
चूँकि \( \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक अचर राशि है, इसे बाहर रखा जा सकता है:
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^2}{\sin x} \)
अब भागफल नियम से अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{\sin x \frac{d}{dx}(x^2) - x^2 \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2} \right] \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{\sin x (2x) - x^2 \cos x}{\sin^2 x} \right] \)
\( = \frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sqrt{2}\sin^2 x} \)

मुख्य बिंदु:

• अचर मान \( \cos(\pi/4) \) को फलन से बाहर रखना गणना को आसान बनाता है।
• भागफल नियम का प्रयोग।
• \( x^2 \) का अवकलज \( 2x \) और \( \sin x \) का अवकलज \( \cos x \) ।

आम गलतियाँ:

• \( \cos(\pi/4) \) को चर मानकर उसका अवकलज निकाल देना।
• भागफल नियम में हर के वर्ग \( \sin^2 x \) को छोड़ देना।
• अचर गुणांक को अंतिम उत्तर में शामिल न करना।

Exam Tips:

a) यदि अंश या हर में कोई त्रिकोणमितीय मान अचर है (जैसे \( \sin(\pi/3) \) या \( \cos(\pi/4) \)), तो उसका मान पहले ही रख लें या बाहर कर दें।
b) भागफल नियम के चरणों को स्पष्ट लिखें।
c) परिणाम को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करें।

Question 28: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{x}{1+\tan x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{x}{1+\tan x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{(1+\tan x)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(1+\tan x)}{(1+\tan x)^2} \)
\( = \frac{(1+\tan x)(1) - x(\sec^2 x)}{(1+\tan x)^2} \)
\( = \frac{1 + \tan x - x\sec^2 x}{(1+\tan x)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम का मानक अनुप्रयोग।
• \( x \) का अवकलज 1 होता है।
• \( \tan x \) का अवकलज \( \sec^2 x \) होता है।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम में अंश के पदों का क्रम बदलना।
• \( \tan x \) का अवकलज \( \sec^2 x \) की जगह कुछ और लिख देना।
• हर के वर्ग को गलत खोलना।

Exam Tips:

a) भागफल नियम का सूत्र हमेशा प्रश्न हल करते समय ऊपर लिख लें।
b) हर वाले पद का विस्तार न करें, उसे वर्ग के रूप में ही रहने दें।
c) चरणों की स्पष्टता बनाए रखें।

Question 29: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \((x+\sec x)(x-\tan x)\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = (x+\sec x)(x-\tan x) \)
अवकलज के गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = (x+\sec x)\frac{d}{dx}(x-\tan x) + (x-\tan x)\frac{d}{dx}(x+\sec x) \)
\( = (x+\sec x)(1 - \sec^2 x) + (x-\tan x)(1 + \sec x \tan x) \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम का प्रयोग।
• मानक अवकलज: \( \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \) और \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)。
• \( x \) का अवकलज 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec x \) का अवकलज लिखते समय \( \sec x \tan x \) की जगह केवल \( \tan x \) लिख देना।
• गुणनफल नियम में योग चिह्न की जगह गलती से अंतर लगाना।
• कोष्ठक खोलते समय गुणा की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के सभी सूत्र कंठस्थ होने चाहिए।
b) गुणनफल नियम के दोनों भागों को अलग-अलग लिखकर जोड़ें।
c) परिणाम को मानक रूप में छोड़ें।

Question 30: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि \( a, b, c, d, p, q, r \) और \( s \) निश्चित शून्येतर अचर हैं और \( m \) तथा \( n \) पूर्णांक हैं): \(\frac{x}{\sin^n x}\)

Answer:

मान लीजिए \( f(x) = \frac{x}{\sin^n x} \)
अवकलज के भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{\sin^n x \frac{d}{dx}(x) - x \frac{d}{dx}(\sin^n x)}{(\sin^n x)^2} \)
चूँकि \( \frac{d}{dx}(\sin^n x) = n\sin^{n-1}x \cos x \):
\( f'(x) = \frac{\sin^n x (1) - x (n\sin^{n-1}x \cos x)}{\sin^{2n} x} \)
अंश में से \( \sin^{n-1} x \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = \frac{\sin^{n-1}x [\sin x - nx\cos x]}{\sin^{2n} x} \)
\( = \frac{\sin x - nx\cos x}{\sin^{n+1} x} \)

मुख्य बिंदु:

• भागफल नियम और श्रृंखला नियम का संयोजन।
• \( \sin^n x \) का अवकलज \( n\sin^{n-1}x \cos x \) ।
• उभयनिष्ठ घात को अंश और हर से काटना।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^n x \) का अवकलज करते समय श्रृंखला नियम भूल जाना।
• अंश और हर से घातांक काटते समय गणना की गलती करना।
• भागफल नियम के सूत्र में चिह्न की भूल।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्यापक घात वाले प्रश्नों में श्रृंखला नियम का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
b) उभयनिष्ठ निकालकर उत्तर को जितना संभव हो संक्षिप्त करें।
c) हर की घातों को सही प्रकार से सरल करें।