NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 12 Limits and Derivatives (सीमा और अवकलज) Exercise 12.2 in Hindi

Question 1: \( x = 10 \) पर \( x^2 - 2 \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = x^2 - 2 \) है। इसलिए, प्रथम सिद्धांत से अवकलज का सूत्र उपयोग करने पर:
\( f'(10) = \lim_{h \to 0} \frac{f(10 + h) - f(10)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[(10 + h)^2 - 2] - (10^2 - 2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{10^2 + 2(10)h + h^2 - 2 - 10^2 + 2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{20h + h^2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (20 + h) = 20 + 0 = 20 \)
अतः, \( x = 10 \) पर \( x^2 - 2 \) का अवकलज \( 20 \) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रथम सिद्धांत की परिभाषा \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) का प्रयोग किया गया है।
• बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग किया गया है।
• सीमा (Limit) लेते समय \( h \to 0 \) प्रतिस्थापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• फलन में मान रखते समय ब्रैकेट लगाना भूल जाना।
• अंश में से \( h \) को उभयनिष्ठ निकालकर हर के \( h \) से न काटना।
• सीमा का मान सीधे फलन में रखने में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रथम सिद्धांत के प्रश्नों में हमेशा सूत्र को स्पष्ट रूप से पहले लिखें।
b) बीजगणितीय विस्तार करते समय चिन्हों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर के साथ इकाई या निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 2: \( x = 1 \) पर \( x \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = x \) है। इसलिए, प्रथम सिद्धांत से:
\( f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h) - 1}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (1) = 1 \)
अतः, \( x = 1 \) पर \( x \) का अवकलज \( 1 \) है।

मुख्य बिंदु:

• फलन \( f(x) = x \) के लिए \( f(1+h) = 1+h \) और \( f(1) = 1 \) है।
• अंश और हर के पदों को सरल करने पर केवल \( h \) बचता है।
• स्थिर राशि की सीमा वही राशि होती है।

आम गलतियाँ:

• \( h \) को \( h \) से काटने के बाद शून्य लिखना, जबकि उत्तर \( 1 \) होता है।
• बिंदु \( x = 1 \) के स्थान पर सीधे \( 0 \) रख देना।

Exam Tips:

a) सरल फलनों के अवकलज भी प्रथम सिद्धांत से हल करते समय चरणों को न छोड़ें।
b) हर चरण में \(\lim_{h \to 0}\) लिखना अनिवार्य है जब तक कि सीमा का मान न रख दिया जाए।
c) कैंसिलेशन करते समय स्पष्ट दिखाएं कि क्या बचा है।

Question 3: \( x = 100 \) पर \( 99x \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = 99x \) है। इसलिए, प्रथम सिद्धांत से:
\( f'(100) = \lim_{h \to 0} \frac{f(100 + h) - f(100)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{99(100 + h) - 99(100)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{99 \times 100 + 99h - 99 \times 100}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{99h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (99) = 99 \)
अतः, \( x = 100 \) पर \( 99x \) का अवकलज \( 99 \) है।

मुख्य बिंदु:

• फलन में \( x = 100+h \) प्रतिस्थापित किया गया है।
• गुणा करके समान पदों को काटा गया है।
• रैखिक फलन का अवकलज उसके गुणांक के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 99 \) को केवल पहले पद से गुणा करना और दूसरे पद से छोड़ देना।
• बड़ी संख्याओं के गुणन में बिना वजह समय नष्ट करना, जबकि पद कट जाते हैं।

Exam Tips:

a) ब्रैकेट खोलते समय वितरण नियम (Distributive law) का सही प्रयोग करें।
b) यदि संभव हो तो कॉमन लेकर गणना को सरल बनाएं।
c) हर चरण में लिमिट का नोटेशन सही से बनाएं रखें।

Question 4: प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) \( x^3 - 27 \)
(ii) \( (x - 1)(x - 2) \)
(iii) \( \frac{1}{x^2} \)
(iv) \( \frac{x+1}{x-1} \)

Answer:

(i) माना \( f(x) = x^3 - 27 \) है। प्रथम सिद्धांत से अवकलज:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[(x + h)^3 - 27] - (x^3 - 27)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + h^3 + 3x^2h + 3xh^2 - x^3}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(h^2 + 3x^2 + 3xh)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (h^2 + 3x^2 + 3xh) = 0 + 3x^2 + 0 = 3x^2 \)

(ii) माना \( f(x) = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 \) है। प्रथम सिद्धांत से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[(x + h - 1)(x + h - 2)] - [(x - 1)(x - 2)]}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[x^2 + hx - 2x + hx + h^2 - 2h - x + h - 2] - [x^2 - 3x + 2]}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2 - 3h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x + 0 - 3 = 2x - 3 \)

(iii) माना \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) है। प्रथम सिद्धांत से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{x^2 - (x + h)^2}{x^2(x + h)^2} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{x^2(x + h)^2} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h x^2(x + h)^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2} \)
\( = \frac{-2x - 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} \)

(iv) माना \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \) है। प्रथम सिद्धांत से:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h + 1}{x + h - 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{(x + h + 1)(x - 1) - (x + 1)(x + h - 1)}{(x + h - 1)(x - 1)} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{(x^2 + hx + x - x - h - 1) - (x^2 + hx - x + x + h - 1)}{(x + h - 1)(x - 1)} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{-2h}{(x + h - 1)(x - 1)} \right] \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2}{(x + h - 1)(x - 1)} \)
\( = \frac{-2}{(x + 0 - 1)(x - 1)} = \frac{-2}{(x - 1)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय विस्तार और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग किया गया है।
• भिन्न वाले फलनों में अंश को सरल करके \( h \) को हर से काटा गया है।
• मानक सर्वसमिकाओं जैसे \( (a+b)^3 \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भिन्न के प्रश्नों में LCM लेते समय चिन्हों की गलती करना।
• ब्रैकेट खोलते समय माइनस चिन्ह अंदर के पदों पर न लगाना।
• \( h \) हटाने से पहले ही सीमा का मान शून्य रख देना (अपरिभाषित रूप \( \frac{0}{0} \)).

Exam Tips:

a) बड़े व्यंजकों के विस्तार में प्रत्येक पद को सावधानी से लिखें।
b) भिन्न वाले प्रश्नों में हर के पदों को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें वैसे ही रहने दें।
c) अंत में \( h = 0 \) प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठक का ध्यान रखें।

Question 5: फलन \( f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \) के लिए सिद्ध कीजिए कि \( f'(1) = 100f'(0) \) ।

Answer:

दिया गया फलन है:
\( f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \right) \)
सूत्र \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x^1}{2} + 1 + 0 \)
\( f'(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1 \)
अब \( x = 1 \) रखने पर:
\( f'(1) = 1^{99} + 1^{98} + \dots + 1 + 1 \) (कुल \( 100 \) पद)
\( f'(1) = 1 \times 100 = 100 \)
अब \( x = 0 \) रखने पर:
\( f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1 \)
अतः, \( f'(1) = 100 \times 1 = 100 \times f'(0) \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( f'(1) = 100f'(0) \).

मुख्य बिंदु:

• बहुपदी फलनों के अवकलज के लिए घात नियम का प्रयोग किया गया है।
• गुणांकों (जैसे \( 100, 99 \)) का हर की संख्याओं से कटना दर्शाया गया है।
• \( x = 1 \) रखने पर पदों की संख्या का योग \( 100 \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( x = 1 \) रखने पर कुल पदों की संख्या गिनने में भूल करना।
• अचर पद \( 1 \) का अवकलज शून्य लिखना भूल जाना।
• अंतिम निष्कर्ष को सिद्ध रूप में स्पष्ट न लिखना।

Exam Tips:

• ऐसे बड़े फलनों के प्रश्नों में सीधे मानक सूत्रों का उपयोग करें।
• पदों की श्रृंखला (Series) को समझकर ही मान रखें।
• सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंत में 'अतः सिद्ध हुआ' लिखना न भूलें।

Question 6: किसी अचर अवास्तविक संख्या \( a \) के लिए \( x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \dots + a^{n-1}x + a^n \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \dots + a^{n-1}x + a^n \) है।
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx} (x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \dots + a^{n-1}x + a^n) \)
योग नियम और सूत्र \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^n) + a \frac{d}{dx}(x^{n-1}) + a^2 \frac{d}{dx}(x^{n-2}) + \dots + a^{n-1} \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(a^n) \)
\( f'(x) = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \dots + a^{n-1}(1) + 0 \)
\( f'(x) = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \dots + a^{n-1} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( a \) एक अचर है, इसलिए इसका अवकलज करते समय इसे गुणांक के रूप में बाहर रखा गया है।
• अंतिम पद \( a^n \) पूरी तरह अचर है, अतः उसका अवकलज शून्य होता है।
• प्रत्येक पद पर मानक घात सूत्र लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• अचर \( a \) का भी \( x \) की तरह अवकलज करने की गलती करना।
• घात घटाते समय (जैसे \( n-1 \) से \( n-2 \)) बीजगणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) चर और अचर में अंतर स्पष्ट रखें।
b) श्रृंखला वाले प्रश्नों में सामान्य पद (General term) का पैटर्न समझकर अवकलज निकालें।
c) अंत में सभी पदों को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 7: किन्हीं अचरों \( a \) और \( b \) के लिए:
(i) \( (x - a)(x - b) \)
(ii) \( (ax^2 + b)^2 \)
(iii) \( \frac{x-a}{x-b} \)
के अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) माना \( f(x) = (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab \) है।
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2 - (a + b)x + ab] \)
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - (a + b)\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(ab) \)
\( f'(x) = 2x - (a + b)(1) + 0 = 2x - a - b \)

(ii) माना \( f(x) = (ax^2 + b)^2 \) है।
विस्तार करने पर: \( f(x) = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2 \)
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(a^2x^4 + 2abx^2 + b^2) \)
\( f'(x) = a^2 \frac{d}{dx}(x^4) + 2ab \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(b^2) \)
\( f'(x) = a^2(4x^3) + 2ab(2x) + 0 = 4a^2x^3 + 4abx \)

(iii) माना \( f(x) = \frac{x - a}{x - b} \) है।
भागफल नियम \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(x - a) \cdot (x - b) - (x - a) \cdot \frac{d}{dx}(x - b)}{(x - b)^2} \)
\( f'(x) = \frac{1 \cdot (x - b) - (x - a) \cdot 1}{(x - b)^2} \)
\( f'(x) = \frac{x - b - x + a}{(x - b)^2} = \frac{a - b}{(x - b)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल वाले फलन को या तो सीधे गुणा करके या गुणन नियम से हल किया जा सकता है।
• भागफल नियम (Quotient Rule) का सूत्र यहाँ बहुत उपयोगी है।
• अचरों के अवकलज को शून्य किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम में अंश और हर के अवकलज का क्रम बदलते समय चिन्ह की गलती करना।
• \( (ax^2+b)^2 \) का वर्ग खोलते समय मध्य पद (middle term) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) भागफल नियम का सूत्र परीक्षा में सही-सही लिखें: \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \) ।
b) यदि फलन सरल हो सकता है (जैसे गुणा करके), तो उसे पहले सरल कर लें।
c) हर के पद का वर्ग हर बार हर में अवश्य लिखें।

Question 8: किसी अचर \( n \) के लिए \( \frac{x^n - a^n}{x - a} \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = \frac{x^n - a^n}{x - a} \) है।
भागफल नियम का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(x^n - a^n) \cdot (x - a) - (x^n - a^n) \cdot \frac{d}{dx}(x - a)}{(x - a)^2} \)
\( f'(x) = \frac{(nx^{n-1} - 0)(x - a) - (x^n - a^n)(1 - 0)}{(x - a)^2} \)
\( f'(x) = \frac{nx^n - nanx^{n-1} - x^n + a^n}{(x - a)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ अंश और हर दोनों में बीजगणितीय फलन हैं, इसलिए भागफल नियम का प्रयोग किया गया है।
• अचर \( a^n \) का अवकलज शून्य होता है।
• कोष्ठकों को खोलते समय घातों का ध्यान रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• \( a^n \) को चर समझकर उसका अवकलज \( na^{n-1} \) लिख देना (जो कि गलत है क्योंकि यह अचर है)।
• भागफल नियम के हर वाले पद का वर्ग भूल जाना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि \( a \) एक निश्चित अचर है, इसलिए \( \frac{d}{dx}(a^n) = 0 \) होगा।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंश को सरल करते समय समान पदों को संयोजित करें।

Question 9: निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) \( 2x - \frac{3}{4} \)
(ii) \( (5x^3 + 3x - 1)(x - 1) \)
(iii) \( x^{-3}(5 + 3x) \)
(iv) \( x^5(3 - 6x^{-9}) \)
(v) \( x^{-4}(3 - 4x^{-5}) \)
(vi) \( \frac{2}{x + 1} - \frac{x^2}{3x - 1} \)

Answer:

(i) माना \( f(x) = 2x - \frac{3}{4} \) है।
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}\right) = 2(1) - 0 = 2 \)

(ii) माना \( f(x) = (5x^3 + 3x - 1)(x - 1) \) है।
गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 3x - 1) \cdot (x - 1) + (5x^3 + 3x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x - 1) \)
\( f'(x) = (15x^2 + 3)(x - 1) + (5x^3 + 3x - 1)(1) \)
\( f'(x) = 15x^3 - 15x^2 + 3x - 3 + 5x^3 + 3x - 1 \)
\( f'(x) = 20x^3 - 15x^2 + 6x - 4 \)

(iii) माना \( f(x) = x^{-3}(5 + 3x) = 5x^{-3} + 3x^{-2} \) है।
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = 5(-3x^{-4}) + 3(-2x^{-3}) \)
\( f'(x) = -15x^{-4} - 6x^{-3} = -\frac{15}{x^4} - \frac{6}{x^3} \)

(iv) माना \( f(x) = x^5(3 - 6x^{-9}) = 3x^5 - 6x^{-4} \) है।
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = 3(5x^4) - 6(-4x^{-5}) \)
\( f'(x) = 15x^4 + 24x^{-5} = 15x^4 + \frac{24}{x^5} \)

(v) माना \( f(x) = x^{-4}(3 - 4x^{-5}) = 3x^{-4} - 4x^{-9} \) है।
अवकलज लेने पर:
\( f'(x) = 3(-4x^{-5}) - 4(-9x^{-10}) \)
\( f'(x) = -12x^{-5} + 36x^{-10} = -\frac{12}{x^5} + \frac{36}{x^{10}} \)

(vi) माना \( f(x) = \frac{2}{x + 1} - \frac{x^2}{3x - 1} \) है।
भागफल नियम का अलग-अलग प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{0 \cdot (x + 1) - 2(1)}{(x + 1)^2} - \frac{2x(3x - 1) - x^2(3)}{(3x - 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{-2}{(x + 1)^2} - \frac{6x^2 - 2x - 3x^2}{(3x - 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{-2}{(x + 1)^2} - \frac{3x^2 - 2x}{(3x - 1)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम और भागफल नियम का उचित प्रयोग किया गया है।
• ऋणात्मक घातों के लिए \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) नियम का सावधानी से पालन किया गया है।
• कई प्रश्नों में ब्रैकेट को पहले गुणा करके सरल बनाना अधिक आसान होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक घातों का अवकलज करते समय चिन्हों (+/-) में भ्रमित होना।
• भागफल नियम में हर के अवकलज की गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि फलन को गुणा करके एकल बहुपद में बदला जा सके, तो गुणन नियम की बजाय सीधा गुणा करना बेहतर है।
b) ऋणात्मक घातों को अंत में धनात्मक रूप में लिखकर उत्तर देना अधिक सुंदर लगता है।
c) हर चरण में संकेत (Notations) जैसे \( \frac{d}{dx} \) स्पष्ट लिखें।

Question 10: प्रथम सिद्धांत से \( \cos x \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( f(x) = \cos x \) है। प्रथम सिद्धांत से अवकलज:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \cos C - \cos D = -2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{x + h + x}{2}\right) \sin\left(\frac{x + h - x}{2}\right)}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin(h/2)}{h/2} \right] \)
सीमा मानक रूप \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का उपयोग करने पर:
\( f'(x) = -\sin(x + 0) \cdot 1 = -\sin x \)
अतः, \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \).

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय अंतर सूत्र \( \cos C - \cos D \) का मुख्य रूप से प्रयोग किया गया है।
• हर में \( h \) को \( \frac{h}{2} \) में बदलकर मानक सीमा सूत्र का रूप दिया गया है।
• \( h \to 0 \) होने पर \( \frac{h}{2} \to 0 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \) का अवकलज बिना ऋण चिन्ह (negative sign) के \( \sin x \) लिख देना।
• त्रिकोणमितीय सूत्र में कोणों के योग और अंतर को ठीक से न विभाजित करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के प्रथम सिद्धांत के प्रमाण में सूत्र याद होना अनिवार्य है।
b) मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) उत्तर में ऋण चिन्ह का विशेष ध्यान रखें।

Question 11: निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) \( \sin x \cos x \)
(ii) \( \sec x \)
(iii) \( 5 \sec x + 4 \cos x \)
(iv) \( \csc x \)
(v) \( 3 \cot x + 5 \csc x \)
(vi) \( 5 \sin x - 6 \cos x + 7 \)
(vii) \( 2 \tan x - 7 \sec x \)

Answer:

(i) माना \( f(x) = \sin x \cos x \) है।
गुणनफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \cos x + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) \)
\( f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \)

(ii) माना \( f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} \) है।
भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x \)

(iii) माना \( f(x) = 5 \sec x + 4 \cos x \) है।
\( f'(x) = 5 \frac{d}{dx}(\sec x) + 4 \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( f'(x) = 5 \sec x \tan x + 4(-\sin x) = 5 \sec x \tan x - 4 \sin x \)

(iv) माना \( f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} \) है।
भागफल नियम से:
\( f'(x) = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot (\cos x)}{(\sin x)^2} = \frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x \)

(v) माना \( f(x) = 3 \cot x + 5 \csc x \) है।
\( f'(x) = 3(-\csc^2 x) + 5(-\csc x \cot x) = -3 \csc^2 x - 5 \csc x \cot x \)

(vi) माना \( f(x) = 5 \sin x - 6 \cos x + 7 \) है।
\( f'(x) = 5(\cos x) - 6(-\sin x) + 0 = 5 \cos x + 6 \sin x \)

(vii) माना \( f(x) = 2 \tan x - 7 \sec x \) है।
\( f'(x) = 2(\sec^2 x) - 7(\sec x \tan x) = 2 \sec^2 x - 7 \sec x \tan x \)

मुख्य बिंदु:

• सभी मानक त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
• गुणनफल नियम और भागफल नियम त्रिकोणमितीय फलनों पर भी लागू होते हैं।
• अचर पद का अवकलज शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec x \) का अवकलज \( \sec x \) लिख देना, जबकि यह \( \sec x \tan x \) होता है।
• \( \csc x \) और \( \cot x \) के अवकलज में ऋण चिन्ह भूल जाना।

Exam Tips:

a) सभी त्रिकोणमितीय अवकलज सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) अंतिम उत्तर को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की मदद से सरलतम रूप में लिखें।
c) चिन्हों (+/-) की सावधानी बरतें क्योंकि त्रטिकोणमिति में ये बहुत महत्वपूर्ण होते हैं।