NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 12 Limits and Derivatives (सीमा और अवकलज) Exercise 12.1 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 3} x + 3 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 3} (x + 3) \)
सीमा का मान ज्ञात करने के लिए सीधे \( x = 3 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = 3 + 3 \)
\( = 6 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• फलन हर जगह संतत है।
• सीमा का मान सीधे फलन के मान के बराबर है।

आम गलतियाँ:

• मान रखते समय चिन्ह की गलती करना।
• सीमा के संकेत को बीच में छोड़ देना।
• बिना फलन की प्रकृति जांचे सीधे मान रखना।

Exam Tips:

a) हमेशा प्रश्न में दिए गए मान को सीधे फलन में रखकर जांचें कि वह अनिर्धारित रूप तो नहीं है।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से नीचे की ओर लिखें।
c) अंतिम उत्तर को बॉक्स में दर्शाएं।

Question 2: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to \pi} \left(x - \frac{22}{7}\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to \pi} \left(x - \frac{22}{7}\right) \)
सीमा का मान ज्ञात करने के लिए \( x = \pi \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \pi - \frac{22}{7} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ चर \( x \) का मान \( \pi \) है।
• \( \pi \) एक वास्तविक संख्या है।
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि लागू होती है।

आम गलतियाँ:

• \( \pi \) के स्थान पर \( \frac{22}{7} \) को फलन का सटीक मान मान लेना।
• सीमा के चिन्ह को गलत तरीके से हटाना।
• लघुगणकीय या त्रिकोणमिति नियम लगाना जो आवश्यक नहीं हैं।

Exam Tips:

a) \( \pi \) को अपरिवर्तित रखें जब तक कि प्रश्न में उसका मान न दिया गया हो।
b) बीजगणितीय सीमाओं के बुनियादी नियमों को याद रखें।
c) कोष्ठक का सही उपयोग करें।

Question 3: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{r \to 1} \pi r^2 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{r \to 1} \pi r^2 \)
\( r = 1 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \pi (1)^2 \)
\( = \pi \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ चर \( r \) है और \( \pi \) अचर है।
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• घात नियम का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \pi \) को चर मान लेना।
• वर्ग निकालते समय गलती करना।
• सीमा मान को सही से प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) अचर और चर की पहचान स्पष्ट रूप से करें।
b) घातांकीय पदों को सावधानी से हल करें।
c) प्रत्येक चरण को अलग पंक्ति में लिखें।

Question 4: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 4} \frac{4x + 3}{x - 2} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 4} \frac{4x + 3}{x - 2} \)
\( x = 4 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{4(4) + 3}{4 - 2} \)
\( = \frac{16 + 3}{2} \)
\( = \frac{19}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर दोनों में मान रखा गया है।
• हर शून्य नहीं है, इसलिए प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन मान्य है।
• परिमेय फलनों की सीमा इसी प्रकार निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• हर में शून्य आने पर भी सीमा को सीधे हल कर देना।
• गुणन और जोड़ की प्राथमिकता (BODMAS) भूल जाना।
• भिन्न को सरल न करना।

Exam Tips:

a) परिमेय फलन में पहले हर की जाँच करें कि वह शून्य न हो।
b) अंश और हर को अलग-अलग सरल करें।
c) अंतिम भिन्न को सरलतम रूप में लिखें।

Question 5: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to -1} \frac{x^{10} + x^5 + 1}{x - 1} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to -1} \frac{x^{10} + x^5 + 1}{x - 1} \)
\( x = -1 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{(-1)^{10} + (-1)^5 + 1}{-1 - 1} \)
\( = \frac{1 - 1 + 1}{-2} \)
\( = -\frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक संख्या की सम घात धनात्मक होती है।
• ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक होती है।
• हर का मान \( -2 \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( (-1)^{10} \) को \( -1 \) लिख देना।
• हर में चिन्ह की गलती करना।
• भिनात्मक उत्तर को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) सम और विषम घातों के नियमों का विशेष ध्यान रखें।
b) ऋणात्मक चिन्हों को कोष्ठक में रखकर हल करें।
c) अंतिम परिणाम का चिन्ह सावधानी से लगाएं।

Question 6: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{(x + 1)^5 - 1}{x} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{(x + 1)^5 - 1}{x} \)
माना \( x + 1 = y \), तब जैसे \( x \to 0 \), \( y \to 1 \)
इस प्रकार, \( \lim_{x \to 0} \frac{(x + 1)^5 - 1}{x} = \lim_{y \to 1} \frac{y^5 - 1}{y - 1} \)
मानक सूत्र \( \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1} \) का प्रयोग करने पर:
\( = 5 \cdot 1^{5-1} \)
\( = 5 \cdot 1 = 5 \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया गया है।
• मानक बीजगणितीय सीमा सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• चर बदलने के साथ सीमा का मान भी बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• चर बदलने पर सीमा के मान (जैसे \( y \to 1 \)) को बदलना भूल जाना।
• मानक सूत्र के मानों की गलत तुलना करना।
• प्रसार (expansion) में गणना की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जब सीधे मान रखने पर \( 0/0 \) बने, तब प्रतिस्थापन या मानक सूत्र का प्रयोग करें।
b) सूत्र लिखते समय उसके सभी प्रतिबंधों को ध्यान में रखें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 7: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x - 10}{x^2 - 4} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x - 10}{x^2 - 4} \)
\( x = 2 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है, अतः गुणनखंड करने पर:
\( 3x^2 - x - 10 = (x - 2)(3x + 5) \)
और \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
अतः \( \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(3x + 5)}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( = \lim_{x \to 2} \frac{3x + 5}{x + 2} \)
\( = \frac{3(2) + 5}{2 + 2} \)
\( = \frac{6 + 5}{4} = \frac{11}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 0/0 \) अनिर्धारित रूप को हटाने के लिए गुणनखंड किए गए हैं।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (x - 2) \) को काटा गया है।
• उसके बाद प्रत्यक्ष मान प्रतिस्थापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड किए बिना सीधे मान रखना।
• गुणनखंड करते समय मध्य पद को गलत तोड़ना।
• अंश और हर दोनों से गलत पद काटना।

Exam Tips:

a) हमेशा पहले जाँच करें कि सीमा रखने पर \( 0/0 \) रूप बनता है या नहीं।
b) गुणनखंड विधि का अभ्यास करें।
c) काटने के बाद बची हुई सीमा में पुनः मान रखें।

Question 8: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 3} \frac{x^4 - 81}{2x^2 - 5x - 3} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 3} \frac{x^4 - 81}{2x^2 - 5x - 3} \)
\( x = 3 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है।
अंश के गुणनखंड: \( x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \)
हर के गुणनखंड: \( 2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1) \)
अतः व्यंजक बनता है: \( \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{(x - 3)(2x + 1)} \)
\( = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x^2 + 9)}{2x + 1} \)
\( = \frac{(3 + 3)(3^2 + 9)}{2(3) + 1} \)
\( = \frac{6 \times 18}{7} = \frac{108}{7} \)

मुख्य बिंदु:

• \( a^2 - b^2 \) और द्विघात समीकरण के गुणनखंडों का उपयोग।
• अनिर्धारित रूप \( 0/0 \) का निवारण।
• सरल करने के बाद सीमा का मान ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• \( x^4 - 81 \) के पूरे गुणनखंड न करना।
• द्विघात बहुपद के गुणनखंड में चिन्ह की गलती करना।
• गणना में गुणा करते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) बड़े बहुपदों के गुणनखंडों के मानक सूत्रों को याद रखें।
b) चरणबद्ध तरीके से गुणनखंड हल करें।
c) अंतिम भिन्न को सही रूप में छोड़ें।

Question 9: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{ax + b}{cx + 1} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{ax + b}{cx + 1} \)
\( x = 0 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{a(0) + b}{c(0) + 1} \)
\( = \frac{0 + b}{0 + 1} \)
\( = b \)

मुख्य बिंदु:

• यह एक बीजीय फलन की सीमा है जिसमें अचर \( a, b, c \) दिए गए हैं।
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• हर में शून्य नहीं बनता है।

आम गलतियाँ:

• अचरों को चर समझ लेना।
• \( x = 0 \) रखने पर गुणा गलत करना।
• हर के \( 1 \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) अचर राशियों वाले प्रश्नों में घबराएं नहीं, सामान्य नियमों का पालन करें।
b) मान सीधे प्रतिस्थापित करें।
c) उत्तर को सरल रूप में दें।

Question 10: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1} \)
\( z = 1 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है।
माना \( z^{\frac{1}{6}} = x \), तब जैसे \( z \to 1 \), \( x \to 1 \)
चूँकि \( z = x^6 \), अतः अंश बनता है \( x^2 - 1 \) और हर बनता है \( x - 1 \)
सीमा का रूप हुआ: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)
\( = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1^2}{x - 1} \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( = 2 \cdot 1^{2-1} = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• भिनात्मक घातों वाले प्रश्नों में उपयुक्त प्रतिस्थापन का चयन किया गया है।
• मानक बीजगणितीय सूत्र का उपयोग किया गया है।
• चर परिवर्तन से सीमा सरल हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करते समय घातों का सही संबंध न निकालना।
• \( z \to 1 \) से \( x \to 1 \) परिवर्तन भूल जाना।
• सूत्र का गलत अनुप्रयोग करना।

Exam Tips:

a) जब घातें भिन्न में हों, तो उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के आधार पर प्रतिस्थापन करें।
b) प्रत्येक चरण में सीमा के चिन्ह को बनाए रखें।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें।

Question 11: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + c}{cx^2 + bx + a}, a + b + c \neq 0 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + c}{cx^2 + bx + a} \)
\( x = 1 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{a(1)^2 + b(1) + c}{c(1)^2 + b(1) + a} \)
\( = \frac{a + b + c}{c + b + a} \)
चूँकि \( a + b + c \neq 0 \), अतः अंश और हर समान हैं:
\( = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• दी गई शर्त \( a + b + c \neq 0 \) का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए है कि हर शून्य न हो।
• समान पदों को आपस में काटा गया है।

आम गलतियाँ:

• शर्त \( a + b + c \neq 0 \) पर ध्यान न देना।
• पदों को जोड़ते समय क्रम की गलती करना।
• अंश और हर के कटने पर शून्य लिख देना (जबकि उत्तर 1 होगा)।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई शर्तों को हमेशा ध्यान से पढ़ें।
b) प्रतिस्थापन के बाद पदों का मिलान करें।
c) अंतिम उत्तर 1 को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 12: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x + 2} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x + 2} \)
\( x = -2 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है।
अंश को हल करने पर:
\( \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x + 2} = \frac{\frac{2 + x}{2x}}{x + 2} = \frac{x + 2}{2x(x + 2)} \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (x + 2) \) को काटने पर:
\( = \lim_{x \to -2} \frac{1}{2x} \)
मान रखने पर:
\( = \frac{1}{2(-2)} = -\frac{1}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में भिन्नों का लघुत्तम लेकर सरलीकरण किया गया है।
• अनिर्धारित रूप को हटाने के लिए \( (x + 2) \) को काटा गया है।
• अंत में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भिन्न के हर को ऊपर ले जाने में गलती करना।
• \( (x + 2) \) को गलत तरीके से काटना।
• ऋणात्मक चिन्ह का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) जटिल भिन्नों को पहले सरल करें।
b) गुणनखंड काटने के बाद ही सीमा का मान रखें।
c) गणना की सावधानी रखें।

Question 13: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} \)
\( x = 0 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है।
मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का उपयोग करने के लिए:
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \times \frac{ax}{bx} \right) \)
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \times \frac{a}{b} \right) \)
\( = \frac{a}{b} \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} \)
चूँकि जब \( x \to 0 \), तब \( ax \to 0 \), अतः:
\( = \frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• अंश और हर में \( a \) से गुणा-भाग किया गया है।
• अचर पद को सीमा से बाहर निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• कोण और हर के मान को समान बनाए बिना सीधे उत्तर लिखना।
• अचर \( a \) और \( b \) को गलत तरीके से विभाजित करना।
• मानक सीमा के सूत्र को भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सीमाओं के मानक परिणामों को याद रखें।
b) कोण को हर के समान बनाने के लिए समायोजन करें।
c) अंतिम परिणाम को भिन्न के रूप में लिखें।

Question 14: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}, a, b \neq 0 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} \)
अंश और हर दोनों में \( x \) से भाग देने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin ax}{x}}{\frac{\sin bx}{x}} \)
मानक रूप में बदलने के लिए अंश और हर में क्रमशः \( a \) और \( b \) का गुणा-भाग करने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{a \left( \frac{\sin ax}{ax} \right)}{b \left( \frac{\sin bx}{bx} \right)} \)
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर:
\( = \frac{a}{b} \times \frac{\lim_{ax \to 0} \frac{\sin ax}{ax}}{\lim_{bx \to 0} \frac{\sin bx}{bx}} \)
\( = \frac{a}{b} \times \frac{1}{1} = \frac{a}{b} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर दोनों में \( x \) से विभाजित किया गया है।
• मानक त्रिकोणमितीय सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• अचरों को बाहर लेकर हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक पद में समायोजन करना।
• सीमा के वितरण नियम को गलत लागू करना।
• \( a \) और \( b \) की स्थिति को आपस में बदलना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में अंश और हर दोनों को मानक रूप में बदलें।
b) सीमा के गुणों का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) उत्तर की जाँच करें।

Question 15: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(\pi - x)}{\pi(\pi - x)} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(\pi - x)}{\pi(\pi - x)} \)
माना \( \pi - x = y \), तब जैसे \( x \to \pi \), \( y \to 0 \)
व्यंजक बनता है:
\( = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{\pi y} \)
अचर \( \frac{1}{\pi} \) को बाहर लेने पर:
\( = \frac{1}{\pi} \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \)
मानक सीमा का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{1}{\pi} \times 1 = \frac{1}{\pi} \)

मुख्य बिंदु:

• चर के प्रतिस्थापन का उपयोग किया गया है (\( \pi - x = y \)).
• सीमा का मान \( x \to \pi \) से बदलकर \( y \to 0 \) किया गया है।
• मानक त्रिकोणमितीय सीमा का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करते समय सीमा बदलना भूल जाना।
• \( \pi \) को चर मान लेना।
• हर में दी गई संख्या को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन विधि त्रिकोणमितीय सीमाओं को आसान बनाती है।
b) हर चरण में नए चर की सीमा को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर में \( \pi \) को हर में रखें।

Question 16: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{\pi - x} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{\pi - x} \)
माना \( \pi - x = y \), जिससे \( x = \pi - y \) और जैसे \( x \to \pi \), \( y \to 0 \)
व्यंजक बनता है:
\( = \lim_{y \to 0} \frac{\cos(\pi - y)}{y} \)
हम जानते हैं कि \( \cos(\pi - y) = -\cos y \), अतः:
\( = \lim_{y \to 0} \frac{-\cos y}{y} \)
\( y = 0 \) रखने पर:
\( = \frac{-\cos 0}{0} \) जो कि अनंत की ओर अग्रसर है, अतः सीमा अनंत या परिभाषित नहीं है, या सीधे मान रखें:
\( = \frac{\cos \pi}{\pi - \pi} = \frac{-1}{0} \text{ (अपरिभाषित / अस्तिस्त्वहीन)} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया गया है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos(\pi - y) = -\cos y \) का प्रयोग किया गया है।
• हर में शून्य आने के कारण सीमा का अस्तित्व निर्धारित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका में चिन्ह की गलती करना।
• हर में शून्य आने पर भी गलत उत्तर लिख देना।
• सीमा के अस्तित्व को न जांचना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय चतुर्थांश के नियमों को याद रखें।
b) यदि हर शून्य हो और अंश गैर-शून्य हो, तो सीमा अनंत होती है।
c) उत्तर को सावधानी से लिखें।

Question 17: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{\cos x - 1} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{\cos x - 1} \)
\( x = 0 \) रखने पर यह \( \frac{0}{0} \) रूप में है।
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) का प्रयोग करने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - 2\sin^2 x) - 1}{\cos x - 1} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 x}{-(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{1 - \cos x} \)
अर्ध-कोण सूत्र \( 1 - \cos x = 2\sin^2(x/2) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot [2\sin(x/2)\cos(x/2)]^2}{2\sin^2(x/2)} \)
इसे हल करने पर मान \( 4 \) प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का व्यापक उपयोग किया गया है।
• अनिर्धारित रूप \( 0/0 \) को हटाया गया है।
• सीमा के नियमों का पालन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गलत त्रिकोणमितीय सूत्र का प्रयोग करना।
• चिन्हों की असावधानी रखना।
• सरलीकरण में गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं जुबान पर होनी चाहिए।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंतिम गणना सावधानी से करें।

Question 18: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{ax + x \cos x}{b \sin x} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{ax + x \cos x}{b \sin x} \)
अंश से \( x \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x(a + \cos x)}{b \sin x} \)
पदों को अलग करने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \times \frac{a + \cos x}{b} \right) \)
चूँकि \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \) और मान रखने पर:
\( = \frac{1}{b} \times \lim_{x \to 0} (a + \cos x) \)
\( = \frac{1}{b} (a + \cos 0) = \frac{a + 1}{b} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश से \( x \) को कॉमन निकाला गया है।
• मानक सीमा \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) का उपयोग किया गया है।
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि से \( \cos 0 = 1 \) रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) को कॉमन न लेना।
• \( \sin x \) और \( x \) के व्युत्क्रम को गलत समझना।
• \( \cos 0 \) का मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) उभयनिष्ठ पदों को पहले बाहर निकालें।
b) मानक सीमाओं का सीधे उपयोग करें।
c) परिणाम को व्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 19: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} x \sec x \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} (x \sec x) \)
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos x} \)
प्रत्यक्ष मान \( x = 0 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{0}{\cos 0} \)
चूँकि \( \cos 0 = 1 \):
\( = \frac{0}{1} = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sec x \) को \( \frac{1}{\cos x} \) के रूप में बदला गया है।
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• हर शून्य नहीं है, इसलिए सीमा परिभाषित है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec 0 \) का मान परिभाषित न मानना।
• शून्य को किसी संख्या से भाग देने में भ्रमित होना।
• अनावश्यक रूप से जटिल विधियां लगाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों को उनके व्युत्क्रम में बदलकर सरल करें।
b) प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन की जाँच पहले करें।
c) सरल उत्तर प्राप्त करें।

Question 20: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax + bx}{ax + \sin bx}, a, b, a + b \neq 0 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax + bx}{ax + \sin bx} \)
अंश और हर दोनों में \( x \) से भाग देने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin ax}{x} + b}{a + \frac{\sin bx}{x}} \)
मानक रूप में बदलने के लिए अंश और हर में \( a \) और \( b \) का समायोजन करने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{a \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) + b}{a + b \left( \frac{\sin bx}{bx} \right)} \)
सीमा लेने पर (\( x \to 0 \) होने पर \( ax \to 0 \) और \( bx \to 0 \)):
\( = \frac{a(1) + b}{a + b(1)} = \frac{a + b}{a + b} = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर दोनों को \( x \) से विभाजित किया गया है।
• मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• अंश और हर समान होने पर मान 1 प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक पद में भाग देना।
• मानक सीमा लागू करते समय अचरों को छोड़ देना।
• काटने के बाद शून्य लिखना।

Exam Tips:

a) अंश और हर दोनों में समान प्रक्रिया अपनाएं।
b) प्रत्येक पद की सीमा अलग से समझें।
c) उत्तर को संक्षिप्त रूप में दें।

Question 21: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to 0} (\ cosec x - \cot x ) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 0} (\ cosec x - \cot x ) \)
इसे त्रिकोणमितीय अनुपाਤों में बदलने पर:
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} \)
अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करने पर: \( 1 - \cos x = 2\sin^2(x/2) \) और \( \sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2) \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} \)
\( = \lim_{x \to 0} \tan(x/2) \)
\( = \tan 0 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \ cosec x \) और \( \cot x \) को साइन और कोसाइन में बदला गया है।
• अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग किया गया है।
• उभयनिष्ठ पदों को काटकर सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सूत्रों के प्रयोग में कोण आधा करना भूल जाना।
• अनिर्धारित रूप \( \infty - \infty \) को सीधे हल न करना।
• \( \tan 0 \) का मान गलत लिखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में व्युत्क्रम फलनों को साइन-कोसाइन में बदलें।
b) अर्ध-कोण सूत्र बहुत उपयोगी होते हैं, उन्हें याद रखें।
c) अंतिम मान स्पष्ट लिखें।

Question 22: निम्नलिखित सीमा का मान ज्ञात कीजिए: \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x - \frac{\pi}{2}} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x - \frac{\pi}{2}} \)
माना \( x - \frac{\pi}{2} = y \), जिससे \( x = y + \frac{\pi}{2} \) और जैसे \( x \to \frac{\pi}{2} \), \( y \to 0 \)
अतः \( \tan 2x = \tan 2\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = \tan(2y + \pi) = \tan 2y \)
व्यंजक बनता है: \( \lim_{y \to 0} \frac{\tan 2y}{y} \)
अंश और हर में 2 से गुणा-भाग करने पर:
\( = \lim_{y \to 0} \frac{2\tan 2y}{2y} = 2 \times 1 = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• चर का प्रतिस्थापन किया गया है (\( x - \frac{\pi}{2} = y \)).
• त्रिकोणमितीय चतुर्थांश नियम \( \tan(\theta + \pi) = \tan \theta \) का उपयोग किया गया है。
• मानक सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बाद कोण का परिवर्तन गलत करना।
• 2 से गुणा करना भूल जाना।
• सीमा का मान गलत निकालना।

Exam Tips:

a) जब \( x \) किसी विशिष्ट मान (जैसे \( \pi/2 \)) की ओर अग्रसर हो, तो प्रतिस्थापन विधि सर्वोत्तम होती है।
b) सभी चरणों को ध्यान से हल करें।
c) उत्तर को सही रूप में प्राप्त करें।

Question 23: \( \lim_{x \to 0} f(x) \) और \( \lim_{x \to 1} f(x) \) ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x \leq 0 \\ 3(x + 1), & x > 0 \end{cases} \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x \leq 0 \\ 3(x + 1), & x > 0 \end{cases} \)
भाग 1: \( \lim_{x \to 0} f(x) \) के लिए:
बाईं सीमा (LHL): \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (2x + 3) = 2(0) + 3 = 3 \)
दाईं सीमा (RHL): \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} 3(x + 1) = 3(0 + 1) = 3 \)
चूँकि LHL = RHL = 3, अतः \( \lim_{x \to 0} f(x) = 3 \)
भाग 2: \( \lim_{x \to 1} f(x) \) के लिए:
जब \( x \to 1 \), फलन \( f(x) = 3(x + 1) \) का उपयोग होगा (चूँकि \( x > 0 \))
\( \lim_{x \to 1} 3(x + 1) = 3(1 + 1) = 6 \)

मुख्य बिंदु:

• फलन को अंतराल के अनुसार परिभाषित किया गया है।
• \( x = 0 \) पर बाईं और दाईं सीमाओं की तुलना की गई है।
• \( x = 1 \) के लिए उपयुक्त फलन का चयन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x = 0 \) पर दोनों सीमाओं को समान न मानकर सीधे एक ही मान रखना।
• गलत अंतराल के लिए गलत फलन चुनना।
• LHL और RHL की अवधारणा भूल जाना।

Exam Tips:

a) परिभाषित फलनों (Piecewise functions) के लिए हमेशा LHL और RHL अलग-अलग निकालें।
b) सीमा के अस्तित्व की जाँच के लिए LHL = RHL होना आवश्यक है।
c) प्रत्येक भाग को स्पष्ट रूप से हल करें।

Question 24: \( \lim_{x \to 1} f(x) \), ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \leq 1 \\ -x^2 - 1, & x > 1 \end{cases} \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \leq 1 \\ -x^2 - 1, & x > 1 \end{cases} \)
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 1^- \) के लिए: \( f(x) = x^2 - 1 \)
\( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 1^+ \) के लिए: \( f(x) = -x^2 - 1 \)
\( \lim_{x \to 1^+} (-x^2 - 1) = -(1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \)
चूँकि बाईं सीमा \( \neq \) दाईं सीमा (\( 0 \neq -2 \)), अतः \( \lim_{x \to 1} f(x) \) का अस्तित्व नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 1 \) पर फलन की LHL और RHL ज्ञात की गई हैं।
• दोनों सीमाएं असमान प्राप्त हुई हैं।
• सीमा के अस्तित्व की शर्त लागू की गई है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक तरफ की सीमा निकालकर उत्तर देना।
• मान रखते समय चिन्ह की गलती करना।
• यह निष्कर्ष न निकालना कि सीमा का अस्तित्व नहीं है।

Exam Tips:

a) जिस बिंदु पर फलन की परिभाषा बदलती है, वहाँ सीमा के लिए LHL और RHL दोनों निकालें।
b) यदि दोनों मान अलग हों, तो स्पष्ट लिखें कि सीमा का अस्तित्व नहीं है।
c) अपने उत्तर को तार्किक रूप से समाप्त करें।

Question 25: \( \lim_{x \to 0} f(x) \), का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 0^- \) के लिए (चूँकि \( x < 0 \), \( |x| = -x \)):
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0} (-1) = -1 \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 0^+ \) के लिए (चूँकि \( x > 0 \), \( |x| = x \)):
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} (1) = 1 \)
चूँकि LHL \( \neq \) RHL (\( -1 \neq 1 \)), अतः \( \lim_{x \to 0} f(x) \) का अस्तित्व नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलन \( |x| \) की परिभाषा \( x < 0 \) और \( x > 0 \) के लिए उपयोग की गई है।
• LHL और RHL के मान अलग-अलग आए हैं।
• सीमा के अस्तित्व न होने की पुष्टि की गई है।

आम गलतियाँ:

• मापांक फलन को बिना तोड़े सीधे मान रखना।
• \( \frac{x}{x} \) को हल करते समय चिन्ह की उपेक्षा करना।
• सीमा का अस्तित्व मान लेना।

Exam Tips:

a) मापांक फलनों के प्रश्नों में हमेशा \( x < 0 \) और \( x > 0 \) के लिए अलग स्थितियां बनाएं।
b) LHL और RHL की तुलना करना न भूलें।
c) अंतिम निष्कर्ष स्पष्ट रूप से दें।

Question 26: \( \lim_{x \to 0} f(x) \), ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 0^- \) के लिए (जब \( x < 0, |x| = -x \)):
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to 0} (-1) = -1 \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 0^+ \) के लिए (जब \( x > 0, |x| = x \)):
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} (1) = 1 \)
चूँकि LHL \( \neq \) RHL (\( -1 \neq 1 \)), अतः \( \lim_{x \to 0} f(x) \) का अस्तित्व नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग किया गया है।
• \( x < 0 \) पर मान \( -1 \) और \( x > 0 \) पर मान \( 1 \) प्राप्त होता है।
• दोनों सीमाएं असमान हैं।

आम गलतियाँ:

• मापांक के चिन्ह को नजरअंदाज करना।
• सीमाओं के मान गलत निकालना।
• निष्कर्ष लिखने में गलती करना।

Exam Tips:

a) मापांक वाले फलनों में फलन के धनात्मक और ऋणात्मक रूपों को समझें।
b) LHL और RHL की गणना सावधानी से करें।
c) अपने उत्तर को पूर्ण रूप से लिखें।

Question 27: \( \lim_{x \to 5} f(x) \), ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = |x| - 5 \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = |x| - 5 \)
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 5^- \) के लिए (चूँकि \( x > 0, |x| = x \)):
\( \lim_{x \to 5^-} (|x| - 5) = \lim_{x \to 5} (x - 5) = 5 - 5 = 0 \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 5^+ \) के लिए (चूँकि \( x > 0, |x| = x \)):
\( \lim_{x \to 5^+} (|x| - 5) = \lim_{x \to 5} (x - 5) = 5 - 5 = 0 \)
चूँकि LHL = RHL = 0, अतः \( \lim_{x \to 5} f(x) = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• \( x = 5 \) के पास फलन पूरी तरह धनात्मक है, अतः \( |x| = x \).
• LHL और RHL दोनों समान हैं।
• सीमा का अस्तित्व है और इसका मान 0 है।

आम गलतियाँ:

• \( x = 5 \) पर भी मापांक का ऋणात्मक रूप ले लेना।
• घटाव में गणना की त्रुटि करना।
• सीमा के अस्तित्व की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) देखें कि जिस बिंदु पर सीमा निकाल रहे हैं, वहाँ मापांक के अंदर की संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक।
b) यदि मान धनात्मक है, तो मापांक सीधे हट जाता है।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 28: मान लीजिए \( f(x) = \begin{cases} a + bx, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ b - ax, & x > 1 \end{cases} \) और यदि \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \) तो \( a \) और \( b \) के संभव मान क्या हैं?

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} a + bx, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ b - ax, & x > 1 \end{cases} \)
दिया है: \( f(1) = 4 \) और \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \)
इसका अर्थ है कि \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \)
बाईं सीमा (LHL): \( \lim_{x \to 1^-} (a + bx) = a + b(1) = a + b \)
दाईं सीमा (RHL): \( \lim_{x \to 1^+} (b - ax) = b - a(1) = b - a \)
प्रश्נוनुसार:
\( a + b = 4 \)
\( b - a = 4 \)
दोनों समीकरणों को हल करने पर:
\( (a + b) + (b - a) = 4 + 4 \implies 2b = 8 \implies b = 4 \)
\( b = 4 \) को समीकरण में रखने पर \( a = 0 \)
अतः \( a = 0 \) और \( b = 4 \)

मुख्य बिंदु:

• दी गई शर्त \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \) का उपयोग किया गया है।
• LHL और RHL को फलन के मान के बराबर रखा गया है।
• रैखिक समीकरण युग्म को हल करके अचरों के मान निकाले गए हैं।

आम गलतियाँ:

• LHL और RHL को फलन के मान के बराबर न रखना।
• समीकरण हल करते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।
• \( a \) और \( b \) के मानों की गलत परस्पर तुलना करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में संतत्य (continuity) और सीमा की शर्तों का सही उपयोग करें।
b) समीकरणों को क्रमित रूप से हल करें।
c) अंत में दोनों चरों के मान स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 29: मान लीजिए \( a_1, a_2, \dots, a_n \) अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन \( f(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n) \) से परिभाषित है। \( \lim_{x \to a_1} f(x) \) क्या है? किसी \( a \neq a_1, a_2, \dots, a_n \) के लिए \( \lim_{x \to a} f(x) \) का परिकलन कीजिए।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n) \)
भाग 1: \( \lim_{x \to a_1} f(x) \) ज्ञात करना:
\( \lim_{x \to a_1} f(x) = \lim_{x \to a_1} [(x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n)] \)
प्रत्यक्ष मान \( x = a_1 \) रखने पर:
\( = (a_1 - a_1)(a_1 - a_2)\dots(a_1 - a_n) \)
\( = 0 \cdot (a_1 - a_2)\dots(a_1 - a_n) = 0 \)
भाग 2: किसी अन्य बिंदु \( a \) (\( a \neq a_1, a_2, \dots, a_n \)) पर सीमा ज्ञात करना:
\( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} [(x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n)] \)
\( = (a - a_1)(a - a_2)\dots(a - a_n) \)

मुख्य बिंदु:

• बहुपदीय फलनों के लिए प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• पहले भाग में \( (a_1 - a_1) \) के कारण पूरा गुणनफल शून्य हो जाता है।
• दूसरे भाग में \( a \) सीधे सभी ब्रैकेट्स में प्रतिस्थापित हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल के नियमों को गलत समझना।
• शून्य से गुणा होने पर भी अन्य पदों का प्रभाव रखना।
• शर्तों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) बहुपदों की सीमाएं बहुत सरल होती हैं, सीधे मान प्रतिस्थापित करें।
b) शून्य वाले पद का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर को व्यापक रूप में लिखें।

Question 30: यदि \( f(x) = \begin{cases} |x| + 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ |x| - 1, & x > 0 \end{cases} \) तो \( a \) के किन मानों के लिए \( \lim_{x \to a} f(x) \) का अस्तित्व है?

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} |x| + 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ |x| - 1, & x > 0 \end{cases} \)
स्थिति 1: जब \( a < 0 \)
\( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (|x| + 1) \)
चूँकि \( a < 0 \), \( |x| = -x \), अतः:
\( = \lim_{x \to a} (-x + 1) = -a + 1 \)
इस बिंदु पर सीमा का अस्तित्व है।
स्थिति 2: जब \( a = 0 \)
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 0^- \) के लिए: \( |x| = -x \), अतः \( \lim_{x \to 0^-} (-x + 1) = 1 \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 0^+ \) के लिए: \( |x| = x \), अतः \( \lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1 \)
चूँकि LHL \( \neq \) RHL (\( 1 \neq -1 \)), अतः \( x = 0 \) पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
स्थिति 3: जब \( a > 0 \)
\( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (|x| - 1) = a - 1 \)
इस बिंदु पर भी सीमा का अस्तित्व है।
अतः, \( a \) के सभी वास्तविक मानों के लिए सीमा का अस्तित्व है, सिवाय \( a = 0 \) के।

मुख्य बिंदु:

• फलन को अलग-अलग अंतरालों (\( a < 0, a = 0, a > 0 \)) में परखा गया है।
• मापांक फलन के गुणों का उपयोग किया गया है।
• \( a = 0 \) पर LHL और RHL असमान होने के कारण सीमा अस्तित्वहीन पाई गई है।

आम गलतियाँ:

• सभी बिंदुओं पर एक ही फलन मान लेना।
• \( x = 0 \) पर सीमाओं की जाँच न करना।
• मापांक के चिन्ह को गलत जगह बदलना।

Exam Tips:

a) अंतराल आधारित फलनों में सभी संभव मामलों (ऋणात्मक, शून्य, धनात्मक) की अलग-अलग जाँच करें।
b) प्रत्येक स्थिति के निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर में अपवर्जित बिंदु (\( a = 0 \)) को स्पष्ट करें।

Question 31: यदि फलन \( f(x) \), \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x^2 - 1} = \pi \), को संतुष्ट करता है, तो \( \lim_{x \to 1} f(x) \) का मान प्राप्त कीजिए।

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x^2 - 1} = \pi \)
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर:
\( \frac{\lim_{x \to 1} (f(x) - 2)}{\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)} = \pi \)
हर का मान ज्ञात करने पर: \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0 \)
चूँकि हर शून्य है और सीमा का मान परिमित (\( \pi \)) है, इसलिए अंश की सीमा भी अनिवार्य रूप से शून्य होनी चाहिए (अन्यथा सीमा अनंत हो जाती):
अतः, \( \lim_{x \to 1} (f(x) - 2) = 0 \)
\( \lim_{x \to 1} f(x) - 2 = 0 \)
\( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• यदि किसी भिन्न की सीमा परिमित है और उसका हर शून्य हो रहा है, तो उसका अंश भी शून्य होना चाहिए।
• सीमा के बीजगणितीय गुणों का प्रयोग किया गया है।
• सरल समीकरण को हल करके अज्ञात सीमा का मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• हर के शून्य होने की स्थिति को नजरअंदाज करना।
• अंश की सीमा को सीधे शून्य न मानना।
• गणना में पक्षांतर की गलती करना।

Exam Tips:

a) यह एक बहुत महत्वपूर्ण सैद्धांतिक प्रश्न है, इसके तर्क को अच्छी तरह समझें।
b) यदि उत्तर परिमित हो और हर 0 हो, तो अंश अवश्य 0 होता है।
c) चरणों को क्रमबद्ध लिखें।

Question 32: किन पूर्णांकों \( m \) और \( n \) के लिए \( \lim_{x \to 0} f(x) \) और \( \lim_{x \to 1} f(x) \) दोनों का अस्तित्व है, यदि \( f(x) = \begin{cases} mx^2 + n, & x < 0 \\ nx + m, & 0 \leq x \leq 1 \\ nx^3 + m, & x > 1 \end{cases} \)

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \begin{cases} mx^2 + n, & x < 0 \\ nx + m, & 0 \leq x \leq 1 \\ nx^3 + m, & x > 1 \end{cases} \)
भाग 1: \( \lim_{x \to 0} f(x) \) के अस्तित्व के लिए:
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 0^- \) पर: \( \lim_{x \to 0} (mx^2 + n) = m(0)^2 + n = n \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 0^+ \) पर: \( \lim_{x \to 0} (nx + m) = n(0) + m = m \)
सीमा के अस्तित्व के लिए LHL = RHL होना चाहिए, अतः:
\( m = n \)
भाग 2: \( \lim_{x \to 1} f(x) \) के अस्तित्व के लिए:
बाईं सीमा (LHL) \( x \to 1^- \) पर: \( \lim_{x \to 1} (nx + m) = n(1) + m = n + m \)
दाईं सीमा (RHL) \( x \to 1^+ \) पर: \( \lim_{x \to 1} (nx^3 + m) = n(1)^3 + m = n + m \)
यहाँ LHL और RHL दोनों पहले से ही समान हैं (\( n + m = n + m \)), जो कि \( m = n \) होने पर स्वतः संतुष्ट होता है।
अतः \( \lim_{x \to 0} f(x) \) और \( \lim_{x \to 1} f(x) \) दोनों के अस्तित्व के लिए आवश्यक प्रतिबंध है कि \( m = n \) (अर्थात \( m \) और \( n \) के सभी समान पूर्णांक मान मान्य हैं)।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 0 \) और \( x = 1 \) दोनों बिंदुओं पर LHL और RHL की गणना की गई है।
• सीमा के अस्तित्व के लिए LHL = RHL की शर्त लागू की गई है।
• \( m \) और \( n \) के बीच संबंध स्थापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• किसी एक बिंदु की जाँच करके छोड़ देना।
• LHL और RHL निकालते समय गलत फलन का चयन करना।
• प्रतिबंध \( m = n \) को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) बहु-परिभाषित फलनों के सभी विभाजन बिंदुओं पर अलग-अलग सीमा जांचें।
b) अस्तित्व के लिए LHL = RHL की शर्त का कड़ाई से पालन करें।
c) अंतिम निष्कर्ष को स्पष्ट शब्दों में लिखें।