Download NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Access comprehensive textbook solutions for Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय using the official curriculum guides for Class 11 Mathematics. Designed to align with the 2026-27 NCERT standards, these detailed answers help students reinforce core academic concepts.
Access NCERT Solutions and Answers
Access the complete solution PDF for Class 11 Mathematics below. Regular practice with these targeted textbook answers builds familiarity with standard question patterns and helps secure higher marks in final school evaluations.
Question 1: समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष \( A(3, -1, 2) \), \( B(1, 2, -4) \) और \( C(-1, 1, 2) \) हैं। चौथे शीर्ष \( D \) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: समांतर चतुर्भुज \( ABCD \) के तीन शीर्ष \( A(3, -1, 2) \), \( B(1, 2, -4) \) और \( C(-1, 1, 2) \) हैं।
माना चौथे शीर्ष \( D \) के निर्देशांक \( (x, y, z) \) हैं।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः, चतुर्भुज \( ABCD \) के विकर्ण \( AC \) और \( BD \) एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
\( \therefore \) \( AC \) के मध्य बिंदु के निर्देशांक \( = \) \( BD \) के मध्य बिंदु के निर्देशांक
\[ \left(\frac{3 - 1}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = \left(\frac{x + 1}{2}, \frac{y + 2}{2}, \frac{z - 4}{2}\right) \]
\[ \Rightarrow (1, 0, 2) = \left(\frac{x + 1}{2}, \frac{y + 2}{2}, \frac{z - 4}{2}\right) \]
अब दोनों पक्षों के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\[ \frac{x + 1}{2} = 1, \frac{y + 2}{2} = 0, \frac{z - 4}{2} = 2 \]
\[ \Rightarrow x = 1, y = -2, z = 8 \]
अतः, चौथे शीर्ष के अभीष्ट निर्देशांक \( (1, -2, 8) \) हैं।
आकृति का विवरण: एक समांतर चतुर्भुज \( ABCD \) दर्शाया गया है जिसके शीर्षों \( A, B, C \) और \( D(x, y, z) \) के निर्देशांक अंकित हैं तथा विकर्ण \( AC \) और \( BD \) एक दूसरे को काटते हैं।
मुख्य बिंदु:
• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
• मध्य बिंदु सूत्र \( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \) का उपयोग किया जाता है।
• दोनों विकर्णों के मध्य बिंदुओं के निर्देशांकों को समान रखा जाता है।
आम गलतियाँ:
• विकर्णों के युग्म गलत चुनना (जैसे \( AC \) और \( BD \) के बजाय \( AB \) और \( CD \) लेना)।
• मध्य बिंदु सूत्र में चिह्न की गलती करना।
• तुलना करते समय गणना में भूल करना।
Exam Tips:
a) हमेशा पहले कच्चा चित्र (rough sketch) बनाकर विकर्णों के सही क्रम की पहचान करें।
b) मध्य बिंदु सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंत में उत्तर की जाँच करने के लिए दूरियों (जैसे \( AB = CD \)) का प्रयोग कर सकते हैं।
Question 2: एक त्रिभुज \( ABC \) के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः \( A(0, 0, 6) \), \( B(0, 4, 0) \) तथा \( C(6, 0, 0) \) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना \( AD \), \( BE \), और \( CF \) दिए गए त्रिभुज \( ABC \) की माध्यिकाएँ हैं।
चूँकि \( AD \) माध्यिका है, इसलिए बिंदु \( D \) भुजा \( BC \) का मध्य बिंदु है।
\( \therefore \) बिंदु \( D \) के निर्देशांक \( = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (3, 2, 0) \)
\( AD \) की लंबाई \( = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (6 - 0)^2} \)
\[ = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]
चूँकि \( BE \) माध्यिका है, इसलिए बिंदु \( E \) भुजा \( AC \) का मध्य बिंदु है।
\( \therefore \) बिंदु \( E \) के निर्देशांक \( = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (3, 0, 3) \)
\( BE \) की लंबाई \( = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} \)
\[ = \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34} \]
चूँकि \( CF \) माध्यिका है, इसलिए बिंदु \( F \) भुजा \( AB \) का मध्य बिंदु है।
\( \therefore \) बिंदु \( F \) के निर्देशांक \( = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (0, 2, 3) \)
\( CF \) की लंबाई \( = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \)
अतः, \( \triangle ABC \) की माध्यिकाओं की लंबाई \( 7, \sqrt{34} \) और \( 7 \) हैं।
आकृति का विवरण: त्रिभुज \( ABC \) दिखाया गया है जिसके शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं तथा भुजाओं पर माध्यिकाएँ \( AD, BE, CF \) खींची गई हैं।
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज की माध्यिका वह रेखाखंड है जो शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से मिलाती है।
• मध्य बिंदु निकालने के लिए मध्य बिंदु सूत्र का प्रयोग होता है।
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \) का उपयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• माध्यिका के लिए गलत भुजा का मध्य बिंदु निकाल लेना।
• दूरी सूत्र में वर्गमूल लेना भूल जाना।
• निर्देशांकों के मान रखते समय क्रम की गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक माध्यिका के लिए मध्य बिंदु अलग से स्पष्ट रूप से निकालें।
b) दूरी सूत्र लिखते समय कोष्ठक और घातों का ध्यान रखें।
c) गणना को सरल बनाते समय वर्गमूल के अंदर के पदों को सावधानी से जोड़ें।
Question 3: यदि त्रिभुज \( PQR \) का केंद्रक मूल बिंदु है और शीर्ष \( P(2a, 2, 6) \), \( Q(-4, 3b, -10) \) और \( R(8, 14, 2c) \) हैं तो \( a, b \) और \( c \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
शीर्षों \( (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \) और \( (x_3, y_3, z_3) \) वाले त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक:
\[ \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \]
इसलिए, \( \triangle PQR \) के केंद्रक के निर्देशांक:
\[ \left(\frac{2a - 4 + 8}{3}, \frac{2 + 3b + 14}{3}, \frac{6 - 10 + 2c}{3}\right) \]
\[ = \left(\frac{2a + 4}{3}, \frac{3b + 16}{3}, \frac{2c - 4}{3}\right) \]
परंतु, दिया है कि \( \triangle PQR \) का केंद्रक मूल बिंदु है। इसलिए
\[ (0, 0, 0) = \left(\frac{2a + 4}{3}, \frac{3b + 16}{3}, \frac{2c - 4}{3}\right) \]
अतः निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\[ \frac{2a + 4}{3} = 0, \frac{3b + 16}{3} = 0, \text{ और } \frac{2c - 4}{3} = 0 \]
\[ \Rightarrow 2a + 4 = 0, 3b + 16 = 0, 2c - 4 = 0 \]
\[ \Rightarrow a = -2, b = -\frac{16}{3}, \text{ और } c = 2 \]
अतः, \( a, b \) और \( c \) के अभीष्ट मान क्रमशः \( -2, -\frac{16}{3} \) और \( 2 \) हैं।
आकृति का विवरण: एक त्रिभुज \( PQR \) दिखाया गया है जिसका केंद्रक मूल बिंदु \( (0,0,0) \) पर स्थित है और शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं।
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र \( \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \) होता है।
• मूल बिंदु के निर्देशांक \( (0, 0, 0) \) होते हैं।
• तीनों निर्देशांकों (x, y, z) को अलग-अलग शून्य के बराबर रखकर समीकरण हल किए जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• केंद्रक सूत्र के बट्टे में 3 लिखना भूल जाना।
• समीकरण हल करते समय चिह्नों की गलती करना।
• \( b \) का मान ऋणात्मक के बजाय धनात्मक लिख देना।
Exam Tips:
a) केंद्रक का सूत्र सबसे पहले लिखिए।
b) \( x, y, z \) के तीनों भागों को अलग-अलग हल करें ताकि कोई भ्रम न हो।
c) अंत में मानों को सूत्र में रखकर पुनः जाँच कर लें।
Question 4: यदि बिंदु \( A \) और \( B \) क्रमशः \( (3, 4, 5) \) तथा \( (-1, 3, -7) \) हैं। चर बिंदु \( P \) द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ \( PA^2 + PB^2 = k^2 \), जहाँ \( k \) अचर है।
Answer:
दिया है: बिंदुएँ \( A \) और \( B \) के निर्देशांक क्रमशः \( (3, 4, 5) \) और \( (-1, 3, -7) \) हैं।
माना, बिंदु \( P \) के निर्देशांक \( (x, y, z) \) हैं। इसलिए, दूरी सूत्र से
\[ PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 \]
\[ = x^2 + 9 - 6x + y^2 + 16 - 8y + z^2 + 25 - 10z \]
\[ = x^2 - 6x + y^2 - 8y + z^2 - 10z + 50 \]
\[ PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2 \]
\[ = x^2 + 2x + y^2 - 6y + z^2 + 14z + 59 \]
यदि \( PA^2 = k^2 \) नहीं बल्कि \( PA^2 + PB^2 = k^2 \), तब:
\[ (x^2 - 6x + y^2 - 8y + z^2 - 10z + 50) + (x^2 + 2x + y^2 - 6y + z^2 + 14z + 59) = k^2 \]
\[ \Rightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x - 14y + 4z + 109 = k^2 \]
\[ \Rightarrow 2(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 7y + 2z) = k^2 - 109 \]
\[ \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 7y + 2z = \frac{k^2 - 109}{2} \]
अतः, चर बिंदु \( P \) द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 7y + 2z = \frac{k^2 - 109}{2} \) है।
मुख्य बिंदु:
• दूरी के वर्ग \( PA^2 \) में वर्गमूल का चिह्न हट जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
• बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \) का प्रयोग किया जाता है।
• समान प्रकार के चरों (जैसे \( x^2, y^2, z^2, x, y, z \)) के पदों को जोड़ा जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( (x - (-1))^2 \) को \( (x - 1)^2 \) लिख देना (चिह्न की गलती)।
• वर्ग खोलते समय मध्य पद (2ab) का चिह्न गलत करना।
• अंत में 2 से भाग देना भूल जाना।
Exam Tips:
a) \( PA^2 \) और \( PB^2 \) के विस्तार को अलग-अलग सावधानी से हल करें।
b) समान घात वाले पदों को एक साथ व्यवस्थित करें।
c) समीकरण को सरलतम रूप में लिखकर ही उत्तर समाप्त करें।
Free study material for Mathematics
NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Chapter Exercise Answers for Class 11 Mathematics
Explore reliable textbook solutions for Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय tailored for Class 11 learners. Utilizing these complete exercise answers ensures your preparation aligns exactly with official NCERT standards for Mathematics.
Detailed Answer Guides for Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Each solution includes detailed reasoning to foster genuine comprehension of Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय concepts. Reviewing these step-by-step breakdowns allows learners to master both analytical and descriptive questions expected in school evaluations.
Complete Preparation Kit for Class 11 Exams
Frequent review of these structured answers builds strong analytical capabilities and response efficiency. Maximize your academic readiness by combining these textbook solutions with our curated study materials and mock evaluations for Class 11 Mathematics.
FAQs
The complete and updated NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Miscellaneous Exercise in Hindi is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 11 Mathematics are as per latest NCERT curriculum.
Yes, our experts have revised the NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Miscellaneous Exercise in Hindi as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using NCERT language because NCERT marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Miscellaneous Exercise in Hindi will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 11 Mathematics. You can access NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Miscellaneous Exercise in Hindi in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Miscellaneous Exercise in Hindi in printable PDF format for offline study on any device.