NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Access comprehensive textbook solutions for Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय using the official curriculum guides for Class 11 Mathematics. Designed to align with the 2026-27 NCERT standards, these detailed answers help students reinforce core academic concepts.
Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Access the complete solution PDF for Class 11 Mathematics below. Regular practice with these targeted textbook answers builds familiarity with standard question patterns and helps secure higher marks in final school evaluations.
Question 1: निम्नलिखित बिंदु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) \((2, 3, 5)\) और \((4, 3, 1)\)
(ii) \((-3, 7, 2)\) और \((2, 4, -1)\)
(iii) \((-1, 3, -4)\) और \((1, -3, 4)\)
(iv) \((2, -1, 3)\) और \((-2, 1, 3)\)
Answer:
दूरी सूत्र के अनुसार, बिंदुओं \(P(x_1, y_1, z_1)\) और \(Q(x_2, y_2, z_2)\) के बीच की दूरी निम्न प्रकार दी जाती है:
\[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
(i) बिंदुओं \((2, 3, 5)\) और \((4, 3, 1)\) के बीच की दूरी:
\[ = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \]
\[ = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
(ii) बिंदुओं \((-3, 7, 2)\) और \((2, 4, -1)\) के बीच की दूरी:
\[ = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (4 - 7)^2 + (-1 - 2)^2} \]
\[ = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9 + 9} = \sqrt{43} \]
(iii) बिंदुओं \((-1, 3, -4)\) और \((1, -3, 4)\) के बीच की दूरी:
\[ = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - 3)^2 + (4 - (-4))^2} \]
\[ = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \]
(iv) बिंदुओं \((2, -1, 3)\) और \((-2, 1, 3)\) के बीच की दूरी:
\[ = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 + (3 - 3)^2} \]
\[ = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
मुख्य बिंदु:
• त्रिविमीय अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए त्रिविमीय दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है।
• सूत्र में x, y और z निर्देशांकों के अंतर के वर्गों का योग लिया जाता है।
• परिणामी वर्गमूल को सरलतम रूप में व्यक्त करना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक संख्याओं के घटाव के दौरान चिह्न की गलती करना।
• वर्ग करते समय ऋण चिह्न को भूल जाना, जैसे \((-4)^2 = -16\) लिखना जबकि यह \(16\) होता है।
• वर्गमूल को पूरी तरह से सरल न करना।
Exam Tips:
a) गणना शुरू करने से पहले हमेशा सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) घटते समय निर्देशांकों के क्रम को ठीक से बनाए रखें।
c) अंतिम उत्तर में यदि संभव हो तो करणी (square root) से बाहर पद निकालें।
Question 2: दर्शाइए कि बिंदु \((-2, 3, 5)\), \((1, 2, 3)\) और \((7, 0, -1)\) संरेख हैं।
Answer:
माना बिंदुओं \(P, Q\) और \(R\) के निर्देशांक क्रमशः \((-2, 3, 5)\), \((1, 2, 3)\) और \((7, 0, -1)\) हैं।
बिंदुओं \(P, Q\) और \(R\) के संरेख होने के लिए आवश्यक है कि वे एक ही रेखा पर हों, अर्थात किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर हो।
अब, दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरियाँ ज्ञात करते हैं:
\[ PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \]
\[ QR = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \]
\[ PR = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(9)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \]
यहाँ, हम देखते हैं कि:
\[ PQ + QR = \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} = PR \]
चूँकि \(PQ + QR = PR\) है, अतः बिंदु \((-2, 3, 5)\), \((1, 2, 3)\) और \((7, 0, -1)\) संरेख हैं।
मुख्य बिंदु:
• तीन बिंदुओं के संरेख होने की शर्त यह है कि किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर होना चाहिए।
• तीनों दूरियों \(PQ, QR, PR\) की गणना सावधानी से करनी चाहिए।
• वर्गमूल वाली संख्याओं को समान करणी रूप में बदलकर योग करना आसान होता है।
आम गलतियाँ:
• गलत संयोजन की दूरियों को जोड़ना जैसे \(PQ + PR = QR\) मान लेना।
• वर्गमूल के अंदर की संख्याओं को जोड़ते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।
• संरेखता सिद्ध करने के बाद निष्कर्ष न लिखना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले तीनों दूरियाँ \(PQ, QR\) और \(PR\) अलग-अलग निकालें।
b) जाँच करें कि कौन सी दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर आ रहा है।
c) उत्तर के अंत में स्पष्ट रूप से 'अतः बिंदु संरेख हैं' लिखें।
Question 3: निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए:
(i) \((0, 7, 10)\), \((1, 6, -6)\) और \((4, 9, -6)\) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(ii) \((0, 7, 10)\), \((-1, 6, 6)\) और \((-4, 9, 6)\) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(iii) \((-1, 2, 1)\), \((1, -2, 5)\), \((4, -7, 8)\) और \((2, -3, 4)\) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Answer:
(i) माना बिंदुओं \(A, B\) और \(C\) के निर्देशांक क्रमशः \((0, 7, -10)\), \((1, 6, -6)\) और \((4, 9, -6)\) हैं।
दूरी सूत्र से भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
\[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (6 - 7)^2 + (-6 - (-10))^2} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
\[ BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (9 - 6)^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
\[ CA = \sqrt{(0 - 4)^2 + (7 - 9)^2 + (-10 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]
यहाँ, \(AB = BC \neq CA\) है।
चूँकि त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, अतः दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(ii) माना बिंदुओं \(A, B\) और \(C\) के निर्देशांक क्रमशः \((0, 7, 10)\), \((-1, 6, 6)\) और \((-4, 9, 6)\) हैं।
भुजाओं की लंबाइयाँ:
\[ AB = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (6 - 7)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
\[ BC = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9 - 6)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
\[ CA = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (7 - 9)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]
यहाँ, \(AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36 = AC^2\) है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। अतः सत्यापित हुआ।
(iii) माना बिंदुओं \(A, B, C\) और \(D\) के निर्देशांक क्रमशः \((-1, 2, 1)\), \((1, -2, 5)\), \((4, -7, 8)\) और \((2, -3, 4)\) हैं।
चारों भुजाओं की लंबाइयाँ:
\[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]
\[ BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 - (-2))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43} \]
\[ CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-3 - (-7))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]
\[ DA = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-3))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43} \]
यहाँ, \(AB = CD = 6\) और \(BC = DA = \sqrt{43}\) है।
चूँकि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
मुख्य बिंदु:
• समद्विबाहु त्रिभुज के लिए दो भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए।
• समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय (\(a^2 + b^2 = c^2\)) संतुष्ट होनी चाहिए।
• समांतर चतुर्भुज के लिए दोनों युग्मों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• समकोण त्रिभुज सिद्ध करते समय केवल भुजाओं की लंबाई निकालना और वर्गों का योग जाँच करना भूल जाना।
• समांतर चतुर्भुज में केवल दो भुजाएँ निकालकर छोड़ देना, जबकि चारों भुजाएँ और आवश्यकतानुसार विकर्ण भी देखने होते हैं।
• निर्देशांकों के चिह्न बदलने में गलती करना।
Exam Tips:
प्रत्येक भाग (i, ii, iii) में सभी संभावित दूरियों को पहले ही क्रमबद्ध रूप से निकाल लें।
समकोण त्रिभुज के लिए वर्गों का योग स्पष्ट रूप से दिखाएं।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के जोड़ों को अलग से लिखकर तुलना करें।
Question 4: ऐसे बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु \((1, 2, 3)\) और \((3, 2, -1)\) से समदूरस्थ हैं।
Answer:
माना बिंदु \(P(x, y, z)\) दिए गए बिंदुओं \(A(1, 2, 3)\) और \(B(3, 2, -1)\) से समदूरस्थ है।
अतः, प्रतिबंध के अनुसार:
\[ PA = PB \]
या \(PA^2 = PB^2\)
अब दूरी सूत्र का वर्ग रूप लागू करने पर:
\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \]
दोनों पक्षों के ब्रैकेट्स को खोलने पर:
\[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1 \]
समान पदों को दोनों पक्षों से काटने पर:
\[ -2x - 6z + 14 = -6x + 2z + 14 \]
सभी पदों को एक पक्ष में लाने पर:
\[ -2x + 6x - 6z - 2z + 14 - 14 = 0 \]
\[ 4x - 8z = 0 \]
पूरे समीकरण को \(4\) से भाग देने पर:
\[ x - 2z = 0 \]
अतः, अभीष्ट समीकरण \(x - 2z = 0\) है।
मुख्य बिंदु:
• समदूरस्थ (equidistant) होने का अर्थ है कि बिंदु की दोनों दिए गए बिंदुओं से दूरियाँ समान हैं।
• वर्गमूल से बचने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग (\(PA^2 = PB^2\)) करके हल करना आसान होता है।
• समीकरण को सरलतम रूप में लाने के लिए समान पदों को काटा जाता है।
आम गलतियाँ:
• वर्ग करते समय \((\text{दूरी})^2\) में वर्गमूल का चिह्न लगा रहना या हटाना भूल जाना।
• पूर्ण वर्ग के सूत्रों \((a-b)^2\) या \((a+b)^2\) को खोलते समय चिह्न की गलती करना।
• अंतिम समीकरण को सरल न करना।
Exam Tips:
a) हमेशा \(PA^2 = PB^2\) से शुरुआत करें ताकि गणना में वर्गमूल से बचा जा सके।
b) बीजगणितीय विस्तार बहुत सावधानी से करें।
c) अंतिम उत्तर को सबसे सरल अनुपात में दें।
Question 5: बिंदुओं \(P\) से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं \(A(4, 0, 0)\) और \(B(-4, 0, 0)\) से दूरियों का योग \(10\) है।
Answer:
माना बिंदु \(P\) के निर्देशांक \((x, y, z)\) हैं।
दिए गए बिंदु \(A(4, 0, 0)\) और \(B(-4, 0, 0)\) हैं।
प्रश्न के अनुसार, बिंदुओं से दूरियों का योग \(10\) है, अतः:
\[ PA + PB = 10 \]
मान रखने पर:
\[ \sqrt{(x - 4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} = 10 \]
एक पद को दाईं ओर ले जाने पर:
\[ \sqrt{(x - 4)^2 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ (x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 100 - 20\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} + (x + 4)^2 + y^2 + z^2 \]
विस्तार करने और समान पदों को काटने पर:
\[ x^2 - 8x + 16 = 100 - 20\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} + x^2 + 8x + 16 \]
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\[ -16x - 100 = -20\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} \]
चार से भाग देने और चिह्न बदलने पर:
\[ 5\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} = 4x + 25 \]
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ 25 \left( (x + 4)^2 + y^2 + z^2 \right) = (4x + 25)^2 \]
\[ 25(x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2) = 16x^2 + 200x + 625 \]
\[ 25x^2 + 200x + 400 + 25y^2 + 25z^2 = 16x^2 + 200x + 625 \]
सभी पदों को बाईं ओर लाने पर:
\[ (25 - 16)x^2 + 25y^2 + 25z^2 + (400 - 625) = 0 \]
\[ 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 - 225 = 0 \]
या \[ 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 225 \]
अतः, अभीष्ट समीकरण \(9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 225\) है।
मुख्य बिंदु:
• यह दीर्घवृत्त (ellipse) का त्रिविमीय रूप है, जहाँ अचर योग \(10\) दीर्घ अक्ष की लंबाई को दर्शाता है।
• इस प्रकार के प्रश्नों में वर्गमूल को अकेला करके दो बार वर्ग करना पड़ता है।
• बीजगणितीय विस्तार और पक्षांतरण बहुत सावधानी से करना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• एक बार वर्ग करने के बाद भी वर्गमूल न हटने पर घबरा जाना और दूसरी बार वर्ग न करना।
• \((4x + 25)^2\) का विस्तार करते समय मध्य पद \(2ab\) छोड़ देना।
• कोष्ठक के बाहर गुणा करते समय गुणा की गलती करना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल वाले पद को एक तरफ रखकर ही पहला वर्ग करें।
b) दूसरे वर्ग से पहले समीकरण को जितना हो सके सरल बना लें।
c) दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के रूप में उत्तर को व्यवस्थित करें।
Free study material for Mathematics
Step-by-Step Textbook Answers: Class 11 Mathematics Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Chapter Exercise Answers for Class 11 Mathematics
Review comprehensive exercise answers for Class 11 Mathematics Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय. Fully updated to match current NCERT syllabus guidelines, these textbook solutions help students verify their work and maintain accurate study notes.
Detailed Answer Guides for Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Beyond providing final answers, these guides offer step-by-step breakdowns for complex queries in the Class 11 Mathematics module. This approach helps students balance theoretical depth with practical problem-solving skills required for NCERT exams.
Complete Preparation Kit for Class 11 Exams
Frequent review of these structured answers builds strong analytical capabilities and response efficiency. Maximize your academic readiness by combining these textbook solutions with our curated study materials and mock evaluations for Class 11 Mathematics.
FAQs
The complete and updated NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Exercise 11.2 in Hindi is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 11 Mathematics are as per latest NCERT curriculum.
Yes, our experts have revised the NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Exercise 11.2 in Hindi as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using NCERT language because NCERT marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Exercise 11.2 in Hindi will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 11 Mathematics. You can access NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Exercise 11.2 in Hindi in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) Exercise 11.2 in Hindi in printable PDF format for offline study on any device.