Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
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Question 1: एक बिंदु \( x \)-अक्ष पर स्थित है। इसके \( y \)-निर्देशांक तथा \( z \)-निर्देशांक क्या हैं?
Answer:
चूँकि बिंदु \( x \)-अक्ष पर स्थित है, इसलिए इस बिंदु की \( y \)-अक्ष और \( z \)-अक्ष से दूरियाँ शून्य होंगी।
अतः, बिंदु के \( y \)-निर्देशांक तथा \( z \)-निर्देशांक दोनों शून्य (0) होंगे।
अर्थात, \( x \)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक \( (x, 0, 0) \) के रूप के होते हैं।
मुख्य बिंदु:
• त्रिविमीय ज्यामिति में किसी भी अक्ष पर अन्य दो अक्षों के निर्देशांक शून्य होते हैं।
• \( x \)-अक्ष पर \( y = 0 \) और \( z = 0 \) होता है।
• बिंदु के निर्देशांकों का रूप \( (x, 0, 0) \) होता है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक निर्देशांक को शून्य लिखना।
• \( x \)-निर्देशांक को भी शून्य मान लेना।
• त्रिविमीय और द्विविमीय निर्देशांकों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि बिंदु किस अक्ष पर स्थित है।
b) उत्तर लिखते समय कारण स्पष्ट करें कि अन्य निर्देशांक शून्य क्यों हैं।
c) सामान्य रूप \( (x, 0, 0) \) लिखकर अपने उत्तर की पुष्टि करें।
Question 2: एक बिंदु \( XZ \)-तल में है। इसके \( y \)-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
Answer:
चूँकि बिंदु \( XZ \)-तल में स्थित है, इसलिए इस तल में \( y \)-अक्ष का कोई योगदान नहीं होता है।
इस तल में स्थित प्रत्येक बिंदु की \( y \)-अक्ष से लांबिक दूरी शून्य होती है।
अतः इस बिंदु का \( y \)-निर्देशांक शून्य होगा, तथा निर्देशांक \( (x, 0, z) \) के रूप में होंगे।
मुख्य बिंदु:
• \( XZ \)-तल पर स्थित बिंदुओं का \( y \)-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
• इस तल में \( x \) और \( z \) निर्देशांक के मान विद्यमान हो सकते हैं।
• त्रिविमीय अंतरिक्ष में कुल तीन निर्देशांक तल होते हैं: \( XY, YZ, \) और \( XZ \)।
आम गलतियाँ:
• \( x \) या \( z \) निर्देशांक को शून्य मान लेना।
• तल और अक्ष की अवधारणा को आपस में मिला देना।
• कारण के बिना केवल 'शून्य' लिखकर छोड़ देना।
Exam Tips:
a) याद रखें कि जो अक्षर तल के नाम में अनुपस्थित है (यहाँ \( y \)), वही निर्देशांक शून्य होता है।
b) संपूर्ण निर्देशांक रूप \( (x, 0, z) \) कोष्ठक में दर्शाएँ।
c) परिभाषा के अनुसार अपना उत्तर संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
Question 3: उन अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिंदु स्थित हैं: \( (1, 2, 3), (4, -2, 3), (4, 2, -5), (-4, 2, 5), (-4, 2, -5), (-3, -1, 6), (2, -4, -7) \)
Answer:
बिंदु \( (1, 2, 3) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक सभी धनात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु प्रथम अष्टांश में स्थित है।
बिंदु \( (4, -2, 3) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः धनात्मक, ऋणात्मक और धनात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु चतुर्थ अष्टांश में स्थित है।
बिंदु \( (4, 2, -5) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः धनात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश VIII में स्थित है।
बिंदु \( (-4, 2, 5) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः ऋणात्मक, धनात्मक और धनात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश V में स्थित है।
बिंदु \( (-4, 2, -5) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः ऋणात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश VI में स्थित है।
बिंदु \( (-4, -2, 5) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः ऋणात्मक, ऋणात्मक और धनात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश II में स्थित है।
बिंदु \( (-3, -1, 6) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक क्रमशः ऋणात्मक, ऋणात्मक और धनात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश III में स्थित है।
बिंदु \( (-2, -4, -7) \) के \( x \)-, \( y \)- और \( z \)-निर्देशांक सभी ऋणात्मक हैं, इसलिए यह बिंदु अष्टांश VIII में स्थित है। (नोट: अंतिम बिंदु के चिह्न सभी ऋण हैं, जो अष्टांश VII को दर्शाते हैं)।
मुख्य बिंदु:
• त्रिविमीय अंतरिक्ष में तीन तलों द्वारा अंतरिक्ष को 8 भागों में विभाजित किया जाता है जिन्हें अष्टांश कहते हैं।
• अष्टांशों के निर्धारण के लिए \( (x, y, z) \) के चिन्हों \( (+, +, +) \), \( (+, -, +) \) आदि का उपयोग किया जाता है।
• प्रत्येक बिंदु के निर्देशांकों के चिन्ह उसके अष्टांश की स्थिति तय करते हैं।
आम गलतियाँ:
• चिन्हों को देखते समय क्रम (x, y, z) की गलती करना।
• रोमन अंकों (जैसे I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII) को लिखने में अशुद्धि करना।
• ऋणात्मक और धनात्मक चिन्हों की पहचान में भ्रम होना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में प्रत्येक बिंदु के लिए चिन्हों \( (+, +, -) \) को अलग से लिखकर दिखाएँ।
b) अष्टांशों के मानक चिन्हों की सारणी को अच्छी तरह याद रखें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से हर बिंदु के लिए अलग-अलग चरणों में हल करें।
Question 4: रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए:
(i) \( x \)-अक्ष और \( y \)-अक्ष दोनों एक साथ मिलकर एक तल बनाते हैं, उस तल को ________ कहते हैं।
(ii) \( XY \)-तल में एक बिंदु के निर्देशांक ________ रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ________ अष्टांशों में विभाजित करते हैं।
Answer:
(i) \( x \)-अक्ष और \( y \)-अक्ष दोनों एक साथ मिलकर जो तल बनाते हैं, उसे \( XY \)-तल कहते हैं।
(ii) \( XY \)-तल में स्थित किसी भी बिंदु का \( z \)-निर्देशांक शून्य होता है, अतः इसके निर्देशांक \( (x, y, 0) \) रूप के होते हैं।
(iii) तीन परस्पर लंबवत निर्देशांक तल (जैसे \( XY, YZ, ZX \)) त्रिविमीय अंतरिक्ष को कुल 8 (आठ) अष्टांशों में विभाजित करते हैं।
मुख्य बिंदु:
• \( XY \)-तल में \( x \) और \( y \) के मान होते हैं जबकि \( z = 0 \) होता है।
• त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में तीन मुख्य तल होते हैं।
• अंतरिक्ष का विभाजन 8 समान भागों (अष्टांशों) में होता है।
आम गलतियाँ:
• रिक्त स्थान (i) में केवल तल लिखना और 'XY' न लिखना।
• रिक्त स्थान (ii) में \( (x, y, z) \) लिख देना जबकि \( z \) शून्य होना चाहिए।
• रिक्त स्थान (iii) में 4 या 6 लिख देना।
Exam Tips:
a) रिक्त स्थान के प्रश्नों में पूरे वाक्य को उत्तर पुस्तिका में दोबारा लिखें और रिक्त शब्द को रेखांकित करें।
b) निर्देशांकों के सामान्य रूपों को हमेशा कोष्ठक के अंदर \( (x, y, z) \) प्रारूप में लिखें।
c) अष्टांशों की संख्या हमेशा 8 याद रखें।
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