Step-by-Step Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद
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Question 1: यदि परवलयakar परावर्तक का व्यास 20 सेमी और गहराई 5 सेमी है। नाभि ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: परवलयakar परावर्तक को दर्शाती आकृति जहाँ शीर्ष मूल बिंदु पर है और सममित अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
परवलयakarपरावर्तक के शीर्ष को मूल बिंदु पर इस प्रकार माना है कि इसकी सममित अक्ष x-अक्ष के अनुदिश हो। इसे आरेखीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। परवलय का समीकरण y² = 4ax जैसा है। परवलयबिंदु A (10, 5) से गुजरता है। इसलिए, 10² = 4a(5)
100 = 20a
a = 100 ÷ 20 = 5
इसलिए, परवलय के नाभि के निर्देशांक (a, 0) = (5, 0) हैं, जो व्यास का मध्य बिंदु है। अतः, परवलयakar परावर्तक की नाभि (5, 0) है।
मुख्य बिंदु:
• परवलय का मानक समीकरण y² = 4ax का उपयोग किया गया है।
• व्यास 20 सेमी का आधा 10 सेमी कोटि (y-निर्देशांक) बनता है।
• गहराई 5 सेमी भुज (x-निर्देशांक) को दर्शाती है।
• नाभि के निर्देशांक (a, 0) होते हैं।
आम गलतियाँ:
• व्यास को त्रिज्या मानकर y का मान 20 ही ले लेना।
• x और y के मानों को समीकरण में आपस में बदल देना।
• गणना में 4a से भाग देने में गलती करना।
Exam Tips:
a) परवलय की स्थिति x-अक्ष या y-अक्ष पर है, यह प्रश्न के अनुसार ध्यान से तय करें।
b) व्यास का आधा करके ही बिंदु के निर्देशांक निकालें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक (सेमी) अवश्य लिखें।
Question 2: एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है। मेहराब 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है। यह परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा?
Answer:
आकृति का विवरण: ऊर्ध्वाधर अक्ष वाला परवलayakar मेहराब जिसकी कुल ऊँचाई 10 मीटर और आधार 5 मीटर है।
परवलयakar मेहराब के शीर्ष को मूल बिंदु पर इस प्रकार माना है कि इसकी सममित अक्ष y-अक्ष के अनुदिश हो। इसे आरेखीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। परवलय का समीकरण x² = 4ay जैसा है। परवलयबिंदु (5/2, 10) से गुजरता है।
इसलिए, (5/2)² = 4a(10) ⇒ 25 / 4 = 40a ⇒ a = 25 / 160 = 5 / 32
इसलिए, मेहराब का समीकरण x² = (5 / 8)y है जो एक ऊर्ध्वाधर परवलय कोदर्शाता है।
जब y = 2m, x² = (5 / 8) × 2
x² = 5 / 4
x = √(5 / 4) m = (√5 / 2) m
AB = 2x = 2 × (√5 / 2) m = √5 m = 2 × 1.118 m (लगभग) = 2.23 m (लगभग)
अतः, यह परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से 2.23 m चौड़ा होगा।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ परवलय का अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए समीकरण x² = 4ay होगा।
• आधार 5 मीटर होने पर x का मान 5/2 होगा।
• y = 2 मीटर पर परवलय की चौड़ाई (2x) ज्ञात करनी है।
आम गलतियाँ:
• आधार 5 को पूरा x मान लेना जबकि वह कुल चौड़ाई है, अतः आधी चौड़ाई 5/2 होगी।
• x का मान निकालने के बाद उसे 2 से गुणा करके कुल चौड़ाई (AB) निकालना भूल जाना।
• वर्गमूल निकालते समय अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) मेहराब वाले प्रश्नों में शीर्ष को मूल (0,0) मानना सबसे आसान होता है।
b) समीकरण निकालने के बाद दिए गए मान को प्रतिस्थापित करके दूसरा चर सावधानी से निकालें।
c) लगभग मान (Approximate value) दशमलव के दो स्थानों तक निकालें।
Question 3: एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल परवलय के रूप में लटकी हुई है। सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लंबा है तथा केबिल से जुड़े उर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लंबा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: परवलयाकार झूलता हुआ पुल जिसकी लंबाई 100 मीटर, सबसे लंबा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है।
परवलयakar केबिल के शीर्ष को मूल बिंदु पर इस प्रकार माना है कि इसकी सममित अक्ष y-अक्ष के अनुदिश हो। इसे आरेखीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। यहाँ, AB और OC के बल से जुड़े क्रमशः सबसे लंबे और सबसे छोटे तार हैं। DF सड़क पथ से जुड़ा 18 m लंबा समर्थक तार है।
यहाँ, AB = 30 m, OC = 6 m, और BC = 100 / 2 = 50 m
परवलय का समीकरण x² = 4ay जैसा है। बिंदु A के निर्देशांक (50, 30 - 6) = (50, 24) हैं। क्योंकिबिंदु A (50, 24) परवलय पर स्थित है।
इसलिए, (50)² = 4a(24) ⇒ a = (50 × 50) / (4 × 24) = 625 / 24
परवलय का समीकरण x² = 4 × (625 / 24) y, या 6x² = 625y
बिंदु D का x-निर्देशांक 18 है। इसलिए, परवलय के समीकरण में x = 18 रखने पर 6(18)² = 625y
6 × 18 × 18 = 625y
y = (6 × 18 × 18) / 625 = 3.11 m (लगभग)
DE = 3.11 m और DF = DE + EF = 3.11 m + 6 m = 9.11 m
अतः, मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक तार की लंबाई लगभग 9.11 m है।
मुख्य बिंदु:
• सबसे छोटे तार की लंबाई (6 मीटर) को मूल रेखा का आधार मानकर y-निर्देशांक में से घटाया जाता है।
• कुल लंबाई 100 मीटर है, इसलिए x का अधिकतम मान 50 मीटर होगा।
• मध्य से 18 मीटर दूर का अर्थ है x = 18 पर कुल लंबाई ज्ञात करना जिसमें आधार की ऊँचाई जोड़ी जाएगी।
आम गलतियाँ:
• 30 मीटर में से 6 मीटर घटाए बिना सीधे बिंदु A का y-निर्देशांक 30 ले लेना।
• अंतिम उत्तर में नीचे के 6 मीटर जोड़ना भूल जाना।
• गणना में बड़े अंकों के गुणन में गलती करना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रायोगिक प्रश्नों में चित्र बनाकर निर्देश (Coordinates) तय करना अनिवार्य है।
b) समीकरण में मान रखते समय अंत में आधार की ऊँचाई जोड़ना न भूलें।
c) परिणाम को दशमलव के दो अंकों तक निकालें।
Question 4: एक मेहराब अर्ध-दीर्घ वृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा और केंद्र से 2 मीटर ऊँचा है। एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिंदु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: अर्ध-दीर्घवृत्ताकार मेहराब जिसका क्षैतिज व्यास 8 मीटर और ऊर्ध्वाधर अर्ध-दीर्घ अक्ष 2 मीटर है।
दिया है: अर्ध-दीर्घवृत्त 8 मीटर चौड़ा और केंद्र से 2 मीटर ऊँचा है। इसलिए, दीर्घ अक्ष की लंबाई 8 m तथा लघु अक्ष की लंबाई 2 m है। मूलबिंदु को दीर्घवृत्ता केंद्र मानकर तथा दीर्घ अक्ष को x-अक्ष के अनुदिश लेने पर, दीर्घवृत्त को निम्न प्रकार से चित्रित किया जा सकता है।
दिया गया दीर्घवृत्त (x² / a²) + (y² / b²) = 1, y ≥ 0, से दर्शाया जा सकता है, जहाँ 2a दीर्घ अक्ष की लंबाई है।
इसलिए, 2a = 8 ⇒ a = 4 और b = 2
अतः, अर्ध दीर्घवृत्त का समीकरण: (x² / 16) + (y² / 4) = 1, y ≥ 0 ... (1)
माना, बिंदु A दीर्घ अक्ष पर इस प्रकार है कि AB = 1.5 m
AC ⊥ OB खींचा। इसलिए, OA = (4 - 1.5) m = 2.5 m
बिंदु C का x-निर्देशांक 2.5 है। इसलिए, x कामान 2.5 समीकरण (1) में रखने पर
(2.5)² / 16 + y² / 4 = 1 ⇒ (6.25 / 16) + (y² / 4) = 1 ⇒ y² / 4 = 1 - (6.25 / 16) ⇒ y² / 4 = (9.75 / 16)
y² = 2.4375
y = 1.56 (लगभग)
AC = 1.56 m
अतः, एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिंदु पर मेहराब की ऊँचाई लगभग 1.56 m है।
मुख्य बिंदु:
• दीर्घवृत्त का मानक समीकरण (x² / a²) + (y² / b²) = 1 उपयोग किया गया है।
• कुल चौड़ाई 8 मीटर है, अतः अर्ध-दीर्घ अक्ष a = 4 मीटर होगा।
• केंद्र से ऊँचाई b = 2 मीटर है।
• एक सिरे से 1.5 मीटर दूरी का अर्थ केंद्र से (4 - 1.5) = 2.5 मीटर की दूरी है।
आम गलतियाँ:
• 8 मीटर को सीधे a मान लेना जबकि वह 2a (पूरा दीर्घ अक्ष) है।
• सिरे से दूरी को सीधे x का मान मान लेना जबकि x केंद्र से दूरी होती है।
• वर्गमूल निकालते समय दशमलव की स्थिति में भूल होना।
Exam Tips:
a) दीर्घवृत्त के प्रश्नों में हमेशा केंद्र को मूल बिंदु (0, 0) पर मानें।
b) x-अक्ष पर दूरी निकालते समय कुल अर्ध-लंबाई में से दी गई दूरी को घटाएं।
c) समीकरण में मान रखकर y का मान सावधानी से हल करें।
Question 5: एक 12 सेमी लंबी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांकों को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्षके संपर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है।
Answer:
आकृति का विवरण: निर्देशांक अक्षों के बीच फिसलती हुई 12 सेमी लंबी छड़ और उस पर स्थित बिंदु P का बिंदुपथ।
माना AB छड़ है जो OX से θ को कोण बनाती है और P (x, y) इस पर कोई बिंदु है कि AP = 3 cm
इसलिए, PB = AB - AP = (12 - 3) cm = 9 cm [क्योंकि AB = 12 cm]
बिंदु P से लंब PQ ⊥ OY और PR ⊥ OX बनाया।
ΔPBQ में, cos θ = PQ / PB = x / 9
ΔPRA में, sin θ = PR / PA = y / 3
सूत्र sin² θ + cos² θ = 1 से, (y / 3)² + (x / 9)² = 1 ⇒ (x² / 81) + (y² / 9) = 1
अतः, छड़ के बिंदु P का अभीष्ट बिंदुपथ (x² / 81) + (y² / 9) = 1 है।
मुख्य बिंदु:
• प्राचलिक रूप (Parametric form) त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके हल किया गया है।
• AP = 3 cm और PB = 9 cm (क्योंकि कुल लंबाई 12 cm है)।
• समकोण त्रिभुजों में sin θ और cos θ के मान निकालकर सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• AP और PB के मानों को आपस में बदल देना।
• त्रिकोणमिति अनुपात (sin और cos) को गलत भुजाओं के साथ लिखना।
• समीकरण बनाते समय हर (Denominator) के वर्गों का सही वर्ग न करना (जैसे 9 का वर्ग 81 लिखना भूल जाना)।
Exam Tips:
a) ऐसे गतिमान छड़ वाले प्रश्नों में कोण θ मानकर प्राचलिक समीकरण बनाना सबसे श्रेष्ठ तरीका है।
b) बिंदु P के निर्देशांकों (x, y) को त्रिकोणमिति के पदों में व्यक्त करें।
c) अंतिम समीकरण दीर्घवृत्त के मानक रूप में आना चाहिए।
Question 6: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x² = 12y के शीर्ष को इसकी नाभिलंबजीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
Answer:
आकृति का विवरण: परवलय x² = 12y और उसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को शीर्ष से मिलाने वाला त्रिभुज AOB।
दिए गए परवलय x² = 12y की तुलना x² = 4ay से करने पर, 4a = 12 ⇒ a = 3
• नाभि के निर्देशांक S (0, a) = S (0, 3)
परवलय का नाभिलंब AB को मानकर इसे निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित किया जाता है:
यदि y = 3, x² = 12 (3) ⇒ x² = 36 ⇒ x = ±6
∴ बिंदु A के निर्देशांक (- 6, 3) जबकि बिंदु B के निर्देशांक (6, 3) हैं।
अतः, ΔOAB के शीर्ष (0, 0), A (- 6, 3) और B (6, 3) हैं।
ΔOAB का क्षेत्रफल = (1/2) |0 (3 - 3) + (- 6) (3 - 0) + 6 (0 - 3)| वर्ग इकाई
= (1/2) |- 6(3) + 6(- 3)| वर्ग इकाई = (1/2) |- 18 - 18| वर्ग इकाई
= (1/2) |- 36| वर्ग इकाई = (1/2) × 36 वर्गइकाई = 18 वर्गइकाई
मुख्य बिंदु:
• परवलय x² = 12y ऊर्ध्वाधर परवलय है, अतः नाभि y-अक्ष पर (0, a) होगी।
• नाभिलंब जीवा की लंबाई y = a (अर्थात y = 3) रखकर x के मान निकाले गए हैं।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए निर्देशांक ज्यामिति के त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• x² = 12y को क्षैतिज परवलय (y² = 4ax) मानकर गलत सूत्र लगाना।
• नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक निकालने में y की जगह x का मान रख देना।
• क्षेत्रफल के माप को ऋणात्मक छोड़ देना (क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है)।
Exam Tips:
a) परवलय का समीकरण देखते ही पहचान लें कि वह x-अक्ष के सममित है या y-अक्ष के।
b) नाभिलंब के सिरे हमेशा y = a (या x = a) रेखा पर स्थित होते हैं।
c) क्षेत्रफल के सूत्र में मापांक (Modulus) का प्रयोग अवश्य करें।
Question 7: एक व्यक्ति दौड़ पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकीियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: दीर्घवृत्त के रूप में दौड़ पथ जहाँ दो स्थिर बिंदु (नाभियाँ) झंडा चौकियाँ हैं।
माना, बिंदु A और B दो झंडा चौकियाँ हैं और बिंदु P (x, y) व्यक्ति की स्थिति को दर्शाता है।
प्रश्नुसार, PA + PB = 10
हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु किसी तल में इस प्रकार गति करता है कि दो निश्चित बिंदुओं से उसकी दूरी का योग स्थिर है, तो पथ एक दीर्घवृत्त होता है और यह स्थिर मान दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है। इसलिए, आदमी द्वारा बनाया गया पथ एक दीर्घवृत्त है जहाँदीर्घअक्ष की लंबाई 10 मीटर है, जबकि बिंदु A और B फोकस हैं। मूलबिंदु को दीर्घवृत्त के केंद्र मानकर, दीर्घ अक्ष को x-अक्ष के अनुदिश लेने पर, दीर्घवृत्त को आरेखीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
दीर्घवृत्त का समीकरण (x² / a²) + (y² / b²) = 1 के रूप में है।
जहाँ a इसके अर्ध - दीर्घ अक्ष की लंबाई है।
इसलिए, 2a = 10 ⇒ a = 5
नाभियों के बीच की दूरी (2c) = 8
⇒ c = 4
सूत्र c = √(a² - b²) के प्रयोग से
4 = √(25 - b²) ⇒ 16 = 25 - b²
⇒ b² = 25 - 19 = 9 ⇒ b = 3
अतः, व्यक्ति द्वारा बनाए गए अभीष्टपथ का समीकरण (x² / 25) + (y² / 9) = 1 है।
मुख्य बिंदु:
• दो स्थिर बिंदुओं से दूरियों का योग स्थिर होना दीर्घवृत्त की परिभाषा है।
• दूरियों का योग 2a (दीर्घ अक्ष की लंबाई) के बराबर होता है।
• नाभियों के बीच की दूरी 2c होती है।
• संबंध c² = a² - b² का उपयोग करके b का मान ज्ञात किया गया है।
आम गलतियाँ:
• दूरियों के योग 10 को a मान लेना जबकि वह 2a होता है।
• नाभियों के बीच की दूरी 8 को c मान लेना जबकि वह 2c होती है।
• c और a के मानों से b निकालते समय गलत संक्रिया करना।
Exam Tips:
a) यदि दूरियों का योग दिया हो, तो पथ हमेशा दीर्घवृत्त होता है।
b) हमेशा 2a और 2c से a और c के मान पहले निकालें।
c) सूत्र c² = a² - b² का सही रूप में प्रयोग करें।
Question 8: परवलय y² = 4ax के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है। जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: परवलय y² = 4ax और उसके अंतर्गत बना समबाहु त्रिभुज OAB जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है।
माना, परवलय y² = 4ax के अंतर्गत बना हुआ समबाहु त्रिभुज OAB है। माना AB, x - अक्षको बिंदु C पर मिलता है।
माना OC = k
परवलय के समीकरण से, y² = 4ak ⇒ y = ± 2√ak
इसलिए, बिंदुओं A और B के निर्देशांक क्रमशः (k, 2√ak) और (k, - 2√ak) हैं।
AB = CA + CB = 2√ak + 2√ak = 4√ak
क्योंकि OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, OA² = AB²
∴ k² + (2√ak)² = (4√ak)²
⇒ k² + 4ak = 16ak
⇒ k² = 12ak
⇒ k = 12a
∴ AB = 4√ak = 4√a × 12a = 4√12a² = 8√3a
अतः, परवलय y² = 4ax के अंतर्गत बने समबाहुत्रिभुज की भुजा की लंबाई 8√3a इकाई है।
मुख्य बिंदु:
• समबाहु त्रिभुज y-अक्ष के दोनों तरफ सममित होता है, अतः बिंदु A और B के निर्देशांक (k, 2√ak) और (k, - 2√ak) होंगे।
• त्रिभुज की भुजा OA की लंबाई और AB की लंबाई बराबर (या OA² = AB²) का उपयोग किया गया है।
• k का मान निकालने के बाद उसे भुजा के सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है।
आम गलतियाँ:
• समबाहु त्रिभुज के सभी कोणों या भुजाओं की सममिति का उपयोग न करना।
• वर्ग करते समय (2√ak)² को गलत हल करना।
• k = 0 को वैध हल मान लेना जबकि k भुजा की लंबाई है जो शून्य नहीं हो सकती।
Exam Tips:
a) परवलय के अंतर्गत समबाहु त्रिभुज वाले प्रश्न में निर्देशांकों को प्राचलिक रूप में मानना आसान होता है।
b) दूरी सूत्र (Distance Formula) या भुजाओं के वर्ग की समानता का उपयोग करें।
c) करणी (Square root) को सरल करते समय पूर्ण वर्ग बाहर निकालें।
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