NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 10 शंकु परिच्छेद
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Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 10 शंकु परिच्छेद
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Question 1: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: y² = 12
Answer:
दिए गए समीकरण y² = 12x की तुलना मानक समीकरण y² = 4ax से करने पर, हमें 4a = 12 प्राप्त होता है, जिससे a = 3 मिलता है। चूँकि y² का पद है, परवलय x-अक्ष के परितः सममित है और दाईं ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (a, 0) अर्थात् (3, 0) है, परवलय का अक्ष x-अक्ष है, नियता का समीकरण x = -a अर्थात् x = -3 या x + 3 = 0 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 12 है।
मुख्य बिंदु:
• मानक समीकरण से तुलना करके 'a' का मान ज्ञात किया जाता है।
• x-अक्ष के सममित परवलय के लिए नाभि (a, 0) होती है।
• नियता का समीकरण x = -a होता है।
• नाभिर्लंब जीवा की लंबाई हमेशा 4a होती है।
आम गलतियाँ:
• 4a के मान को ही 'a' मान लेना।
• नियता के समीकरण में चिन्ह की गलती करना।
• नाभि के निर्देशांक उल्टे (0, a) लिखना।
Exam Tips:
a) समीकरण को हमेशा मानक रूप से तुलना करके हल करें।
b) 'a' का मान निकालने के बाद सभी सूत्र सीधे लागू करें।
c) उत्तर में सभी चारों भागों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।
Question 2: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: x² = 6y
Answer:
दिए गए समीकरण x² = 6y की तुलना मानक समीकरण x² = 4ay से करने पर, 4a = 6 प्राप्त होता है, जिससे a = 3/2 मिलता है। चूँकि x² का पद है, परवलय y-अक्ष के परितः सममित है और ऊपर की ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (0, a) अर्थात् (0, 3/2) है, परवलय का अक्ष y-अक्ष है, नियता का समीकरण y = -a अर्थात् y = -3/2 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 6 है।
मुख्य बिंदु:
• x² वाले परवलय y-अक्ष के सममित होते हैं।
• ऊपर खुलने वाले परवलय की नाभि धनात्मक y-अक्ष पर होती है।
• नियता का समीकरण y = -a होता है।
• नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a होती है।
आम गलतियाँ:
• x-अक्ष और y-अक्ष के सूत्रों को आपस में मिला देना।
• भिन्न (fraction) के मान में गणना की त्रुटि करना।
• अक्ष का समीकरण गलत लिखना।
Exam Tips:
a) परवलय का प्रकार पहचानकर सही मानक समीकरण चुनें।
b) भिन्नों की गणना सावधानी से करें।
c) प्रत्येक पूछे गए पद का स्पष्ट उल्लेख करें।
Question 3: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: y² = -8x
Answer:
दिए गए समीकरण y² = -8x की तुलना मानक समीकरण y² = -4ax से करने पर, -4a = -8 प्राप्त होता है, जिससे a = 2 मिलता है। चूँकि x का गुणांक ऋणात्मक है, परवलय x-अक्ष के परितः सममित है और बाईं ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (-a, 0) अर्थात् (-2, 0) है, परवलय का अक्ष x-अक्ष है, नियता का समीकरण x = a अर्थात् x = 2 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 8 है।
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि परवलय बाईं ओर खुलेगा।
• बाईं ओर खुलने वाले परवलय की नाभि (-a, 0) होती है।
• नियता धनात्मक x-अक्ष की ओर x = a पर होती है।
• नाभिर्लंब की लंबाई हमेशा धनात्मक 4a होती है।
आम गलतियाँ:
• नाभि के निर्देशांकों में चिन्ह की गलती करना।
• नियता को ऋणात्मक मान लेना।
• लंबाई को ऋणात्मक लिखना।
Exam Tips:
a) समीकरण का चिन्ह देखकर दिशा का निर्धारण पहले करें।
b) 'a' का मान हमेशा धनात्मक ही लें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक या मान स्पष्ट लिखें।
Question 4: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: x² = -16y
Answer:
दिए गए समीकरण x² = -16y की तुलना मानक समीकरण x² = -4ay से करने पर, -4a = -16 प्राप्त होता है, जिससे a = 4 मिलता है। चूँकि y का गुणांक ऋणात्मक है, परवलय y-अक्ष के परितः सममित है और नीचे की ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (0, -a) अर्थात् (0, -4) है, परवलय का अक्ष y-अक्ष है, नियता का समीकरण y = a अर्थात् y = 4 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 16 है।
मुख्य बिंदु:
• नीचे खुलने वाले परवलय की नाभि ऋणात्मक y-अक्ष पर होती है।
• नियता धनात्मक y-अक्ष की ओर y = a पर होती है।
• परवलय का अक्ष y-अक्ष है।
• नाभिर्लंब की लंबाई 4a = 16 है।
आम गलतियाँ:
• नियता का समीकरण y = -a लिखना।
• नाभि को ( -a, 0 ) लिखना।
• x² और y² के रूपों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) नीचे खुलने वाले परवलय के मानक रूपों को याद रखें।
b) सभी निर्देशांक चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) स्टेप-दर-स्टेप सभी मान निकालें।
Question 5: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: y² = 10x
Answer:
दिए गए समीकरण y² = 10x की तुलना मानक समीकरण y² = 4ax से करने पर, 4a = 10 प्राप्त होता है, जिससे a = 5/2 मिलता है। चूँकि y² का पद है और x का गुणांक धनात्मक है, परवलय x-अक्ष के परितः सममित है और दाईं ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (a, 0) अर्थात् (5/2, 0) है, परवलय का अक्ष x-अक्ष है, नियता का समीकरण x = -a अर्थात् x = -5/2 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 10 है।
मुख्य बिंदु:
• 4a = 10 से 'a' का मान 5/2 प्राप्त होता है।
• नाभि धनात्मक x-अक्ष पर स्थित होती है।
• नियता y-अक्ष के समांतर x = -5/2 पर है।
• नाभिर्लंब जीवा की लंबाई सीधे 4a यानी 10 है।
आम गलतियाँ:
• भिन्न रूप में 'a' का मान निकालने में गलती करना।
• नियता और नाभि के चिन्हों की अदला-बदली करना।
Exam Tips:
a) भिन्नों को सरल रूप में रखें।
b) सूत्र लिखते समय परवलय की दिशा का ध्यान रखें।
c) सभी चारों उत्तर स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 6: निम्नलिखित में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिर्लंबजीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: x² = -9y
Answer:
दिए गए समीकरण x² = -9y की तुलना मानक समीकरण x² = -4ay से करने पर, -4a = -9 प्राप्त होता है, जिससे a = 9/4 मिलता है। चूँकि y का गुणांक ऋणात्मक है, परवलय y-अक्ष के परितः सममित है और नीचे की ओर खुलता है। अतः परवलय की नाभि (0, -a) अर्थात् (0, -9/4) है, परवलय का अक्ष y-अक्ष है, नियता का समीकरण y = a अर्थात् y = 9/4 है, और नाभिर्लंब जीवा की लंबाई 4a = 9 है।
मुख्य बिंदु:
• समीकरण x² = -4ay प्रकार का है।
• नाभि (0, -9/4) होगी क्योंकि परवलय नीचे खुलता है।
• नियता धनात्मक y-अक्ष पर y = 9/4 होगी।
• नाभिर्लंब की लंबाई 4a = 9 है।
आम गलतियाँ:
• 'a' के मान में ऋणात्मक चिन्ह छोड़ना।
• नियता का समीकरण ऋणात्मक लिखना।
Exam Tips:
a) मानक समीकरण से तुलना करते समय चिन्हों का ध्यान रखें।
b) प्रत्येक भाग को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।
c) अंतिम उत्तर की इकाई या मान की जाँच करें।
Question 7: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: नाभि (6, 0), नियता x = -6
Answer:
चूँकि नाभि (6, 0) x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए x-अक्ष परवलय का अक्ष है और परवलय का मानक समीकरण y² = 4ax या y² = -4ax के रूप में होगा। दिया गया है कि नियता x = -6 और नाभि (6, 0) है, जिससे स्पष्ट होता है कि a = 6 है। चूँकि नाभि धनात्मक x-अक्ष पर है, परवलय दाईं ओर खुलेगा और इसका समीकरण y² = 4ax होगा। a का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण y² = 4(6)x अर्थात् y² = 24x प्राप्त होता है।
मुख्य बिंदु:
• नाभि के निर्देशांक से 'a' का मान सीधा प्राप्त होता है।
• अक्ष x-अक्ष होने पर समीकरण y² = 4ax होता है।
• दाईं ओर खुलने वाले परवलय में 'a' धनात्मक होता है।
• मान प्रतिस्थापित करके अंतिम समीकरण बनता है।
आम गलतियाँ:
• गलत मानक समीकरण चुनना।
• 'a' के मान में चिन्ह की भूल करना।
Exam Tips:
a) पहले परवलय की स्थिति (अक्ष और दिशा) पहचानें।
b) उचित मानक समीकरण का चयन करें।
c) समीकरण को सरलतम रूप में लिखकर उत्तर दें।
Question 8: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: नाभि (0, -3), नियता y = 3
Answer:
चूँकि नाभि (0, -3) y-अक्ष पर स्थित है, इसलिए y-अक्ष परवलय का अक्ष है और परवलय का मानक समीकरण x² = 4ay या x² = -4ay के रूप में होगा। दिया गया है कि नियता y = 3 है और नाभि (0, -3) है, जिससे a = 3 प्राप्त होता है। चूँकि नाभि ऋणात्मक y-अक्ष पर है, परवलय नीचे की ओर खुलेगा और इसका समीकरण x² = -4ay होगा। a का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण x² = -4(3)y अर्थात् x² = -12y प्राप्त होता है।
मुख्य बिंदु:
• नाभि y-अक्ष पर होने से समीकरण x² के रूप में होगा।
• नीचे खुलने के कारण समीकरण ऋणात्मक होगा।
• a का मान 3 है।
• अंतिम समीकरण x² = -12y बनता है।
आम गलतियाँ:
• y² और x² के चयन में गलती करना।
• ऋण चिन्ह का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) नाभि की स्थिति से अक्ष निर्धारित करें।
b) दिशा के आधार पर सही सूत्र चुनें।
c) गुणा करके अंतिम समीकरण स्पष्ट लिखें।
Question 9: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: शीर्ष (0, 0), नाभि (3, 0)
Answer:
दिए गए शीर्ष (0, 0) और नाभि (3, 0) से स्पष्ट है कि नाभि x-अक्ष पर है, अतः x-अक्ष परवलय का अक्ष है। परवलय का मानक समीकरण y² = 4ax के रूप में होगा। यहाँ नाभि (3, 0) से a = 3 प्राप्त होता है। चूँकि नाभि धनात्मक x-अक्ष की ओर है, परवलय दाईं ओर खुलेगा। a का मान समीकरण में रखने पर अभीष्ट समीकरण y² = 4(3)x अर्थात् y² = 12x प्राप्त होता है।
मुख्य बिंदु:
• शीर्ष मूलबिंदु (0, 0) पर है।
• नाभि (3, 0) से a = 3 मिलता है।
• समीकरण y² = 4ax का प्रयोग किया जाता है।
• अभीष्ट समीकरण y² = 12x है।
आम गलतियाँ:
• गलत अक्ष का समीकरण चुनना।
• a के मान को समीकरण में गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) शीर्ष और नाभि के निर्देशांकों से दिशा तय करें।
b) मानक समीकरण लिखकर मान रखें।
c) गणना की शुद्धता की जाँच करें।
Question 10: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: शीर्ष (0, 0), नाभि (-2, 0)
Answer:
दिए गए शीर्ष (0, 0) और नाभि (-2, 0) से स्पष्ट है कि नाभि x-अक्ष पर है और इसका अक्ष x-अक्ष है। परवलय का मानक समीकरण y² = -4ax के रूप में होगा। नाभि (-2, 0) से a = 2 प्राप्त होता है। चूँकि नाभि ऋणात्मक x-अक्ष की ओर है, परवलय बाईं ओर खुलेगा। a का मान समीकरण में रखने पर अभीष्ट समीकरण y² = -4(2)x अर्थात् y² = -8x प्राप्त होता है।
मुख्य बिंदु:
• नाभि ऋणात्मक x-अक्ष पर है।
• समीकरण y² = -4ax रूप का होगा।
• a का मान 2 है।
• अभीष्ट समीकरण y² = -8x प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• 'a' को ऋणात्मक मान लेना।
• समीकरण में चिन्ह की भूल करना।
Exam Tips:
a) नाभि के निर्देशांक से परवलय की दिशा पहचानें।
b) मानक समीकरण सावधानी से चुनें।
c) अंतिम समीकरण स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।
Question 11: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: शीर्ष (0, 0), (2, 3) से जाता है और अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
Answer:
चूँकि शीर्ष (0, 0) है और अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, परवलय का समीकरण y² = 4ax या y² = -4ax के रूप में होगा। परवलय बिंदु (2, 3) से होकर गुजरता है जो कि पहले चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए परवलय दाईं ओर खुलेगा और इसका समीकरण y² = 4ax होगा। चूँकि बिंदु (2, 3) इस परवलय पर स्थित है, यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। अतः 3² = 4 × a × 2 रखने पर 9 = 8a प्राप्त होता है, जिससे a = 9/8 मिलता है। a का यह मान समीकरण में रखने पर y² = 4(9/8)x अर्थात् y² = (9/2)x प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2y² = 9x बनता है।
मुख्य बिंदु:
• बिंदु (2, 3) पहले चतुर्थांश में है, अतः परवलय दाईं ओर खुलेगा।
• समीकरण y² = 4ax में बिंदु के निर्देशांक (x, y) संतुष्ट कराए जाते हैं।
• 'a' का मान ज्ञात करके वापस समीकरण में रखा जाता है।
• अंतिम समीकरण को सरल रूप (2y² = 9x) में बदला जाता है।
आम गलतियाँ:
• बिंदु के x और y निर्देशांकों को उल्टा रखना।
• समीकरण को सरल न करना।
Exam Tips:
a) बिंदु के चतुर्थांश से परवलय की दिशा निश्चित करें।
b) संतुष्ट कराते समय मान सावधानी से रखें।
c) भिन्न को सरल करके मानक रूप में उत्तर दें।
Question 12: परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: शीर्ष (0, 0), (5, 2) से जाता है और y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
Answer:
चूँकि शीर्ष (0, 0) है और परवलय y-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसका अक्ष y-अक्ष है। अतः परवलय का समीकरण x² = 4ay या x² = -4ay के रूप में होगा। परवलय बिंदु (5, 2) से होकर गुजरता है जो कि पहले चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलेगा और इसका समीकरण x² = 4ay होगा। चूँकि बिंदु (5, 2) इस परवलय पर स्थित है, यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। अतः (5)² = 4 × a × 2 रखने पर 25 = 8a प्राप्त होता है, जिससे a = 25/8 मिलता है। a का यह मान समीकरण में रखने पर x² = 4(25/8)y अर्थात् x² = (25/2)y प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2x² = 25y बनता है।
मुख्य बिंदु:
• y-अक्ष के सममित होने पर समीकरण x² के रूप में होता है।
• बिंदु (5, 2) प्रथम चतुर्थांश में है, अतः परवलय ऊपर खुलेगा।
• बिंदु के मान रखकर 'a' का मान निकाला जाता है।
• वज्र गुणन द्वारा समीकरण को सरल किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• x और y के स्थानों को परस्पर बदल देना।
• गणना में अंश और हर की गलती करना।
Exam Tips:
a) सममित अक्ष को देखकर सही मानक रूप चुनें।
b) दिए गए बिंदु के मान समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम समीकरण को भिन्न मुक्त (fractions free) रूप में बदलें।
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NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद
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