Download NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद
Review structured textbook solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद. Built according to NCERT guidelines for the 2026-27 academic year, these downloadable answers support daily revision and problem-solving accuracy.
Access NCERT Solutions and Answers
Navigate directly to the solved Mathematics textbook exercises using the digital viewer below. Each solution includes detailed step-by-step explanations, allowing students to instantly cross-check their work and identify areas requiring further revision.
Question 1: वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए: केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 इकाई
Answer:
वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² होता है, जहाँ (h, k) वृत्त का केंद्र और r त्रिज्या है। दिए गए प्रश्न में केंद्र (h, k) = (0, 2) और त्रिज्या r = 2 इकाई है। मानों को समीकरण में रखने पर, (x - 0)² + (y - 2)² = 2² प्राप्त होता है। इसे हल करने पर x² + (y² - 4y + 4) = 4 बनता है, जिससे समीकरण x² + y² - 4y = 0 प्राप्त होती है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - 4y = 0
मुख्य बिंदु:
• वृत्त का केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 है।
• मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² का प्रयोग किया गया है।
• सरल करने पर अंतिम समीकरण x² + y² - 4y = 0 प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• h और k के मानों को आपस में बदल देना।
• त्रिज्या का वर्ग (r²) करने में भूल करना।
• समीकरण को खोलते समय बीजगणितीय सर्वसमिका में चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा वृत्त का मानक समीकरण सबसे पहले लिखें।
b) ब्रैकेट खोलते समय (a - b)² के सूत्र का सावधानी से प्रयोग करें।
c) अंत में समीकरण को मानक रूप में ही छोड़ें।
Question 2: वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए: केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई
Answer:
वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है। यहाँ केंद्र (h, k) = (-2, 3) और त्रिज्या r = 4 है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, (x - (-2))² + (y - 3)² = 4² प्राप्त होता है, जो (x + 2)² + (y - 3)² = 16 बनता है। इसे विस्तृत करने पर x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 16 होता है, और अंततः समीकरण x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 प्राप्त होती है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक केंद्र निर्देशांक (-2) का समीकरण में रखते समय चिह्न धनात्मक हो जाता है।
• त्रिज्या 4 का वर्ग 16 होता है।
• सभी पदों को बाईं ओर लाकर मानक व्यापक रूप में व्यवस्थित किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• (x - (-2)) को (x - 2) लिख देना।
• 16 को बाईं ओर लाते समय चिह्न बदलना भूल जाना।
• पदों को घटते क्रम में न लिखना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक निर्देशांकों के साथ कोष्ठक का विशेष ध्यान रखें।
b) समीकरण के विस्तार के बाद सभी समान पदों को जोड़ें या घटाएं।
c) उत्तर की जाँच के लिए केंद्र और त्रिज्या के मान दोबारा समीकरण में रख सकते हैं।
Question 3: वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए: केंद्र (1/2, 1/4) और त्रिज्या 1/12 इकाई
Answer:
वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है। केंद्र (h, k) = (1/2, 1/4) और त्रिज्या r = 1/12 दी गई है। मान रखने पर (x - 1/2)² + (y - 1/4)² = (1/12)² प्राप्त होता है। इसे खोलने पर x² - x + 1/4 + y² - (1/2)y + 1/16 = 1/144 बनता है। इसे व्यवस्थित कर और 144 से गुणा करके हल करने पर 36x² + 36y² - 36x - 18y + 11 = 0 प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण: 36x² + 36y² - 36x - 18y + 11 = 0
मुख्य बिंदु:
• भिन्नात्मक मानों वाले केंद्रों और त्रिज्या के साथ समीकरण हल करना।
• (1/12)² का मान 1/144 होता है।
• हर (denominator) हटाने के लिए उचित संख्या से पूरे समीकरण को गुणा करना।
आम गलतियाँ:
• भिन्नों के वर्ग निकालते समय गलती करना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते समय त्रुटि होना।
• अंतिम समीकरण को सरल रूप में न बदलना।
Exam Tips:
a) भिन्नों के प्रश्नों में घबराएं नहीं, चरणबद्ध तरीके से हल करें।
b) हर हटाने के लिए सभी पदों में एक साथ गुणा करें।
c) गणना की शुद्धता की दो बार जाँच करें।
Question 4: वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए: केंद्र (1, 1) और त्रिज्या वर्गमूल 2 इकाई
Answer:
वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है। केंद्र (h, k) = (1, 1) और त्रिज्या r = √2 है। मान रखने पर (x - 1)² + (y - 1)² = (√2)² प्राप्त होता है। इसे खोलने पर (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) = 2 बनता है। इसे सरल करने पर x² + y² - 2x - 2y = 0 प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - 2x - 2y = 0
मुख्य बिंदु:
• वर्गमूल वाली त्रिज्या (√2) का वर्ग करने पर संख्या 2 प्राप्त होती है।
• दोनों द्विपदों का विस्तार (a - b)² सूत्र से किया जाता है।
• दोनों पक्षों से समान पद ( + 1 + 1 = 2) आपस में कट जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• (√2)² को 2 लिखने के बजाय 4 लिख देना।
• समीकरण के बाईं और दाईं ओर के स्थिरांकों को काटना भूल जाना।
• चरों के गुणांकों में गलती करना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल संख्या का वर्ग हमेशा मूल संख्या ही होता है (जैसे √a का वर्ग a)।
b) समीकरण को सरल करते समय समान पदों को तुरंत रद्द करें।
c) हस्तलेखन स्पष्ट रखें ताकि चिह्न की गलती न हो।
Question 5: वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए: केंद्र (-a, -b) और त्रिज्या वर्गमूल (a² - b²) इकाई
Answer:
मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² का उपयोग करते हुए, केंद्र (h, k) = (-a, -b) और त्रिज्या r = √(a² - b²) रखते हैं। समीकरण बनता है: (x - (-a))² + (y - (-b))² = (√(a² - b²))² जो कि (x + a)² + (y + b)² = a² - b² हो जाता है। इसका विस्तार करने पर x² + 2ax + a² + y² + 2by + b² = a² - b² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से a² कट जाता है और b² को बाईं ओर लाने पर x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0 प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0
मुख्य बिंदु:
• चर निर्देशांकों और त्रिज्या के साथ समीकरण बनाना।
• वर्गमूल और वर्ग एक दूसरे को संतुलित करते हैं।
• समान चरों को जोड़कर अंतिम रूप देना।
आम गलतियाँ:
• चर a और b के चिह्नों में भ्रमित होना।
• त्रिज्या के वर्गमूल को ठीक से न हटाना।
• समीकरण के दोनों पक्षों के पदों को काटने में गलती करना।
Exam Tips:
a) बीजोत्पाद (algebraic) प्रश्नों में धैर्य से प्रत्येक पद का विस्तार करें।
b) चिह्नों के नियमों का कड़ाई से पालन करें।
c) अंतिम उत्तर में सभी पदों को मानक क्रम में सजाएं।
Question 6: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए: (x + 5)² + (y - 3)² = 36
Answer:
दिए गए समीकरण (x + 5)² + (y - 3)² = 36 की तुलना वृत्त के मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² से करने पर, हम पाते हैं कि (x - (-5))² + (y - 3)² = 6² है। इससे केंद्र (h, k) = (-5, 3) और त्रिज्या r = 6 प्राप्त होती है।
वृत्त का केंद्र: (-5, 3) और त्रिज्या: 6 इकाई
मुख्य बिंदु:
• समीकरण की मानक रूप से तुलना करना।
• h और k के मान चिन्ह सहित निकालना।
• 36 का वर्गमूल लेकर त्रिज्या ज्ञात करना।
आम गलतियाँ:
• केंद्र का x-निर्देशांक -5 के बजाय 5 लिख देना।
• त्रिज्या को सीधे 36 मान लेना बजाय उसके वर्गमूल (6) के।
• मानक समीकरण का गलत स्मरण करना।
Exam Tips:
a) केंद्र निकालते समय हमेशा चिह्न उलटकर (धनात्मक का ऋणात्मक और ऋणात्मक का धनात्मक) लिखें।
b) त्रिज्या के लिए हमेशा दाईं طرف की संख्या का वर्गमूल निकालें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से केंद्र और त्रिज्या लिखकर दर्शाएं।
Question 7: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए: x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0
Answer:
दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि द्वारा हल करते हैं: (x² - 4x) + (y² - 8y) = 45। दोनों पक्षों में आवश्यक पद जोड़ने पर, (x² - 4x + 4) + (y² - 8y + 16) = 45 + 4 + 16 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर (x - 2)² + (y - 4)² = 65 बनता है, जिसे (x - 2)² + (y - 4)² = (√65)² लिखा जा सकता है। तुलना करने पर केंद्र (2, 4) और त्रिज्या r = √65 प्राप्त होती है।
वृत्त का केंद्र: (2, 4) और त्रिज्या: √65 इकाई
मुख्य बिंदु:
• पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x और y के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ा जाता है।
• समीकरण को मानक रूप (x - h)² + (y - k)² = r² में बदला जाता है。
• केंद्र (2, 4) और त्रिज्या √65 प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक पक्ष में पद जोड़ना और दूसरे पक्ष में छोड़ देना।
• x और y के गुणांक का आधा करने में गलती करना।
• त्रिज्या का वर्गमूल लेना भूल जाना।
Exam Tips:
a) पूर्ण वर्ग विधि का अभ्यास बार-बार करें क्योंकि यह शंकु परिच्छेद में बहुत उपयोगी है।
b) जो संख्या बाईं ओर जोड़ी जाती है, वही दाईं ओर भी जोड़ी जानी चाहिए।
c) अंतिम उत्तर में वर्गमूल का चिह्न लगाना न भूलें।
Question 8: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए: x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0
Answer:
दिए गए समीकरण को व्यवस्थित करते हैं: (x² - 8x) + (y² + 10y) = 12। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, x वाले भाग में (-8/2)² = 16 और y वाले भाग में (10/2)² = 25 दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। समीकरण बनता है: (x² - 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12 + 16 + 25, अर्थात (x - 4)² + (y + 5)² = 53। इसे (x - 4)² + (y - (-5))² = (√53)² लिख सकते हैं। अतः केंद्र (4, -5) और त्रिज्या r = √53 है।
वृत्त का केंद्र: (4, -5) और त्रिज्या: √53 इकाई
मुख्य बिंदु:
• x के गुणांक -8 का आधा -4, और उसका वर्ग 16 है।
• y के गुणांक 10 का आधा 5, और उसका वर्ग 25 है।
• दाईं ओर सभी स्थिरांकों को जोड़कर 53 प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• y के केंद्र का चिह्न गलत लिखना (5 के बजाय -5 लिखना)।
• योग करते समय अंकगणितीय त्रुटि करना।
• मानक रूप में बदलने के चरणों को छोड़ना।
Exam Tips:
a) हमेशा गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें, न कि केवल गुणांक का।
b) केंद्र के निर्देशांक लिखते समय समीकरण के भीतर के चिह्नों पर ध्यान दें।
c) यदि वर्गमूल पूरी तरह से हल न हो, तो उसे √53 के रूप में ही छोड़ दें।
Question 9: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए: 2x² + 2y² - x = 0
Answer:
दिए गए समीकरण को 2 से भाग देकर x² और y² का गुणांक 1 बनाते हैं: x² + y² - (1/2)x = 0। इसे व्यवस्थित करने पर (x² - (1/2)x) + y² = 0 बनता है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक (-1/4)² यानी 1/16 दोनों पक्षों में जोड़ते हैं: (x² - (1/2)x + 1/16) + y² = 1/16। इसे (x - 1/4)² + (y - 0)² = (1/4)² लिखा जा सकता है। तुलना करने पर केंद्र (1/4, 0) और त्रिज्या r = 1/4 प्राप्त होती है।
वृत्त का केंद्र: (1/4, 0) और त्रिज्या: 1/4 इकाई
मुख्य बिंदु:
• सबसे पहले x² और y² के गुणांक को 1 बनाना आवश्यक है।
• y का पद न होने पर y-निर्देशांक 0 होता है।
• त्रिज्या 1/4 प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• 2 से पूरे समीकरण को भाग देना भूल जाना।
• केंद्र का y-निर्देशांक 1/4 लिख देना जबकि वह 0 है।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय भिन्न के वर्ग में गलती करना।
Exam Tips:
a) यदि x² और y² के आगे कोई संख्या हो, तो सबसे पहले उससे पूरे समीकरण को विभाजित करें।
b) यदि कोई पद अनुपस्थित है (जैसे y का पद), तो उसका गुणांक शून्य माना जाता है।
c) भिन्नों की गणना सावधानी से करें।
Question 10: बिंदुओं (4, 1) और (6, 5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है।
Answer:
माना वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है। चूँकि वृत्त बिंदु (4, 1) और (6, 5) से होकर जाता है, इसलिए ये बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेंगे: (4 - h)² + (1 - k)² = r² ...(1) और (6 - h)² + (5 - k)² = r² ...(2)। समीकरण (1) और (2) से, (4 - h)² + (1 - k)² = (6 - h)² + (5 - k)²। इसे हल करने पर 4h + 2k = 11 ...(3) प्राप्त होता है। दिया है कि केंद्र (h, k) रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है, अतः 4h + k = 16 ...(4)। समीकरण (3) और (4) को हल करने पर h = 3 और k = 4 प्राप्त होता है। h और k के मान समीकरण (1) में रखने पर r² = 10 प्राप्त होता है। अतः अभीष्ट वृत्त का समीकरण (x - 3)² + (y - 4)² = 10 है, जिसे सरल करने पर x² + y² - 6x - 8y + 15 = 0 बनता है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - 6x - 8y + 15 = 0
मुख्य बिंदु:
• वृत्त बिंदुओं से गुजरता है, इसलिए उनके निर्देशांक समीकरण में रखे जाते हैं।
• केंद्र रेखा पर स्थित है, अतः केंद्र के निर्देशांक (h, k) रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
• रैखिक समीकरणों को हल करके h और k के मान निकाले जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• बिंदुओं को समीकरण में गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
• h और k के रैखिक समीकरण हल करने में गणना की गलती।
• त्रिज्या (r²) का मान निकालना भूल जाना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में जहाँ केंद्र एक दी गई रेखा पर हो, केंद्र के निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में अवश्य रखें।
b) समीकरणों की तुलना करके r² को विलोपन विधि से हटाएं।
c) अंत में h, k और r² के मान मानक समीकरण में रखकर अंतिम समीकरण बनाएं।
Question 11: बिंदुओं (2, 3) और (-1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर स्थित है।
Answer:
माना वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है। बिंदु (2, 3) और (-1, 1) वृत्त पर स्थित हैं, अतः (2 - h)² + (3 - k)² = r² ...(1) और (-1 - h)² + (1 - k)² = r² ...(2)। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर सरल करने पर h - 3k = 11 ...(3) प्राप्त होता है। चूँकि केंद्र (h, k) रेखा x - 3y - 11 = 0 पर है, अतः h - 3k = 11 ...(4)। यहाँ दोनों समीकरण समान हैं, और दूसरा प्रतिबंध बिंदु को संतुष्ट करने से h = -7/2 और k = -5/2 प्राप्त होता है। इन्हें समीकरण (1) में रखने पर r² = 130/4 मिलता है। मानों को मानक समीकरण में रखकर हल करने पर 4x² + 4y² - 28x + 20y - 56 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + y² - 7x + 5y - 14 = 0 बनता है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - 7x + 5y - 14 = 0
मुख्य बिंदु:
• दिए गए दोनों बिंदुओं से वृत्त के समीकरण के दो युग्म बनते हैं।
• केंद्र की दी गई रेखा से h और k के बीच संबंध स्थापित होता है।
• भिन्नात्मक केंद्रों के साथ त्रिज्या की गणना की जाती है।
आम गलतियाँ:
• ऋण चिह्नों (negative signs) के साथ वर्ग खोलते समय गलती करना।
• रैखिक समीकरण निकाय को हल करने में त्रुटि होना।
• अंतिम समीकरण को सरल रूप (lowest form) में न बदलना।
Exam Tips:
a) दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों में प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।
b) भिन्नों के वर्ग निकालते समय अंश और हर दोनों का वर्ग करें।
c) यदि समीकरण में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) हो, तो उससे भाग देकर समीकरण छोटा करें।
Question 12: त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र x-अक्ष पर हो और जो बिंदु (2, 3) से जाता है।
Answer:
चूँकि वृत्त का केंद्र x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका y-निर्देशांक शून्य होगा। अतः केंद्र (h, 0) है। वृत्त की त्रिज्या r = 5 दी गई है। वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - 0)² = 5² अर्थात (x - h)² + y² = 25 होगा। यह वृत्त बिंदु (2, 3) से होकर जाता है, इसलिए (2 - h)² + 3² = 25, जिससे (2 - h)² + 9 = 25 और (2 - h)² = 16 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर 2 - h = ±4 प्राप्त होता है। इससे h के दो मान मिलते हैं: h = -2 और h = 6। h के इन मानों को समीकरण में रखने पर दो वृत्त संभव हैं: जब h = -2 हो तो समीकरण (x + 2)² + y² = 25 यानी x² + y² + 4x - 21 = 0, और जब h = 6 हो तो (x - 6)² + y² = 25 यानी x² + y² - 12x + 11 = 0 प्राप्त होता है।
वृत्त के समीकरण: x² + y² + 4x - 21 = 0 तथा x² + y² - 12x + 11 = 0
मुख्य बिंदु:
• x-अक्ष पर स्थित बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।
• बिंदु (2, 3) वृत्त पर है, जो h का मान निकालने में मदद करता है।
• h के दो मान मिलने के कारण दो अलग-अलग वृत्त संभव हैं।
आम गलतियाँ:
• x-अक्ष पर केंद्र होने पर केंद्र को (0, k) मान लेना।
• h के दोनों मानों (धनात्मक और ऋणात्मक) पर ध्यान न देना।
• केवल एक ही वृत्त का समीकरण निकालकर छोड़ देना।
Exam Tips:
a) यदि केंद्र x-अक्ष पर हो तो y = 0 और y-अक्ष पर हो तो x = 0 लें।
b) समीकरण में वर्गमूल लेते समय प्लस-माइनस (±) चिह्न लगाना न भूलें।
c) यदि एक से अधिक उत्तर संभव हों, तो सभी संभावित उत्तर लिखें।
Question 13: (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशालयों पर a और b अंत:खण्ड बनाता है।
Answer:
चूँकि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) से होकर जाता है, वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² में (0, 0) रखने पर h² + k² = r² प्राप्त होता है। वृत्त x-अक्ष और y-अक्ष पर क्रमशः a और b अंतःखंड बनाता है, जिसका अर्थ है कि वृत्त बिंदुओं (a, 0) और (0, b) से होकर गुजरता है। इन बिंदुओं को समीकरण में संतुष्ट कराने पर h = a/2 और k = b/2 प्राप्त होता है। h और k के इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर अभीष्ट वृत्त का समीकरण (x - a/2)² + (y - b/2)² = (a/2)² + (b/2)² प्राप्त होता है, जिसे हल करने पर x² + y² - ax - by = 0 बनता है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - ax - by = 0
मुख्य बिंदु:
• मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त के लिए h² + k² = r² होता है।
• अक्षों पर अंतःखंड a और b का अर्थ है कि वृत्त (a, 0) और (0, b) से भी गुजरता है।
• केंद्र के निर्देशांक (a/2, b/2) प्राप्त होते हैं।
आम गलतियाँ:
• अंतःखंडों को केंद्र के निर्देशांक मान लेना।
• मूल बिंदु से गुजरने की शर्त को समीकरण में उपयोग न करना।
• सरलीकरण में पदों को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) ज्यामितीय स्थितियों को निर्देशांकों (Coordinates) में बदलना सीखें।
b) अंतःखंड (Intercepts) दिए होने पर अक्षों पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक लिखें।
c) इस प्रकार के मानक परिणामों को याद रखना प्रतियोगी परीक्षाओं में भी सहायक होता है।
Question 14: उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, 2) तथा बिंदु (4, 5) से जाता है।
Answer:
वृत्त का केंद्र (h, k) = (2, 2) दिया गया है। वृत्त बिंदु (4, 5) से होकर जाता है, इसलिए वृत्त की त्रिज्या (r) केंद्र और इस बिंदु के बीच की दूरी होगी। दूरी सूत्र से, r = √((4 - 2)² + (5 - 2)²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 प्राप्त होती है। अब केंद्र (2, 2) और त्रिज्या r = √13 को मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² में रखने पर (x - 2)² + (y - 2)² = (√13)² प्राप्त होता है। इसे हल करने पर (x² - 4x + 4) + (y² - 4y + 4) = 13 बनता है, जिससे समीकरण x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0 प्राप्त होती है।
वृत्त का समीकरण: x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0
मुख्य बिंदु:
• केंद्र और वृत्त पर स्थित बिंदु के बीच की दूरी त्रिज्या होती है।
• दूरी सूत्र का उपयोग करके r² का मान 13 निकाला गया है।
• मानक समीकरण में मान रखकर अंतिम रूप दिया गया है।
आम गलतियाँ:
• त्रिज्या निकालते समय वर्गमूल लेना भूल जाना और r के स्थान पर r² में गलती करना।
• दूरी सूत्र में घटाते समय चिह्नों की गलती करना।
• द्विपद का विस्तार करते समय अंकगणितीय त्रुटि होना।
Exam Tips:
a) जब केंद्र और परिधि का एक बिंदु दिया हो, तो सीधे दूरी सूत्र से त्रिज्या ज्ञात करें।
b) r² का सीधा उपयोग समीकरण में करें जिससे वर्गमूल हटाने में आसानी हो।
c) गणना की जाँच एक बार फिर अवश्य करें।
Question 15: क्या बिंदु (-2.5, 3.5) वृत्त x² + y² = 25 के अंदर, बाहर या वृत्त पर स्थित है?
Answer:
दिए गए वृत्त का समीकरण x² + y² = 25 है, जिसकी तुलना x² + y² = r² से करने पर केंद्र (0, 0) और त्रिज्या r = 5 (चूँकि r² = 25, अतः r = 5) प्राप्त होती है। अब बिंदु (-2.5, 3.5) की केंद्र (0, 0) से दूरी ज्ञात करते हैं: d = √((-2.5 - 0)² + (3.5 - 0)²) = √(6.25 + 12.25) = √18.5 = लगभग 4.3 है। चूंकि यह दूरी त्रिज्या (5) से कम है (4.3 < 5), अतः दिया गया बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।
निष्कर्ष: बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त का केंद्र (0, 0) और त्रिज्या 5 है।
• बिंदु की केंद्र से दूरी त्रिज्या से तुलना की जाती है।
• यदि दूरी < त्रिज्या, तो बिंदु अंदर होता है; यदि दूरी = त्रिज्या, तो वृत्त पर; और यदि दूरी > त्रिज्या, तो बाहर होता है।
आम गलतियाँ:
• त्रिज्या के वर्ग (25) को ही त्रिज्या मान लेना।
• दशमलव संख्याओं का वर्ग निकालते समय गलती करना।
• दूरी की तुलना त्रिज्या से न करके त्रिज्या के वर्ग से करना।
Exam Tips:
a) किसी बिंदु की स्थिति जांचने के लिए केंद्र से उसकी दूरी और वृत्त की त्रिज्या की तुलना का नियम याद रखें।
b) यदि आप चाहें तो बिंदु के निर्देशांकों को सीधे समीकरण के बाएं पक्ष में रखकर मान (2.5² + 3.5² = 6.25 + 12.25 = 18.5) देख सकते हैं जो 25 से कम है, अतः बिंदु अंदर है।
c) यह संक्षिप्त विधि (बिंदु को समीकरण में रखना) समय बचाने के लिए बहुत उपयोगी है।
Free study material for Mathematics
NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद
Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 10 शंकु परिच्छेद
Explore reliable textbook solutions for Chapter 10 शंकु परिच्छेद tailored for Class 11 learners. Utilizing these complete exercise answers ensures your preparation aligns exactly with official NCERT standards for Mathematics.
Mastering Theoretical and Practical Questions
Beyond providing final answers, these guides offer step-by-step breakdowns for complex queries in the Class 11 Mathematics module. This approach helps students balance theoretical depth with practical problem-solving skills required for NCERT exams.
Effective Self-Study and Homework Assistance
Consistent practice with these solution guides cultivates faster problem-solving habits and clearer logical structuring. For a complete preparation experience, pair these textbook answers with our dedicated revision notes and sample papers for Class 11 Mathematics.
FAQs
The complete and updated NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Conic Sections (शंकु परिच्छेद) Exercise 10.1 in Hindi is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 11 Mathematics are as per latest NCERT curriculum.
Yes, our experts have revised the NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Conic Sections (शंकु परिच्छेद) Exercise 10.1 in Hindi as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using NCERT language because NCERT marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Conic Sections (शंकु परिच्छेद) Exercise 10.1 in Hindi will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 11 Mathematics. You can access NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Conic Sections (शंकु परिच्छेद) Exercise 10.1 in Hindi in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Conic Sections (शंकु परिच्छेद) Exercise 10.1 in Hindi in printable PDF format for offline study on any device.