NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 09 Straight Lines (सरल रेखाएँ) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: \( k \) के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा \( (k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0 \)
(a) \( x \)-अक्ष के समांतर है।
(b) \( y \)-अक्ष के समांतर है।
(c) मूल बिंदु से जाती है।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण है:
\( (k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0 \) ... (1)
(a) यदि रेखा \( x \)-अक्ष के समांतर है तो रेखा की ढाल = \( x \)-अक्ष की ढाल
दी गई रेखा के समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( (4 - k^2)y = (k - 3)x + k^2 - 7k + 6 \)
\( y = \frac{k - 3}{4 - k^2} x + \frac{k^2 - 7k + 6}{4 - k^2} \)
जो \( y = mx + c \) के रूप में है, इसलिए रेखा की ढाल \( m = \frac{k - 3}{4 - k^2} \)
तथा \( x \)-अक्ष की ढाल = 0
\( \frac{k - 3}{4 - k^2} = 0 \)
\( \Rightarrow k - 3 = 0 \)
\( \Rightarrow k = 3 \)
अतः, यदि दी गई रेखा \( x \)-अक्ष के समांतर है तो \( k \) का मान 3 होगा।
(b) यदि रेखा \( y \)-अक्ष के समांतर है तो इसकी ढाल परिभाषित नहीं होगी।
दी गई रेखा की ढाल \( \frac{k - 3}{4 - k^2} \) परिभाषित नहीं है।
अर्थात् \( 4 - k^2 = 0 \)
\( \Rightarrow k^2 = 4 \)
\( \Rightarrow k = \pm 2 \)
अतः, यदि दी गई रेखा \( y \)-अक्ष के समांतर है तो \( k \) का मान \( \pm 2 \) होगा।
(c) यदि रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है तो रेखा बिंदु \( (0, 0) \) के मानों को संतुष्ट करती है। इसलिए,
\( (k - 3)(0) - (4 - k^2)(0) + k^2 - 7k + 6 = 0 \)
\( \Rightarrow k^2 - 7k + 6 = 0 \)
\( \Rightarrow k^2 - 6k - k + 6 = 0 \)
\( \Rightarrow (k - 6)(k - 1) = 0 \)
\( \Rightarrow k = 1 \) या 6
अतः, यदि रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है तो \( k \) का मान 1 या 6 होगा।

मुख्य बिंदु:

• \( x \)-अक्ष के समांतर रेखा की ढाल शून्य होती है।
• \( y \)-अक्ष के समांतर रेखा की ढाल अनंत (परिभाषित नहीं) होती है।
• मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण अचर पद \( c = 0 \) रखता है।

आम गलतियाँ:

• हर के शून्य होने की स्थिति को नजरअंदाज करना।
• ढाल निकालने में \( x \) और \( y \) के गुणांकों का गलत अनुपात लेना।
• गुणनखंड बनाते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक स्थिति के लिए आवश्यक शर्त पहले स्पष्ट रूप से लिखें।
b) समीकरण को मानक रूप \( y = mx + c \) में बदलकर ढाल आसानी से ज्ञात करें।
c) अंत में \( k \) के प्राप्त सभी मानों की जाँच अवश्य करें।

Question 2: उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों से काटे अंतः खंडों का योग और गुणनफल क्रमशः 1 और -6 हैं।

Answer:

माना, अक्षों पर काटे गए अंतःखंड क्रमशः \( a \) और \( b \) हैं। इसलिए, प्रश्न के अनुसार:
\( a + b = 1 \) ... (1)
\( ab = -6 \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, \( a = 3 \) और \( b = -2 \) या \( a = -2 \) और \( b = 3 \)
हम जानते हैं कि अंतः खंडों \( a \) और \( b \) वाली रेखा का समीकरण:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
\( \Rightarrow bx + ay - ab = 0 \)
स्थिति I:
\( a = 3 \) और \( b = -2 \)
इस स्थिति में रेखा का समीकरण: \( -2x + 3y + 6 = 0 \), अर्थात् \( 2x - 3y = 6 \)
स्थिति II:
\( a = -2 \) और \( b = 3 \)
इस स्थिति में रेखा का समीकरण: \( 3x - 2y + 6 = 0 \), अर्थात् \( -3x + 2y = 6 \)
अतः, अभीष्ट रेखाओं के समीकरण \( 2x - 3y = 6 \) और \( -3x + 2y = 6 \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• अंतःखंड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) होता है।
• दिए गए योग और गुणनफल से द्विघात समीकरण बनाकर \( a \) और \( b \) निकालते हैं।
• दोनों संभव युग्मों के लिए अलग-अलग रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

आम गलतियाँ:

• \( a \) और \( b \) के मानों का गलत संयोजन उपयोग करना।
• अंतःखंड रूप को सरल करते समय लघुत्तम (LCM) में गलती करना।
• दोनों स्थितियों को हल न करना।

Exam Tips:

a) अंतःखंड रूप का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) द्विघात समीकरण हल करते समय गुणनखंड विधि सावधानी से लागू करें।
c) दोनों स्थितियों को 'स्थिति I' और 'स्थिति II' के रूप में अलग-अलग दर्शाएँ।

Question 3: \( y \)-अक्ष पर कौन से बिंदु ऐसे हैं, जिनकी रेखा \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \) से दूरी 4 इकाई है।

Answer:

माना, \( (0, b), y \)-अक्ष पर वह बिंदु है, जिसकी रेखा \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \) से दूरी 4 इकाई है।
दी गई रेखा को सरल करने पर: \( 4x + 3y - 12 = 0 \) ... (1)
समीकरण (1) की तुलना रेखा के व्यापक समीकरण \( Ax + By + C = 0 \) से करने पर:
\( A = 4, B = 3, \) और \( C = -12 \) प्राप्त होते हैं।
किसी रेखा \( Ax + By + C = 0 \) पर बिंदु \( (x_1, y_1) \) से डाले गए लंब की लंबाई:
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
इसलिए, यदि \( (0, b), y \)-अक्ष पर वह बिंदु है, जिसकी रेखा \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \) से दूरी 4 इकाई है, तो
\( 4 = \frac{|4(0) + 3(b) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \)
\( \Rightarrow 4 = \frac{|3b - 12|}{5} \)
\( \Rightarrow |3b - 12| = 20 \)
\( \Rightarrow 3b - 12 = \pm 20 \)
\( \Rightarrow 3b - 12 = 20 \) या \( 3b - 12 = -20 \)
\( \Rightarrow 3b = 32 \) या \( 3b = -8 \)
\( \Rightarrow b = \frac{32}{3} \) या \( b = -\frac{8}{3} \)
अतः, अभीष्ट बिंदु \( \left(0, \frac{32}{3}\right) \) और \( \left(0, -\frac{8}{3}\right) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• \( y \)-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक \( (0, b) \) होते हैं।
• बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
• मापांक (Modulus) हटाने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न लेते हैं।

आम गलतियाँ:

• मापांक चिह्न हल करते समय केवल धनात्मक मान लेना।
• \( y \)-अक्ष के बिंदु को \( (x, 0) \) मान लेना।
• दूरी के सूत्र में हर की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) बिंदु के निर्देशांक मानते समय अक्ष का ध्यान रखें (\( y \)-अक्ष पर \( x = 0 \))।
b) लंबवत दूरी का सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
c) दोनों मामलों को हल करके दो अलग-अलग बिंदु प्राप्त करें।

Question 4: मूल बिंदु से बिंदुओं \( (\cos\theta, \sin\theta) \) और \( (\cos\phi, \sin\phi) \) को मिलाने वाली रेखा की लंबिक दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदुओं \( (\cos\theta, \sin\theta) \) और \( (\cos\phi, \sin\phi) \) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण:
\( y - \sin\theta = \frac{\sin\phi - \sin\theta}{\cos\phi - \cos\theta} (x - \cos\theta) \)
\( \Rightarrow y(\cos\phi - \cos\theta) - \sin\theta(\cos\phi - \cos\theta) = x(\sin\phi - \sin\theta) - \cos\theta(\sin\phi - \sin\theta) \)
\( \Rightarrow x(\sin\theta - \sin\phi) + y(\cos\phi - \cos\theta) + \cos\theta\sin\phi - \sin\theta\cos\phi = 0 \)
\( \Rightarrow x(\sin\theta - \sin\phi) + y(\cos\phi - \cos\theta) + \sin(\phi - \theta) = 0 \)
\( \Rightarrow Ax + By + C = 0, \) जहाँ \( A = \sin\theta - \sin\phi, B = (\cos\phi - \cos\theta), \) और \( C = \sin(\phi - \theta) \)
किसी रेखा \( Ax + By + C = 0 \) पर बिंदु \( (x_1, y_1) \) से डाले गए लंब की लंबाई:
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
अतः, बिंदु \( (0, 0) \) से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई:
\( d = \frac{|(\sin\theta - \sin\phi)(0) + (\cos\phi - \cos\theta)(0) + \sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{(\sin\theta - \sin\phi)^2 + ((\cos\phi - \cos\theta))^2}} \)
\( d = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{\sin^2\theta + \sin^2\phi - 2\sin\theta\sin\phi + \cos^2\phi + \cos^2\theta - 2\cos\phi\cos\theta}} \)
\( d = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\phi + \cos^2\phi) - 2(\sin\theta\sin\phi + \cos\phi\cos\theta)}} \)
\( d = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{1 + 1 - 2(\cos(\phi - \theta))}} \)
\( d = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{2(1 - \cos(\phi - \theta))}} = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\sqrt{2 \left(2\sin^2\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)\right)}} \)
\( d = \frac{|\sin(\phi - \theta)|}{\left|2\sin\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)\right|} \)

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण \( y - y_1 = m(x - x_1) \) का उपयोग करें।
• त्रिकोणमिति सर्वसमिकाओं (\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)) का प्रयोग करें।
• अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके हर को सरल करें।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय विस्तार में चिह्न की गलती करना।
• हर में वर्गमूल के अंदर सर्वसमिकाएं गलत लगाना।
• मूल बिंदु से दूरी निकालते समय अचर पद \( C \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दो-बिंदु रूप का सूत्र लिखकर मान सावधानी से रखें।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों का चरण-दर-चरण प्रयोग करें।
c) अंत में परिणाम को सरलतम रूप में व्यक्त करें।

Question 5: रेखाओं \( x - 7y + 5 = 0 \) और \( 3x + y = 0 \) के प्रतिच्छेदन बिंदु से खींची गई और \( y \)-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( y \)-अक्ष के समांतर किसी रेखा का समीकरण: \( x = a \) ... (1)
दी गई दो रेखाएँ:
\( x - 7y + 5 = 0 \) ... (2)
\( 3x + y = 0 \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) को हल करने पर, \( x = -\frac{5}{22} \) और \( y = \frac{15}{22} \)
इस प्रकार, \( \left(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\right) \) रेखाओं (2) और (3) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
क्योंकि रेखा \( x = a \) बिंदु \( \left(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\right) \) से होकर जाएगी, इसलिए \( a = -\frac{5}{22} \)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण \( x = -\frac{5}{22} \) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिच्छेदन बिंदु निकालने के लिए दोनों समीकरणों को हल करते हैं।
• \( y \)-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण \( x = a \) होता है।
• प्रतिच्छेदन बिंदु रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• \( y \)-अक्ष के समांतर रेखा को \( y = b \) मान लेना।
• रैखिक समीकरण युग्म को हल करते समय गणना की गलती करना।
• बिंदु के x-निर्देशंक को भूल जाना।

Exam Tips:

a) रेखा के मानक रूपों को याद रखें (\( y \)-अक्ष के समांतर \( x = a \))।
b) प्रतिच्छेदन बिंदु को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से निकालें।
c) अंतिम समीकरण को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6: रेखा \( \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \) पर लंब उस बिंदु से खींची गई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ यह रेखा \( y \)-अक्ष से मिलती है।

Answer:

दिया है: रेखा का समीकरण \( \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \) है। इसे पुनः व्यवस्थित करने पर: \( 3x + 2y - 12 = 0 \)
\( \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 6, \) जो \( y = mx + c \) के रूप में है। अतः, रेखा की ढाल = \( -\frac{3}{2} \)
इस रेखा के लंबवत किसी अन्य रेखा की ढाल = \( -\left(\frac{1}{-\frac{3}{2}}\right) = \frac{2}{3} \)
माना, दी गई रेखा \( y \)-अक्ष को बिंदु \( (0, y) \) पर प्रतिच्छेदित करती है। समीकरण में \( x \) का मान 0 रखने पर, \( y = 6 \)
इस प्रकार, दी गई रेखा \( y \)-अक्ष को बिंदु \( (0, 6) \) पर प्रतिच्छेदित करती है।
इसलिए, उस रेखा का समीकरण जिसकी ढाल \( 2/3 \) हो और वह बिंदु \( (0, 6) \) को प्रतिच्छेदित करती हो, निम्नलिखित है:
\( (y - 6) = \frac{2}{3}(x - 0) \Rightarrow 3y - 18 = 2x \Rightarrow 2x - 3y + 18 = 0 \)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण \( 2x - 3y + 18 = 0 \) है।

मुख्य बिंदु:

• लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 होता है (\( m_1 m_2 = -1 \))।
• \( y \)-अक्ष पर \( x = 0 \) होता है, जिससे अंतःखंड प्राप्त होता है।
• बिंदु-ढाल रूप \( (y - y_1) = m(x - x_1) \) का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• लंबवत ढाल निकालते समय चिह्न बदलना भूल जाना।
• \( y \)-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते समय गणना में त्रुटि करना।
• समीकरण को मानक रूप में न छोड़ना।

Exam Tips:

a) पहले दी गई रेखा की ढाल ज्ञात कर उसकी लंबवत ढाल निकालें।
b) \( y \)-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0, c) \) से सीधे प्राप्त किया जा सकता है।
c) उत्तर को \( Ax + By + C = 0 \) के रूप में दें।

Question 7: रेखाओं \( y - x = 0, x + y = 0 \) और \( x - k = 0 \) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( y - x = 0 \) ... (1)
\( x + y = 0 \) ... (2)
\( x - k = 0 \) ... (3)
समीकरण (1) और (2) के प्रतिच्छेद बिंदु \( x = 0 \) और \( y = 0 \) हैं।
समीकरण (2) और (3) के प्रतिच्छेद बिंदु \( x = k \) और \( y = -k \) हैं।
समीकरण (3) और (1) के प्रतिच्छेद बिंदु \( x = k \) और \( y = k \) हैं।
इस प्रकार, तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्ष \( (0, 0), (k, -k), \) और \( (k, k) \) हैं।
हम जानते हैं कि शीर्ष \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \) और \( (x_3, y_3) \) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = 1/2 |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \)
इसलिए, अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( 1/2 |0(-k - k) + k(k - 0) + k(0 - (-k))| \)
\( = \frac{1}{2} |k^2 + k^2| \) वर्गइकाई = \( \frac{1}{2} |2k^2| = k^2 \) वर्ग इकाई

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज के शीर्ष तीनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं।
• तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र प्रयोग किया जाता है।
• क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है इसलिए मापांक का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरणों को हल करते समय निर्देशांक निकालने में गलती करना।
• क्षेत्रफल के सूत्र में मान गलत प्रतिस्थापित करना।
• क्षेत्रफल के साथ 'वर्ग इकाई' लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) पहले तीनों रेखाओं के युग्मों को हल करके तीनों शीर्ष ज्ञात करें।
b) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र सावधानीपूर्वक लिखें।
c) गणना को सरल करके अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

Question 8: \( p \) का मान ज्ञात कीजिए जिससे तीन रेखाएँ \( 3x + y - 2 = 0, px + 2y - 3 = 0 \) और \( 2x - y - 3 = 0 \) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें।

Answer:

दी गई रेखाएँ:
\( 3x + y - 2 = 0 \) ... (1)
\( px + 2y - 3 = 0 \) ... (2)
\( 2x - y - 3 = 0 \) ... (3)
समीकरण (1) और (3) को हल करने पर, \( x = 1 \) और \( y = -1 \)
क्योंकि तीनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः, समीकरण (1) और (3) का हल समीकरण (2) को भी संतुष्ट करेगा। इसलिए, \( p(1) + 2(-1) - 3 = 0 \Rightarrow p - 2 - 3 = 0 \Rightarrow p = 5 \)
अतः, \( p \) का अभीष्ट मान 5 है।

मुख्य बिंदु:

• तीन संगमी (concurrent) रेखाएँ एक ही बिंदु से गुजरती हैं।
• किन्हीं दो रेखाओं को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते हैं।
• वह बिंदु तीसरी रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• तीनों रेखाओं को एक साथ हल करने का प्रयास करना।
• मान रखते समय चिह्नों की गलती करना।
• संगमी रेखाओं की शर्त न समझना।

Exam Tips:

a) पहले उन दो समीकरणों को हल करें जिनमें कोई अज्ञात राशि (\( p \)) न हो।
b) प्राप्त \( x \) और \( y \) के मान को तीसरे समीकरण में रखें।
c) \( p \) का मान आसानी से प्राप्त हो जाएगा।

Question 9: यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण \( y = m_1x + c_1, y = m_2x + c_2 \) और \( y = m_3x + c_3 \) हैं, संगमी हैं तो दिखाइए कि \( m_1(c_2 - c_3) + m_2(c_3 - c_1) + m_3(c_1 - c_2) = 0 \) ।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( y = m_1x + c_1 \) ... (1)
\( y = m_2x + c_2 \) ... (2)
\( y = m_3x + c_3 \) ... (3)
समीकरण (1) कोसमीकरण (2) से घटाने पर, \( 0 = (m_2 - m_1)x + (c_2 - c_1) \)
\( \Rightarrow x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2} \)
\( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( y = m_1\left(\frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2}\right) + c_1 \Rightarrow y = \frac{m_1c_2 - m_1c_1}{m_1 - m_2} + c_1 \)
\( \Rightarrow y = \frac{m_1c_2 - m_1c_1 + m_1c_1 - m_2c_1}{m_1 - m_2} = \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2} \)
इस प्रकार, बिंदु \( \left(\frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2}\right) \) समीकरण (1) और (2) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
दिया है कि रेखाएँ (1), (2), (3) संगमी हैं।
इसलिए, समीकरण (1) और (2) का हल समीकरण (3) को भी संतुष्ट करता है। अतः, समीकरण (3) में मान रखने पर:
\( \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2} = m_3\left(\frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2}\right) + c_3 \Rightarrow \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2} = \frac{m_3c_2 - m_3c_1 + c_3m_1 - c_3m_2}{m_1 - m_2} \)
\( \Rightarrow m_1(c_2 - c_3) + m_2(c_3 - c_1) + m_3(c_1 - c_2) = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• संगमी रेखाओं के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा को संतुष्ट करता है।
• बीजगणितीय गणना और लघुत्तम (LCM) का सावधानी से उपयोग करें।
• पदों को व्यवस्थित करके सिद्ध करने वाले परिणाम तक पहुँचते हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरण घटाते समय चरों की अदला-बัดली करना।
• भिन्न का जोड़-घटाव करते समय चिह्न की गलती करना।
• अंतिम रूप व्यवस्थित करते समय पद छोड़ देना।

Exam Tips:

a) पहले दो समीकरणों को हल करके \( x \) और \( y \) के मान निकालें।
b) इन मानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
c) दोनों पक्षों को हल करके वांछित संबंध प्राप्त करें।

Question 10: बिंदु \( (3, 2) \) से जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा \( x - 2y = 3 \) से \( 45^\circ \) का कोण बनाती है।

Answer:

माना, अभीष्ट रेखा का ढाल \( m_1 \) है।
दी गई रेखा को व्यवस्थित करने पर \( y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}, \) जो \( y = mx + c \) के रूप में है।
इसलिए, इस रेखा का ढाल \( m_2 = \frac{1}{2} \)
दिया है: अभीष्ट रेखा और \( x - 2y = 3 \) के बीच का कोण \( 45^\circ \) है।
हम जानते हैं कि दो रेखाएँ जिनकी ढालें क्रमशः \( m_1 \) और \( m_2 \) हैं, के बीच का कोण \( \theta \) निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( \tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}\right| \)
अतः \( \tan 45^\circ = \left|\frac{\frac{1}{2} - m_1}{1 + \frac{1}{2}m_1}\right| \Rightarrow 1 = \left|\frac{1 - 2m_1}{2 + m_1}\right| \Rightarrow 1 = \pm\left(\frac{1 - 2m_1}{2 + m_1}\right) \)
\( \Rightarrow 1 = \frac{1 - 2m_1}{2 + m_1} \) या \( 1 = -\left(\frac{1 - 2m_1}{2 + m_1}\right) \)
\( 2 + m_1 = 1 - 2m_1 \) या \( 2 + m_1 = -1 + 2m_1 \Rightarrow m_1 = -\frac{1}{3} \) या \( m_1 = 3 \)
स्थिति I:
\( m_1 = 3 \)
अतः, बिंदु \( (3, 2) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल 3 वाली रेखा का समीकरण: \( y - 2 = 3(x - 3) \Rightarrow y - 2 = 3x - 9 \)
\( \Rightarrow 3x - y = 7 \)
स्थिति II:
\( m_1 = -\frac{1}{3} \)
अतः, बिंदु \( (3, 2) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल \( -\frac{1}{3} \) वाली रेखा का समीकरण: \( y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3) \)
\( \Rightarrow 3y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 3y = 9 \)
अतः, बिंदु \( (3, 2) \) से जाने वाली तथा \( x - 2y = 3 \) से \( 45^\circ \) का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण \( 3x - y = 7 \) और \( x + 3y = 9 \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र \( \tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}\right| \) है।
• मापांक हटाने पर दो स्थितियाँ (+ और -) प्राप्त होती हैं।
• प्रत्येक ढाल के लिए बिंदु-ढाल रूप से अलग समीकरण बनता है।

आम गलतियाँ:

• मापांक को हल करते समय केवल एक स्थिति लेना।
• ढाल के मानों को सूत्र में गलत जगह रखना।
• समीकरण बनाते समय चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) कोण वाले सूत्र में \( \pm \) चिह्न लगाना न भूलें।
b) दोनों संभव ढालों के लिए अलग-अलग गणना करें।
c) अंत में दोनों रेखाओं के समीकरण स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 11: रेखाओं \( 4x + 7y - 3 = 0 \) और \( 2x - 3y + 1 = 0 \) के प्रतिच्छेद बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से समान अंतः खंड बनाती है।

Answer:

अक्षों से समान अंतः खंड बनाने वाली रेखा का समीकरण:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \Rightarrow x + y = a \) ... (1)
समीकरण \( 4x + 7y - 3 = 0 \) और \( 2x - 3y + 1 = 0 \) को हल करने पर:
\( x = \frac{1}{13} \) और \( y = \frac{5}{13} \)
अतः, बिंदु \( \left(\frac{1}{13}, \frac{5}{13}\right) \) दी गई दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है।
रेखा (1) बिंदु \( \left(\frac{1}{13}, \frac{5}{13}\right) \) से होकर जाती है।
इसलिए, \( \frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a \Rightarrow a = \frac{6}{13} \)
समीकरण (1) में मान रखने पर \( x + y = \frac{6}{13} \)
अर्थात् \( 13x + 13y = 6 \)
अतः, अक्षों से समान अंतः खंड बनाने वाली रेखा \( 13x + 13y = 6 \) है।

मुख्य बिंदु:

• अक्षों पर समान अंतःखंड वाली रेखा का मानक रूप \( x + y = a \) होता है।
• प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों रेखाओं को हल करके निकाला जाता है।
• रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती है इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगी।

आम गलतियाँ:

• समान अंतःखंड रूप को \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) मानना (जहाँ \( a \neq b \))।
• प्रतिच्छेदन बिंदु निकालने में कैलकुलेशन की गलती करना।
• \( a \) का मान समीकरण में वापस रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) समान अंतःखंड के लिए \( x + y = a \) या \( \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \) का प्रयोग करें।
b) प्रतिच्छेदन बिंदु निकाल कर उसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
c) हर हटाकर समीकरण को सरलतम रूप में लिखें।

Question 12: दर्शाइए कि मूल बिंदु से होकर जाने वाली और रेखा \( y = m_1x + c \) से \( \theta \) कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण \( \frac{y}{x} = \frac{m_1 \pm \tan\theta}{1 \mp m_1\tan\theta} \) है।

Answer:

माना, मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण \( y = m_1x \) है।
यदि यह रेखा एक दूसरी रेखा \( y = m_1x + c \) के साथ \( \theta \) कोण बनाए तो
\( \tan\theta = \left|\frac{m - m_1}{1 + mm_1}\right| \)
\( \Rightarrow \tan\theta = \pm \left(\frac{\frac{y}{x} - m_1}{1 + \frac{y}{x}m_1}\right) \Rightarrow \tan\theta = \pm\left(\frac{\frac{y - mx}{x}}{\frac{x + my}{x}}\right) \) [यहाँ \( m \) रेखा की ढाल \( y/x \) है]
स्थिति I:
\( \tan\theta = \frac{\frac{y}{x} - m}{1 + \frac{y}{x}m} \)
\( \Rightarrow \tan\theta + \frac{y}{x}m\tan\theta = \frac{y}{x} - m \Rightarrow m + \tan\theta = \frac{y}{x}(1 - m\tan\theta) \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m + \tan\theta}{1 - m\tan\theta} \)
स्थिति II:
\( \tan\theta = -\left(\frac{\frac{y}{x} - m}{1 + \frac{y}{x}m}\right) \)
\( \Rightarrow \tan\theta + \frac{y}{x}m\tan\theta = -\frac{y}{x} + m \Rightarrow \frac{y}{x} + \frac{y}{x}m\tan\theta = m - \tan\theta \Rightarrow \frac{y}{x}(1 + m\tan\theta) = m - \tan\theta \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m - \tan\theta}{1 + m\tan\theta} \)
अतः, रेखा का अभीष्ट समीकरण \( \frac{y}{x} = \frac{m \pm \tan\theta}{1 \mp m\tan\theta \) है।

मुख्य बिंदु:

• मूल बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण \( y = mx \) या \( m = y/x \) होता है।
• दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हैं।
• धनात्मक और ऋणात्मक चिह्न की दोनों स्थितियों को हल करते हैं।

आम गलतियाँ:

• मूल बिंदु से जाने वाली रेखा में y-अंतःखंड \( c \) जोड़ देना।
• पक्षांतर करते समय चरों का सही समायोजन न करना।
• \( \pm \) और \( \mp \) चिह्नों की व्युत्पत्ति में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा की ढाल \( m = y/x \) मानकर शुरुआत करें।
b) कोण के सूत्र में मान रखकर दोनों स्थितियों को अलग-अलग हल करें।
c) परिणाम को सिद्ध करने के लिए तार्किक रूप से व्यवस्थित करें।

Question 13: \( (-1, 1) \) और \( (5, 7) \) को मिलाने वाली रेखाखंड को रेखा \( x + y = 4 \) किस अनुपात में विभाजित करती है?

Answer:

बिंदुओं \( (-1, 1) \) और \( (5, 7) \) को मिलाने वाली रेखा کا समीकरण:
\( y - 1 = \frac{7 - 1}{5 - (-1)}(x + 1) \)
\( y - 1 = \frac{6}{6}(x + 1) \)
\( \Rightarrow x - y + 2 = 0 \) ... (1)
दी गई रेखा का समीकरण \( x + y - 4 = 0 \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु \( x = 1 \) और \( y = 3 \) हैं।
माना, बिंदु \( (1, 3) \) बिंदुओं \( (-1, 1) \) और \( (5, 7) \) से बनने वाले रेखाखंड को \( k:1 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के प्रयोग से, \( (1, 3) = \left(\frac{k(-1) + 1(5)}{1 + k}, \frac{k(1) + 1(7)}{1 + k}\right) \)
\( \Rightarrow (1, 3) = \left(\frac{-k + 5}{1 + k}, \frac{k + 7}{1 + k}\right) \)
\( \Rightarrow \frac{-k + 5}{1 + k} = 1 \Rightarrow -k + 5 = 1 + k \)
\( \Rightarrow 2k = 4 \)
\( \Rightarrow k = 2 \)
अतः, बिंदुओं \( (-1, 1) \) और \( (5, 7) \) को मिलाने वाली रेखा को दी गई रेखा \( x + y = 4 \) अनुपात \( 1:2 \) में विभाजित करती है।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से रेखा का समीकरण निकालकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
• अनुपात ज्ञात करने के लिए \( k:1 \) विभाजन सूत्र का उपयोग किया जाता है।
• \( k \) का धनात्मक मान आंतरिक विभाजन को दर्शाता है।

आम गलतियाँ:

• विभाजन सूत्र में निर्देशांकों के मान उल्टे रखना।
• अनुपात को \( 1:k \) मानने पर अंत में व्युत्क्रम न करना।
• प्रतिच्छेदन बिंदु निकालने में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले दोनों बिंदुओं से रेखा का समीकरण बनाएँ।
b) दी गई रेखा के साथ हल करके विभाजन बिंदु के निर्देशांक निकालें।
c) विभाजन सूत्र से \( k \) का मान आसानी से प्राप्त करें।

Question 14: बिंदु \( (1, 2) \) से रेखा \( 4x + 7y + 5 = 0 \) की \( 2x - y = 0 \) के अनुदिश, दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( 2x - y = 0 \) ... (1) तथा
\( 4x + 7y + 5 = 0 \) ... (2)
बिंदु \( A(1, 2) \) रेखा (1) पर स्थित है। माना, बिंदु \( B \) रेखाओं (1) और (2) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर: \( x = -\frac{5}{18} \) और \( y = -\frac{5}{9} \)
इस प्रकार, बिंदु \( B \) के निर्देशांक \( \left(-\frac{5}{18}, -\frac{5}{9}\right) \) हैं।
दूरी सूत्र से, बिंदुओं \( A \) और \( B \) के बीच की दूरी:
\( AB = \sqrt{\left(1 + \frac{5}{18}\right)^2 + \left(2 + \frac{5}{9}\right)^2} \) इकाई
\( AB = \sqrt{\left(\frac{23}{18}\right)^2 + \left(\frac{23}{9}\right)^2} \) इकाई
\( AB = \sqrt{\left(\frac{23}{9 \times 2}\right)^2 + \left(\frac{23}{9}\right)^2} \) इकाई
\( AB = \sqrt{\left(\frac{23}{9}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{23}{9}\right)^2} \) इकाई
\( AB = \sqrt{\left(\frac{23}{9}\right)^2 \left(\frac{1}{4} + 1\right)} \) इकाई
\( AB = \left(\frac{23}{9}\right) \sqrt{\frac{5}{4}} \) इकाई = \( \frac{23}{9} \times \frac{\sqrt{5}}{2} \) इकाई = \( \frac{23\sqrt{5}}{18} \) इकाई
अतः, दिए गए बिंदु से रेखा की दूरी \( \frac{23\sqrt{5}}{18} \) इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• अनुदिश दिशा वाली रेखा और दी गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते हैं।
• दिए गए बिंदु और प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं।
• दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• सीधे लंबवत दूरी का सूत्र लगा देना जबकि यहाँ अनुदिश दिशा दी गई है।
• वर्गमूल के अंदर गणना करते समय लघुत्तम में गलती करना।
• करणी (Square root) को बाहर निकालते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई दिशा की शर्त को समझें।
b) प्रतिच्छेदन बिंदु निकाल कर दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र लगाएँ।
c) गणना को अंत तक सरल करें।

Question 15: बिंदु \( (-1, 2) \) से खींची जा सकने वाली उस रेखा की दिशा ज्ञात कीजिए जिसका रेखा \( x + y = 4 \) से प्रतिच्छेद बिंदु से 3 इकाई की दूरी पर है।

Answer:

माना, बिंदु \( (-1, 2) \) से खींची जाने वाली रेखा का समीकरण \( y = mx + c \) है।
इसलिए, \( 2 = m(-1) + c \Rightarrow 2 = -m + c \Rightarrow c = m + 2 \)
\( \therefore y = mx + m + 2 \) ... (1)
दी गयी रेखा का समीकरण \( x + y = 4 \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर \( x = \frac{2 - m}{m + 1} \) और \( y = \frac{5m + 2}{m + 1} \)
यहाँ, बिंदु \( \left(\frac{2 - m}{m + 1}, \frac{5m + 2}{m + 1}\right) \) रेखाओं (1) और (2) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
प्रश्न के अनुसार, यह बिंदु दिए गए बिंदु \( (-1, 2) \) से 3 इकाई दूर है।
\( \sqrt{\left(\frac{2 - m}{m + 1} + 1\right)^2 + \left(\frac{5m + 2}{m + 1} - 2\right)^2} = 3 \) से दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left(\frac{2 - m + m + 1}{m + 1}\right)^2 + \left(\frac{5m + 2 - 2m - 2}{m + 1}\right)^2 = 3^2 \)
\( \left(\frac{3}{m + 1}\right)^2 + \left(\frac{3m}{m + 1}\right)^2 = 9 \Rightarrow \frac{9}{(m + 1)^2} + \frac{9m^2}{(m + 1)^2} = 9 \)
\( \Rightarrow \frac{9(1 + m^2)}{(m + 1)^2} = 1 \Rightarrow 1 + m^2 = m^2 + 1 + 2m \)
\( \Rightarrow 2m = 0 \)
\( \Rightarrow m = 0 \)
अतः, अभीष्ट रेखा की ढाल शून्य है। अर्थात रेखा \( x \)-अक्ष के समांतर है।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( y - y_1 = m(x - x_1) \) रूप में मानते हैं।
• प्रतिच्छेदन बिंदु को \( m \) के पदों में ज्ञात करते हैं।
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र में मान रखकर समीकरण हल करते हैं।

आम गलतियाँ:

• दूरी के समीकरण से वर्गमूल हटाते समय दोनों पक्षों का वर्ग करना भूल जाना।
• बीजीय व्यंजकों को सरल करते समय चिह्न की गलती करना।
• ढाल शून्य आने पर उसका भौतिक अर्थ न समझना।

Exam Tips:

a) रेखा का समीकरण मानकर प्रतिच्छेदन बिंदु निकालें।
b) दी गई दूरी की शर्त का उपयोग करके समीकरण बनाएँ।
c) \( m \) का मान प्राप्त कर रेखा की दिशा स्पष्ट करें।

Question 16: समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत्य बिंदु \( (1, 3) \) और \( (-4, 1) \) हैं। त्रिभुज के पाद (समकोणीय भुजाओं) का एक समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

यदि अक्षों के समांतर तथा बिंदु \( C(1, 3) \) से होकर जाती हुई रेखा खींचे तो हमें रेखाएँ \( x = 1 \) और \( y = 3 \) प्राप्त होती हैं।
इसी प्रकार, यदि अक्षों के समांतर तथा बिंदु \( C(-4, -1) \) से होकर रेखा खींचे तो हमें रेखाएँ \( x = -4 \) और \( y = 1 \) प्राप्त होती हैं।
अतः, त्रिभुज की समकोणीय भुजाओं का समीकरण \( x = 1 \) और \( y = 1 \) या \( x = -4 \) और \( y = 3 \) है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज में कर्ण के अंत्य बिंदु पाद की स्थिति निर्धारित करते हैं।
• अक्षों के समांतर रेखाओं के समीकरण \( x = k \) या \( y = k \) रूप में होते हैं।
• पाद समकोण पर मिलते हैं इसलिए वे अक्षों के समांतर होते हैं।

आम गलतियाँ:

• कर्ण के बिंदुओं को सीधे रेखा का समीकरण मान लेना।
• समांतर रेखाओं के बजाय तिरछी रेखाओं के समीकरण ढूँढना।
• दोनों संभव युग्मों को न लिखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न की ज्यामितीय स्थिति को समझें (निर्देशांक ज्यामिति में आयत/त्रिभुज की रचना)।
b) दिए गए बिंदुओं के भुज और कोटि का उपयोग करके रेखाएँ बनाएँ।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से समीकरण युग्म के रूप में दें।

Question 17: किसी बिंदु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिंदु \( (3, 8) \) का रेखा \( x + 3y = 7 \) में प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण: \( x + 3y = 7 \) ... (1)
माना, बिंदु \( B(a, b) \) है, एतत्संदर्भांत बिंदु \( A(3, 8) \) का प्रतिबिंब है।
इस प्रकार, रेखा (1), रेखाखंड \( AB \) का लंबसमद्विभाजक है।
\( AB \) का ढाल = \( \frac{b - 8}{a - 3}, \) जबकि रेखा (1) की ढाल = \( -\frac{1}{3} \)
क्योंकि, रेखा (1) रेखाखंड \( AB \) पर परस्पर लंब है।
इसलिए, \( \left(\frac{b - 8}{a - 3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \Rightarrow \frac{b - 8}{3a - 9} = 1 \)
\( \Rightarrow b - 8 = 3a - 9 \)
\( \Rightarrow 3a - b = 1 \) ... (2)
\( AB \) का मध्य बिंदु = \( \left(\frac{a + 3}{2}, \frac{b + 8}{2}\right) \)
रेखाखंड \( AB \) का मध्यबिंदु रेखा (1) पर स्थित है।
इसलिए समीकरण (1) से:
\( \left(\frac{a + 3}{2}\right) + 3\left(\frac{b + 8}{2}\right) = 7 \Rightarrow a + 3 + 3b + 24 = 14 \)
\( \Rightarrow a + 3b = -13 \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) को हल करने पर, \( a = -1 \) और \( b = -4 \)
अतः, बिंदु \( (3, 8) \) का रेखा \( x + 3y = 7 \) में प्रतिबिंब \( (-1, -4) \) है।

मुख्य बिंदु:

• दर्पण प्रतिबिंब में रेखा, दोनों बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की लंब समद्विभाजक होती है।
• लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 होता है।
• मध्यबिंदु दर्पण रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• लंबता की शर्त लगाना भूल जाना।
• मध्यबिंदु को रेखा के समीकरण में रखने में चिह्न की गलती करना।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने में गणना त्रुटि।

Exam Tips:

a) प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में दो मुख्य शर्तें उपयोग करें: ढाल की लंबवत शर्त और मध्यबिंदु की संतुष्टि।
b) \( a \) और \( b \) में दो समीकरण बनाकर उन्हें विलोपन विधि से हल करें।
c) अंतिम निर्देशांक को बिंदु के रूप میں लिखें।

Question 18: यदि \( y = 3x + 1 \) और \( 2y = x + 3 \), रेखा \( y = mx + 4 \) से समान रूप से आनत हों तो \( m \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( y = 3x + 1 \) ... (1)
\( 2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \) ... (2)
\( y = mx + 4 \) ... (3)
रेखा (1) की ढाल \( m_1 = 3 \)
रेखा (2) की ढाल \( m_2 = \frac{1}{2} \)
रेखा (3) की ढाल \( m_3 = m \)
दिया है कि रेखाओं (1) और (2) परसरेखा (3) समान रूप से आनत है। इसलिए, अर्थात् रेखाओं (1) और (3) के बीच का कोण रेखाओं (2) और (3) के बीच के कोण के बराबर है। इसलिए,
\( \left|\frac{m_1 - m_3}{1 + m_1m_3}\right| = \left|\frac{m_2 - m_3}{1 + m_2m_3}\right| \)
\( \Rightarrow \left|\frac{3 - m}{1 - 3m}\right| = \left|\frac{\frac{1}{2} - m}{1 + \frac{1}{2}m}\right| \Rightarrow \left|\frac{3 - m}{1 - 3m}\right| = \left|\frac{1 - 2m}{2 + m}\right| \)
\( \Rightarrow \frac{3 - m}{1 - 3m} = \pm\left(\frac{1 - 2m}{2 + m}\right) \)
यदि \( \frac{3 - m}{1 - 3m} = \frac{1 - 2m}{2 + m} \)
\( \Rightarrow (3 - m)(2 + m) = (1 - 2m)(1 - 3m) \)
\( \Rightarrow -m^2 + m + 6 = 1 + m - 6m^2 \Rightarrow 5m^2 + 5 = 0 \Rightarrow (m^2 + 1) = 0 \)
जो वास्तविक मूल नहीं है। अतः, यह संभव नहीं है।
यदि \( \frac{3 - m}{1 - 3m} = -\left(\frac{1 - 2m}{2 + m}\right) \)
\( \Rightarrow (3 - m)(2 + m) = -(1 - 2m)(1 - 3m) \Rightarrow -m^2 + m + 6 = -(1 + m - 6m^2) \)
\( \Rightarrow 7m^2 - 2m - 7 = 0 \)
द्विघात सूत्र से \( m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(7)(-7)}}{2(7)} \Rightarrow m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 196}}{14} \)
\( \Rightarrow m = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{2 \pm 10\sqrt{2}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7} \)
अतः, \( m \) का अभीष्ट मान \( \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र को दोनों युग्मों के लिए बराबर रखते हैं।
• मापांक समीकरण को हल करते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों स्थितियाँ लेते हैं।
• द्विघात समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र (Quadratic Formula) का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• मापांक हटाने पर केवल एक चिह्न लेना।
• समीकरण हल करते समय गुणन में चिह्न की गलती करना।
• अवास्तविक मूल मिलने पर उसे सही मान लेना।

Exam Tips:

a) कोण बराबर होने की शर्त का सूत्र सावधानी से लिखें।
b) दोनों संभावनाओं (+ और -) को अलग-अलग हल करें।
c) द्विघात समीकरण के मूल निकालते समय गणना की सटीकता बनाए रखें।

Question 19: यदि एक बिंदु \( P(x, y) \) की रेखाओं \( x + y - 5 = 0 \) और \( 3x - 2y + 7 = 0 \) से लंबिक दूरियों का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( x + y - 5 = 0 \) ... (1)
\( 3x - 2y + 7 = 0 \) ... (2)
बिंदु \( P(x, y) \) से रेखाओं (1) और (2) पर डाले गए लंब की लंबाई क्रमशः:
\( d_1 = \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{(1)^2 + (1)^2}} \) और \( d_2 = \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{(3)^2 + (-2)^2}} \Rightarrow d_1 = \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} \) और \( d_2 = \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} \)
दियाहै, \( d_1 + d_2 = 10 \)
\( \Rightarrow \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} = 10 \)
[माना \( (x + y - 5) \) और \( (3x - 2y + 7) \) धनात्मक हैं]
\( \Rightarrow \frac{\sqrt{13}(x + y - 5) + \sqrt{2}(3x - 2y + 7) - 10\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt{13}(x + y - 5) + \sqrt{2}(3x - 2y + 7) - 10\sqrt{26} = 0 \)
\( \Rightarrow x(\sqrt{13} + 3\sqrt{2}) + y(\sqrt{13} - 2\sqrt{2}) + (7\sqrt{2} - 5\sqrt{13} - 10\sqrt{26}) = 0, \) जो एक रेखा का समीकरण है।
इसी प्रकार (\( x + y - 5 \)) और (\( 3x - 2y + 7 \)) के अन्य चिन्ह लेकर भी रेखा बना सकते हैं।
अतः, बिंदु P रेखा पर गमन करता है।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु से रेखा पर लंबवत दूरी के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
• दूरियों का योग दी गई शर्त के अनुसार 10 के बराबर रखा जाता है।
• मापांक हटाने के बाद प्राप्त समीकरण एक रैखिक समीकरण (रेखा) होता है।

आम गलतियाँ:

• लंबवत दूरी के सूत्र में हर में वर्गमूल लेना भूल जाना।
• मापांक को सरल करते समय बीजगणितीय विस्तार में त्रुटि करना।
• अंतिम समीकरण को रेखा का समीकरण न पहचान पाना।

Exam Tips:

a) दोनों रेखाओं से बिंदु की लंबवत दूरी का सूत्र अलग-अलग लिखें।
b) उनके योग को 10 के बराबर रखकर लघुत्तम लें।
c) अंत में दर्शाएँ कि यह \( Ax + By + C = 0 \) के रूप का है।

Question 20: समांतर रेखाओं \( 9x + 6y - 7 = 0 \) और \( 3x + 2y + 6 = 0 \) से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( 9x + 6y - 7 = 0 \) ... (1)
\( 3x + 2y + 6 = 0 \) ... (2)
माना, बिंदु \( P(h, k) \) रेखाओं (1) और (2) से समदूरस्थ हैं।
बिंदु \( P(h, k) \) से रेखा (1) की लंबिक दूरी:
\( d_1 = \frac{|9h + 6k - 7|}{\sqrt{(9)^2 + (6)^2}} = \frac{|9h + 6k - 7|}{\sqrt{117}} = \frac{|9h + 6k - 7|}{3\sqrt{13}} \)
बिंदु \( P(h, k) \) सेरेखा (2) की लंबिक दूरी:
\( d_2 = \frac{|3h + 2k + 6|}{\sqrt{(3)^2 + (2)^2}} = \frac{|3h + 2k + 6|}{\sqrt{13}} \)
क्योंकि, बिंदु \( P(h, k) \) रेखाओं (1) और (2) से समदूरस्थ है। इसलिए,
\( d_1 = d_2 \Rightarrow \frac{|9h + 6k - 7|}{3\sqrt{13}} = \frac{|3h + 2k + 6|}{\sqrt{13}} \)
\( \Rightarrow |9h + 6k - 7| = 3|3h + 2k + 6| \)
\( \Rightarrow |9h + 6k - 7| = \pm 3(3h + 2k + 6) \)
\( \Rightarrow 9h + 6k - 7 = \pm(9h + 6k + 18) \)
यहाँ, \( 9h + 6k - 7 = 3(3h + 2k + 6) \) संभव नहीं है।
इसलिए, \( 9h + 6k - 7 = -3(3h + 2k + 6) \)
\( \Rightarrow 9h + 6k - 7 = -9h - 6k - 18 \)
\( \Rightarrow 18h + 12k + 11 = 0 \)
अतः, रेखा का अभीष्ट समीकरण \( 18x + 12y + 11 = 0 \) है।

मुख्य बिंदु:

• समदूरस्थ बिंदु की दोनों रेखाओं से लंबवत दूरियाँ बराबर होती हैं (\( d_1 = d_2 \))।
• दोनों समीकरणों के x और y के गुणांकों को समान बनाकर तुलना करते हैं।
• अवास्तविक स्थिति को हटाकर सही समीकरण प्राप्त करते हैं।

आम गलतियाँ:

• हर के वर्गमूल को सरल करते समय गलती करना।
• मापांक हटाने पर दोनों पक्षों के चिह्नों का सही विश्लेषण न करना।
• असंगत समीकरण को रद्द न करना।

Exam Tips:

a) दोनों रेखाओं से बिंदु की लंबवत दूरी का सूत्र लिखकर बराबर करें।
b) दोनों पक्षों से हर के समान पदों को काटें।
c) धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों में से सही समीकरण का चयन करें।

Question 21: बिंदु \( (1, 2) \) से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण \( x \)-अक्ष के बिंदु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिंदु \( (5, 3) \) से होकर जाती है। A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, बिंदु A के निर्देशांक \( (a, 0) \) हैं।
\( x \)-अक्ष पर बिंदु A से होकर जाता हुआ लंब AL बनाया।
हम जानते हैं कि परावर्तन के नियम के अनुसार, आपतन कोण = परावर्तित कोण
इसलिए, माना \( \angle BAL = \angle CAL = \theta \)
माना, \( \angle CAX = \theta \)
\( \therefore \angle OAB = 180^\circ - (\theta + 2\phi) \)
\( = 180^\circ - [\theta + 2(90^\circ - \theta)] \)
\( = 180^\circ - \theta - 180^\circ + 2\theta = \theta \)
\( \therefore \angle BAX = 180^\circ - \theta \)
AC का ढाल = \( \frac{3 - 0}{5 - a} = \frac{3}{5 - a} \) ... (1)
AB का ढाल = \( \frac{2 - 0}{1 - a} \Rightarrow \tan(180^\circ - \theta) = \frac{2}{1 - a} \)
\( \Rightarrow -\tan\theta = \frac{2}{1 - a} \)
\( \Rightarrow \tan\theta = -\frac{2}{1 - a} \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, \( \frac{3}{5 - a} = \frac{2}{1 - a} \)
\( \Rightarrow 3a - 3 = 10 - 2a \)
\( \Rightarrow a = \frac{13}{5} \)
अतः, बिंदु A के निर्देशांक \( \left(\frac{13}{5}, 0\right) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• परावर्तन के नियम के अनुसार आपतन कोण और परावर्तित कोण बराबर होते हैं।
• \( x \)-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक \( (a, 0) \) माने जाते हैं।
• रेखा की ढाल \( m = \tan\theta \) और दो बिंदुओं से ढाल के सूत्र का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• कोणों के ज्यामितीय संबंध निकालते समय \( 180^\circ \) या \( 90^\circ \) का गलत उपयोग करना।
• ढाल निकालते समय \( x \) और \( y \) निर्देशांकों के क्रम में गलती करना।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों में चिह्न की त्रुटि।

Exam Tips:

a) किरण आरेख (Ray diagram) बनाकर कोणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) आपतन और परावर्तन कोणों की समानता का उपयोग करके ढाल निकालें।
c) दोनों ढालों को बराबर रखकर \( a \) का मान ज्ञात करें।

Question 22: दर्शाइए कि \( (\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \) और \( (-\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \) बिंदुओं से रेखा \( \frac{x}{a}\cos\theta + \frac{y}{b}\sin\theta = 1 \) पर खींचे गए लंबों का गुणनफल \( b^2 \) है।

Answer:

दिया गया रेखा का समीकरण:
\( \frac{x}{a}\cos\theta + \frac{y}{b}\sin\theta = 1 \Rightarrow bx\cos\theta + ay\sin\theta - ab = 0 \) ... (1)
बिंदु \( (\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \) से रेखा (1) पर डाले गए लंब की लंबाई:
\( p_1 = \frac{|b\cos\theta(\sqrt{a^2 - b^2}) + a\sin\theta(0) - ab|}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}} \)
\( = \frac{|b\cos\theta(\sqrt{a^2 - b^2}) - ab|}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}} \) ... (2)
बिंदु \( (-\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \) से रेखा (1) पर डाले गए लंब की लंबाई:
\( p_2 = \frac{|b\cos\theta(-\sqrt{a^2 - b^2}) + a\sin\theta(0) - ab|}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}} \)
\( = \frac{|b\cos\theta(\sqrt{a^2 - b^2}) + ab|}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}} \) ... (3)
समीकरण (2) को (3) से गुणा करने पर:
\( p_1p_2 = \frac{|(b\cos\theta(\sqrt{a^2 - b^2}) - ab)(b\cos\theta(\sqrt{a^2 - b^2}) + ab)|}{(\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta})^2} \)
\( = \frac{|(b\cos\theta\sqrt{a^2 - b^2})^2 - (ab)^2|}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \)
\( = \frac{|b^2\cos^2\theta(a^2 - b^2) - a^2b^2|}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \)
\( = \frac{b^2[a^2\cos^2\theta - b^2\cos^2\theta - a^2]}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} = \frac{b^2[a^2\cos^2\theta - a^2 - b^2\cos^2\theta]}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \)
\( = \frac{b^2[-a^2(1 - \cos^2\theta) - b^2\cos^2\theta]}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} = \frac{b^2[-a^2\sin^2\theta - b^2\cos^2\theta]}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \) [क्योंकि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)]
\( = \frac{b^2(b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta)}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} = b^2 \)
अतः, लंबों का गुणनफल \( b^2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई के सूत्र का दोनों बिंदुओं के लिए प्रयोग करते हैं।
• बीजगणितीय सर्वसमिका \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \) का उपयोग करते हैं।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) से पदों को सरल करते हैं।

आम गलतियाँ:

• लंब की लंबाई के सूत्र में मापांक और वर्गमूल सही न लिखना।
• गुणा करते समय बीजगणितीय पदों का विस्तार गलत करना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं लगाते समय चिह्नों की गलती करना।

Exam Tips:

a) रेखा के समीकरण को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में बदलें।
b) दोनों लंबों \( p_1 \) और \( p_2 \) के व्यंजक लिखकर उनका गुणनफल निकालें।
c) अंश को सरल करते समय त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का ध्यान रखें।

Question 23: एक व्यक्ति समीकरणों \( 2x - 3y + 4 = 0 \) और \( 3x + 4y - 5 = 0 \) से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिंदु पर खड़ा है और समीकरण \( 6x - 7y + 8 = 0 \) से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है। उसके द्वारा अनुसरत पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( 2x - 3y + 4 = 0 \) ... (1)
\( 3x + 4y - 5 = 0 \) ... (2)
\( 6x - 7y + 8 = 0 \) ... (3)
व्यक्ति रेखाओं (1) और (2) के प्रतिच्छेद बिंदु पर खड़ा है। इसलिए, समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
\( x = -\frac{1}{17} \) और \( y = \frac{22}{17} \)
अतः, व्यक्ति बिंदु \( \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right) \) पर खड़ा है।
रेखा (3) तक न्यूनतम समय में पहुँचने के लिए व्यक्ति को समीकरण (3) के लंबवत चलना होगा।
रेखा (3) की ढाल = \( \frac{6}{7} \)
रेखा (3) के लंब किसी रेखा की ढाल = \( -\frac{1}{\frac{6}{7}} = -\frac{7}{6} \)
बिंदु \( \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right) \) से होकर जाने वाली तथा \( -\frac{7}{6} \) ढाल वाली रेखा का समीकरण:
\( \left(y - \frac{22}{17}\right) = -\frac{7}{6}\left(x + \frac{1}{17}\right) \)
\( \Rightarrow 6\left(17y - 22\right) = -7\left(17x + 1\right) \)
\( \Rightarrow 102y - 132 = -119x - 7 \)
\( \Rightarrow 119x + 102y = 125 \)
अतः, व्यक्ति द्वारा अनुसरत अभीष्ट पथ का समीकरण \( 119x + 102y = 125 \) है।

मुख्य बिंदु:

• न्यूनतम समय में पहुँचने के लिए लंबवत पथ (सबसे छोटा रास्ता) अपनाना पड़ता है।
• प्रतिच्छेदन बिंदु निकालने के लिए दोनों समीकरणों को हल करते हैं।
• लंबवत रेखा की ढाल \( m_2 = -1/m_1 \) होती है।

आम गलतियाँ:

• लंबवत रेखा की ढाल निकालते समय चिह्न बदलना भूल जाना।
• प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने में गणना की त्रुटि करना।
• समीकरण को मानक रूप में न छोड़ना।

Exam Tips:

a) समझें कि न्यूनतम दूरी हमेशा लंबवत होती है।
b) प्रतिच्छेद बिंदु निकाल कर उसे नए पथ का बिंदु बनाएँ।
c) बिंदु-ढाल रूप से अंतिम समीकरण प्राप्त करें।