NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 09 Straight Lines (सरल रेखाएँ) Exercise 9.3 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित समीकरणों को ढाल-अंतःखंड रूप में रूपान्तरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंतःखंड ज्ञात कीजिए:
(i) x + 7y = 0
(ii) 6x + 3y - 5 = 0
(iii) y = 0

Answer:

ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) होता है, जहाँ \( m \) ढाल और \( c \) y-अंतःखंड है।
(i) दिया गया समीकरण \( x + 7y = 0 \) है।
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( 7y = -x + 0 \)
\( y = -\frac{1}{7}x + 0 \)
यहाँ, ढाल \( m = -\frac{1}{7} \) और y-अंतःखंड \( c = 0 \) है।
(ii) दिया गया समीकरण \( 6x + 3y - 5 = 0 \) है।
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( 3y = -6x + 5 \)
\( y = \frac{1}{3}(-6x + 5) \)
\( y = -2x + \frac{5}{3} \)
यहाँ, ढाल \( m = -2 \) और y-अंतःखंड \( c = \frac{5}{3} \) है।
(iii) दिया गया समीकरण \( y = 0 \) है।
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( y = 0 \cdot x + 0 \)
यहाँ, ढाल \( m = 0 \) और y-अंतःखंड \( c = 0 \) है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को \( y = mx + c \) के रूप में व्यक्त करना।
• \( x \) के गुणांक को ढाल \( m \) मानना।
• अचर पद को y-अंतःखंड \( c \) मानना।

आम गलतियाँ:

• समीकरण को सही ढंग से पक्षांतर न करना।
• \( y \) के गुणांक से पूरे समीकरण में भाग देना भूल जाना।
• ढाल और अंतःखंड के चिह्नों में गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा समीकरण को \( y \) के पदों में अलग करें।
b) अंतिम उत्तर में ढाल और अंतःखंड को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) गणना करते समय चिह्न का विशेष ध्यान रखें।

Question 2: निम्नलिखित समीकरणों को अंतः खंड रूप में रूपान्तरित कीजिए और अक्षों पर इनके द्वारा काटे गए अंतः खंड ज्ञात कीजिए:
(i) 3x + 2y - 12 = 0
(ii) 4x - 3y = 6
(iii) 3y + 2 = 0

Answer:

अंतःखंड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) होता है, जहाँ \( a \) और \( b \) क्रमशः x और y-अंतःखंड हैं।
(i) दिया गया समीकरण \( 3x + 2y - 12 = 0 \) है।
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( 3x + 2y = 12 \)
दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर:
\( \frac{3x}{12} + \frac{2y}{12} = 1 \)
\( \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \)
यहाँ, x-अंतःखंड \( a = 4 \) और y-अंतःखंड \( b = 6 \) है।
(ii) दिया गया समीकरण \( 4x - 3y = 6 \) है।
दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर:
\( \frac{4x}{6} - \frac{3y}{6} = 1 \)
\( \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \)
\( \frac{x}{\frac{3}{2}} + \frac{y}{-2} = 1 \)
यहाँ, \( a = \frac{3}{2} \) और \( b = -2 \) है।
(iii) दिया गया समीकरण \( 3y + 2 = 0 \) है।
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( 3y = -2 \)
\( \frac{y}{-\frac{2}{3}} = 1 \)
\( \frac{x}{0} + \frac{y}{-\frac{2}{3}} = 1 \)
यहाँ, x-अंतःखंड परिभाषित नहीं है (\( a = 0 \)) और y-अंतःखंड \( b = -\frac{2}{3} \) है।

मुख्य बिंदु:

• अचर पद को दाईं ओर ले जाना।
• दाईं ओर 1 बनाना।
• हर में पदों को समायोजित करके मानक रूप लाना।

आम गलतियाँ:

• दाईं ओर 1 बनाने के बजाय 0 रखना।
• ऋणात्मक चिह्न को हर में ले जाते समय गलती करना।
• x-अंतःखंड और y-अंतःखंड को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

• अंतःखंड रूप में बदलने के बाद \( a \) और \( b \) के मान स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
• यदि कोई पद अनुपस्थित हो, तो उसे 0 या अपरिभाषित के रूप में समझाएं।
• भिन्नों को सरलतम रूप में लिखें।

Question 3: बिंदु (-1, 1) की रेखा 12(x + 6) = 5(y - 2) से दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण:
\( 12(x + 6) = 5(y - 2) \)
\( 12x + 72 = 5y - 10 \)
\( 12x - 5y + 82 = 0 \)
यह व्यापक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में है, जहाँ \( A = 12, B = -5, C = 82 \) हैं।
बिंदु \( (x_1, y_1) = (-1, 1) \) से रेखा की लंबवत दूरी का सूत्र:
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
मान रखने पर:
\( d = \frac{|12(-1) + (-5)(1) + 82|}{\sqrt{(12)^2 + (-5)^2}} \)
\( d = \frac{|-12 - 5 + 82|}{\sqrt{144 + 25}} \)
\( d = \frac{|65|}{\sqrt{169}} \)
\( d = \frac{65}{13} = 5 \) इकाई

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में बदलना।
• लंबवत दूरी के सूत्र का सही उपयोग करना।
• मापांक (modulus) के कारण दूरी का धनात्मक आना।

आम गलतियाँ:

• समीकरण को सरल करते समय चिह्न की गलती करना।
• वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक चिह्न का गलत वर्ग करना।
• सूत्र में मान गलत प्रतिस्थापित करना।

Exam Tips:

a) दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए मापांक का उपयोग करें।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंत में इकाई लिखना न भूलें।

Question 4: x-अक्ष पर बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1\) से दूरियाँ 4 इकाइयां हैं।

Answer:

माना x-अक्ष पर बिंदु \( (a, 0) \) है।
दी गई रेखा का समीकरण:
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \)
\( 4x + 3y - 12 = 0 \)
यहाँ \( A = 4, B = 3, C = -12 \) हैं।
बिंदु \( (a, 0) \) से इस रेखा की दूरी 4 है, इसलिए सूत्र से:
\( 4 = \frac{|4(a) + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \)
\( 4 = \frac{|4a - 12|}{\sqrt{25}} \)
\( 4 = \frac{|4a - 12}{5} \)
\( |4a - 12| = 20 \)
दो स्थितियाँ लेने पर:
\( 4a - 12 = 20 \Rightarrow 4a = 32 \Rightarrow a = 8 \)
और \( 4a - 12 = -20 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \)
अतः, x-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु (-2, 0) और (8, 0) हैं।

मुख्य बिंदु:

• x-अक्ष पर स्थित बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है।
• मापांक हटाने पर दो स्थितियाँ (+ और -) बनती हैं।
• दूरी के सूत्र का समीकरण रूप में उपयोग।

आम गलतियाँ:

• मापांक हटाने के बाद केवल धनात्मक मान लेना।
• x-अक्ष के बिंदु को \( (0, a) \) मान लेना।
• हर में वर्गमूल का मान गलत निकालना।

Exam Tips:

a) x-अक्ष और y-अक्ष के बिंदुओं के सामान्य रूप याद रखें।
b) मापांक समीकरण को हल करते समय दोनों केस (धनात्मक और ऋणात्मक) हल करें।
c) निर्देशांक को युग्म के रूप में लिखें।

Question 5: समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) \( 15x + 8y - 34 = 0 \) और \( 15x + 8y + 31 = 0 \)
(ii) \( l(x + y) + p = 0 \) और \( l(x + y) - r = 0 \)

Answer:

दो समांतर रेखाओं \( Ax + By + C_1 = 0 \) और \( Ax + By + C_2 = 0 \) के बीच की दूरी:
\( d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
(i) दी गई रेखाएं:
\( 15x + 8y - 34 = 0 \) और \( 15x + 8y + 31 = 0 \)
यहाँ \( A = 15, B = 8, C_1 = -34, C_2 = 31 \) हैं।
\( d = \frac{|-34 - 31|}{\sqrt{15^2 + 8^2}} \)
\( d = \frac{|-65|}{\sqrt{225 + 64}} = \frac{65}{\sqrt{289}} = \frac{65}{17} \) इकाई
(ii) दी गई रेखाएं:
\( lx + ly + p = 0 \) और \( lx + ly - r = 0 \)
यहाँ \( A = l, B = l, C_1 = p, C_2 = -r \) हैं।
\( d = \frac{|p - (-r)|}{\sqrt{l^2 + l^2}} \)
\( d = \frac{|p + r|}{\sqrt{2l^2}} = \frac{|p + r|}{\sqrt{2}l} \) इकाई

मुख्य बिंदु:

• दो समांतर रेखाओं के \( x \) और \( y \) के गुणांक समान होने चाहिए।
• अचर पदों का अंतर ही अंश में आता है।
• हर में \( A^2 + B^2 \) का वर्गमूल होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणांकों को समान किए बिना सूत्र लगाना।
• अचर पदों के चिह्नों को गलत लेना।
• वर्गमूल के बाहर पद निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) सूत्र का प्रयोग करने से पहले सुनिश्चित करें कि \( x \) और \( y \) के गुणांक दोनों समीकरणों में समान हों।
b) मापांक के भीतर घटाव करते समय सावधानी बरतें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 6: रेखा \( 3x - 4y + 2 = 0 \) के समांतर और बिंदु (-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण: \( 3x - 4y + 2 = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप में बदलने पर:
\( 4y = 3x + 2 \)
\( y = \frac{3}{4}x + \frac{2}{4} \)
यहाँ ढाल \( m = \frac{3}{4} \) है।
चूंकि समांतर रेखाओं के ढाल समान होते हैं, इसलिए अभीष्ट रेखा का ढाल भी \( m = \frac{3}{4} \) होगा।
बिंदु (-2, 3) से जाने वाली और \( m = \frac{3}{4} \) ढाल वाली रेखा का समीकरण:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 3 = \frac{3}{4}(x - (-2)) \)
\( y - 3 = \frac{3}{4}(x + 2) \)
\( 4(y - 3) = 3(x + 2) \)
\( 4y - 12 = 3x + 6 \)
\( 3x - 4y + 18 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• समांतर रेखाओं के ढाल (slope) समान होते हैं।
• बिंदु-ढाल रूप (point-slope form) का उपयोग करना।
• समीकरण को मानक रूप में व्यवस्थित करना।

आम गलतियाँ:

• समांतर रेखा का ढाल अलग मान लेना।
• बिंदु-ढाल सूत्र में मान रखते समय चिह्नों की भूल करना।
• वज्र गुणन (cross multiplication) में गलती करना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि समांतर रेखाओं के \( m_1 = m_2 \) होते हैं।
b) समीकरण को अंत में \( Ax + By + C = 0 \) के रूप में छोड़ें।
c) गणना की प्रत्येक पंक्ति को स्पष्ट लिखें।

Question 7: रेखा \( x - 7y + 5 = 0 \) पर लंब और x-अंतः 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण: \( x - 7y + 5 = 0 \)
\( 7y = x + 5 \)
\( y = \frac{1}{7}x + \frac{5}{7} \)
इस रेखा का ढाल \( m_1 = \frac{1}{7} \) है।
लंबवत रेखा का ढाल \( m_2 \) होगा, जहाँ \( m_1 \times m_2 = -1 \):
\( \frac{1}{7} \times m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -7 \)
दी गई रेखा x-अक्ष पर 3 अंतःखंड बनाती है, जिसका अर्थ है कि रेखा बिंदु (3, 0) से होकर जाती है।
अब, ढाल \( -7 \) और बिंदु (3, 0) से जाने वाली रेखा का समीकरण:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 0 = -7(x - 3) \)
\( y = -7x + 21 \)
\( 7x + y - 21 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• लंबवत रेखाओं के ढाल का गुणनफल -1 होता है (\( m_1 m_2 = -1 \))।
• x-अंतःखंड 3 का मतलब बिंदु (3, 0) है।
• बिंदु-ढाल रूप का प्रयोग करना।

आम गलतियाँ:

• लंबवत ढाल निकालते समय ऋणात्मक चिह्न या व्युत्क्रम (reciprocal) लेना भूल जाना।
• x-अंतःखंड 3 से बिंदु (0, 3) मान लेना (जो कि y-अंतःखंड है)।
• समीकरण को हल करते समय पक्षांतर की गलती।

Exam Tips:

a) लंबवत रेखा के लिए \( m_2 = -\frac{1}{m_1} \) का सीधा प्रयोग करें।
b) अंतःखंड को सही निर्देशांक बिंदु में बदलें।
c) परिणाम को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 8: रेखाओं \(\sqrt{3}x + y = 1\) और \(x + \sqrt{3}y = 1\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( \sqrt{3}x + y = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}x + 1 \) (समीकरण 1)
\( x + \sqrt{3}y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}} \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) का ढाल \( m_1 = -\sqrt{3} \)
समीकरण (2) का ढाल \( m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
दो रेखाओं के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने का सूत्र:
\( \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \)
मान रखने पर:
\( \tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (-\sqrt{3})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| \)
\( \tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| \)
\( \tan \theta = \left| \frac{\frac{-3 + 1}{\sqrt{3}}}{2} \right| = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \left| -\frac{1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30^\circ \)
अतः, दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( 30^\circ \) या \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \) है।

मुख्य बिंदु:

• दोनों रेखाओं के ढाल \( m_1 \) और \( m_2 \) निकालना।
• कोण के सूत्र में मापांक का उपयोग करना।
• \( \tan \theta \) के मान से कोण \( \theta \) ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में मान रखते समय चिह्न की गलती करना।
• मापांक के कारण दोनों संभावित कोणों (\( \theta \) और \( 180^\circ - \theta \)) को न लिखना।
• भिन्नों को हल करते समय लघुत्तम (LCM) में गलती।

Exam Tips:

a) दो रेखाओं के बीच न्यून कोण और अधिक कोण दोनों पूछे जा सकते हैं, इसलिए दोनों लिखें।
b) त्रिकोणमिति सारणी के मान याद रखें।
c) गणना के चरणों को साफ़-साफ़ दिखाएं।

Question 9: बिंदुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा, रेखा \(7x - 9y - 19 = 0\) को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। \(h\) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा का ढाल (\( m_1 \)):
\( m_1 = \frac{1 - 3}{4 - h} = \frac{-2}{4 - h} \)
दी गई रेखा \( 7x - 9y - 19 = 0 \) का ढाल (\( m_2 \)):
\( 9y = 7x - 19 \Rightarrow y = \frac{7}{9}x - \frac{19}{9} \)
अतः \( m_2 = \frac{7}{9} \)
चूंकि दोनों रेखाएं परस्पर लंबवत हैं, इसलिए \( m_1 \times m_2 = -1 \):
\( \left(\frac{-2}{4 - h}\right) \times \left(\frac{7}{9}\right) = -1 \)
\( \frac{-14}{36 - 9h} = -1 \)
\( -14 = -(36 - 9h) \)
\( 14 = 36 - 9h \)
\( 9h = 36 - 14 \)
\( 9h = 22 \Rightarrow h = \frac{22}{9} \)
अतः \( h \) का मान \( \frac{22}{9} \) है।

मुख्य बिंदु:

• लंबवत रेखाओं के ढालों का गुणनफल -1 होता है।
• दो बिंदुओं से रेखा का ढाल निकालने का सूत्र \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) है।
• समीकरण को हल करके अज्ञात \( h \) का मान निकालना।

आम गलतियाँ:

• ढाल के सूत्र में x और y के निर्देशांकों का क्रम गलत रखना।
• लंबवत की बजाय समांतर शर्त (\( m_1 = m_2 \)) का प्रयोग करना।
• पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती।

Exam Tips:

a) "समकोण पर प्रतिच्छेद" का अर्थ लंबवत होता है।
b) बीजगणितीय समीकरण को हल करते समय सावधानी बरतें।
c) अंतिम भिन्न को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 10: सिद्ध कीजिए कि बिंदु \((x_1, y_1)\) से जाने वाली और रेखा \(Ax + By + C = 0\) के समांतर रेखा का समीकरण \(A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0\) है।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण: \( Ax + By + C = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप में बदलने पर:
\( By = -Ax - C \Rightarrow y = \left(-\frac{A}{B}\right)x + \left(-\frac{C}{B}\right) \)
इस रेखा का ढाल \( m = -\frac{A}{B} \) है।
चूंकि समांतर रेखाओं के ढाल समान होते हैं, इसलिए दी गई रेखा के समांतर रेखा का ढाल भी \( m = -\frac{A}{B} \) होगा।
अब, बिंदु \( (x_1, y_1) \) से जाने वाली और \( m = -\frac{A}{B} \) ढाल वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप से:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - y_1 = -\frac{A}{B}(x - x_1) \)
वज्र गुणन करने पर:
\( B(y - y_1) = -A(x - x_1) \)
\( A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0 \)
अतः सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• मूल रेखा का ढाल \( -\frac{A}{B} \) ज्ञात करना।
• समांतर रेखा का ढाल भी समान होना।
• बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके समीकरण स्थापित करना।

आम गलतियाँ:

• ढाल निकालते समय A और B के पदों में भ्रमित होना।
• वज्र गुणन करते समय पदों को छोड़ देना।
• प्रमाण वाले प्रश्नों में अंतिम चरण स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में प्रत्येक चरण का कारण लिखें।
b) समांतर रेखाओं का ढाल समान होता है, इस नियम को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंत में "इति सिद्धम्" या "प्रमाणित" लिखें।

Question 11: बिंदु (2, 3) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर \(60^\circ\) के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना पहली रेखा का ढाल \( m_1 = 2 \) है और दूसरी रेखा का ढाल \( m_2 \) है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( \theta = 60^\circ \) है।
सूत्रानुसार:
\( \tan 60^\circ = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \)
\( \sqrt{3} = \left| \frac{2 - m_2}{1 + 2m_2} \right| \)
मापांक हटाने पर दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति I: \( \sqrt{3} = \frac{2 - m_2}{1 + 2m_2} \)
\( \sqrt{3}(1 + 2m_2) = 2 - m_2 \)
\( \sqrt{3} + 2\sqrt{3}m_2 = 2 - m_2 \)
\( m_2(2\sqrt{3} + 1) = 2 - \sqrt{3} \)
\( m_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1} \)
बिंदु (2, 3) से जाने वाली और इस ढाल वाली रेखा का समीकरण:
\( y - 3 = \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1}\right)(x - 2) \)
इसे हल करने पर समीकरण प्राप्त होता है: \( (\sqrt{3}-2)x + (2\sqrt{3}+1)y = -1 + 8\sqrt{3} \)
स्थिति II: \( -\sqrt{3} = \frac{2 - m_2}{1 + 2m_2} \)
हल करने पर \( m_2 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1} \)
इस ढाल से समीकरण प्राप्त होता है: \( (\sqrt{3}+2)x + (2\sqrt{3}-1)y = 1 + 8\sqrt{3} \)

मुख्य बिंदु:

• कोण के सूत्र में मापांक के कारण दो स्थितियाँ (+ और -) बनना।
• दोनों ढालों के मान अलग-अलग ज्ञात करना।
• बिंदु-ढाल रूप से दो अलग समीकरण प्राप्त करना।

आम गलतियाँ:

• मापांक को नजरअंदाज करना और केवल एक ही उत्तर निकालना।
• समीकरण को सरल करते समय वर्गमूल के गुणा में गलती करना।
• पक्षांतर में चिह्न की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) याद रखें कि \( 60^\circ \) के कोण पर दो रेखाएं संभव हैं।
b) गणना लंबी होने पर भी धैर्यपूर्वक चरणों का पालन करें।
c) दोनों उत्तरों को स्पष्ट रूप से स्थिति I और स्थिति II डालकर लिखें।

Question 12: बिंदुओं (3, 4) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखाखंड के लंब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए बिंदु \( A(3, 4) \) और \( B(-1, 2) \) हैं।
रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु M:
\( M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{6}{2}\right) = (1, 3) \)
रेखा AB का ढाल:\( m_1 = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
चूंकि लंब समद्विभाजक रेखा AB पर लंब है, इसलिए इसका ढाल \( m_2 \) होगा:
\( m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 \)
अब, मध्य-बिंदु (1, 3) से जाने वाली और \( -2 \) ढाल वाली रेखा का समीकरण:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 3 = -2(x - 1) \)
\( y - 3 = -2x + 2 \)
\( 2x + y - 5 = 0 \) (या \( 2x + y = 5 \))

मुख्य बिंदु:

• मध्य-बिंदु के सूत्र से रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात करना।
• दिए गए रेखाखंड के ढाल का व्युत्क्रम और ऋणात्मक लेकर लंबवत ढाल निकालना।
• बिंदु-ढाल रूप से समीकरण बनाना।

आम गलतियाँ:

• मध्य-बिंदु निकालने के बजाय अंतःबिंदु का प्रयोग करना।
• लंबवत ढाल निकालते समय चिह्न बदलना भूल जाना।
• समीकरण को व्यवस्थित करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) "लंब समद्विभाजक" में मध्य-बिंदु और लंबवत ढाल दोनों की आवश्यकता होती है।
b) मध्य-बिंदु का सूत्र \( \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \) याद रखें।
c) अंतिम समीकरण को मानक रूप में दें।

Question 13: बिंदु (-1, 3) से रेखा \(3x - 4y - 16 = 0\) पर डाले गए लंबपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना बिंदु P(-1, 3) से रेखा \( 3x - 4y - 16 = 0 \) पर लंबपाद Q(a, b) है।
चूंकि Q रेखा पर स्थित है, इसलिए:
\( 3a - 4b - 16 = 0 \Rightarrow 3a - 4b = 16 \) (समीकरण 1)
बिंदु P(-1, 3) और Q(a, b) को मिलाने वाली रेखा का ढाल \( m_1 \):
\( m_1 = \frac{b - 3}{a - (-1)} = \frac{b - 3}{a + 1} \)
दी गई रेखा \( 3x - 4y - 16 = 0 \) का ढाल \( m_2 = \frac{3}{4} \)
चूंकि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं, अतः \( m_1 \times m_2 = -1 \):
\( \left(\frac{b - 3}{a + 1}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = -1 \)
\( 3(b - 3) = -4(a + 1) \)
\( 3b - 9 = -4a - 4 \)
\( 4a + 3b = 5 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
\( a = \frac{68}{25} \) और \( b = -\frac{49}{25} \)
अतः लंबपाद के निर्देशांक \( \left(\frac{68}{25}, -\frac{49}{25}\right) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• लंबपाद रेखा पर स्थित होता है, अतः उसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
• दोनों रेखाओं के ढालों का गुणनफल -1 होता है।
• दो रैखिक समीकरणों को हल करके a और b के मान निकालना।

आम गलतियाँ:

• लंबपाद को दी गई रेखा पर संतुष्ट न कराना।
• ढाल के गुणनफल की शर्त में गलती करना।
• युगपत् समीकरण (simultaneous equations) हल करते समय गणना की त्रुटि।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न है, इसके सभी चरणों का अभ्यास करें।
b) समीकरण 1 और 2 को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से हल करें।
c) निर्देशांकों को क्रमित युग्म में लिखें।

Question 14: मूल बिंदु से रेखा \(y = mx + c\) पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु \((-1, 2)\) पर मिलता है। \(m\) और \(c\) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का समीकरण: \( y = mx + c \)
यह रेखा बिंदु (-1, 2) से होकर जाती है, इसलिए यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( 2 = m(-1) + c \)
\( -m + c = 2 \) (समीकरण 1)
मूल बिंदु (0, 0) और बिंदु (-1, 2) को मिलाने वाली रेखा का ढाल:
\( m' = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2 \)
चूंकि यह रेखा दी गई रेखा पर लंब है, अतः \( m \times m' = -1 \):
\( m \times (-2) = -1 \Rightarrow m = \frac{1}{2} \)
अब \( m = \frac{1}{2} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( -\frac{1}{2} + c = 2 \)
\( c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)
अतः \( m = \frac{1}{2} \) और \( c = \frac{5}{2} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु (-1, 2) रेखा पर स्थित है, अतः यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
• मूल बिंदु और (-1, 2) से गुजरने वाली रेखा का ढाल निकालना।
• लंबवत होने के कारण ढालों के गुणनफल का नियम लगाना।

आम गलतियाँ:

• मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के ढाल के सूत्र में गलती करना।
• लंबवत शर्त \( m_1 m_2 = -1 \) का प्रयोग न करना।
• \( c \) का मान निकालते समय भिन्न का जोड़ गलत करना।

Exam Tips:

a) दिए गए बिंदु को समीकरण में रखकर समीकरण 1 बनाएं।
b) लंबवत रेखाओं के संबंध से सीधे \( m \) का मान निकालें।
c) अंत में \( m \) और \( c \) के मान स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 15: यदि \(p\) और \(q\) क्रमशः मूलबिंदु से रेखाओं \(x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2\theta\) और \(x \sec \theta + y \cosec \theta = k\) पर लंब की लंबाइयां हैं तो सिद्ध कीजिए कि \(p^2 + 4q^2 = k^2\) ।

Answer:

दी गई पहली रेखा:
\( x \cos \theta - y \sin \theta - k \cos 2\theta = 0 \)
मूलबिंदु (0, 0) से इस रेखा पर लंब की लंबाई \( p \):
\( p = \frac{|0 \cdot \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta - k \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + (-\sin^2 \theta)}} \)
\( p = \frac{|-k \cos 2\theta|}{\sqrt{1}} = |k \cos 2\theta| \)
\( p^2 = k^2 \cos^2 2\theta \) (समीकरण 1)
दी गई दूसरी रेखा:
\( x \sec \theta + y \cosec \theta = k \Rightarrow x \sec \theta + y \cosec \theta - k = 0 \)
मूलबिंदु (0, 0) से इस रेखा पर लंब की लंबाई \( q \):
\( q = \frac{|0 \cdot \sec \theta + 0 \cdot \cosec \theta - k|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \cosec^2 \theta}} \)
\( q = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \cosec^2 \theta}} = \frac{k}{\sqrt{\sec^2 \theta + \cosec^2 \theta}} \)
\( q^2 = \frac{k^2}{\sec^2 \theta + \cosec^2 \theta} \)
अब बायां पक्ष (\( p^2 + 4q^2 \)):
\( p^2 + 4q^2 = k^2 \cos^2 2\theta + \frac{4k^2}{\sec^2 \theta + \cosec^2 \theta} \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
\( = k^2 \cos^2 2\theta + 4k^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
\( = k^2 (\cos^2 2\theta + (\sin 2\theta)^2) = k^2 (1) = k^2 \) = दायां पक्ष
अतः \( p^2 + 4q^2 = k^2 \) सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी के सूत्र का प्रयोग करना।
• \( p^2 \) और \( q^2 \) के मान ज्ञात करना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सिद्ध करना।

आम गलतियाँ:

• लंब दूरी के सूत्र में हर के वर्गमूल को गलत लिखना।
• त्रिकोणमितीय रूपांतरण में कोणों के सूत्र (जैसे \( \sin 2\theta \)) भूल जाना।
• वर्ग करते समय पदों को छोड़ना।

Exam Tips:

a) यह एक सिद्ध करने वाला प्रश्न है, इसलिए प्रत्येक त्रिकोणमितीय चरण को स्पष्ट लिखें।
b) \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \) और \( \cosec \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) का सही उपयोग करें।
c) अंत में "इति सिद्धम्" लिखें।

Question 16: शीर्षों \(A(2, 3), B(4, -1)\) और \(C(1, 2)\) वाले त्रिभुज ABC के शीर्ष A से उसकी संमुख भुजा पर लंब डाला गया है। लंब की लंबाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

BC का ढाल: \( m = \frac{2 - (-1)}{1 - 4} = \frac{3}{-3} = -1 \)
शीर्ष A(2, 3) से जाने वाली और BC पर लंब रेखा का ढाल \( m' = -\frac{1}{-1} = 1 \)
शीर्ष A से जाने वाली लंब रेखा का समीकरण:
\( y - 3 = 1(x - 2) \)
\( y - 3 = x - 2 \)
\( x - y + 1 = 0 \) (लंब का समीकरण)
अब रेखा BC का समीकरण:
\( y - (-1) = -1(x - 4) \)
\( y + 1 = -x + 4 \)
\( x + y - 3 = 0 \) (व्यापक रूप: \( Ax + By + C = 0 \), जहाँ \( A = 1, B = 1, C = -3 \))
शीर्ष A(2, 3) से रेखा BC की लंबवत दूरी (लंब की लंबाई):
\( d = \frac{|1(2) + 1(3) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) इकाई
अतः लंब का समीकरण \( x - y + 1 = 0 \) और लंब की लंबाई \( \sqrt{2} \) इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• संमुख भुजा BC का ढाल निकालकर उसका लंबवत ढाल ज्ञात करना।
• बिंदु-ढाल रूप से लंब का समीकरण निकालना।
• बिंदु से रेखा की दूरी के सूत्र से लंब की लंबाई ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• लंबवत ढाल निकालते समय चिह्न की गलती करना।
• BC का समीकरण गलत निकालना।
• दूरी के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते समय गणना की त्रुटि।

Exam Tips:

a) इस प्रश्न के दो भाग हैं: समीकरण और लंबाई, दोनों को स्पष्ट रूप से हल करें।
b) लंब रेखा के लिए बिंदु A के निर्देशांकों का उपयोग करें।
c) लंबाई निकालते समय वर्गमूल का परिमेयकरण (rationalization) करें।

Question 17: यदि \(p\) मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लंबाई हो जिसपर अक्षों पर कटे अंतः खंड \(a\) और \(b\) हों, तो दिखाएं कि \(\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\) ।

Answer:

हम जानते हैं कि यदि किसी रेखा के अक्षों पर कटे अंतःखंड \( a \) और \( b \) हों, तो रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में होता है:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
इसे लघुत्तम लेकर सरल करने पर:
\( bx + ay = ab \Rightarrow bx + ay - ab = 0 \) (समीकरण 1)
मूल बिंदु (0, 0) से इस रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई \( p \):
\( p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} \)
\( p = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( p^2 = \frac{(-ab)^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} \)
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
\( \frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} \)
अलग-अलग करने पर:
\( \frac{1}{p^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} \)
\( \frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} \)
अतः \( \frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \) सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• अंतःखंड रूप से रेखा का समीकरण बनाना।
• मूल बिंदु से लंबवत दूरी के सूत्र का प्रयोग करना।
• दोनों पक्षों का वर्ग करके व्युत्क्रम लेना।

आम गलतियाँ:

• अंतःखंड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) को गलत लिखना।
• वर्ग करते समय हर और अंश में चिह्न की गलती करना।
• व्युत्क्रम लेने के बाद पदों को अलग करते समय भूल करना।

Exam Tips:

a) यह परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय आधारित प्रश्न है।
b) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंतिम परिणाम तक पहुँचने के लिए बीजगणितीय नियमों का सही उपयोग करें।
c) अंत में "इति सिद्धम्" लिखें।