NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 09 Straight Lines (सरल रेखाएँ) Exercise 9.2 in Hindi

Question 1: x- और y-अक्षों के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

x-अक्ष के प्रत्येक बिंदु पर y-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए, x-अक्ष का समीकरण \( y = 0 \) है।
y-अक्ष के प्रत्येक बिंदु पर x-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए, y-अक्ष का समीकरण \( x = 0 \) है।

मुख्य बिंदु:

• x-अक्ष पर कोटि (y-निर्देशांक) हमेशा शून्य होती है।
• y-अक्ष पर भुज (x-निर्देशांक) हमेशा शून्य होती है।
• ये दोनों समीकरण क्रमशः x और y अक्षों को परिभाषित करते हैं।

आम गलतियाँ:

• x-अक्ष के समीकरण को \( x = 0 \) लिख देना।
• y-अक्ष के समीकरण को \( y = 0 \) लिख देना।
• निर्देशांक ज्यामिति की मूल अवधारणा को भूल जाना।

Exam Tips:

a) अक्षों के समीकरण सीधे याद रखें क्योंकि यह बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी काम आते हैं।
b) कारण स्पष्ट रूप से लिखें कि y का मान x-अक्ष पर शून्य क्यों होता है।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 2: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: ढाल \( -2 \) और बिंदु \( (-4, 3) \) से जाने वाली।

Answer:

हम जानते हैं कि बिंदु \( (x_0, y_0) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल \( m \) वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
यहाँ \( x_0 = -4, y_0 = 3 \) और \( m = -2 \) दिया गया है।
मान रखने पर:
\( y - 3 = -2(x - (-4)) \)
\( y - 3 = -2(x + 4) \)
\( y - 3 = -2x - 8 \)
\( 2x + y - 3 + 8 = 0 \)
\( 2x + y + 5 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• बिंदु-ढाल रूप (Point-slope form) का उपयोग किया जाता है।
• समीकरण को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में बदलना चाहिए।
• ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( (x - x_0) \) में चिह्नों की गलती करना।
• ब्रैकेट खोलते समय गुणा में चिह्न की त्रुटि करना।
• मानक रूप में उत्तर न छोड़ना।

Exam Tips:

a) हमेशा सूत्र लिखकर शुरुआत करें।
b) अंतिम उत्तर को मानक समीकरण रूप में ही छोड़ें।
c) गणना की दोबारा जाँच अवश्य करें।

Question 3: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: बिंदु \( (0, 0) \) से जाने वाली और ढाल \( m \) वाली।

Answer:

हम जानते हैं कि बिंदु \( (x_0, y_0) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल \( m \) वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
यहाँ बिंदु \( (0, 0) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल \( m \) वाली रेखा का समीकरण:
\( y - 0 = m(x - 0) \)
अर्थात \( y = mx \)

मुख्य बिंदु:

• मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण हमेशा \( y = mx \) होता है।
• इसमें y-अंतःखंड (y-intercept) शून्य होता है।
• यह सरल रेखा का सबसे मूल रूप है।

आम गलतियाँ:

• बिंदु-ढाल रूप में मान रखते समय भ्रमित होना।
• \( c \) का मान अनावश्यक रूप से जोड़ देना।
• समीकरण को अधूरा छोड़ना।

Exam Tips:

a) मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए सीधे \( y = mx \) का प्रयोग कर सकते हैं।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है, इसे ध्यान रखें।

Question 4: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: बिंदु \( (2, 2\sqrt{3}) \) से जाने वाली और x-अक्ष से \( 75^\circ \) केकोण पर झुकी हुई।

Answer:

x-अक्ष से \( 75^\circ \) केकोण पर झुकी हुई रेखा की प्रवणता या ढाल \( m = \tan 75^\circ \) होगी।
\( m = \tan(45^\circ + 30^\circ) \)
\( = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)
\( = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \)
अब, बिंदु \( (2, 2\sqrt{3}) \) से होकर जाने वाली तथा ढाल \( m \) वाली रेखा का समीकरण:
\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
\( y - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}(x - 2) \)
\( (\sqrt{3} - 1)(y - 2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 1)(x - 2) \)
इसे हल करने पर:
\( (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = 4(\sqrt{3} - 1) \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय मानों (जैसे \(\tan 75^\circ\)) की गणना योग सूत्र से की जाती है।
• बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके समीकरण बनाया जाता है।
• करणी (Square roots) को सरल करना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \(\tan 75^\circ\) का मान निकालने में गलती करना।
• तिर्यक गुणा (Cross multiplication) करते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।
• करणी के परिमेयकरण में गलती होना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का अभ्यास अच्छे से करें।
b) समीकरण को सरलतम रूप में ही छोड़ें।
c) चरणों को क्रमबद्ध लिखें।

Question 5: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: मूल बिंदु के बाईं ओर x-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल \(-2\) वाली।

Answer:

यदि किसी रेखा का ढाल \(m\) तथा रेखा x-से d का अंतःखंड बनाती है तो रेखा का समीकरण: \(y = m(x - d)\)
दिया है कि रेखा मूल बिंदु के बाईं ओर x-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करती है।
इसलिए, \(d = -3\)
रेखा की ढाल \(m = -2\)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण:
\(y = -2(x - (-3))\)
\(y = -2(x + 3)\)
\(y = -2x - 6\)
अर्थात \(2x + y + 6 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• मूलबिंदु के बाईं ओर दूरी ऋणात्मक ली जाती है।
• x-अंतःखंड रूप का प्रयोग किया गया है।
• समीकरण को मानक रूप में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• बाईं ओर होने के कारण \(d\) को धनात्मक ले लेना।
• ढाल और अंतःखंड के मानों को गलत रखना।
• चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) निर्देशांक अक्षों पर दूरियों की दिशा (धनात्मक/ऋणात्मक) का ध्यान रखें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम समीकरण को ठीक से व्यवस्थित करें।

Question 6: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: मूल बिंदु से ऊपर y-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x-अक्ष के साथ \(30^\circ\) का कोण बनाने वाली।

Answer:

हम जानते हैं कि \(m\) ढाल वाली रेखा जिसका y-अक्ष पर अंतःखंड \(c\) हो, निम्नलिखित प्रकार से होगी:
\(y = mx + c\)
यहाँ, \(c = 2\) और \(m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण:
\(y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 2$
\) \(y = \frac{x + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\) \(\sqrt{3}y = x + 2\sqrt{3}\)
अर्थात \(x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0\)

मुख्य बिंदु:

• ढाल-अंतःखंड रूप (\(y = mx + c\)) का उपयोग किया जाता है।
• y-अक्ष पर ऊपर की दूरी धनात्मक होती है।
• कोण से ढाल \(m = \tan \theta\) निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• \(\tan 30^\circ\) और \(\tan 60^\circ\) के मान में भ्रम होना।
• y-अंतःखंड \(c\) को x-अंतःखंड मान लेना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) अंतःखंड रूप के विभिन्न प्रकार याद रखें।
b) करणी वाले पदों को हल करते समय सावधानी बरतें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 7: रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है: बिंदुओं \((-1, 1)\) और \((2, -4)\) से जाते हुए।

Answer:

हम जानते हैं कि दो बिंदुओं \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:
\(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\)
यहाँ बिंदुओं \((-1, 1)\) और \((2, -4)\) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:
\(y - 1 = \frac{-4 - 1}{2 - (-1)}(x - (-1))$
\) \(y - 1 = \frac{-5}{2 + 1}(x + 1)
\) \(y - 1 = \frac{-5}{3}(x + 1)
\) \(3(y - 1) = -5(x + 1)
\) \(3y - 3 = -5x - 5
\) \(5x + 3y - 3 + 5 = 0
\) \(5x + 3y + 2 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• दो-बिंदु रूप (Two-point form) का उपयोग किया जाता है।
• ढाल निकालने के लिए \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) का प्रयोग होता है।
• समीकरण को सरल करके मानक रूप में लिखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• निर्देशांकों के मान रखते समय क्रम बदलना।
• ऋणात्मक चिह्नों की गणना में गलती करना।
• हर (denominator) के पद को गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दो-बिंदु रूप का सूत्र हमेशा पहले लिखें।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रखें ताकि गलती न हो।
c) उत्तर की जाँच दोनों बिंदुओं को संतुष्ट कराके कर सकते हैं।

Question 8: \(\Delta PQR\) के शीर्ष \(P(2, 1), Q(-2, 3)\) और \(R(4, 5)\) हैं। शीर्ष R से जाने वाली माधिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \(\Delta PQR\) के शीर्ष \(P(2, 1), Q(-2, 3)\) और \(R(4, 5)\) हैं।
माना RL बिंदु R से खींची गई माधिका है।
इसलिए, L रेखाखंड PQ का मध्य बिंदु है।
इसलिए, बिंदु L के निर्देशांक = \(\left(\frac{2 - 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = (0, 2)\)
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:
\(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\)
इसलिए, रेखा RL के लिए \((x_1, y_1) = (4, 5)\) और \((x_2, y_2) = (0, 2)\) रखने पर:
\(y - 5 = \frac{2 - 5}{0 - 4}(x - 4)\)
\(y - 5 = \frac{-3}{-4}(x - 4)\)
\(4(y - 5) = 3(x - 4)\)
\(4y - 20 = 3x - 12
\) \(3x - 4y + 8 = 0\)
अतः, त्रिभुज के शीर्ष R से होकर जाने वाली माधिका \(3x - 4y + 8 = 0\) है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज की माधिका सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु को शीर्ष से मिलाती है।
• मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग किया जाता है।
• दो-बिंदु रूप से रेखा का समीकरण ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• माधिका के बजाय शीर्ष से लंब (शीर्षलंब) का समीकरण निकाल देना।
• मध्य बिंदु निकालते समय गलत भुजा चुनना।
• गणना में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

• प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि माधिका पूछी गई है या शीर्षलंब।
• मध्य बिंदु के निर्देशांक बहुत सावधानी से निकालें।
• अंत में समीकरण को मानक रूप में लिखें।

Question 9: \((-3, 5)\) से होकर जाने वाली और बिंदु \((2, 5)\) और \((-3, 6)\) से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदुओं \((2, 5)\) और \((-3, 6)\) को मिलाने वाली रेखा की ढाल (\(m\)):
\(m = \frac{6 - 5}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}\)
हम जानते हैं कि दो रेखाएँ परस्पर लंब होती हैं यदि दोनों की ढाल एक दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम के बराबर हों।
इसलिए, इस रेखा पर लंब रेखा की ढाल (\(m'\)):
\(m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{5}} = 5\)
इसलिए, बिंदु \((-3, 5)\) से होकर जाने वाली तथा ढाल \(5\) वाली रेखा का समीकरण:
\(y - y_1 = m'(x - x_1)\)
\(y - 5 = 5(x - (-3))
\) \(y - 5 = 5(x + 3)
\) \(y - 5 = 5x + 15
\) \(5x - y + 20 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• लंब रेखाओं की ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है (\(m_1 m_2 = -1\)).
• पहले दी गई दो बिंदुओं वाली रेखा की ढाल निकाली जाती है।
• फिर दिए गए बिंदु और नई ढाल का उपयोग करके समीकरण बनाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• लंब रेखा की ढाल निकालते समय ऋणात्मक चिह्न लगाना भूल जाना।
• गलत बिंदुओं का उपयोग करके ढाल निकालना।
• समीकरण बनाते समय चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) लंबवत और समांतर रेखाओं की शर्तों को हमेशा याद रखें।
b) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से हल करें।
c) अंत में समीकरण को मानक रूप में दें।

Question 10: रेखा \((1, 0)\) तथा \((2, 3)\) बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाखंड पर लंब है तथा उसको \(1:n\) के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण कीजिए।

Answer:

विभाजन सूत्र से, बिंदुओं \((1, 0)\) और \((2, 3)\) को मिलाने वाली रेखा को \(1:n\) के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
\(\left(\frac{1(2) + n(1)}{1 + n}, \frac{1(3) + n(0)}{1 + n}\right) = \left(\frac{n + 2}{n + 1}, \frac{3}{n + 1}\right)\)
बिंदुओं \((1, 0)\) और \((2, 3)\) को मिलाने वाली रेखा की ढाल (\(m\)):
\(m = \frac{3 - 0}{2 - 1} = 3\)
लंब रेखा की ढाल (\(m'\)):
\(m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{3}\)
इसलिए, बिंदु \(\left(\frac{n + 2}{n + 1}, \frac{3}{n + 1}\right)\) से होकर जाने वाली, जिसका ढाल \(-\frac{1}{3}\) है, रेखा का समीकरण:
\(y - \frac{3}{n + 1} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{n + 2}{n + 1}\right)\)
\(3\left[(n + 1)y - 3\right] = -[x(n + 1) - (n + 2)]\)
\(3(n + 1)y - 9 = -(n + 1)x + n + 2\)
\((1 + n)x + 3(1 + n)y = n + 11\)

मुख्य बिंदु:

• आंतरिक विभाजन सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• लंब रेखा की ढाल \(-\frac{1}{m}\) होती है।
• बिंदु-ढाल रूप से समीकरण प्राप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• विभाजन सूत्र में अनुपात के मान गलत रखना।
• लंब रेखा की ढाल निकालने में गलती करना।
• बीजगणितीय सरलीकरण में भूल होना।

Exam Tips:

a) विभाजन सूत्र को अच्छी तरह याद रखें।
b) समीकरण को सरल करते समय कोष्ठक का ध्यान रखें।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 11: एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांको से समान अंतःखंड काटती है और बिंदु \((2, 3)\) से जाती है।

Answer:

अक्षों के साथ अंतःखंड बनाने वाली रेखा का समीकरण: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \dots (1)\)
यहाँ, \(a\) और \(b\) क्रमशः x और y अक्ष पर अंतःखंड हैं।
दिया है: रेखा निर्देशांकों से समान अंतःखंड काटती है अर्थात \(a = b\) है।
इसलिए, समीकरण (1) को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1\)
\(x + y = a \dots (2)\)
दी गई रेखा बिंदु \((2, 3)\) से होकर जाती है।
इसलिए, समीकरण (2) से, \(2 + 3 = a \implies a = 5\)
\(a\) का मान समीकरण (2) में रखने पर, \(x + y = 5\)
अतः, रेखा का अभीष्ट समीकरण \(x + y = 5\) है।

मुख्य बिंदु:

• अंतःखंड रूप (\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)) का उपयोग किया जाता है।
• समान अंतःखंड का अर्थ \(a = b\) होता है।
• बिंदु से संतुष्ट कराकर अज्ञात नियतांक का मान निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• \(a = b\) के स्थान पर \(a = -b\) मान लेना जब तक कि विपरीत दिशा न दी हो।
• बिंदु के मान समीकरण में गलत रखना।
• अंतःखंड रूप का सूत्र भूल जाना।

Exam Tips:

a) 'सمان अंतःखंड' शब्द का अर्थ समझें कि दोनों अंतःखंड बराबर हैं।
b) समीकरण में मान प्रतिस्थापित करके आसानी से हल करें।
c) उत्तर को मानक रूप में छोड़ें।

Question 12: बिंदु \((2, 2)\) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से काटे अंतःखंडों का योग 9 है।

Answer:

अक्षों के साथ अंतःखंड बनाने वाली रेखा का समीकरण: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \dots (1)\)
यहाँ, \(a\) और \(b\) क्रमशः x और y अक्ष पर अंतःखंड हैं।
दिया है: \(a + b = 9 \implies b = 9 - a \dots (2)\)
समीकरण (1) और (2) से:
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{9 - a} = 1 \dots (3)\)
दिया है कि रेखा बिंदु \((2, 2)\) से होकर जाती है। इसलिए, समीकरण (3) से:
\(\frac{2}{a} + \frac{2}{9 - a} = 1 \implies 2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{9 - a}\right) = 1 \implies 2\left(\frac{9 - a + a}{a(9 - a)}\right) = 1$
\) \(\frac{18}{9a - a^2} = 1 \implies 18 = 9a - a^2 \implies a^2 - 9a + 18 = 0$
\) \((a - 6)(a - 3) = 0 \implies a = 6\) या \(a = 3$
\) यदि \(a = 6\) तो \(b = 9 - 6 = 3\), इसलिए रेखा का समीकरण:\(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \implies x + 2y - 6 = 0$
\) यदि \(a = 3\) तो \(b = 9 - 3 = 6\), इसलिए रेखा का समीकरण:\(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1 \implies 2x + y - 6 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात समीकरण के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं।
• अंतःखंडों का योग दिया होने पर एक चर को दूसरे के रूप में लिखा जाता है।
• बिंदु को संतुष्ट कराकर अंतःखंड ज्ञात किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल एक ही मान लेकर छोड़ देना, जबकि दो स्थितियाँ संभव हैं।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।
• समीकरण बनाते समय चिह्न की त्रुटि।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में दोनों स्थितियों (\(a\) और \(b\) के मानों की अदला-बदली) को ध्यान में रखें।
b) द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करना आसान रहता है।
c) दोनों समीकरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 13: बिंदु \((0, 2)\) से जाने वाली और धन x-अक्ष से \(\frac{2\pi}{3}\) के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समांतर और y-अक्ष को मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।

Answer:

धनात्मक x-अक्ष से \(\frac{2\pi}{3}\) का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल \(m = \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\)
रेखा \((y - 2) = -\sqrt{3}(x - 0) \implies y - 2 = -\sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x + y - 2 = 0$
\) रेखा \(\sqrt{3}x + y - 2 = 0\) के समांतर किसी रेखा की ढाल \(-\sqrt{3}\) है।
दिया है कि अभीष्ट रेखा \(\sqrt{3}x + y - 2 = 0\) के समांतर है और y-अक्ष को मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे प्रतिच्छेद करती है, अर्थात \(c = -2\) ।
अतः बिंदु \((0, -2)\) से होकर जाने वाली तथा ढाल \(-\sqrt{3}\) की रेखा का समीकरण:
\(y - (-2) = -\sqrt{3}(x - 0) \implies y + 2 = -\sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x + y + 2 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• समांतर रेखाओं की ढालें समान होती हैं (\(m_1 = m_2\)).
• \(\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)\) का मान \(-\sqrt{3}\) होता है।
• y-अक्ष पर नीचे की दूरी ऋणात्मक (\(c = -2\)) ली जाती है।

आम गलतियाँ:

• कोण का मान रेडियन से डिग्री में बदलते समय त्रुटी करना।
• समांतर रेखा की ढाल अलग मान लेना।
• अंतःखंड \(c\) को धनात्मक ले लेना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय कोणों के मान चतुर्थांश के अनुसार ध्यान रखें।
b) समांतर रेखाओं की प्रवणता समान होती है, इस नियम का प्रयोग करें।
c) दोनों भागों को अलग-अलग स्पष्ट हल करें।

Question 14: मूल बिंदु से किसी रेखा पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु \((-2, 9)\) पर मिलता है, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदुओं \((0, 0)\) और \((-2, 9)\) को मिलाने वाली रेखा की ढाल \(m_1 = \frac{9 - 0}{-2 - 0} = -\frac{9}{2}\)
मूलबिंदु और \((-2, 9)\) से होकर जाने वाली रेखा परलंब किसी अन्य रेखा की ढाल \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-\frac{9}{2}} = \frac{2}{9}\)
इसलिए, बिंदु \((-2, 9)\) से होकर जाने वाली रेखा जिसकी ढाल \(m_2\) है, निम्नलिखित है:
\((y - 9) = \frac{2}{9}(x - (-2)) \implies 9y - 81 = 2x + 4 \implies 2x - 9y + 85 = 0\)

मुख्य बिंदु:

• लंब रेखाओं की ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है।
• मूलबिंदु से लंब पाद (foot of perpendicular) तक की रेखा की ढाल पहले निकाली जाती है।
• दिए गए बिंदु और नई ढाल से समीकरण बनता है।

आम गलतियाँ:

• लंब रेखा की ढाल निकालते समय व्युत्क्रम न करना।
• चिह्नों की गणना में गलती करना।
• समीकरण के मानक रूप में लिखने में त्रुटि।

Exam Tips:

a) लंबवत रेखाओं के अवधारणा को अच्छी तरह समझें।
b) गणना के चरणों को क्रमानुसार लिखें।
c) उत्तर को व्यवस्थित रूप में छोड़ें।

Question 15: ताँबे की छड़ की लंबाई \(L\) (सेमी में) सेल्सियस ताप \(C\) का रैखिक फलन है। एक प्रयोग में यदि \(L = 124.942\) जब \(C = 20\) और \(L = 125.134\) जब \(C = 110\) है, तो \(L\) को \(C\) के पदों में व्यक्त कीजिए।

Answer:

दिया है: यदि \(C = 20\), तो \(L = 124.942\), तथा यदि \(C = 110\), तो \(L = 125.134\) है।
इस प्रकार, \((20, 124.942)\) और \((110, 125.134)\) चररों \(L\) और \(C\) से बनी रेखा को संतुष्ट करते हैं।
माना, चर \(C\) को \(x\)-अक्ष के अनुदिश और चर \(L\) को \(y\)-अक्ष के अनुदिश लेने पर बिंदुओं \((20, 124.942)\) और \((110, 125.134)\) से जाने वाली रेखा \(L\) और \(C\) के मानों को संतुष्ट करती है।
इसलिए, \(L\) और \(C\) केबीच संबंध बिंदुओं \((20, 124.942)\) और \((110, 125.134)\) से होकर जाने वाली रेखा द्वारा निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
\(L - 124.942 = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20}(C - 20)\)
\(L - 124.942 = \frac{0.192}{90}(C - 20)\)
\(L = \frac{0.192}{90}(C - 20) + 124.942\)
अतः, यह समीकरण \(L\) को \(C\) के पदों में व्यक्त करता है।

मुख्य बिंदु:

• रैखिक संबंध को दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा के समीकरण द्वारा हल किया जाता है।
• चरों को x और y अक्ष के रूप में मानकर समीकरण बनाते हैं।
• गणना में दशमलव का सावधानीपूर्वक ध्यान रखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• चरों को गलत अक्ष पर मान लेना।
• दशमलव की घटाव और भाग में त्रुटि करना।
• सूत्र में मानों को गलत जगह रखना।

Exam Tips:

a) व्यावहारिक समस्याओं को रैखिक समीकरणों में बदलना सीखें।
b) दशमलव की गणना शांत मन से करें।
c) अंत में संबंध को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 16: किसी दूध भंडार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध, ₹14 प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध ₹16 प्रति लीटर के भाव से बेचता है। विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के संबंध को रैखिक मानते हुए यह ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध ₹17 प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है?

Answer:

दिया है: विक्रय मूल्य तथा दूध की मांग के मध्य के संबंध रैखिक है।
विक्रय मूल्य को \(x\)-अक्ष के अनुदिश तथा दूध की मांग को \(y\)-अक्ष के अनुदिश लेने पर, बिंदुओं \((14, 980)\) और \((16, 1220)\) से जाने वाली रेखा दूध के मूल्य तथा मांग के मानों को संतुष्ट करती है।
इसलिए, विक्रय मूल्य और दूध की मांग के बीच संबंध बिंदुओं \((14, 980)\) और \((16, 1220)\) से होकर जाने वाली रेखा द्वारा निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
\(y - 980 = \frac{1220 - 980}{16 - 14}(x - 14)\)
\(y - 980 = \frac{240}{2}(x - 14)\)
\(y - 980 = 120(x - 14)\)
\(y = 120(x - 14) + 980\)
जब \(x = ₹17\) प्रति लीटर:
\(y = 120(17 - 14) + 980 = 120 \times 3 + 980 = 360 + 980 = 1340\)

मुख्य बिंदु:

• मूल्य और मांग को क्रमशः x और y मानकर दो बिंदुओं से रेखा का समीकरण बनाया जाता है।
• रैखिक संबंध का उपयोग करके नए मूल्य पर मांग निकाली जाती है।
• गणना को चरणबद्ध तरीके से हल करते हैं।

आम गलतियाँ:

• x और y के निर्देशांकों को उल्टा मान लेना।
• ढाल की गणना में घटाव की गलती करना।
• अंतिम मान प्रतिस्थापित करने में त्रुटि होना।

Exam Tips:

a) भाषा आधारित प्रश्नों को पहले गणितीय बिंदुओं में बदलें।
b) समीकरण बनाकर ही अज्ञात मान ज्ञात करें।
c) इकाई का विशेष ध्यान रखें।

Question 17: अक्षों के बीच रेखाखंड का मध्य बिंदु \(P(a, b)\) है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\) है।

Answer:

माना AB अक्षों की मध्य कोई रेखा है और माना बिंदु \(P(a, b)\) इस रेखा का मध्य बिंदु है।
माना, बिंदुओं A और B के निर्देशांक क्रमशः \((0, y)\) और \((x, 0)\) हैं।
क्योंकि \(P(a, b)\) रेखा AB का मध्य बिंदु है। इसलिए,
\(\left(\frac{0 + x}{2}, \frac{y + 0}{2}\right) = (a, b) \implies \frac{x}{2} = a \implies x = 2a\) और \(\frac{y}{2} = b \implies y = 2b$
\) इस प्रकार, बिंदुओं A और B के निर्देशांक क्रमशः \((0, 2b)\) और \((2a, 0)\) हैं।
इसलिए, बिंदुओं \((0, 2b)\) और \((2a, 0)\) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
\(y - 2b = \frac{0 - 2b}{2a - 0}(x - 0) \implies y - 2b = \frac{-2b}{2a}(x) \implies y - 2b = -\frac{b}{a}x$
\) \(ay - 2ab = -bx \implies bx + ay = 2ab$
\) दोनों पक्षों को \(ab\) से भाग देने पर:
\(\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{2ab}{ab} \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$
\) अतः, दी गई रेखा का समीकरण \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\) है।

मुख्य बिंदु:

• मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करके अक्षों पर अंतःखंड निकाले जाते हैं।
• दो-बिंदु रूप से रेखा का समीकरण बनाया जाता है।
• अंत में समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए \(ab\) से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अक्षों पर बिंदुओं को \((a, 0)\) और \((0, b)\) मान लेना जो कि मध्य बिंदु दिए गए हैं।
• मध्य बिंदु सूत्र में 2 से भाग देना भूल जाना।
• अंत में समीकरण को सिद्ध करते समय भाग देने में गलती करना।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण सिद्ध करने वाला प्रश्न है, इसे अच्छे से अभ्यास करें।
b) मध्य बिंदु के निर्देशांकों को सही से परिभाषित करें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से तार्किक रूप से लिखें।

Question 18: अक्षों के बीच रेखाखंड को बिंदु \(R(h, k)\), \(1:2\) के अनुपात में विभक्त करता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, रेखाखंड AB अक्षों के बीच कुछ इस प्रकार है कि बिंदु \(R(h, k)\) रेखाखंड AB को \(1:2\) में विभाजित करता है।
माना, बिंदुओं A और B के निर्देशांक क्रमशः \((x, 0)\) और \((0, y)\) हैं।
बिंदु \((h, k)\) रेखाखंड AB को \(1:2\) में विभाजित करता है।
इसलिए विभाजन सूत्र से,
\((h, k) = \left(\frac{1 \times 0 + 2 \times x}{1 + 2}, \frac{1 \times y + 2 \times 0}{1 + 2}\right) \implies (h, k) = \left(\frac{2x}{3}, \frac{y}{3}\right)\)
\(\implies h = \frac{2x}{3} \implies x = \frac{3h}{2}\) और \(k = \frac{y}{3} \implies y = 3k$
\) इस प्रकार, बिंदुओं A और B के निर्देशांक क्रमशः \(\left(\frac{3h}{2}, 0\right)\) और \((0, 3k)\) हैं।
इसलिए, रेखा AB का समीकरण जो बिंदुओं \(\left(\frac{3h}{2}, 0\right)\) और \((0, 3k)\) से होकर जाता है, निम्नलिखित प्रकार से है:
\((y - 0) = \frac{3k - 0}{0 - \frac{3h}{2}}\left(x - \frac{3h}{2}\right) \implies y = -\frac{2k}{h}\left(x - \frac{3h}{2}\right)
\) \(hy = -2kx + 3kh \implies 2kx + hy = 3hk$
\) अतः, रेखा का अभीष्ट समीकरण \(2kx + hy = 3hk\) है।

मुख्य बिंदु:

• विभाजन सूत्र का उपयोग करके x और y अंतःखंडों को \(h\) और \(k\) के पदों में व्यक्त किया जाता है।
• दो-बिंदु रूप से रेखा का समीकरण प्राप्त किया जाता है।
• समीकरण को सरल करके मानक रूप में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• अनुपात \(1:2\) के मानों को सूत्र में गलत जगह रखना।
• अंतःखंडों के निर्देशांकों को आपस में बदल देना।
• बीजगणितीय सरलीकरण में चिह्न की त्रुटि।

Exam Tips:

a) विभाजन सूत्र को हमेशा ध्यान से लागू करें।
b) अंतःखंड रूप या दो-बिंदु रूप का सही चयन करें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 19: रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि बिंदु \((3, 0), (-2, -2)\) और \((8, 2)\) संरेख हैं।

Answer:

बिंदुओं \((3, 0)\) और \((-2, -2)\) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण:
\((y - 0) = \frac{-2 - 0}{-2 - 3}(x - 3)
\) \(y = \frac{-2}{-5}(x - 3)
\) \(y = \frac{2}{5}(x - 3)
\) \(5y = 2x - 6 \implies 2x - 5y = 6$
\) अब, समीकरण में \(x = 8\) और \(y = 2\) मान रखने पर,
L.H.S. = \(2 \times 8 - 5 \times 2 = 16 - 10 = 6 =\) R.H.S.
हम देखते हैं कि \(x = 8\) और \(y = 2\) है।
इस प्रकार, बिंदुओं \((3, 0)\) और \((-2, -2)\) से होकर जाने वाली रेखा बिंदु \((8, 2)\) को भी प्रतिच्छेद करती है।
अतः, दिए गए तीनों बिंदु \((3, 0), (-2, -2)\) और \((8, 2)\) संरेख हैं।

मुख्य बिंदु:

• किन्हीं दो बिंदुओं से रेखा का समीकरण निकालकर तीसरे बिंदु को संतुष्ट कराया जाता है।
• यदि तीसरा बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है, तो तीनों बिंदु संरेख होते हैं।
• यह संरेखता की जाँच करने की एक ज्यामितीय विधि है।

आम गलतियाँ:

• किन्हीं गलत बिंदुओं से समीकरण बनाना।
• मान रखते समय गणना में त्रुटि करना।
• निष्कर्ष स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) संरेखता सिद्ध करने के लिए ढाल विधि या रेखा समीकरण विधि दोनों का प्रयोग किया जा सकता है।
b) समीकरण में मान रखकर LHS और RHS की तुलना स्पष्ट दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।