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Question 1: कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष (-4, 5), (0, 7), (5, -5) और (-4, -2) हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना ABC एक चतुर्भुज है जिसके शीर्ष \( A(-4, 5) \), \( B(0, 7) \), \( C(5, -5) \) और \( D(-4, -2) \) हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विकर्ण AC खींचते हैं जिससे चतुर्भुज दो त्रिभुजों \( \Delta ABC \) और \( \Delta ACD \) में विभाजित हो जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
\( \text{ क्षेत्रफल } = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \)
\( \Delta ABC \) का क्षेत्रफल, जहाँ शीर्ष \( (-4, 5), (0, 7), (5, -5) \) हैं:
\( = \frac{1}{2} |-4(7 - (-5)) + 0(-5 - 5) + 5(5 - 7)| \)
\( = \frac{1}{2} |-4(12) + 0 + 5(-2)| \)
\( = \frac{1}{2} |-48 - 10| = \frac{1}{2} |-58| = 29 \text{ वर्ग इकाई} \)
अब \( \Delta ACD \) का क्षेत्रफल, जहाँ शीर्ष \( (-4, 5), (5, -5), (-4, -2) \) हैं:
\( = \frac{1}{2} |-4(-5 - (-2)) + 5(-2 - 5) + (-4)(5 - (-5))| \)
\( = \frac{1}{2} |-4(-3) + 5(-7) - 4(10)| \)
\( = \frac{1}{2} |12 - 35 - 40| = \frac{1}{2} |-63| = \frac{63}{2} \text{ वर्ग इकाई} \)
अतः चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:
\( = 29 + \frac{63}{2} \)
\( = \frac{58 + 63}{2} = \frac{121}{2} \text{ वर्ग इकाई} \)
मुख्य बिंदु:
• किसी बहुभुज या चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्देशांक ज्यामिति सूत्र प्रयोग किया जाता है।
• मापांक (modulus) का प्रयोग यह सुनिश्चित करता है कि क्षेत्रफल धनात्मक हो।
आम गलतियाँ:
• निर्देशांकों के मान रखते समय धन और ऋण चिह्नों की गलती करना।
• सूत्र में \( x_1, x_2, x_3 \) और \( y_1, y_2, y_3 \) के क्रम को गलत रखना।
• क्षेत्रफल को ऋणात्मक छोड़ देना।
Exam Tips:
a) बिंदुओं को ग्राफ पेपर या कच्चे चित्र पर प्लॉट करके सही क्रम (घड़ी की दिशा या विपरीत) पहचानें।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पंक्तियों में लिखें।
c) अंत में क्षेत्रफल की इकाई (वर्ग इकाई) अवश्य लिखें।
Question 2: \( 2a \) भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार \( y \)-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा \( 2a \) है।
आधार BC, \( y \)-अक्ष पर इस प्रकार स्थित है कि इसका मध्य बिंदु मूल बिंदु O है।
अतः \( BO = OC = a \), जहाँ O मूल बिंदु है।
चूँकि आधार \( y \)-अक्ष पर है, इसलिए बिंदु C के निर्देशांक \( (0, a) \) तथा बिंदु B के निर्देशांक \( (0, -a) \) हैं।
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा उस पर लंब होती है, इसलिए बिंदु A, \( x \)-अक्ष पर स्थित होगा।
समकोण त्रिभुज AOC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
\( (AC)^2 = (OA)^2 + (OC)^2 \)
\( (2a)^2 = (OA)^2 + a^2 \)
\( 4a^2 - a^2 = (OA)^2 \)
\( (OA)^2 = 3a^2 \)
\( OA = \sqrt{3}a \)
चूँकि बिंदु A \( x \)-अक्ष पर है, इसके निर्देशांक \( (\pm\sqrt{3}a, 0) \) होंगे।
अतः समबाहु त्रिभुज के शीर्ष \( (0, a), (0, -a), (\sqrt{3}a, 0) \) या \( (0, a), (0, -a), (-\sqrt{3}a, 0) \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
• शीर्ष से डाला गया लंब आधार को समद्विभाजक्ट करता है।
• पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात निर्देशांक ज्ञात किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• मूल बिंदु के सापेक्ष दूरियों को गलत मानना।
• \( x \)-अक्ष और \( y \)-अक्ष के निर्देशांकों को आपस में मिला देना।
• शीर्षों की संभावित दोनों स्थितियों (धनात्मक और ऋणात्मक \( x \)-अक्ष) को न लिखना।
Exam Tips:
a) ज्यामितीय स्थिति को समझने के लिए एक रफ आरेख अवश्य बनाएँ।
b) पाइथागोरस प्रमेय लगाते समय भुजाओं के मानों का वर्ग ध्यान से करें।
c) दोनों संभव स्थितियों को स्पष्ट रूप से उत्तर में दर्शाएँ।
Question 3: \( P(x_1, y_1) \) और \( Q(x_2, y_2) \) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब:
(i) \( PQ \), \( y \)-अक्ष के समांतर है।
(ii) \( PQ \), \( x \)-अक्ष के समांतर है।
Answer:
(i) जब रेखा \( PQ \), \( y \)-अक्ष के समांतर है, तो दोनों बिंदुओं के \( x \)-निर्देशांक समान होंगे, अर्थात् \( x_1 = x_2 \) ।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र से:
\( PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( x_1 = x_2 \) रखने पर:
\( PQ = \sqrt{0 + (y_2 - y_1)^2} = |y_2 - y_1| \)
(ii) जब रेखा \( PQ \), \( x \)-अक्ष के समांतर है, तो दोनों बिंदुओं के \( y \)-निर्देशांक समान होंगे, अर्थात् \( y_1 = y_2 \) ।
दूरी सूत्र से:
\( PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( y_1 = y_2 \) रखने पर:
\( PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 0} = |x_2 - x_1| \)
मुख्य बिंदु:
• \( y \)-अक्ष के समांतर रेखा पर \( x \)-निर्देशांक नियत रहता है।
• \( x \)-अक्ष के समांतर रेखा पर \( y \)-निर्देशांक नियत रहता है।
• दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए मापांक चिह्न का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• समांतर रेखा की शर्त में गलत निर्देशांक को समान मान लेना।
• वर्गमूल लेते समय मापांक (absolute value) का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) उप-प्रश्नों (i) और (ii) को अलग-अलग और स्पष्ट रूप से हल करें।
b) दूरी सूत्र लिखकर उसमें प्रतिबंधों को प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम उत्तर में मापांक का संकेत जरूर दिखाएँ।
Question 4: \( x \)-अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो \( (7, 6) \) और \( (3, 4) \) बिंदुओं से समान दूरी पर है।
Answer:
माना \( x \)-अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिंदु \( (a, 0) \) है।
यह बिंदु बिंदुओं \( (7, 6) \) और \( (3, 4) \) से समान दूरी पर है।
अतः दूरी सूत्र के अनुसार:
\( \sqrt{(a - 7)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(a - 3)^2 + (0 - 4)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (a - 7)^2 + 36 = (a - 3)^2 + 16 \)
\( a^2 - 14a + 49 + 36 = a^2 - 6a + 9 + 16 \)
\( -14a + 85 = -6a + 25 \)
\( 85 - 25 = 14a - 6a \)
\( 60 = 8a \)
\( a = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} \)
अतः \( x \)-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु \( \left(\frac{15}{2}, 0\right) \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( x \)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \( y \)-निर्देशांक शून्य होता है।
• समान दूरी की शर्त का अर्थ है कि दोनों दूरियों के वर्ग भी बराबर होंगे।
• बीजगणितीय समीकरण को हल करके अज्ञात चर का मान निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( x \)-अक्ष के बिंदु को \( (0, a) \) मान लेना (जो कि गलत है, यह \( y \)-अक्ष का बिंदु है)।
• वर्ग करते समय बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a-b)^2 \) का विस्तार गलत करना।
Exam Tips:
a) हमेशा याद रखें कि \( x \)-अक्ष पर \( y = 0 \) और \( y \)-अक्ष पर \( x = 0 \) होता है।
b) वर्गमूल हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना एक प्रभावी तरीका है।
c) भिन्न के रूप में आए उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।
Question 5: रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु और \( P(0, -4) \) तथा \( B(8, 0) \) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु से जाती है।
Answer:
बिंदुओं \( P(0, -4) \) तथा \( B(8, 0) \) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु:
\( = \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{-4 + 0}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{8}{2}, \frac{-4}{2}\right) = (4, -2) \)
अब हमें मूल बिंदु \( (0, 0) \) और बिंदु \( (4, -2) \) से जाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात करनी है।
दो बिंदुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) से जाने वाली रेखा की ढाल का सूत्र:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
मान रखने पर:
\( m = \frac{-2 - 0}{4 - 0} \)
\( m = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
अतः रेखा की अभीष्ट ढाल \( -\frac{1}{2} \) है।
मुख्य बिंदु:
• मध्य बिंदु सूत्र: \( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
• रेखा की ढाल (प्रवणता) \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
• मूल बिंदु के निर्देशांक \( (0, 0) \) होते हैं।
आम गलतियाँ:
• मध्य बिंदु निकालते समय निर्देशांकों को जोड़कर 2 से भाग देने के बजाय गुणा कर देना।
• ढाल के सूत्र में \( y \) और \( x \) के क्रम को ऊपर-नीચે कर देना।
Exam Tips:
a) पहले मध्य बिंदु निकाल कर उसे स्पष्ट रूप से लिखें।
b) ढाल के सूत्र में मान सावधानी से रखें।
c) भिन्न को सरलतम रूप में काट कर उत्तर दें।
Question 6: पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिंदु \( (4, 4), (3, 5) \) और \( (-1, -1) \) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer:
माना दिए गए बिंदु \( A(4, 4), B(3, 5) \) और \( C(-1, -1) \) त्रिभुज के शीर्ष हैं।
रेखा AB की ढाल \( (m_1) \):
\( m_1 = \frac{5 - 4}{3 - 4} = \frac{1}{-1} = -1 \)
रेखा BC की ढाल \( (m_2) \):
\( m_2 = \frac{-1 - 5}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \)
रेखा CA की ढाल \( (m_3) \):
\( m_3 = \frac{4 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{5}{5} = 1 \)
यहाँ हम देखते हैं कि रेखा AB और रेखा CA की ढालों का गुणनफल:
\( m_1 \times m_3 = (-1) \times 1 = -1 \)
चूँकि दो लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल \( -1 \) होता है, इसलिए रेखा AB और CA परस्पर लंब हैं।
अतः बिंदु A पर कोण समकोण है।
इसलिए दिए गए बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो रेखाएँ परस्पर लंब होती हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल \( -1 \) हो (\( m_1 m_2 = -1 \))।
• दो बिंदुओं से रेखा की ढाल निकालने का सूत्र \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) है।
• पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किए बिना लंबवतता की शर्त से समकोण सिद्ध किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• ढाल निकालते समय चिह्नों की त्रुटि करना।
• गलत भुजाओं की ढालों का गुणनफल \( -1 \) ढूँढना।
Exam Tips:
a) तीनों भुजाओं की ढालें \( m_1, m_2, m_3 \) निकालकर अलग-अलग दिखाएँ।
b) स्पष्ट रूप से लिखें कि किन दो ढालों का गुणनफल \( -1 \) है।
c) निष्कर्ष में बताएं कि कौन सा कोण समकोण है।
Question 7: उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो \( y \)-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया \( 30^\circ \) का कोण बनाती है।
Answer:
यदि कोई रेखा \( y \)-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया \( 30^\circ \) का कोण बनाती है, तो वह रेखा \( x \)-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया कोण:
\( \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \) बनाएगी।
रेखा की ढाल \( m = \tan \theta \)
\( m = \tan 120^\circ \)
\( m = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \)
अतः अभीष्ट रेखा की ढाल \( -\sqrt{3} \) है।
मुख्य बिंदु:
• झुकाव (slope angle) हमेशा \( x \)-अक्ष की धनात्मक दिशा से वामावर्त मापा जाता है।
• \( y \)-अक्ष और \( x \)-अक्ष के बीच का कोण \( 90^\circ \) होता है।
• त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके \( \tan 120^\circ \) का मान निकाला गया है।
आम गलतियाँ:
• \( y \)-अक्ष से दिए गए कोण को ही सीधा \( x \)-अक्ष का झुकाव मान लेना।
• द्वितीय चतुर्थांश में टेंजेंट (tan) के ऋणात्मक चिह्न को भूल जाना।
Exam Tips:
a) कोण को \( x \)-अक्ष की धनात्मक दिशा के संदर्भ में बदलें।
b) त्रिकोणमितीय चतुर्थांश नियमों का सही उपयोग करें।
c) ढाल की परिभाषा स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 8: दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिंदु \( (-2, -1), (4, 0), (3, 3) \) और \( (-3, 2) \) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Answer:
माना दिए गए बिंदु \( A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3) \) और \( D(-3, 2) \) हैं।
रेखा AB की ढाल:
\( m_{AB} = \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{1}{6} \)
रेखा CD की ढाल:
\( m_{CD} = \frac{2 - 3}{-3 - 3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \)
चूँकि \( m_{AB} = m_{CD} \), इसलिए रेखा AB और CD परस्पर समांतर हैं।
अब रेखा BC की ढाल:
\( m_{BC} = \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3 \)
रेखा DA की ढाल:
\( m_{DA} = \frac{-1 - 2}{-2 - (-3)} = \frac{-3}{1} = -3 \)
चूँकि \( m_{BC} = m_{DA} \), इसलिए रेखा BC और DA परस्पर समांतर हैं।
चूँकि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं, इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
मुख्य बिंदु:
• समांतर चतुर्भुज की मुख्य विशेषता यह है कि उसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
• दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनकी ढालें बराबर हों (\( m_1 = m_2 \))।
• दूरी सूत्र का उपयोग किए बिना केवल ढाल (slope) के माध्यम से इसे सिद्ध किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• ढाल निकालते समय निर्देशांकों के घटाने के क्रम में गलती करना।
• केवल एक युग्म को समांतर दिखाकर छोड़ देना (दोनों युग्मों को दिखाना आवश्यक है)।
Exam Tips:
a) चारों भुजाओं की ढालें अलग-अलग स्पष्ट रूप से निकालें।
b) तुलना करके दिखाएं कि कौन सी भुजा किसके समांतर है।
c) अंत में निष्कर्ष लिखें कि यह समांतर चतुर्भुज है।
Question 9: \( x \)-अक्ष और \( (3, -1) \) और \( (4, -2) \) बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
बिंदुओं \( (3, -1) \) और \( (4, -2) \) को मिलाने वाली रेखा की ढाल \( m \):
\( m = \frac{-2 - (-1)}{4 - 3} = \frac{-2 + 1}{1} = \frac{-1}{1} = -1 \)
मान लेते हैं कि रेखा का \( x \)-अक्ष से झुकाव \( \theta \) है।
हम जानते हैं कि \( m = \tan \theta \)
\( \tan \theta = -1 \)
चूँकि \( 0^\circ \le \theta < 180^\circ \), इसलिए:
\( \theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
अतः \( x \)-अक्ष और रेखा के बीच का कोण \( 135^\circ \) है।
मुख्य बिंदु:
• रेखा की ढाल और \( x \)-अक्ष के झुकाव में संबंध \( m = \tan \theta \) होता है।
• टेंजेंट का मान ऋणात्मक होने पर कोण द्वितीय चतुर्थांश में होता है।
• \( \tan 135^\circ = -1 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \theta \) का मान \( -45^\circ \) लिख देना, जो कि गलत है क्योंकि झुकाव कोण हमेशा धनात्मक \( 0^\circ \) से \( 180^\circ \) के बीच होता है।
• ढाल के सूत्र में मान गलत रखना।
Exam Tips:
a) पहले ढाल \( m \) ज्ञात करें।
b) \( \tan \theta = m \) का उपयोग करके कोण निकालें।
c) यदि ढाल ऋणात्मक है, तो कोण \( 180^\circ \) में से न्यून कोण घटाकर निकालें।
Question 10: एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या \( \frac{1}{3} \) है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दी गई रेखाओं की ढालें \( m_1 \) और \( m_2 \) हैं। प्रश्ναनुसार \( m_1 = 2m_2 \) है।
दो रेखाओं जिनकी ढालें \( m_1 \) और \( m_2 \) हैं, के बीच का कोण \( \theta \) निम्नलिखित प्रकार से दिया जाता है:
\( \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \)
दिया है कि \( \tan \theta = \frac{1}{3} \) और \( m_1 = 2m_2 \):
\( \frac{1}{3} = \left| \frac{m_2 - 2m_2}{1 + (2m_2)m_2} \right| \)
\( \frac{1}{3} = \left| \frac{-m_2}{1 + 2m_2^2} \right| \)
स्थिति I: जब धनात्मक मान लिया जाए:
\( \frac{1}{3} = \frac{-m_2}{1 + 2m_2^2} \)
\( 1 + 2m_2^2 = -3m_2 \)
\( 2m_2^2 + 3m_2 + 1 = 0 \)
\( (2m_2 + 1)(m_2 + 1) = 0 \)
अतः \( m_2 = -1 \) या \( m_2 = -\frac{1}{2} \)
यदि \( m_2 = -1 \), तो \( m_1 = -2 \) ।
यदि \( m_2 = -\frac{1}{2} \), तो \( m_1 = -1 \) ।
स्थिति II: जब ऋणात्मक मान लिया जाए:
\( \frac{1}{3} = -\left( \frac{-m_2}{1 + 2m_2^2} \right) \)
\( \frac{1}{3} = \frac{m_2}{1 + 2m_2^2} \)
\( 2m_2^2 - 3m_2 + 1 = 0 \)
\( (2m_2 - 1)(m_2 - 1) = 0 \)
अतः \( m_2 = 1 \) या \( m_2 = \frac{1}{2} \)
यदि \( m_2 = 1 \), तो \( m_1 = 2 \) ।
यदि \( m_2 = \frac{1}{2} \), तो \( m_1 = 1 \) ।
अतः रेखाओं की ढालें \((-2, -1)\) या \((-1, -\frac{1}{2})\) या \((2, 1)\) या \((1, \frac{1}{2})\) हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र: \( \tan \theta = \pm \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \)
• मापांक (modulus) हटाने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों स्थितियाँ बनती हैं।
• द्विघात समीकरण को हल करके ढाल के मान निकाले जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• मापांक के कारण केवल एक ही स्थिति (धनात्मक) को हल करना और दूसरी स्थिति छोड़ देना।
• द्विघात समीकरण के गुणनखंड में गलती करना।
Exam Tips:
a) कोण के सूत्र में मापांक का प्रयोग अवश्य करें और दोनों स्थितियों (प्लस और माइनस) को अलग-अलग हल करें।
b) समीकरण हल करने के बाद \( m_1 \) और \( m_2 \) दोनों के संगत मान निकालें।
c) सभी संभव उत्तरों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करें।
Question 11: एक रेखा \( (x_1, y_1) \) और \( (h, k) \) से जाती है। यदि रेखा की ढाल \( m \) है तो दिखाइए कि \( k - y_1 = m(h - x_1) \) ।
Answer:
दिए गए बिंदु \( (x_1, y_1) \) और \( (h, k) \) हैं जिनसे होकर एक रेखा गुजरती है।
दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल का सूत्र है:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
यहाँ \( (x_2, y_2) = (h, k) \) रखने पर:
\( m = \frac{k - y_1}{h - x_1} \)
अब दोनों पक्षों में \( (h - x_1) \) से गुणा करने पर:
\( k - y_1 = m(h - x_1) \)
अतः सिद्ध हुआ।
मुख्य बिंदु:
• दो बिंदुओं से रेखा की ढाल निकालने के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
• यह समीकरण किसी रेखा के बिंदु-ढाल रूप (point-slope form) को व्युत्पन्न करता है।
• पक्षांतर (cross-multiplication) द्वारा वांछित परिणाम प्राप्त किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• मान रखते समय \( x \) और \( y \) के निर्देशांकों को आपस में बदल देना।
• वज्र गुणन (cross multiplication) करते समय कोष्ठक का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले मानक ढाल का सूत्र लिखें।
b) दिए गए बिंदुओं के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
c) सरल चरणों के माध्यम से अंतिम समीकरण प्राप्त करें।
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