Download NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 07 द्विपद प्रमेय
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Question 1: यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि \( a^n - b^n \) का एक गुणनखंड \( a - b \) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है। [संकेत: \( a^n = (a - b + b)^n \) लिखकर प्रसार कीजिए।]
Answer:
दिया गया व्यंजक है: \( a^n - b^n \)
संकेत के अनुसार, \( a = (a - b + b) \) रखने पर:
\( a^n = [(a - b) + b]^n \)
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके प्रसार करने पर:
\( a^n = {^n}C_0(a - b)^n b^0 + {^n}C_1(a - b)^{n-1}b^1 + {^n}C_2(a - b)^{n-2}b^2 + \dots + {^n}C_n(a - b)^0 b^n \)
\( a^n = (a - b)^n + {^n}C_1(a - b)^{n-1}b + {^n}C_2(a - b)^{n-2}b^2 + \dots + {^n}C_n b^n \)
पक्षांतर करने पर:
\( a^n - b^n = (a - b)^n + {^n}C_1(a - b)^{n-1}b + {^n}C_2(a - b)^{n-2}b^2 + \dots + {^n}C_{n-1}(a - b)b^{n-1} \)
दाएँ पक्ष के सभी पदों में से \( (a - b) \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( a^n - b^n = (a - b) [(a - b)^{n-1} + {^n}C_1(a - b)^{n-2}b + \dots + {^n}C_{n-1}b^{n-1}] \)
चूँकि \( a^n - b^n \) को \( (a - b) \) और एक अन्य पूर्णांक के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, अतः \( a - b \), \( a^n - b^n \) का एक गुणनखंड है।
मुख्य बिंदु:
• द्विपद प्रमेय का व्यापक रूप में प्रयोग करना।
• \( a \) को \( (a - b + b) \) के रूप में प्रतिस्थापित करना।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (a - b) \) को बाहर निकालना।
आम गलतियाँ:
• प्रसार करते समय गुणांकों \( {^n}C_r \) को भूल जाना।
• अंत के पदों में घातों का सही संयोजन न लिखना।
• गुणनखंडन के सिद्धांत को स्पष्ट रूप से न दर्शाना।
Exam Tips:
a) संकेत का उपयोग परीक्षा में सीधे प्रश्न हल करने के लिए करें।
b) अंतिम चरण में \( (a - b) \) को उभयनिष्ठ लेना अनिवार्य रूप से दिखाएं।
c) पदों को व्यवस्थित ढंग से लिखें ताकि मूल्यांकन में आसानी हो।
Question 2: \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^6 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों प्रसारों को लिखने पर:
\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 = {^6}C_0(\sqrt{3})^6 + {^6}C_1(\sqrt{3})^5(\sqrt{2}) + {^6}C_2(\sqrt{3})^4(\sqrt{2})^2 + {^6}C_3(\sqrt{3})^3(\sqrt{2})^3 + {^6}C_4(\sqrt{3})^2(\sqrt{2})^4 + {^6}C_5(\sqrt{3})^1(\sqrt{2})^5 + {^6}C_6(\sqrt{2})^6 \)
तथा
\( (\sqrt{3} - \sqrt{2})^6 = {^6}C_0(\sqrt{3})^6 - {^6}C_1(\sqrt{3})^5(\sqrt{2}) + {^6}C_2(\sqrt{3})^4(\sqrt{2})^2 - {^6}C_3(\sqrt{3})^3(\sqrt{2})^3 + {^6}C_4(\sqrt{3})^2(\sqrt{2})^4 - {^6}C_5(\sqrt{3})^1(\sqrt{2})^5 + {^6}C_6(\sqrt{2})^6 \)
दोनों को घटाने पर विषम पद आपस में जुड़ जाते हैं और सम पद कट जाते हैं:
\( = 2[{^6}C_1(\sqrt{3})^5(\sqrt{2}) + {^6}C_3(\sqrt{3})^3(\sqrt{2})^3 + {^6}C_5(\sqrt{3})^1(\sqrt{2})^5] \)
मान रखने पर:
\( = 2[6 \times 9\sqrt{6} + 20 \times 3\sqrt{6} + 6 \times 4\sqrt{6}] \)
\( = 2[54\sqrt{6} + 60\sqrt{6} + 24\sqrt{6}] \)
\( = 2[138\sqrt{6}] \)
\( = 276\sqrt{6} \)
मुख्य बिंदु:
• \( (x+y)^n - (x-y)^n \) के प्रसार में विषम पद बचते हैं।
• करणी (Square roots) की घातों को सरल करना।
• गणना में सावधानी बरतना।
आम गलतियाँ:
• घटाते समय चिन्हों की गलती करना।
• करणी की घातों का गुणन गलत करना।
Exam Tips:
a) दोनों प्रसारों को अलग-अलग लिखकर घटाने की प्रक्रिया स्पष्ट दिखाएं।
b) \( {^n}C_r \) के मानों की गणना रफ़ कार्य में कर लें।
c) अंत में समान पदों को जोड़कर संक्षिप्त उत्तर दें।
Question 3: \( (a^2 + \sqrt{a^2 - 1})^4 + (a^2 - \sqrt{a^2 - 1})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए \( x = a^2 \) और \( y = \sqrt{a^2 - 1} \), तब व्यंजक बनता है:
\( (x + y)^4 + (x - y)^4 \)
द्विपद प्रमेय से प्रसार करने पर:
\( = [{^4}C_0 x^4 + {^4}C_1 x^3 y + {^4}C_2 x^2 y^2 + {^4}C_3 x y^3 + {^4}C_4 y^4] + [{^4}C_0 x^4 - {^4}C_1 x^3 y + {^4}C_2 x^2 y^2 - {^4}C_3 x y^3 + {^4}C_4 y^4] \)
समान और विपरीत पद कट जाते हैं, जिससे प्राप्त होता है:
\( = 2[{^4}C_0 x^4 + {^4}C_2 x^2 y^2 + {^4}C_4 y^4] \)
अब \( x \) और \( y \) के मान वापस रखने पर:
\( = 2[{^4}C_0 (a^2)^4 + {^4}C_2 (a^2)^2 (\sqrt{a^2 - 1})^2 + {^4}C_4 (\sqrt{a^2 - 1})^4] \)
गुणांकों के मान रखने पर (\( {^4}C_0 = 1, {^4}C_2 = 6, {^4}C_4 = 1 \)):
\( = 2[a^8 + 6a^4(a^2 - 1) + (a^2 - 1)^2] \)
कोष्ठक खोलने और सरल करने पर:
\( = 2[a^8 + 6a^6 - 6a^4 + a^4 - 2a^2 + 1] \)
\( = 2[a^8 + 6a^6 - 5a^4 - 2a^2 + 1] \)
\( = 2a^8 + 12a^6 - 10a^4 - 4a^2 + 2 \)
मुख्य बिंदु:
• दो द्विपद व्यंजकों के योग का प्रसार करना।
• विषम घात वाले पद कट जाते हैं।
• करणी का वर्ग करने पर वर्गमूल का चिह्न हट जाना।
आम गलतियाँ:
• योग और अंतर के सूत्रों में भ्रमित होना।
• द्विघात व्यंजकों के विस्तार में बीजगणितीय त्रुटियाँ करना।
Exam Tips:
a) बड़े व्यंजकों को हल करते समय चरों (जैसे \( x, y \)) का प्रतिस्थापन करने से गणना आसान हो जाती है।
b) कोष्ठक खोलते समय ऋण चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम परिणाम को मानक बहुपद रूप में व्यवस्थित करें।
Question 4: \( (0.99)^5 \) के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए मान \( 0.99 \) को \( (1 - 0.01) \) के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः व्यंजक होगा: \( (1 - 0.01)^5 \)
द्विपद प्रमेय के प्रथम तीन पदों का प्रयोग करने पर:
\( (1 - 0.01)^5 \approx {^5}C_0 (1)^5 + {^5}C_1 (1)^4(-0.01) + {^5}C_2 (1)^3(-0.01)^2 \)
मान रखने पर:
\( = 1 + 5(-0.01) + 10(0.0001) \)
\( = 1 - 0.05 + 0.0010 \)
\( = 1.0010 - 0.05 \)
\( = 0.9510 \)
मुख्य बिंदु:
• दशमलव संख्या को \( 1 \pm x \) के रूप में बदलना।
• प्रश्न के निर्देशानुसार केवल पहले तीन पदों का उपयोग करना।
• दशमलव स्थानों की सही गणना करना।
आम गलतियाँ:
• ऋण चिह्न का ध्यान न रखना।
• दशमलव के बाद शून्य की संख्या में गलती करना (जैसे \( (0.01)^2 = 0.0001 \))।
Exam Tips:
a) निकटतम मान ज्ञात करने वाले प्रश्नों में जितने पद कहे जाएँ, उतने ही लिखें।
b) ऋणात्मक पदों को घटते और धनात्मक पदों को जोड़ते समय सावधानी बरतें।
c) उत्तर को दशमलव के उचित स्थानों तक छोड़ें।
Question 5: \( \left(1 + \frac{x}{2}\right)^5 - \left(1 - \frac{x}{2}\right)^5 \) को द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Answer:
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके प्रथम व्यंजक का प्रसार करने पर:
\( \left(1 + \frac{x}{2}\right)^5 = {^5}C_0 (1)^5 + {^5}C_1 (1)^4\left(\frac{x}{2}\right) + {^5}C_2 (1)^3\left(\frac{x}{2}\right)^2 + {^5}C_3 (1)^2\left(\frac{x}{2}\right)^3 + {^5}C_4 (1)\left(\frac{x}{2}\right)^4 + {^5}C_5 \left(\frac{x}{2}\right)^5 \)
\( = 1 + 5\left(\frac{x}{2}\right) + 10\left(\frac{x^2}{4}\right) + 10\left(\frac{x^3}{8}\right) + 5\left(\frac{x^4}{16}\right) + \frac{x^5}{32} \)
\( = 1 + \frac{5x}{2} + \frac{5x^2}{2} + \frac{5x^3}{4} + \frac{5x^4}{16} + \frac{x^5}{32} \quad \text{--- ( समीकरण 1 )}
\)
द्वितीय व्यंजक का प्रसार करने पर:
\( \left(1 - \frac{x}{2}\right)^5 = 1 - \frac{5x}{2} + \frac{5x^2}{2} - \frac{5x^3}{4} + \frac{5x^4}{16} - \frac{x^5}{32} \quad \text{--- ( समीकरण 2 )}
\)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
\( \left(1 + \frac{x}{2}\right)^5 - \left(1 - \frac{x}{2}\right)^5 = 2 \left[ \frac{5x}{2} + \frac{5x^3}{4} + \frac{x^5}{32} \right] \)
\( = 5x + \frac{5x^3}{2} + \frac{x^5}{16} \)
मुख्य बिंदु:
• भिन्नात्मक पदों वाले द्विपद प्रसार को हल करना।
• घटाने पर सम घात वाले पद विलोपित हो जाते हैं।
• सरलीकरण में भिन्नों का सही जोड़-घटाव करना।
आम गलतियाँ:
• भिन्नों की घातों (जैसे \( (x/2)^3 \)) को खोलते समय हर (denominator) का वर्ग/घन करना भूल जाना।
• चिन्हों की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) दोनों व्यंजकों को अलग-अलग लिखकर प्रसार करना सुरक्षित रहता है।
b) गुणांकों और चरों की घातों का मिलان ध्यानपूर्वक करें।
c) अंत में उभयनिष्ठ पदों को सरल करके मानक रूप में लिखें।
Question 6: \( (3x^2 - 2ax + 3a^2)^3 \) का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए त्रिपद व्यंजक को द्विपद रूप में व्यवस्थित करने पर:
\( (3x^2 - 2ax + 3a^2)^3 = [(3x^2 - 2ax) + 3a^2]^3 \)
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर:
\( = {^3}C_0 (3x^2 - 2ax)^3 + {^3}C_1 (3x^2 - 2ax)^2 (3a^2) + {^3}C_2 (3x^2 - 2ax)(3a^2)^2 + {^3}C_3 (3a^2)^3 \)
मान रखने पर (\( {^3}C_0 = 1, {^3}C_1 = 3, {^3}C_2 = 3, {^3}C_3 = 1 \)):
\( = 1 \cdot (3x^2 - 2ax)^3 + 3(3x^2 - 2ax)^2(3a^2) + 3(3x^2 - 2ax)(9a^4) + 27a^6 \)
अब अलग-अलग प्रसार करने पर:
\( (3x^2 - 2ax)^3 = 27x^6 - 54x^5a + 36x^4a^2 - 8x^3a^3 \)
\( 3(3x^2 - 2ax)^2(3a^2) = 9a^2 (9x^4 - 12x^3a + 4x^2a^2) = 81x^4a^2 - 108x^3a^3 + 36x^2a^4 \)
\( 3(3x^2 - 2ax)(9a^4) = 27a^4 (3x^2 - 2ax) = 81x^2a^4 - 54x a^5 \)
सभी को जोड़ने पर:
\( = 27x^6 - 54x^5a + 117x^4a^2 - 116x^3a^3 + 117x^2a^4 - 54x a^5 + 27a^6 \)
मुख्य बिंदु:
• त्रिपद को द्विपद में समूहीकृत (grouping) करना।
• चरणबद्ध तरीके से प्रत्येक पद का प्रसार करना।
• समान घात वाले पदों को जोड़ना या घटाना।
आम गलतियाँ:
• समूहीकरण गलत करना जिससे द्विपद प्रमेय सीधे न लग सके।
• अंदर के पदों का प्रसार करते समय घातों या गुणांकों में गलती करना।
Exam Tips:
a) त्रिपद वाले प्रश्नों में पहले दो पदों को एक साथ कोष्ठक में रखें।
b) प्रत्येक भाग को अलग से हल करके अंत में जोड़ें ताकि भ्रम न हो।
c) गणना लंबी होने पर प्रत्येक चरण की दोबारा जाँच अवश्य करें।
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