NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 07 Binomial Theorem (द्विपद प्रमेय) Exercise 7.1 in Hindi

Question 1: व्यंजक का प्रसार कीजिए: \( (1 - 2x)^5 \)

Answer:

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके \( (1 - 2x)^5 \) का प्रसार करने पर:
\( {^5}C_0 (1)^5 (-2x)^0 + {^5}C_1 (1)^4 (-2x)^1 + {^5}C_2 (1)^3 (-2x)^2 + {^5}C_3 (1)^2 (-2x)^3 + {^5}C_4 (1)^1 (-2x)^4 + {^5}C_5 (1)^0 (-2x)^5 \)
\( = 1 - 5(2x) + 10(4x^2) - 10(8x^3) + 5(16x^4) - (32x^5) \)
\( = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 \)

मुख्य बिंदु:

• द्विपद प्रमेय का सूत्र \( (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {^n}C_r a^{n-r} b^r \) है।
• यहाँ \( a = 1 \), \( b = -2x \) और \( n = 5 \) हैं।
• ऋणात्मक चिह्न वाले पदों में घात के सम या विषम होने का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• \( -2x \) की घात लगाते समय कोष्ठक का प्रयोग न करना।
• गुणांकों \( {^5}C_r \) के मान गलत रखना।
• अंत में चिह्न की गड़बड़ी करना।

Exam Tips:

a) प्रसार करते समय सभी पदों को क्रमानुसार लिखें ताकि कोई पद छूटे नहीं।
b) गणना को सरल करने के लिए प्रत्येक पद को अलग-अलग हल करें।
c) अंतिम उत्तर में पदों को आरोही या अवरोही घात के क्रम में व्यवस्थित करें।

Question 2: व्यंजक का प्रसार कीजिए: \( \left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5 \)

Answer:

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके \( \left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5 \) का प्रसार करने पर:
\( {^5}C_0 \left(\frac{2}{x}\right)^5 \left(-\frac{x}{2}\right)^0 + {^5}C_1 \left(\frac{2}{x}\right)^4 \left(-\frac{x}{2}\right)^1 + {^5}C_2 \left(\frac{2}{x}\right)^3 \left(-\frac{x}{2}\right)^2 + {^5}C_3 \left(\frac{2}{x}\right)^2 \left(-\frac{x}{2}\right)^3 + {^5}C_4 \left(\frac{2}{x}\right)^1 \left(-\frac{x}{2}\right)^4 + {^5}C_5 \left(\frac{2}{x}\right)^0 \left(-\frac{x}{2}\right)^5 \)
\( = \frac{32}{x^5} - 5\left(\frac{16}{x^4}\right)\left(\frac{x}{2}\right) + 10\left(\frac{8}{x^3}\right)\left(\frac{x^2}{4}\right) - 10\left(\frac{4}{x^2}\right)\left(\frac{x^3}{8}\right) + 5\left(\frac{2}{x}\right)\left(\frac{x^4}{16}\right) - \frac{x^5}{32} \)
\( = \frac{32}{x^5} - \frac{40}{x^3} + \frac{20}{x} - 5x + \frac{5}{8}x^3 - \frac{x^5}{32} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ अंश और हर दोनों में चर उपस्थित हैं।
• भिन्नों के गुणा और भाग करते समय घातों के नियमों (जैसे \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \)) का प्रयोग करें।
• \( {^5}C_0, {^5}C_1 \) आदि के मानक मानों का उपयोग करें।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों की घातों का विस्तार करते समय अंश और हर दोनों को प्रभावित न करना।
• घातांकों को सरल करते समय गलती करना।
• वैकल्पिक चिह्नों (+ और -) को भूल जाना।

Exam Tips:

a) अंश और हर के पदों को अलग-अलग कोष्ठक में लिखकर सरल करें।
b) हर चरण में यह जाँच लें कि कोई ऋणात्मक चिह्न छूट तो नहीं गया।
c) अंतिम परिणाम को मानक भिन्न रूप में लिखें।

Question 3: व्यंजक का प्रसार कीजिए: \( (2x - 3)^6 \)

Answer:

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके \( (2x - 3)^6 \) का प्रसार करने पर:
\( {^6}C_0 (2x)^6 (-3)^0 + {^6}C_1 (2x)^5 (-3)^1 + {^6}C_2 (2x)^4 (-3)^2 + {^6}C_3 (2x)^3 (-3)^3 + {^6}C_4 (2x)^2 (-3)^4 + {^6}C_5 (2x)^1 (-3)^5 + {^6}C_6 (2x)^0 (-3)^6 \)
\( = 64x^6 - 6(32x^5)(3) + 15(16x^4)(9) - 20(8x^3)(27) + 15(4x^2)(81) - 6(2x)(243) + 729 \)
\( = 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729 \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( n = 6 \) है, इसलिए प्रसार में 7 पद होंगे।
• गुणांक \( {^6}C_0, {^6}C_1, {^6}C_2 \) आदि पास्कल त्रिभुज या संयोजन सूत्र से निकाले जा सकते हैं।
• \( (2x)^6 \) का मान \( 64x^6 \) होता है, न कि \( 12x^6 \) ।

आम गलतियाँ:

• \( (2x) \) की घात 6 निकालते समय संख्या 2 का घात 6 न करना।
• बड़ी संख्याओं के गुणा में कैलकुलेशन की गलती करना।
• चिह्नों का एकांतर क्रम (+, -, +, -) ध्यान में न रखना।

Exam Tips:

a) बड़ी संख्याओं के गुणनफल को रफ़ कार्य में सावधानीपूर्वक करें।
b) सुनिश्चित करें कि \( {^6}C_r = {^6}C_{6-r} \) के गुणधर्म का उपयोग करके समय बचाया जा सके।
c) प्रत्येक पद को लिखने के बाद उसकी घातों के योग की जाँच करें (योग हमेशा \( n \) के बराबर होना चाहिए)।

Question 4: व्यंजक का प्रसार कीजिए: \( \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{x}\right)^5 \)

Answer:

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके \( \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{x}\right)^5 \) का प्रसार करने पर:
\( {^5}C_0 \left(\frac{x}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{x}\right)^0 + {^5}C_1 \left(\frac{x}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{x}\right)^1 + {^5}C_2 \left(\frac{x}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{x}\right)^2 + {^5}C_3 \left(\frac{x}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{x}\right)^3 + {^5}C_4 \left(\frac{x}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{x}\right)^4 + {^5}C_5 \left(\frac{x}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{x}\right)^5 \)
\( = \frac{x^5}{243} + 5\left(\frac{x^4}{81}\right)\left(\frac{2}{x}\right) + 10\left(\frac{x^3}{27}\right)\left(\frac{4}{x^2}\right) + 10\left(\frac{x^2}{9}\right)\left(\frac{8}{x^3}\right) + 5\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{16}{x^4}\right) + \frac{32}{x^5} \)
\( = \frac{x^5}{243} + \frac{5x^3}{81} + \frac{40}{27}x + \frac{80}{9x} + \frac{80}{3x^3} + \frac{32}{x^5} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं, अतः प्रसार के सभी पद धनात्मक होंगे।
• भिन्नों की घातों का विस्तार ध्यानपूर्वक करें (जैसे \( 3^5 = 243 \))।
• चरों की घातों को अंश और हर में सही से संयोजित करें।

आम गलतियाँ:

• \( 3^5 \) या \( 3^4 \) का मान निकालने में त्रुटि करना।
• चरों के काटने (cancelling out) में घातों की गलती करना।
• गुणांकों को भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद को विस्तार से लिखकर ही सरल करें।
b) हर और अंश की संख्याओं को मानक रूप में रखें।
c) परीक्षा में समय बचाने के लिए मानक घातों के मान ज़بانی याद रखें।

Question 5: व्यंजक का प्रसार कीजिए: \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 \)

Answer:

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 \) का प्रसार करने पर:
\( {^6}C_0 (x)^6 \left(\frac{1}{x}\right)^0 + {^6}C_1 (x)^5 \left(\frac{1}{x}\right)^1 + {^6}C_2 (x)^4 \left(\frac{1}{x}\right)^2 + {^6}C_3 (x)^3 \left(\frac{1}{x}\right)^3 + {^6}C_4 (x)^2 \left(\frac{1}{x}\right)^4 + {^6}C_5 (x)^1 \left(\frac{1}{x}\right)^5 + {^6}C_6 (x)^0 \left(\frac{1}{x}\right)^6 \)
\( = x^6 + 6(x^5)\left(\frac{1}{x}\right) + 15(x^4)\left(\frac{1}{x^2}\right) + 20(x^3)\left(\frac{1}{x^3}\right) + 15(x^2)\left(\frac{1}{x^4}\right) + 6(x)\left(\frac{1}{x^5}\right) + \frac{1}{x^6} \)
\( = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)

मुख्य बिंदु:

• यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण मानक द्विपद प्रसार है।
• इसमें सममितीय (symmetrical) गुणांक होते हैं (\( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \))।
• मध्य पद अचर (constant) आता है।

आम गलतियाँ:

• चरों की घातों को आपस में काटते समय गलती करना।
• \( {^6}C_3 \) का मान गलत निकालना।
• ऋणात्मक घातों को हर में ले जाते समय चिह्न बदलना।

Exam Tips:

a) सममितीय गुणांकों का उपयोग करके गणना की जाँच करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं ताकि यदि अंत में गलती हो भी, तो स्टेप मार्किंग मिल सके।
c) अंतिम उत्तर को घटती हुई घातों के क्रम में व्यवस्थित करें।

Question 6: द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: \( (96)^3 \)

Answer:

हम 96 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं। इसे इस प्रकार से लिखा जा सकता है: \( 96 = 100 - 4 \)
इसलिए, \( (96)^3 = (100 - 4)^3 \)
\( = {^3}C_0 (100)^3 (-4)^0 + {^3}C_1 (100)^2 (-4)^1 + {^3}C_2 (100)^1 (-4)^2 + {^3}C_3 (100)^0 (-4)^3 \)
\( = (100)^3 - 3(100)^2(4) + 3(100)(4)^2 - (4)^3 \)
\( = 1000000 - 120000 + 4800 - 64 = 884736 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी संख्या के निकटतम दहाई या सैकड़े के आधार (जैसे 100, 1000) का चयन करें।
• \( (a - b)^n \) के प्रसार में एकांतर चिह्न (+ और -) आते हैं।
• बड़ी संख्याओं के गुणन में शून्यों (zeros) की संख्या का विशेष ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• 100 की घातों (जैसे \( 100^2, 100^3 \)) में शून्यों की गिनती में भूल होना।
• कोष्ठk के बाहर लगे ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करना।
• जोड़ने और घटाने के क्रम में गलती करना।

Exam Tips:

a) संख्या को ऐसे रूप में तोड़ें जिसमें 10, 100 या 1000 का प्रयोग हो ताकि गणना मौखिक या आसान हो सके।
b) योग/अंतर करने से पहले धनात्मक और ऋणात्मक पदों को अलग-अलग जोड़ लें।
c) परीक्षा में अपने उत्तर की जाँच सामान्य गुणन विधि से भी कर सकते हैं।

Question 7: द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: \( (102)^5 \)

Answer:

हम 102 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं। इसे इस प्रकार से लिखा जा सकता है: \( 102 = 100 + 2 \)
इसलिए, \( (102)^5 = (100 + 2)^5 \)
\( = {^5}C_0 (100)^5 (2)^0 + {^5}C_1 (100)^4 (2)^1 + {^5}C_2 (100)^3 (2)^2 + {^5}C_3 (100)^2 (2)^3 + {^5}C_4 (100)^1 (2)^4 + {^5}C_5 (100)^0 (2)^5 \)
\( = (100)^5 + 5(100)^4(2) + 10(100)^3(2)^2 + 10(100)^2(2)^3 + 5(100)(2)^4 + (2)^5 \)
\( = 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32 \)
\( = 11040808032 \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( 102 = 100 + 2 \) का रूप लिया गया है।
• \( {^5}C_0, {^5}C_1, {^5}C_2, {^5}C_3, {^5}C_4, {^5}C_5 \) के मान क्रमशः \( 1, 5, 10, 10, 5, 1 \) हैं।
• सभी पद धनात्मक होंगे क्योंकि बीच में '+' चिह्न है।

आम गलतियाँ:

• 100 की उच्च घातों में शून्य (zeros) कम या ज्यादा लिख देना।
• सभी पदों को जोड़ते समय स्थानीय मान (place value) की भूल करना।
• \( 2 \) की घातों का गलत विस्तार करना।

Exam Tips:

a) बड़ी संख्याओं को स्तंभ (column) रूप में लिखकर जोड़ें ताकि गलती की संभावना न रहे।
b) द्विपद गुणांकों को पहले ही साइड में लिखकर रख लें।
c) प्रत्येक पद के प्रसार के बाद zeros की संख्या की पुनः जाँच करें।

Question 8: द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: \( (101)^4 \)

Answer:

हम 101 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं। इसे इस प्रकार से लिखा जा सकता है: \( 101 = 100 + 1 \), इसलिए
\( (101)^4 = (100 + 1)^4 \)
\( = {^4}C_0 (100)^4 (1)^0 + {^4}C_1 (100)^3 (1)^1 + {^4}C_2 (100)^2 (1)^2 + {^4}C_3 (100)^1 (1)^3 + {^4}C_4 (100)^0 (1)^4 \)
\( = (100)^4 + 4(100)^3(1) + 6(100)^2(1)^2 + 4(100)^1(1)^3 + (1)^4 \)
\( = 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 \)
\( = 104060401 \)

मुख्य बिंदु:

• \( 101 \) को \( 100 + 1 \) के रूप में तोड़ा गया है।
• \( n = 4 \) के लिए द्विपद गुणांक \( 1, 4, 6, 4, 1 \) होते हैं।
• 1 की कोई भी घात 1 ही होती है, जिससे गणना बहुत आसान हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• \( 100^4 \) में शून्यों की संख्या (8 शून्य) लिखने में चूक होना।
• पदों को जोड़ते समय सही स्थान पर अंक न रखना।
• द्विपद गुणांक गलत लिखना।

Exam Tips:

a) चूँकि दूसरा पद 1 है, गणना केवल द्विपद गुणांक और 100 की घातों पर आधारित रह जाती है।
b) योग करते समय इकाई के अंक से शुरू करें।
c) परीक्षा में इस प्रकार के प्रश्नों को बहुत कम समय में हल किया जा सकता है, अतः शुद्धता पर ध्यान दें।

Question 9: द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: \( (99)^5 \)

Answer:

हम 99 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं। हैं। इसे इस प्रकार से लिखा जा सकता है:
\( 99 = 100 - 1 \)
इसलिए, \( (99)^5 = (100 - 1)^5 \)
\( = {^5}C_0 (100)^5 (-1)^0 + {^5}C_1 (100)^4 (-1)^1 + {^5}C_2 (100)^3 (-1)^2 + {^5}C_3 (100)^2 (-1)^3 + {^5}C_4 (100)^1 (-1)^4 + {^5}C_5 (100)^0 (-1)^5 \)
\( = (100)^5 - 5(100)^4(1) + 10(100)^3(1) - 10(100)^2(1) + 5(100)(1) - 1 \)
\( = 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 10010000500 - 500100001 = 9509900499 \)

मुख्य बिंदु:

• \( 99 \) को \( 100 - 1 \) लिखा गया है।
• ऋणात्मक चिह्न के कारण पद एकांतर रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होंगे।
• धनात्मक और ऋणात्मक पदों को अलग-अलग जोड़कर अंत में घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है।

आम गलतियाँ:

• वैकल्पिक चिह्नों (+, -, +, -) को लगाने में भूल करना।
• बड़ी संख्याओं के घटाव में उधार (borrow) लेने की गलती करना।
• \( 100 \) की घातों के शून्य गलत गिनना।

Exam Tips:

a) सभी धनात्मक पदों को एक साथ जोड़ें।
b) सभी ऋणात्मक पदों को एक साथ जोड़ें।
c) अंत में बड़े योग में से छोटे योग को घटाकर अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

Question 10: द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है: \( (1.1)^{10000} \) या \( 1000 \)

Answer:

संख्याओं की तुलना करने के लिए \( (1.1)^{10000} \) को द्विपद प्रमेय के माध्यम से विस्तार करने पर:
\( (1.1)^{10000} = (1 + 0.1)^{10000} \)
\( = {^{10000}}C_0 + {^{10000}}C_1 (0.1)^1 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1 + 10000 \times 0.1 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1 + 1000 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1001 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( > 1000 \)
अतः, \( (1.1)^{10000} > 1000 \)

मुख्य बिंदु:

• \( 1.1 \) को \( 1 + 0.1 \) के रूप में लिखा जाता है।
• द्विपद प्रमेय के पहले दो पद ही \( 1000 \) से बड़े मान को दे देते हैं।
• चूँकि सभी आगे के पद धनात्मक हैं, कुल मान 1001 से अधिक होगा।

आम गलतियाँ:

• पूरे प्रसार को हल करने की कोशिश करना (जो असंभव है)।
• \( {^{10000}}C_1 \) का मान गलत रखना।
• असमानता के चिह्न (\( > \) या \( < \)) को गलत दिशा में लगाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में केवल पहले दो या तीन पदों को लिखकर ही तुलना करना पर्याप्त होता है।
b) यह स्पष्ट रूप से दर्शाएं कि शेष पद धनात्मक हैं, इसलिए योग 1000 से अधिक होगा।
c) अंतिम निष्कर्ष को स्पष्ट शब्दों में लिखें।

Question 11: \( (a + b)^4 - (a - b)^4 \) का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

द्विपदप्रमेय के प्रयोग से, \( (a + b)^4 - (a - b)^4 \) का प्रसार करने पर:
\( (a + b)^4 - (a - b)^4 \)
\( = [{^4}C_0 a^4 b^0 + {^4}C_1 a^3 b^1 + {^4}C_2 a^2 b^2 + {^4}C_3 a^1 b^3 + {^4}C_4 a^0 b^4] - [{^4}C_0 a^4 b^0 - {^4}C_1 a^3 b^1 + {^4}C_2 a^2 b^2 - {^4}C_3 a^1 b^3 + {^4}C_4 a^0 b^4] \)
\( = 2[{^4}C_1 a^3 b^1 + {^4}C_3 a^1 b^3] \)
\( = 2[4a^3b + 4a\ b^3] \)
\( = 8ab(a^2 + b^2) \)
अब \( a = \sqrt{3} \) तथा \( b = \sqrt{2} \) रखने पर:
\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 \)
\( = 8(\sqrt{3})(\sqrt{2}) [(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2] \)
\( = 8\sqrt{6}(3 + 2) \)
\( = 40\sqrt{6} \)

मुख्य बिंदु:

• दो द्विपद व्यंजकों के अंतर में सम घात वाले पद कट जाते हैं और केवल विषम घात वाले पद बचते हैं।
• \( {^4}C_1 = 4 \) और \( {^4}C_3 = 4 \) होता है।
• अंत में \( a \) और \( b \) के मान प्रतिस्थापित करके सरलता से उत्तर प्राप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• घटाते समय कोष्ठक के अंदर के चिह्नों को न बदलना।
• \( \sqrt{3} \) और \( \sqrt{2} \) के वर्गों को जोड़ते समय गलती करना।
• सामान्य सर्वसमिका की जगह पूरा प्रसार अलग-अलग करना जिससे समय नष्ट होता है।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय प्रसार को पहले सरलतम रूप में लाएँ, फिर मान रखें।
b) करणी (surds) के गुणा करते समय \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) का नियम ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम करणी रूप में प्रस्तुत करें।

Question 12: \( (x + 1)^6 + (x - 1)^6 \) का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

द्विपद प्रमेय के प्रयोग से, \( (x + 1)^6 + (x - 1)^6 \) का प्रसार करने पर:
\( (x + 1)^6 + (x - 1)^6 \)
\( = [ {^6}C_0 x^6 1^0 + {^6}C_1 x^5 1^1 + {^6}C_2 x^4 1^2 + {^6}C_3 x^3 1^3 + {^6}C_4 x^2 1^4 + {^6}C_5 x^1 1^5 + {^6}C_6 x^0 1^6 ] + [ {^6}C_0 x^6 1^0 - {^6}C_1 x^5 1^1 + {^6}C_2 x^4 1^2 - {^6}C_3 x^3 1^3 + {^6}C_4 x^2 1^4 - {^6}C_5 x^1 1^5 + {^6}C_6 x^0 1^6 ] \)
\( = 2 [ {^6}C_0 x^6 + {^6}C_2 x^4 + {^6}C_4 x^2 + {^6}C_6 ] \)
\( = 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1) \)
अब \( x = \sqrt{2} \) रखने पर:
\( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 = 2 [(\sqrt{2})^6 + 15(\sqrt{2})^4 + 15(\sqrt{2})^2 + 1] \)
\( = 2 (8 + 15(4) + 15(2) + 1) = 2 (8 + 60 + 30 + 1) = 198 \)

मुख्य बिंदु:

• दो द्विपद व्यंजकों के योग में विषम घात वाले पद कट जाते हैं और सम घात वाले पद जुड़ जाते हैं।
• \( {^6}C_0 = 1, {^6}C_2 = 15, {^6}C_4 = 15, {^6}C_6 = 1 \) होते हैं।
• \( (\sqrt{2})^6 = 8 \), \( (\sqrt{2})^4 = 4 \) और \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) का उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• योग करते समय गलत पदों को काट देना।
• \( \sqrt{2} \) की घातों का मान निकालने में त्रुटि करना।
• बाहर के गुणांक 2 से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) योग वाले प्रसार में केवल सम पदों (0, 2, 4, 6) को ही लिखें ताकि समय बचे।
b) करणी की घातों को अलग से सरल करके रफ़ में रख लें।
c) अंत में कोष्ठk के बाहर की संख्या 2 से पूरे परिणाम को गुणा करना न भूलें।

Question 13: दिखाइए कि \( 9^{n+1} - 8n - 9, 64 \) से विभाज्य है जहाँ \( n \) एक धन पूर्णांक है।

Answer:

द्विपदप्रमेय के प्रयोग से:
\( (1 + x)^{n+1} = {^{n+1}}C_0 + {^{n+1}}C_1 x + {^{n+1}}C_2 x^2 + \dots + {^{n+1}}C_{n+1} x^{n+1} \)
अब \( x = 8 \) रखने पर:
\( (1 + 8)^{n+1} = {^{n+1}}C_0 + {^{n+1}}C_1 (8) + {^{n+1}}C_2 (8)^2 + \dots + {^{n+1}}C_{n+1} (8)^{n+1} \)
\( \Rightarrow 9^{n+1} = 1 + (n+1)(8) + 8^2 [ {^{n+1}}C_2 + {^{n+1}}C_3 (8) + \dots + {^{n+1}}C_{n+1} (8)^{n-1} ] \)
\( \Rightarrow 9^{n+1} - 1 - 8(n+1) = 64 [ {^{n+1}}C_2 + \dots + {^{n+1}}C_{n+1} 8^{n-1} ] \)
\( \Rightarrow 9^{n+1} - 8n - 9 = 64 [ {^{n+1}}C_2 + \dots + {^{n+1}}C_{n+1} 8^{n-1} ] \)
यहाँ, RHS, किसी धन पूर्णांक \( k \) के लिए \( 64 \) से विभाजित है।
इसलिए, LHS भी \( 64 \) से विभाजित होगा।
अतः, \( 9^{n+1} - 8n - 9 \) किसी धनपूर्णांक \( n \) के लिए \( 64 \) से विभाज्य है।

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के प्रश्नों में \( 9 \) को \( 1 + 8 \) के रूप में लिखा जाता है ताकि \( 8^2 = 64 \) बाहर आ सके।
• द्विपद प्रसार का उपयोग करके व्यंजक को एक गुणج के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• विभाجकता सिद्ध करने के लिए RHS को \( 64 \times (\text{पूर्णांक}) \) के रूप में दिखाना होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 9 \) को \( 8 + 1 \) लिखने के बजाय गलत आधार चुनना।
• प्रसार के पहले दो पदों को ठीक से सरल न करना।
• निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) हमेशा \( (1 + a)^m \) के रूप में प्रसार करें जहाँ \( a \) वह आधार हो जिसका वर्ग या घात वांछित संख्या (जैसे 64) दे सके।
b) पदों के पक्षांतर (shifting) को सावधानी से करें।
c) अंत में यह वाक्य अवश्य लिखें कि "चूंकि RHS, 64 का गुणज है, अतः व्यंजक 64 से विभाज्य है।"

Question 14: सिद्ध कीजिए कि \( \sum_{r=0}^{n} {^{3n}}C_r = 4^n \)

Answer:

LHS = \( \sum_{r=0}^{n} {^{3n}}C_r \)
हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय से:
\( (1 + x)^{3n} = {^{3n}}C_0 + {^{3n}}C_1 x + {^{3n}}C_2 x^2 + \dots + {^{3n}}C_{3n} x^{3n} \)
परन्तु यहाँ प्रश्न में सिगमा की सीमा \( r = 0 \) से \( n \) तक दी गई है (या मानक द्विपद प्रमेय के अनुसार \( \sum_{r=0}^{3n} {^{3n}}C_r = 2^{3n} = (2^3)^n = 8^n \) होता है)। यदि प्रश्न में \( \sum_{r=0}^{n} {^{3n}}C_r \) के अनुसार हल देखें तो NCERT पाठ्यपुस्तक के मानक परिणामों के आधार पर:
\( {^{3n}}C_0 + {^{3n}}C_1 + {^{3n}}C_2 + \dots + {^{3n}}C_{3n} = 2^{3n} \)
(नोट: यदि प्रश्न में योग \( 3n \) तक है, तो उत्तर \( 8^n \) होगा। यदि छपे हुए प्रश्न के अनुसार हल देखें:)
\( = {^{3n}}C_0 + {^{3n}}C_1 + {^{3n}}C_2 + \dots + {^{3n}}C_n \)
\( = (1 + 3) \text{ के रूप में नहीं बल्कि द्विपद गुणांकों के गुणधर्म से इसे सिद्ध किया जाता है।}

मुख्य बिंदु:

• \( \sum_{r=0}^{n} {^n}C_r = 2^n \) एक सर्वज्ञात द्विपद परिणाम है।
• यहाँ सूचकांक \( 3n \) है, अतः कुल गुणांकों का योग \( 2^{3n} \) होता है।
• \( 2^{3n} = (2^3)^n = 8^n \) लिखा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• योग की ऊपरी सीमा को नजरअंदाज करना।
• द्विपद गुणांकों के योग के सूत्र \( 2^n \) को ठीक से लागू न करना।
• आधार के रूपांतरण में घातों के नियमों की गलती करना।

Exam Tips:

a) द्विपद गुणांकों के सभी मानक योग परिणामों को याद रखें।
b) \( x = 1 \) रखकर द्विपद प्रसार से कुल योग निकालने की विधि का अभ्यास करें।
c) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंत में LHS = RHS लिखना न भूलें।