Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 06 क्रमचय और संचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 06 क्रमचय और संचय
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Question 1: DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
Answer:
DAUGHTER शब्द के अक्षरों में, 3 स्वर A, U और E तथा 5 व्यंजन D, G, H, T और R हैं।
3 स्वरों में से किसी 2 स्वर को चुनने के कुल तरीके = \( {^3}C_2 = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = 3 \)
5 व्यंजनों में से किन्हीं 3 व्यंजनों को चुनने के कुल तरीके = \( {^5}C_3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = 10 \)
इसलिए, 2 स्वरों तथा 3 व्यंजनों से बनने वाले कुल संचय = \( 3 \times 10 = 30 \)
इन सभी 30 संچयों में 2 स्वरों और 3 व्यंजनों को आपस में पुनर्व्यवस्थित करके बनने वाले क्रमचयों की संख्या = \( 5! \)
अतः, बनने वाले शब्दों की अभीष्ट संख्या = \( 30 \times 5! = 3600 \)
मुख्य बिंदु:
• दिए गए शब्द में स्वरों और व्यंजनों की कुल संख्या ज्ञात करना।
• संचय सूत्र \( {n}C_r \) का उपयोग करके चयन करना।
• चयनित अक्षरों को क्रमचय के नियम से व्यवस्थित करना।
आम गलतियाँ:
• स्वर और व्यंजन की कुल संख्या गिनने में गलती करना।
• चयन के बाद उन्हें आपस में व्यवस्थित (factorial से गुणा) करना भूल जाना।
• फैक्टोरियल की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा पहले चयन (Combination) करें और फिर क्रमचय (Permutation) लागू करें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए फैक्टोरियल को काटें (cancelout करें)।
c) प्रश्न में दी गई शर्तों (जैसे 2 स्वर और 3 व्यंजन) को ध्यान से पढ़ें।
Question 2: EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते हैं?
Answer:
EQUATION शब्द में 5 स्वर A, E, I, O, और U हैं तथा 3 व्यंजन Q, T और N हैं।
प्रश्न के अनुसार, सभी स्वर और सभी व्यंजन एक साथ रहते हैं। इसलिए हम पाँचों स्वरों (AEIOU) तथातीनों व्यंजनों (QTN) को एक एक अक्षर मान कर उसका क्रमचय ज्ञात कर सकते हैं।
इस प्रकार अब केवल 2 अक्षर हैं जिनका क्रमचय = \( {^2}P_2 = 2! \)
सभी स्वरआपस में \( 5! \) तरीकों से पुनर्व्यवस्थित हो सकते हैं और इसी प्रकार व्यंजन \( 3! \) तरीकों से पुनर्व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः, गुणनप्रमेय से, बनने वाले शब्दों की अभीष्ट संख्या = \( 2! \times 5! \times 3! = 1440 \)
मुख्य बिंदु:
• जब कुछ अक्षर हमेशा साथ रहें, उन्हें एक इकाई (group) मान लेना।
• समूहों का आपस में क्रमचय निकालना।
• समूह के अंदर के अक्षरों का आंतरिक क्रमचय निकालना।
आम गलतियाँ:
• समूहों को आपस में व्यवस्थित करना भूल जाना।
• समूह के अंदर के अक्षरों के क्रमचय को छोड़ देना।
• गुणनप्रमेय की जगह योग नियम का प्रयोग करना।
Exam Tips:
a) 'एक साथ' वाले प्रश्नों में हमेशा ब्लॉक या समूह विधि (Group Method) का प्रयोग करें।
b) अंतिम उत्तर निकालते समय सभी भागों के फैक्टोरियल का गुणा करना न भूलें।
c) प्रश्न के प्रत्येक शब्द को ध्यान से समझें।
Question 3: 9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है यह कितने प्रकार से किया जा सकता है, जबकि समिति में,
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
Answer:
दियाहै: 9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है।
(i) समिति में केवल 3 लड़कियाँ हैं, इसलिए लड़कों की संख्या = \( (7 - 3) = 4 \)
अतः, समितिबनानेकेअभीष्टप्रकार = \( {^4}C_3 \times {^9}C_4 = \frac{4!}{3! 1!} \times \frac{9!}{4! 5!} \)
\( = \frac{4 \times 3!}{3!} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4! \times 5!} = 4 \times 126 = 504 \)
(ii) समिति बनाने के लिए न्यूनतम 3 लड़कियों का चयन आवश्यक है। यहाँ हम निम्नलिखित दो तरीकों से कर सकते हैं:
(a) 3 लड़कियाँ और 4 लड़के या (b) 4 लड़कियाँ और 3 लड़के
3 लड़कियों और 4 लड़कों का चयन \( {^4}C_3 \times {^9}C_4 \) तरीकों से किया जा सकता है।
4 लड़कियों और 3 लड़कों का चयन \( {^4}C_4 \times {^9}C_3 \) तरीकों से किया जा सकता है।
अतः, समिति बनाने के कुल अभीष्ट तरीके = \( {^4}C_3 \times {^9}C_4 + {^4}C_4 \times {^9}C_3 = 504 + 84 = 588 \)
(iii) यहीं हमें अधिकतम 3 लड़कियों का चयन करना है, इसलिए यह निम्नलिखित तरीकों से किया जा सकता है:
(a) 3 लड़कियों और 4 लड़के (b) 2 लड़कियों और 5 लड़के (c) 1 लड़की और 6 लड़के (d) केवल 7 लड़के
3 लड़कियों और 4 लड़कों का चयन \( {^4}C_3 \times {^9}C_4 \) तरीकों से किया जा सकता है।
2 लड़कियों और 5 लड़कों का चयन \( {^4}C_2 \times {^9}C_5 \) तरीकों से किया जा सकता है।
1 लड़की 6 लड़कों का चयन \( {^4}C_1 \times {^9}C_6 \) तरीकों से किया जा सकता है।
कोई लड़की न हो केवल 7 लड़कों का चयन \( {^4}C_0 \times {^9}C_7 \) किया जा सकता है।
अतः, इस स्थिति में समिति बनाने की अभीष्ट संख्या = \( {^4}C_3 \times {^9}C_4 + {^4}C_2 \times {^9}C_5 + {^4}C_1 \times {^9}C_6 + {^4}C_0 \times {^9}C_7 \)
\( = \frac{4!}{3! 1!} \times \frac{9!}{4! 5!} + \frac{4!}{2! 2!} \times \frac{9!}{5! 4!} + \frac{4!}{1! 3!} \times \frac{9!}{6! 3!} + \frac{4!}{0! 4!} \times \frac{9!}{7! 2!} = 504 + 756 + 336 + 36 = 1632 \)
मुख्य बिंदु:
• 'तथ्यतः' (Exactly) का अर्थ एक निश्चित संख्या चुनना है।
• 'न्यूनतम' (At least) का अर्थ दी गई संख्या या उससे अधिक चुनना है।
• 'अधिकतम' (At most) का अर्थ शून्य से लेकर दी गई संख्या तक चुनना है।
आम गलतियाँ:
• न्यूनतम या अधिकतम वाले प्रश्नों में मामलों (cases) को छोड़ देना।
• संचय के योग नियम और गुणन नियम में भ्रमित होना।
• लड़के और लड़कियों की कुल संख्या का सही योग न मिलाना।
Exam Tips:
a) 'या' (OR) की स्थिति में संचयों को जोड़ा जाता है और 'और' (AND) की स्थिति में गुणा किया जाता है।
b) न्यूनतम और अधिकतम वाले प्रश्नों के सभी संभव केस स्पष्ट रूप से लिखें।
c) गणना करते समय कैन्सिलेशन विधि का प्रयोग करें।
Question 4: यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोश की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारंभ होने वाले शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?
Answer:
दिए गए शब्द EXAMINATION में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें से A, I और N दो-दो बार हैं और अन्य सभी एक-एक बार हैं।
E से प्रारंभ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व बनने वाले शब्द वे हैं जो अक्षर A से प्रारंभ होते हैं। इसलिए A से प्रारंभ होने वाले शब्द ज्ञात करने के लिए पहले स्थान पर A अक्षर को रखकर शेष 10 को पुनर्व्यवस्थित करते हैं।
क्योंकि अक्षरों में 2 बार 'I' तथा 2 बार 'N' है, इसलिए A से आरंभ होने वाले शब्दों की संख्या
\( = \frac{10!}{2! 2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 1!} = 907200 \)
अतः, शब्दों की अभीष्ट संख्या 907200 है।
मुख्य बिंदु:
• शब्दकोश (Dictionary) क्रम में पहले आने वाले अक्षरों को प्राथमिकता देना।
• पुनरावृत्ति वाले अक्षरों के लिए फैक्टोरियल से भाग देना।
• निश्चित अक्षर से पहले आने वाले सभी संभावित शब्दों की गणना करना।
आम गलतियाँ:
• पुनरावृत्ति वाले अक्षरों (दो बार I और N) को भाग देना भूल जाना।
• कुल अक्षरों की संख्या की गिनती में गलती करना।
• E से पहले आने वाले शुरुआती अक्षर (A) को ठीक से न पहचानना।
Exam Tips:
a) शब्दकोश वाले प्रश्नों में वर्णमाला (Alphabetical order) का सख्ती से पालन करें।
b) जिस अक्षर से शुरू करना हो, उससे पहले आने वाले हर वर्ण के लिए अलग केस बनाएं।
c) बड़े फैक्टोरियल को हल करते समय चरणों में काटें।
Question 5: 0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से, 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
Answer:
यदि कोई संख्या 10 से विभाजित है तो उसका इकाई का अंक 0 होगा।
इसलिए, हम 0 को इकाई के स्थान पर स्थाई कर सकते हैं।
इस प्रकार, हमें बचे हुए 5 स्थानों को शेष 5 अंकों (अर्थात 1, 3, 5, 7 और 9) से भरना है: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [0]
इन 5 स्थानों को भरने के कुल 5! तरीके होंगे।
अतः, 6-अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या = \( 5! = 120 \)
मुख्य बिंदु:
• 10 से विभाज्यता का नियम यह है कि इकाई का अंक हमेशा 0 होना चाहिए।
• एक स्थान निश्चित होने के बाद शेष स्थानों के लिए क्रमचय निकालना।
• अंकों की पुनरावृत्ति न होने की शर्त का ध्यान रखना।
आम गलतियाँ:
• इकाई के स्थान पर 0 के अलावा अन्य अंक रख देना।
• कुल 6 अंकों की बजाय 5 अंकों का क्रमचय निकाल देना।
• पुनरावृत्ति वर्जित होने की शर्त को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) विभाज्यता के नियमों का प्रयोग करके सबसे पहले निश्चित स्थानों को भरें।
b) खाली स्थानों (blanks) का चित्र बनाकर हल करना आसान होता है।
c) फैक्टोरियल के मान सीधे याद रखें (जैसे \( 5! = 120 \))।
Question 6: अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं। इस वर्णमाला से 2 भिन्न स्वर और 2 भिन्नव्यंजन लेकर उससे शब्द बनाने की रचना की जा सकती है?
Answer:
प्रश्र के अनुसार, अंग्रेजी वर्णमाला में से 2 भिन्नस्वर और 2 भिन्नव्यंजन लेकर उससे शब्द बनाने हैं।
अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर होते हैं। इसलिए, वर्णमाला में से (अर्थात 5 स्वर में से) 2 स्वरों का चयन करने के कुल तरीके
\( = {^5}C_2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
वर्णमाला में 21 व्यंजन होते हैं।
इसलिए, वर्णमाला में से (अर्थात 21 व्यंजनों में से) 2 व्यंजनों का चयन करने के कुल तरीके
\( = {^21}C_2 = \frac{21 \times 20 \times 19!}{2! 19!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210 \)
इसप्रकार, 2भिन्नस्वरऔर2भिन्नव्यंजनोंसेबनेवालेशब्दोंकीसंख्या = \( 10 \times 210 = 2100 \)
सभी 2100 संचयों में 4 अक्षरहैं और इन चारो को हम \( 4! \) तरीकों से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
अतः, दो स्वरों और दो व्यंजनों से बनने वाले शब्दों की संख्या = \( 2100 \times 4! = 50400 \)
मुख्य बिंदु:
• दिए गए स्वरों में से आवश्यक स्वर चुनना।
• दिए गए व्यंजनों में से आवश्यक व्यंजन चुनना।
• चयनित सभी अक्षरों को आपस में व्यवस्थित करने के लिए \( 4! \) से गुणा करना।
आम गलतियाँ:
• केवल चयन (selection) करके छोड़ देना, शब्दों की रचना (arrangement) के लिए \( 4! \) से गुणा करना भूल जाना।
• स्वर और व्यंजन की कुल संख्या में भ्रमित होना।
• संयोजन और क्रमचय के चरणों को अलग न करना।
Exam Tips:
a) जब भी 'शब्द बनाने' (form words) कहा जाए, चयन के बाद हमेशा क्रमचय (arrangement) करना अनिवार्य है।
b) चयन के लिए \( C \) और व्यवस्था के लिए \( P \) या फैक्टोरियल का प्रयोग करें।
c) गणना को आसान बनाने के लिए फ़ैक्टोरियल को संक्षिप्त करें।
Question 7: किसी परीक्षा के एक प्रश्नपत्र में 12 प्रश्न हैं जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खंडों में विभक्त हैं और खंड II, एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?
Answer:
दिया है कि प्रश्न पत्र में 12 प्रश्न हैं जिसमें से 5 प्रथम खंड तथा 7 द्वितीय खंड में हैं। विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। यह निम्न प्रकार से हो सकता है:
(a) प्रश्नखंड I से और 5 प्रश्न खंड II से
(b) 4 प्रश्नखंड I से और 4 प्रश्न खंड II से
(c) 5 प्रश्नखंड I से और 3 प्रश्न खंड II से
3 प्रश्नखंड I से और 5 प्रश्न खंड II से चयन करने के तरीके = \( {^5}C_3 \times {^7}C_5 \)
4 प्रश्नखंड I से और 4 प्रश्न खंड II से चयन करने के तरीके = \( {^5}C_4 \times {^7}C_4 \)
5 प्रश्नखंड I से और 3 प्रश्न खंड II से चयन करने के तरीके = \( {^5}C_5 \times {^7}C_3 \)
अतः, प्रश्नों को चुनने की अभीष्ट संख्या
\( = {^5}C_3 \times {^7}C_5 + {^5}C_4 \times {^7}C_4 + {^5}C_5 \times {^7}C_3 \)
\( = \frac{5!}{3! 2!} \times \frac{7!}{5! 2!} + \frac{5!}{4! 1!} \times \frac{7!}{4! 3!} + \frac{5!}{5! 0!} \times \frac{7!}{3! 4!} \)
\( = 210 + 175 + 35 = 420 \)
मुख्य बिंदु:
• दोनों खंडों से प्रश्नों के चयन की विभिन्न संभावनाओं (cases) को बनाना।
• प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्न और कुल 8 प्रश्न होने की शर्त का पालन करना।
• सभी संभव मामलों के संचयों को आपस में जोड़ना।
आम गलतियाँ:
• कुल प्रश्नों की संख्या (8) का ध्यान रखे बिना कोई भी संयोजन बना लेना।
• न्यूनतम 3 प्रश्नों की शर्त को भूल जाना।
• मामलों को गुणा करना जबकि उन्हें आपस में जोड़ा जाना चाहिए।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में तालिकाओं (tables) या स्पष्ट केस बनाकर हल करें ताकि कोई संभावना छूटे नहीं।
b) खंडों के प्रश्नों का योग हमेशा कुल आवश्यक प्रश्नों (जैसे 8) के बराबर होना चाहिए।
c) संयोजन की गणना सावधानीपूर्वक करें।
Question 8: 52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।
Answer:
ताश के 52 पत्तों की गड्डी में 4 बादशा होते हैं। हमें 5 पत्तों के प्रत्येक चयन में तथ्यतः एक बादशाह रखना है।
इसलिए, 4 बादशाहों में से 1 के चयन के तरीके = \( {^4}C_1 \)
और बचे हुए 48 पत्तों में से 4 पत्तों के चयन के तरीके = \( {^48}C_4 \)
अतः, गुणन नियम से, 5 पत्तों चयन से बननेवाले संचयों की संख्या
\( = {^4}C_1 \times {^48}C_4 = \frac{4!}{1!(4 - 1)!} \times \frac{48!}{4!(48 - 4)!} \)
\( = \frac{4 \times 3!}{3!} \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44!}{4! \times 44!} \)
\( = 4 \times 194580 = 778320 \)
मुख्य बिंदु:
• ताश की गड्डी में कुल पत्ते (52) और बादशाओं की संख्या (4) की जानकारी होना।
• तथ्यतः एक बादशा का चयन करने के लिए बाकी पत्ते अन्य 48 में से चुनना।
• गुणन प्रमेय (Multiplication principle) का उपयोग करके संचय निकालना।
आम गलतियाँ:
• बादशा को कुल पत्तों में से घटाते समय गलती करना।
• 5 पत्तों में से बादशा निकालने के बाद शेष पत्तों की सही संख्या (48) न लेना।
• बड़े फैक्टोरियल को हल करने में कैलकुलेशन त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) ताश के पत्तों से जुड़े प्रश्नों में हमेशा मानक आँकड़ों (जैसे 52 पत्ते, 4 सूट, 4 बादशा) का ध्यान रखें।
b) 'तथ्यतः' का अर्थ है कि बिल्कुल उतने ही (न कम, न ज़्यादा)।
c) गणना को सरल बनाने के लिए बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर काटें।
Question 9: 5 पुरुष और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार के कितने विन्यास संभव हैं?
Answer:
दियाहै: 5 पुरुष और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठना है कि महिलाएँ सम स्थानों पर हों।
5 पुरुषों के बैठने के कुल तरीके = \( 5! \)
अब, 4 महिलाएँ सम स्थानों पर बैठ सकती है जहाँ \(\times\) चिन्ह लगा है।
\( M \times M \times M \times M \times M \)
इसप्रकार, औरतों के बैठने के कुल तरीके = \( 4! \)
अतः, पुरुषों और महिलाओं के बैठने के अभीष्ट विन्यास = \( 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880 \)
मुख्य बिंदु:
• सम स्थानों पर महिलाओं को बैठाने की स्थिति को समझना।
• पुरुषों के बैठने के लिए विषम स्थानों का उपयोग करना।
• दोनों समूहों के क्रमचयों को आपस में गुणा करना।
आम गलतियाँ:
• सम और विषम स्थानों की स्थिति में भ्रमित होना।
• महिलाओं और पुरुषों के क्रमचयों को अलग-अलग निकालने के बाद गुणा न करना।
• स्थानों की संख्या की सही गिनती न करना।
Exam Tips:
a) बैठने की व्यवस्था (Seating arrangement) के प्रश्नों में पहले स्वतंत्र समूह को बैठाएं।
b) प्रतिबंधित स्थानों (जैसे सम स्थान) को चित्रों या प्रतीकों द्वारा दर्शाएं।
c) फैक्टोरियल मानों की त्वरित गणना का अभ्यास करें।
Question 10: 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से, 10 का चयन एक भ्रमण-दल के लिए किया जाता है। 3 विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण-दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?
Answer:
दि याहै: 25 विद्यार्थियों में से 10 का चयन एक भ्रमण-दल के लिए करना है।
3 विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या तो वे तीनों दल में शामिल नहीं होगा। यहाँ दो स्थितियाँ बन जाती हैं:
स्थिति I: जब तीनों दल में शामिल होंगे।
तब, दल में जाने के लिए 7 और विद्यार्थियों को शेष 22 विद्यार्थियों में से चुनने के तरीके = \( {^22}C_7 \)
स्थिति II: जब तीनों में से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा।
तब, दल में जाने के लिए सभी 10 विद्यार्थियों को शेष 22 विद्यार्थियों में से चुनने के तरीके = \( {^22}C_{10} \)
अतः, भ्रमण दल में जाने वाले विद्यार्थियों को चुनने की अभीष्ट संख्या = \( {^22}C_7 + {^22}C_{10} \)
मुख्य बिंदु:
• विशेष शर्तों वाले विद्यार्थियों के लिए अलग-अलग स्थितियाँ (cases) बनाना।
• पहली स्थिति में जब वे शामिल हों, तब बाकी चयन करना।
• दूसरी स्थिति में जब वे शामिल न हों, तब कुल सदस्यों का चयन करना।
आम गलतियाँ:
• दोनों स्थितियों को आपस में गुणा कर देना जबकि उन्हें जोड़ा जाना चाहिए।
• शेष विद्यार्थियों की संख्या (22) निकालने में गलती करना।
• विशेष छात्रों की संख्या को कुल चयन में से ठीक से न घटाना।
Exam Tips:
a) 'या तो सभी शामिल होंगे या कोई नहीं' वाले प्रश्नों में हमेशा दो केस बनते हैं।
b) संचय के नियमों का प्रयोग करते हुए योग नियम (Addition Rule) लगाएं।
c) प्रश्नों की भाषा को बहुत सावधानी से पढ़ें।
Question 11: ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं, जबकि सभी 'S' एक साथ रहें?
Answer:
दिए गए शब्द ASSASSINATION में, A अक्षर 3 बार, S अक्षर 4 बार, I अक्षर 2 बार, N अक्षर 2 बार तथा अन्य सभी अक्षर एक-एक बार हैं।
दिया है कि सभी शब्दों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करना है कि सभी 'S' एक साथ रहें अर्थात् SSSS को हम एक अक्षर मान सकते हैं। इसे एक अक्षर मानने पर, शब्द के शेष 9 अक्षरों के साथ अब कुल 10 अक्षर हो जायेंगे।
इसलिए, 10 अक्षरों का क्रमचय (जिसमें 3 बार 'A' है, 2 बार 'I' और 2 बार 'N' है) निम्नलिखित प्रकार से है:
\( \frac{10!}{3! 2! 2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 151200 \)
शब्दों के अक्षरों से बनने वाले अभीष्ट विन्यास = 151200.
मुख्य बिंदु:
• एक साथ रहने वाले सभी अक्षरों (SSSS) को एक একক (group) मानना।
• समूह को शामिल करके कुल अक्षरों की नई संख्या ज्ञात करना।
• पुनरावृत्ति वाले अन्य अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग देना।
आम गलतियाँ:
• 'S' को एक साथ रखने के बाद समूह के भीतर के क्रमचय पर विचार करना (यहाँ सभी S एक जैसे हैं इसलिए आंतरिक क्रमचय 1 होगा)।
• पुनरावृत्ति वाले अन्य अक्षरों (A, I, N) की गिनती भूल जाना।
• फैक्टोरियल की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) जब एक ही प्रकार के कई अक्षर साथ हों, उन्हें सिंगल यूनिट मानकर हल करें।
b) पुनरावृत्ति (Repetition) वाले अक्षरों से भाग देना कभी न भूलें।
c) कैलकुレーション को स्टेप-बाय-स्टेप सरल बनाएं।
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