NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 06 Permutations and Combinations (क्रमचय और संचय) Exercise 6.4 in Hindi

Question 1: यदि \( {}^{8}C_{r} = {}^{2}C_{2} \), तो \( {}^{r}C_{2} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{2} \)
हम जानते हैं कि यदि \( {}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \), तब \( a = b \) या \( a + b = n \) होता है।
यहाँ \( r \neq 2 \) है, इसलिए \( r + 2 = 8 \)
\( r = 8 - 2 = 6 \)
अब हमें \( {}^{r}C_{2} \) का मान ज्ञात करना है, इसलिए \( {}^{6}C_{2} \) की गणना करते हैं:
\( {}^{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} \)
\( = \frac{6!}{2! \times 4!} \)
\( = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} \)
\( = \frac{30}{2} = 15 \)

मुख्य बिंदु:

• संचय के गुणधर्म \( {}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \implies a = b \) या \( a + b = n \) का प्रयोग किया गया है।
• फैक्टोरियल को सरल करने के लिए बड़े मान को छोटे मान तक फैलाया जाता है।
• संयोजन सूत्र \( {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• छात्र अक्सर \( r = 2 \) मान लेते हैं जबकि प्रश्न में \( {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{2} \) दिया होने पर \( r \) के दो मान संभव हैं।
• फैक्टोरियल हल करते समय कैंसिलेशन में गलती करना।
• गणना में भाग देने में भूल करना।

Exam Tips:

a) गुणधर्म लिखते समय कारण स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पंक्तियों में लिखें ताकि जांचने वाले को आसानी ہو۔
c) अंतिम उत्तर निकालते समय इकाई और गणना की दोबारा जाँच करें।

Question 2: \( n \) का मान निकालिए, यदि
(i) \( {}^{2n}C_{3} : {}^{n}C_{3} = 12 : 1 \)
(ii) \( {}^{2n}C_{3} : {}^{n}C_{3} = 11 : 1 \)

Answer:

(i) दिया गया अनुपात है: \( {}^{2n}C_{3} : {}^{n}C_{3} = 12 : 1 \)
इसे भिन्न के रूप में लिखने पर:
\( \frac{{}^{2n}C_{3}}{{}^{n}C_{3}} = \frac{12}{1} \)
सूत्र लगाने पर:
\( \frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{12}{1} \)
\( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = 12 \)
फैक्टोरियल को विस्तारित करने पर:
\( \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12 \)
\( \frac{2n(2n-1) \times 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12 \)
\( \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12 \)
\( \frac{2n-1}{n-2} = 3 \)
\( 2n - 1 = 3(n - 2) \)
\( 2n - 1 = 3n - 6 \)
\( n = 5 \)

(ii) दिया गया अनुपात है: \( {}^{2n}C_{3} : {}^{n}C_{3} = 11 : 1 \)
इसी प्रकार हल करने पर:
\( \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11 \)
\( 4(2n - 1) = 11(n - 2) \)
\( 8n - 4 = 11n - 22 \)
\( 3n = 18 \)
\( n = 6 \)

मुख्य बिंदु:

• अनुपात को भिन्न में बदलकर संचय का सूत्र लगाना।
• समान फैक्टोरियल पदों को आपस में काटना।
• रैखिक समीकरण को हल करके \( n \) का मान ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• फैक्टोरियल खोलते समय गलत पद बाहर निकालना।
• गुणा करते समय चिन्हों की गलती करना।
• अनुपात को हल करते समय व्युत्क्रम (reciprocal) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को अलग-अलग स्पष्ट चरणों में हल करें।
b) हर चरण में ब्रैकेट का सही उपयोग करें।
c) अंतिम उत्तर प्राप्त करने के बाद प्रश्न में मान रखकर संतुष्टि (verification) कर लें।

Question 3: किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?

Answer:

किसी वृत्त की एक जीवा खींचने के लिए केवल 2 बिन्दुओं की आवश्यकता होती है।
वृत्त के 21 बिन्दुओं में से बनने वाली कुल जीवाओं के संचय की संख्या ज्ञात करनी होगी।
वृत्त पर दिए गए 21 बिन्दुओं में से किन्हीं 2 बिन्दुओं को एक साथ लेने पर एक जीवा बनती है।
इसलिए, जीवाओं की संख्या = \( {}^{21}C_{2} \)
\( {}^{21}C_{2} = \frac{21!}{2!(21-2)!} \)
\( = \frac{21!}{2! \times 19!} \)
\( = \frac{21 \times 20 \times 19!}{2 \times 1 \times 19!} \)
\( = \frac{21 \times 20}{2} \)
\( = 21 \times 10 = 210 \)
अतः वृत्त के 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कुल 210 जीवाएँ बनाई जा सकती हैं।

मुख्य बिंदु:

• एक जीवा के निर्माण के लिए ठीक 2 बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
• यहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं है, इसलिए क्रमचय के स्थान पर संचय का प्रयोग होता है।
• \( {}^{n}C_{2} \) का सीधा सूत्र उपयोग किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• इस प्रश्न में क्रमचय (Permutation) का प्रयोग कर देना।
• बिंदुओं की कुल संख्या 21 के स्थान पर गलत मान रख देना।
• गणना में दो से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों में पहले यह स्पष्ट करें कि संचय लगेगा या क्रमचय।
b) सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।

Question 4: 5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?

Answer:

दिया है: 5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीम बनानी है।
3 लड़कों को दिए गए 5 लड़कों में से चुनने के \( {}^{5}C_{3} \) तरीके होंगे।
3 लड़कियों को दिए गए 4 लड़कियों के समूह से चुनने के \( {}^{4}C_{3} \) तरीके होंगे।
गणन सिद्धांत (Multiplication Principle) द्वारा, 5 लड़के में से 3 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़कियों को चुनने के कुल तरीके:
\( = {}^{5}C_{3} \times {}^{4}C_{3} \)
\( = \frac{5!}{3!(5-3)!} \times \frac{4!}{3!(4-3)!} \)
\( = \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \)
\( = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} \)
\( = 10 \times 4 = 40 \)
अतः कुल 40 तरीके हैं।

मुख्य बिंदु:

• लड़कों और लड़कियों का चयन स्वतंत्र रूप से होता है, इसलिए दोनों संचयों का गुणन किया जाता है।
• संयोजन सूत्र का प्रयोग करके अलग-अलग मान निकाले जाते हैं।
• कुल तरीकों के लिए गुणन सिद्धांत का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• चयन के तरीकों को आपस में जोड़ने (Addition) की गलती करना जबकि यहाँ गुणा करना होता है।
• फैक्टोरियल के प्रसार में मान गलत लिखना।

Exam Tips:

a) 'और' (And) शब्द आने पर हमेशा गुणा (Multiplication) किया जाता है, इसे ध्यान रखें।
b) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।
c) अंतिम गणना सावधानीपूर्वक करें।

Question 5: 6 लाल रंग की, 5 सफ़ेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।

Answer:

दिया है कि: 6 लाल रंग की, 5 सफ़ेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदें हैं।
प्रत्येक रंग की तीन गेंदें चुनते हुए हमें कुल 9 गेंदें चुनنی हैं।
यहाँ, दी गई 6 लाल गेंदों में से 3 चुनने के \( {}^{6}C_{3} \) तरीके होंगे।
दी गई 5 सफ़ेद गेंदों में से 3 चुनने के \( {}^{5}C_{3} \) तरीके होंगे।
दी गई 5 नीले गेंदों में से 3 चुनने के \( {}^{5}C_{3} \) तरीके होंगे।
अतः, प्रत्येक रंग की 3 गेंदों को चुनते हुए कुल चयन के कुल तरीके:
\( = {}^{6}C_{3} \times {}^{5}C_{3} \times {}^{5}C_{3} \)
\( = \frac{6!}{3!(6-3)!} \times \frac{5!}{3!(5-3)!} \times \frac{5!}{3!(5-3)!} \)
\( = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{5!}{3! \times 2!} \)
\( = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} \)
\( = 20 \times 10 \times 10 = 2000 \)

मुख्य बिंदु:

• तीनों रंगों से चयन स्वतंत्र है, इसलिए गुणन नियम लागू होता है।
• प्रत्येक रंग के लिए अलग से \( nCr \) की गणना की जाती है।
• बड़े व्यंजकों को सरल करके गुणा करना।

आम गलतियाँ:

• संख्याओं को आपस में जोड़ देना।
• प्रत्येक रंग में से गेंदों की संख्या में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई प्रत्येक शर्त को ध्यान से पढ़ें।
b) गणना को खंडों में विभाजित करें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
c) अंत में तीनों भागों के मानों का गुणन ठीक से करें।

Question 6: 52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का है।

Answer:

ताश के 52 पत्तों की गड्डी में 4 इक्के होते हैं।
हमें 5 पत्तों के संचय बनाने हैं जिसमें तथ्यतः एक इक्का हो।
इसलिए, 4 इक्कों में से केवल एक इक्का चुनने के कुल \( {}^{4}C_{1} \) तरीके होंगे।
अब बचे हुए 48 पत्तों की गड्डी से अन्य 4 पत्तों को चुनने के \( {}^{48}C_{4} \) तरीके होंगे।
अतः, गुणन सिद्धांत द्वारा, पाँच पत्तों को लेकर संचय बनाने के कुल तरीके:
\( = {}^{4}C_{1} \times {}^{48}C_{4} \)
\( = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{48!}{4!(48-4)!} \)
\( = \frac{4!}{1! \times 3!} \times \frac{48!}{4! \times 44!} \)
\( = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44!} \)
\( = 4 \times 194580 = 778320 \)

मुख्य बिंदु:

• ताश की गड्डी की कुल संरचना (इक्के, अन्य पत्ते) की जानकारी होना आवश्यक है।
• तथ्यतः एक इक्का होने का अर्थ है कि शेष 4 पत्ते अन्य 48 पत्तों से आएंगे।
• गुणन सिद्धांत का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• कुल पत्तों में से इक्कों की संख्या न घटाना।
• बड़े फैक्टोरियल को हल करने में गणना की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) मानक ताश की गड्डी के बारे में बुनियादी जानकारी स्पष्ट रखें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
c) बड़ी संख्याओं के गुणा में समय बचाते हुए सावधानी बरतें।

Question 7: 17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?

Answer:

दिया है: 17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं।
हमें एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन इस प्रकार करना है कि इसमें केवल 4 गेंदबाज हों।
कुल 5 गेंदबाजों में से केवल चार गेंदबाज \( {}^{5}C_{4} \) तरीके से चुन सकते हैं।
टीम बनाने के लिए शेष 7 खिलाड़ियों को बचे हुए 12 खिलाड़ियों में से चुनने के \( {}^{12}C_{7} \) तरीके होंगे।
अतः, गुणन सिद्धांत द्वारा, क्रिकेट टीम के चयन के कुल तरीके:
\( = {}^{5}C_{4} \times {}^{12}C_{7} \)
\( = \frac{5!}{4!(5-4)!} \times \frac{12!}{7!(12-7)!} \)
\( = \frac{5!}{4! \times 1!} \times \frac{12!}{7! \times 5!} \)
\( = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
\( = 5 \times 792 = 3960 \)

मुख्य बिंदु:

• टीम कुल 11 खिलाड़ियों की होनी चाहिए जिसमें 4 गेंदबाज अनिवार्य हैं।
• शेष 7 खिलाड़ी गैर-गेंदबाजों (17 - 5 = 12) में से चुने जाएंगे।
• दोनों संचयों का गुणनफल कुल तरीके देगा।

आम गलतियाँ:

• शेष खिलाड़ियों की संख्या निकालते समय कुल खिलाड़ियों में से गेंदबाजी करने वाले खिलाड़ियों को न घटाना।
• \( {}^{12}C_{7} \) को हल करते समय बड़ी संख्याओं के काटने में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न की शर्तों को उप-भागों (गेंदबाज और अन्य खिलाड़ी) में बाँटकर हल करें।
b) कैंसिलेशन विधि का सही प्रयोग करके गणना को सरल बनाएँ।
c) अंतिम उत्तर के साथ इकाई या संदर्भ लिखें।

Question 8: एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंद हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।

Answer:

दिया है: थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंद हैं।
5 काली गेंदों में से दो गेंद चुनने के कुल \( {}^{5}C_{2} \) तरीके होंगे।
6 लाल गेंदों में से तीन लाल गेंदों के चुनने के कुल \( {}^{6}C_{3} \) तरीके होंगे।
अतः, गुणन सिद्धांत द्वारा, 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की अभीष्ट संख्या:
\( = {}^{5}C_{2} \times {}^{6}C_{3} \)
\( = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} \)
\( = \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{6!}{3! \times 3!} \)
\( = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} \)
\( = 10 \times 20 = 200 \)

मुख्य बिंदु:

• काली और लाल गेंदों का चयन स्वतंत्र रूप से किया जाता है।
• \( {}^{5}C_{2} \) और \( {}^{6}C_{3} \) की अलग-अलग गणना की जाती है।
• दोनों के परिणामों का गुणनफल कुल तरीके देता है।

आम गलतियाँ:

• चयन के तरीकों को आपस में जोड़ना।
• फैक्टोरियल के प्रसार में मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न को ध्यान से पढ़कर पहचानें कि कौन सा संयोजन किस रंग के लिए है।
b) सरल गणना चरणों का पालन करें।
c) अंतिम उत्तर की दोबारा जाँच करें।

Question 9: 9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?

Answer:

दिया है: विद्यार्थियों को 9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, सं 5 पाठ्यक्रमों का चयन करना है। तथा प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं।
विशिष्ट पाठ्यक्रम में से दोनों को चुनने के कुल \( {}^{2}C_{2} \) तरीके होंगे।
बचे हुए 7 पाठ्यक्रमों में से किसी तीन को चुनने के कुल \( {}^{7}C_{3} \) तरीके होंगे।
अतः, गुणन सिद्धांत द्वारा, पाँच पाठ्यक्रमों के चयन की अभीष्ट संख्या:
\( = {}^{2}C_{2} \times {}^{7}C_{3} \)
\( = \frac{2!}{2!(2-2)!} \times \frac{7!}{3!(7-3)!} \)
\( = \frac{2!}{2! \times 0!} \times \frac{7!}{3! \times 4!} \)
\( = 1 \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} \)
\( = 1 \times 35 = 35 \)

मुख्य बिंदु:

• अनिवार्य पाठ्यक्रमों को कुल चयन में से पहले ही निश्चित कर दिया जाता है।
• बचे हुए पाठ्यक्रमों में से ही अतिरिक्त चयन किया जाता है।
• \( 0! = 1 \) का उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अनिवार्य पाठ्यक्रमों को दोबारा कुल पाठ्यक्रमों में गिन लेना।
• \( {}^{2}C_{2} \) के मान को 1 न समझकर गलत हल करना।

Exam Tips:

a) अनिवार्य शर्तों को सबसे पहले समीकरण में समायोजित करें।
b) \( 0! \) के मान को हमेशा 1 याद रखें।
c) अंत में गुणन की प्रक्रिया सावधानी से पूरी करें।