Download NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 06 क्रमचय और संचय
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Question 1: 1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितने 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
Answer:
कुल उपलब्ध अंक = 9
हमें 3 अंकीय संख्याएँ बनानी हैं और अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है।
अतः 3 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या \( {}^{9}P_{3} \) होगी।
\( = \frac{9!}{(9 - 3)!} \)
\( = \frac{9!}{6!} \)
\( = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} \)
\( = 9 \times 8 \times 7 = 504 \)
मुख्य बिंदु:
• क्रमचय (Permutation) का प्रयोग तब किया जाता है जब क्रम का महत्व हो।
• यहाँ n = 9 और r = 3 है क्योंकि 9 में से 3 अंकों को चुनकर व्यवस्थित करना है।
• फैक्टोरियल को हल करते समय बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के पदों में तोड़ा जाता है।
आम गलतियाँ:
• छात्र n और r के मानों को आपस में बदल देते हैं।
• फैक्टोरियल के प्रसार में गणना संबंधी त्रुटि कर देना।
• पुनरावृत्ति न होने के नियम को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) सूत्र \( {}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) समान पदों को काटकर गणना को सरल बनाएं।
c) अंत में उत्तर की इकाई लिखना न भूलें।
Question 2: किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
Answer:
कुल अंक 0 से 9 तक कुल 10 हैं।
4 अंकीय संख्या का हजार का स्थान 0 नहीं हो सकता, अतः हजार के स्थान को भरने के तरीके = 9
बाकी सैकड़े, दहाई और इकाई के स्थानों को शेष 9 अंकों से भरा जा सकता है (चूँकि एक अंक हजार के स्थान पर आ चुका है और अंकों की पुनरावृत्ति नहीं है)।
हजार, सैकड़े, दहाई और इकाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 9 \times 9 \times 8 \times 7 \)
\( = 4536 \)
मुख्य बिंदु:
• 4 अंकीय संख्या के पहले स्थान पर कभी भी 0 नहीं आ सकता।
• दूसरे स्थान से 0 को शामिल किया जा सकता है।
• गुणन सिद्धांत का यहाँ सही उपयोग महत्वपूर्ण है।
आम गलतियाँ:
• हजार के स्थान पर 0 को गिन लेना जिससे संख्या 3 अंकीय बन जाती है।
• कुल अंकों की संख्या में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक स्थान (हजार, सैकड़ा, दहाई, इकाई) के लिए विकल्पों को अलग से समझाएं।
b) गुणन सिद्धांत (Fundamental Principle of Counting) का उल्लेख करें।
c) अंतिम चरण की गुणा सावधानी से करें।
Question 3: अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
Answer:
कुल दिए गए अंक = {1, 2, 3, 4, 6, 7} (कुल 6 अंक)
3 अंकीय सम संख्या बनाने के लिए इकाई के स्थान पर केवल सम अंक (2, 4, 6) ही आ सकते हैं।
अतः इकाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = 3
अब दहाई और सैकड़े के स्थान के लिए शेष अंक = 5
शेष 5 अंकों से दहाई और इकाई के लिए 2 अंक लेकर बनने वाले क्रमचय = \( {}^{5}P_{2} \)
\( = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 20 \)
अतः गुणन सिद्धांत से, 3 अंकीय सम संख्याओं की अभीष्ट संख्या = \( 3 \times 20 = 60 \)
मुख्य बिंदु:
• सम संख्या के लिए इकाई के स्थान पर सम अंक होना अनिवार्य है।
• प्रतिबंध वाले स्थान को पहले भरा जाता है।
• कुल संख्या निकालने के लिए अलग-अलग तरीकों का गुणन किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• सम अंकों की संख्या को गलत गिनना।
• प्रतिबंध वाले स्थान को अंत में भरना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले प्रतिबंध वाले स्थान (इकाई का स्थान) को हल करें।
b) बचे हुए अंकों के लिए क्रमचय के सूत्र का प्रयोग करें।
c) सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 4: अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इसमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
Answer:
दिए गए अंक = 1, 2, 3, 4, 5 (कुल 5 अंक)
4 अंकीय कुल संख्याएँ = \( {}^{5}P_{4} \)
\( = \frac{5!}{(5 - 4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
सम संख्याओं के लिए, इकाई के स्थान पर 2 या 4 आ सकता है, अतः इकाई के स्थान को भरने के तरीके = 2
शेष 3 स्थानों को शेष 4 अंकों से भरने के तरीके = \( {}^{4}P_{3} \)
\( = \frac{4!}{(4 - 3)!} = \frac{4!}{1!} = 24 \)
अतः 4 अंकीय सम संख्याओं की अभीष्ट संख्या = \( 24 \times 2 = 48 \)
मुख्य बिंदु:
• कुल संख्याओं और सम संख्याओं की गणना अलग-अलग की जाती है।
• सम संख्या के लिए इकाई के स्थान पर 2 या 4 यानी कुल 2 विकल्प हैं।
आम गलतियाँ:
• कुल संख्याओं और सम संख्याओं के प्रश्नों को मिला देना।
• फैक्टोरियल की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रश्न के दोनों भागों को अलग-अलग हेडिंग या पैराग्राफ में हल करें।
b) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त सूत्र को दर्शाएं।
c) अंतिम परिणाम की जांच पुनः करें।
Question 5: 8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
Answer:
कुल व्यक्तियों की संख्या (n) = 8
चुनने जाने वाले पदों की संख्या (r) = 2 (एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष)
चूँकि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता, अतः हमें 8 में से 2 व्यक्तियों को क्रमबद्ध तरीके से चुनना है।
अभीष्ट तरीकों की संख्या = \( {}^{8}P_{2} \)
\( = \frac{8!}{(8 - 2)!} = \frac{8!}{6!} \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56 \)
मुख्य बिंदु:
• अध्यक्ष और उपाध्यक्ष के पद भिन्न हैं, इसलिए क्रम का महत्व है (क्रमचय)।
• n = 8 और r = 2 का मान सीधे सूत्र में रखा जाता है।
आम गलतियाँ:
• इसे संचय (Combination) समझकर हल करना।
• n और r के मान गलत चुनना।
Exam Tips:
a) भाषा वाले प्रश्नों में समझें कि क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं।
b) सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
c) सरल गणना द्वारा उत्तर प्राप्त करें।
Question 6: यदि \( {}^{n-1}P_{3} : {}^{n}P_{4} = 1 : 9 \) तो n ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( \frac{{}^{n-1}P_{3}}{{}^{n}P_{4}} = \frac{1}{9} \)
सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( \frac{\frac{(n-1)!}{(n-1-3)!}}{\frac{n!}{(n-4)!}} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-4)!}{n!} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{(n-1)!}{n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{1}{n} = \frac{1}{9} \)
अतः \( n = 9 \)
मुख्य बिंदु:
• क्रमचय के मानक सूत्र \( {}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \) का प्रयोग करें।
• भिन्न के भाग को गुणा में बदलने के लिए व्युत्क्रम (reciprocal) का प्रयोग करें।
• समान फैक्टोरियल पदों को आपस में काटें।
आम गलतियाँ:
• फैक्टोरियल के प्रसार में गलती करना।
• \( n! \) को \( n \cdot (n-1)! \) के रूप में न तोड़ना।
Exam Tips:
a) चरणों को बहुत साफ-सुथरा लिखें ताकि काटने में गलती न हो।
b) समीकरण को सरल बनाकर n का मान निकालें।
c) उत्तर की सत्यता की जाँच के लिए मान वापस रख सकते हैं।
Question 7: r ज्ञात कीजिए यदि (i) \( {}^{5}P_{r} = 2 \, {}^{6}P_{r-1} \) (ii) \( {}^{5}P_{r} = {}^{6}P_{r-1} \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( {}^{5}P_{r} = 2 \, {}^{6}P_{r-1} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(6-(r-1))!} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6 \times 5!}{(7-r)!} \)
\( \frac{1}{(5-r)!} = \frac{12}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \)
\( (7-r)(6-r) = 12 \)
\( 42 - 13r + r^2 = 12 \)
\( r^2 - 13r + 30 = 0 \)
\( (r-10)(r-3) = 0 \)
अतः \( r = 10 \) या \( r = 3 \)
चूँकि \( 0 \le r \le 5 \) और \( r \neq 10 \), इसलिए \( r = 3 \)
(ii) दिया गया है: \( {}^{5}P_{r} = {}^{6}P_{r-1} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(7-r)!} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \)
\( 1 = \frac{6}{(7-r)(6-r)} \)
\( (7-r)(6-r) = 6 \)
\( 42 - 13r + r^2 = 6 \)
\( r^2 - 13r + 36 = 0 \)
\( (r-9)(r-4) = 0 \)
अतः \( r = 9 \) या \( r = 4 \)
चूँकि \( 0 \le r \le 5 \) और \( r \neq 9 \), इसलिए \( r = 4 \)
मुख्य बिंदु:
• फैक्टोरियल को बड़े से छोटे रूप में तोड़ना जैसे \( 6! = 6 \times 5! \) और \( (7-r)! = (7-r)(6-r)(5-r)! \) ।
• द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड बनाना।
• प्रतिबंध \( 0 \le r \le n \) का ध्यान रखना।
आम गलतियाँ:
• r के अमान्य मान को स्वीकार कर लेना।
• फैक्टोरियल के प्रसार में सीमाएं भूल जाना।
Exam Tips:
a) दोनों भागों को अलग-अलग हल करें।
b) द्विघात समीकरण के मूल निकालते समय गुणनखंड विधि सावधानी से करें।
c) अंत में r की शर्त \( 0 \le r \le 5 \) लिखकर अमान्य मान को हटाएं।
Question 8: EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
Answer:
EQUATION शब्द में कुल अक्षरों की संख्या = 8
सभी अक्षर भिन्न-भिन्न हैं और किसी की भी पुनरावृत्ति नहीं हो रही है।
शब्द EQUATION के सभी अक्षरों को तथतः केवल एक बार उपयोग करके बनने वाले शब्दों की संख्या = \( {}^{8}P_{8} = 8! \)
\( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \)
अतः बनाने वाले शब्दों की अभीष्ट संख्या = 40320
मुख्य बिंदु:
• जब सभी n अक्षर भिन्न हों और सभी का एक साथ प्रयोग करना हो, तो उत्तर \( n! \) होता है।
• दिए गए शब्द में कोई भी अक्षर दोहराया नहीं गया है।
आम गलतियाँ:
• अक्षरों की गिनती में भूल करना।
• फैक्टोरियल का मान गलत निकालना।
Exam Tips:
a) शब्द में कुल अक्षरों की गिनती स्पष्ट रूप से लिखें।
b) सीधे \( n! \) का सूत्र लगाएं।
c) गुणन की गणना सावधानीपूर्वक करें।
Question 9: MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है, यदि
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं,
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं,
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किंतु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
Answer:
शब्द MONDAY में कुल अक्षर = 6 (इसमें 2 स्वर O, A और 4 व्यंजन M, N, D, Y हैं)
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाने पर बनने वाले शब्दों की संख्या = \( {}^{6}P_{4} \)
\( = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 360 \)
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाने पर बनने वाले शब्दों की संख्या = \( {}^{6}P_{6} = 6! \)
\( = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
(iii) प्रथम अक्षर एक स्वर होना चाहिए। MONDAY में 2 स्वर (O और A) हैं।
प्रथम स्थान को भरने کے कुल तरीके = 2
शेष 5 स्थानों को शेष 5 अक्षरों से भरने के तरीके = \( {}^{5}P_{5} = 5! = 120 \)
अतः कुल शब्दों की संख्या = \( 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240 \)
मुख्य बिंदु:
• स्वर और व्यंजन को अलग पहचानें।
• प्रतिबंध वाले स्थान (प्रथम स्थान) को सबसे पहले भरें।
• क्रमचय के मूलभूत सिद्धांतों का पालन करें।
आम गलतियाँ:
• तीसरे भाग में स्वरों की कुल संख्या गलत गिनना।
• फैक्टोरियल को हल करने में गलती करना।
Exam Tips:
a) तीनों उप-भागों (i), (ii), (iii) को स्पष्ट रूप से अलग हल करें।
b) स्वर वाले भाग में पहले स्थान के लिए विकल्पों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) गुणन सिद्धांत का सही प्रयोग करें।
Question 10: MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
Answer:
दिए गए शब्द MISSISSIPPI में कुल अक्षर = 11
यहाँ S = 4 बार, I = 4 बार, P = 2 बार और M = 1 बार है।
कुल बनने वाले क्रमचयों की संख्या = \( \frac{11!}{4! \cdot 4! \cdot 2!} \)
\( = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 34650 \)
अब यदि चारों I को एक साथ माना जाए, तो इसे 1 अक्षर मानेंगे।
कुल अक्षर = \( (11 - 4) + 1 = 8 \) अक्षर हो जाते हैं, जिसमें 'S' 4 बार और 'P' 2 बार है।
चारों I एकसाथ आने वाले शब्दों की संख्या = \( \frac{8!}{4! \cdot 2!} \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (2 \times 1)} = 840 \)
अतः चारों I एक साथ न आने वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - (चारों I एक साथ आने वाले शब्द)
\( = 34650 - 840 = 33810 \)
मुख्य बिंदु:
• जब कुछ वस्तुएं एक साथ हों, तो उन्हें एक इकाई (single entity) मान लेते हैं।
• "एक साथ नहीं" निकालने के लिए "कुल - एक साथ आने वाले" का सूत्र प्रयोग करते हैं।
• पुनरावृत्ति वाले अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग देना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• कुल क्रमचयों में पुनरावृत्ति वाले फैक्टोरियल से भाग देना भूल जाना।
• 'एक साथ' और 'एक साथ नहीं' की अवधारणा में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) पहले कुल क्रमचय निकालें।
b) फिर एक साथ आने वाले क्रमचय निकालकर कुल में से घटाएं।
c) गणना को ध्यान से सरल करें ताकि बड़ी संख्याओं में गलती न हो।
Question 11: PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि चयनित शब्द
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं?
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
Answer:
शब्द PERMUTATIONS में कुल अक्षर = 12
यहाँ T = 2 बार है, बाकी सभी अक्षर भिन्न हैं। कुल स्वर = 5 (E, U, A, I, O) और व्यंजन = 7 हैं।
(i) P से प्रारंभ और S पर अंत होने पर, P और S अपने निश्चित स्थान पर हैं।
शेष 10 अक्षरों (जिसमें T दो बार है) को व्यवस्थित करने के तरीके = \( \frac{10!}{2!} \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 1814400 \)
(ii) सभी 5 स्वरों को 1 अक्षर मान लें। कुल अक्षर = \( (12 - 5) + 1 = 8 \) अक्षर हो गए जिसमें T दो बार है।
इन 8 अक्षरों के क्रमचय = \( \frac{8!}{2!} \)
इन 5 स्वरों को आपस में 5! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = \( \frac{8!}{2!} \times 5! = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \times 120 = 2419200 \)
(iii) P और S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों, इसके लिए P और S के बीच 7 संभावित स्थितियाँ (1 और 6, 2 और 7, ..., 7 और 12) हो सकती हैं।
P और S आपस में स्थान बदल सकते हैं (= 2 तरीके), उनके बीच 4 अक्षर चुने जा सकते हैं (= \( {}^{10}P_{4} \)) और शेष अक्षरों को व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः कुल शब्दों की संख्या = \( 2 \times 7 \times \frac{10!}{2!} = 25401600 \)
मुख्य बिंदु:
• प्रतिबंधित स्थानों (जैसे प्रारंभ और अंत) को स्थिर रखें।
• एक साथ आने वाली वस्तुओं (जैसे स्वर) को एक इकाई मानें।
• पुनरावृत्ति वाले अक्षर (T) के फैक्टोरियल से भाग देना न भूलें।
आम गलतियाँ:
• स्वर वाले भाग में 5! से गुणा करना भूल जाना।
• T की पुनरावृत्ति को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक उप-प्रश्न (i, ii, iii) को अलग-अलग और स्पष्ट चरणों में हल करें।
b) बड़े फैक्टोरियल की गणना करते समय चरणों को छोटे भागों में तोड़ें।
c) अंतिम उत्तर की इकाई और भाषा सही लिखें।
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NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 06 क्रमचय और संचय
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