NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 06 Permutations and Combinations (क्रमचय और संचय) Exercise 6.2 in Hindi

Question 1: मान निकालिए: (i) \( 8! \)      (ii) \( 4! - 3! \)

Answer:

(i) \( 8! \) का मान ज्ञात करने के लिए:
\( 8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \)
\( 8! = 40320 \)
(ii) \( 4! - 3! \) का मान ज्ञात करने के लिए:
\( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
\( 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 \)
अतः \( 4! - 3! = 24 - 6 = 18 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी प्राकृत संख्या \( n \) का क्रमगुणित (factorial) \( n! \) उसके 1 से लेकर \( n \) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल होता है।
• \( 4! \) और \( 3! \) के मान अलग-अलग निकालकर घटाए जाते हैं।
• \( 0! \) का मान 1 होता है, जिसका उपयोग अन्य प्रश्नों में हो सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( 4! - 3! \) को \( (4-3)! \) यानी \( 1! \) लिख देना जो कि गलत है।
• गुणन करते समय संख्याओं का छूटना।
• सूत्र को ठीक से न समझना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में बड़ी संख्याओं के फैक्टोरियल को हल करते समय गुणा सावधानी से करें।
b) यदि संभव हो तो छोटे फैक्टोरियल के मान सीधे याद रखें ताकि समय बचे।
c) उप-भाग (i) और (ii) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।

Question 2: क्या \( 3! + 4! = 7! \) है?

Answer:

बाएँ पक्ष (LHS) का मान:
\( 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 \)
\( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
अतः \( 3! + 4! = 6 + 24 = 30 \)
दाएँ पक्ष (RHS) का मान:
\( 7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040 \)
चूँकि \( 30 \neq 5040 \), इसलिए \( 3! + 4! \neq 7! \)

मुख्य बिंदु:

• फैक्टोरियल में योग का नियम सीधे लागू नहीं होता यानी \( (a+b)! \neq a! + b! \)。
• बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करके तुलना की जाती है。
• \( 7! \) का मान काफी बड़ा होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 3! + 4! \) को \( (3+4)! \) मान लेना।
• गणना में जोड़ या गुणा की गलती करना।
• बिना हल किए सीधे अनुमान लगाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में LHS और RHS को पृथक रूप से हल करके दिखाएँ।
b) निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से 'अतः' लिखकर दर्शाएँ।
c) मूल संकल्पना को ध्यान में रखें कि फैक्टोरियल वितरण नियम का पालन नहीं करता।

Question 3: \( \frac{8!}{6! \times 2!} \) का परिकलन कीजिए।

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \frac{8!}{6! \times 2!} \)
अंश को \( 6! \) के पदों में विस्तारित करने पर:
\( = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times (2 \times 1)} \)
अंश और हर से \( 6! \) को काटने पर:
\( = \frac{8 \times 7}{2} \)
\( = \frac{56}{2} = 28 \)

मुख्य बिंदु:

• बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक खोलकर काटा जा सकता है।
• \( n! = n \times (n-1)! \) गुणधर्म का प्रयोग करना।
• हर में दी गई छोटी संख्याओं का गुणनफल सरल करना।

आम गलतियाँ:

• पूरे \( 8! \) और \( 6! \) को पूरी तरह से 1 तक गुणा करना जिससे गणना बहुत बड़ी हो जाती है।
• हर की संख्या \( 2! \) को छोड़ देना।
• काटने में गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा बड़े फैक्टोरियल को हर में मौजूद सबसे बड़े फैक्टोरियल तक ही खोलें ताकि समय बचे।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर काटें।
c) अंतिम उत्तर की जाँच अवश्य करें।

Question 4: यदि \( \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \) हो, तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \)
हरों को \( 6! \) के पदों में बदलने पर:
\( \frac{1}{6!} + \frac{1}{7 \times 6!} = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!} \)
बाएँ पक्ष से \( \frac{1}{6!} \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \frac{1}{6!} \left( 1 + \frac{1}{7} \right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!} \)
कोष्ठक को हल करने पर:
\( \frac{1}{6!} \left( \frac{7 + 1}{7} \right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!} \)
\( \frac{1}{6!} \left( \frac{8}{7} \right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!} \)
दोनों पक्षों से \( \frac{1}{6! \times 7} \) हटाने पर:
\( 8 = \frac{x}{8} \)
वज्र गुणन (cross multiplication) करने पर:
\( x = 8 \times 8 = 64 \)

मुख्य बिंदु:

• समीकरणों को हल करने के लिए लघुत्तम (LCM) या उभयनिष्ठ विधि का प्रयोग करें।
• फैक्टोरियल के प्रसार नियम \( n! = n(n-1)! \) का उपयोग करना।
• दोनों पक्षों से समान पदों को काटना।

आम गलतियाँ:

• सीधे फैक्टोरियल के मान रखकर बहुत बड़ी संख्या बना देना।
• लघुत्तम लेते समय त्रुटि करना।
• वज्र गुणन में गणना की भूल।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के भिन्नात्मक फैक्टोरियल प्रश्नों में हमेशा छोटे फैक्टोरियल को आधार बनाएं।
b) हर चरण को साफ-सुथरा लिखें ताकि गलती न हो।
c) अंतिम चरण में \( x \) का मान सत्यापित करें।

Question 5: \( \frac{n!}{(n - r)!} \) का मान निकालिए जब
(i) \( n = 6, r = 2 \)      (ii) \( n = 9, r = 5 \)

Answer:

(i) जब \( n = 6, r = 2 \):
\( \frac{6!}{(6 - 2)!} = \frac{6!}{4!} \)
\( = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} \)
\( = 6 \times 5 = 30 \)
(ii) जब \( n = 9, r = 5 \):
\( \frac{9!}{(9 - 5)!} = \frac{9!}{4!} \)
\( = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} \)
\( = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120 \)

मुख्य बिंदु:

• यह सूत्र क्रमचय (Permutation) \( P(n,r) \) का मुख्य भाग है।
• पहले कोष्ठक \( (n-r)! \) का मान निकाला जाता है।
• अंश को हर के फैक्टोरियल तक विस्तारित करके काटा जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( (n-r)! \) की जगह \( n! - r! \) लिख देना।
• घटाने में गलती करना (जैसे \( 9-5 = 4 \) के स्थान पर कुछ और लिखना)।
• लंबी गुणा में गुणनफल गलत निकालना।

Exam Tips:

a) मान रखते समय कोष्ठक का सही प्रयोग करें।
b) बड़े गुणनफल वाले प्रश्नों में कैलकुलेशन की दो बार जाँच करें।
c) सूत्र को हमेशा सबसे पहले स्पष्ट रूप से लिखें।