Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 06 क्रमचय और संचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 06 क्रमचय और संचय
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Question 1: अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?
Answer:
दी गई संख्याएँ \( 1, 2, 3, 4, 5 \) हैं और कुल अंकों की संख्या \( n = 5 \) है। हमें 3 अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो:
इकाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 5 \)
दहाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 5 \)
सैकड़े के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 5 \)
अतः कुल संख्याएँ = \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \)
(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो:
इकाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 5 \)
दहाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 4 \)
सैकड़े के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 3 \)
अतः कुल संख्याएँ = \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
मुख्य बिंदु:
• पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर प्रत्येक स्थान के लिए सभी विकल्प उपलब्ध रहते हैं।
• पुनरावृत्ति की अनुमति न होने पर पिछले स्थान पर प्रयुक्त अंक को अगले स्थान के लिए छोड़ दिया जाता है।
• यहाँ गुणन सिद्धांत का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• बिना पुनरावृत्ति के भी हर बार 5 विकल्प ले लेना।
• स्थानों के क्रम (इकाई, दहाई, सैकड़ा) को गलत समझना।
• गुणन सिद्धांत की जगह गलती से योग कर देना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में दिए गए प्रतिबंध (पुनरावृत्ति है या नहीं) को सबसे पहले ध्यान से पढ़ें।
b) प्रत्येक स्थान के लिए उपलब्ध विकल्पों की संख्या को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) गणना करते समय गुणा की प्रक्रिया की जाँच अवश्य कर लें।
Question 2: अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
Answer:
दिए गए अंक \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) हैं। हमें 3-अंकीय सम संख्या बनानी है और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है।
सम संख्या होने के लिए इकाई के स्थान पर सम अंक होना आवश्यक है।
दिए गए अंकों में सम अंक \( 2, 4, 6 \) हैं, अर्थात इकाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 3 \)
चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए दहाई के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 6 \)
सैकड़े के स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 6 \)
अतः गुणन सिद्धांत द्वारा कुल सम संख्याएँ = \( 3 \times 6 \times 6 = 108 \)
मुख्य बिंदु:
• सम संख्या के लिए इकाई के स्थान पर केवल सम अंकों का ही चयन किया जाता है।
• पुनरावृत्ति की अनुमति होने के कारण दहाई और सैकड़े के स्थान पर सभी 6 अंक आ सकते हैं।
• कुल संख्या ज्ञात करने के लिए तीनों स्थानों के तरीकों का गुणा किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• इकाई के स्थान पर सभी 6 अंक मान लेना।
• सम अंकों की सही पहचान न करना।
• पुनरावृत्ति के नियम को इकाई के स्थान पर भी लागू कर देना।
Exam Tips:
a) सम या विषम संख्या वाले प्रश्नों में हमेशा सबसे पहले इकाई के स्थान से शुरुआत करें।
b) प्रतिबंधित स्थान को भरने के तरीके पहले लिखें, फिर शेष स्थानों को देखें।
c) अंतिम उत्तर निकालते समय गुणन प्रक्रिया सावधानी से करें।
Question 3: अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?
Answer:
अंग्रेजी वर्णमाला के कुल शुरुआती अक्षर \( n = 10 \) हैं। हमें 4 अक्षरों का कोड बनाना है और अक्षरों की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है।
पहले स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 10 \)
दूसरे स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 9 \)
तीसरे स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 8 \)
चौथे स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 7 \)
अतः गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल कोडों की संख्या = \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \)
मुख्य बिंदु:
• कोड बनाने में स्थानों का क्रम महत्वपूर्ण होता है।
• पुनरावृत्ति न होने के कारण प्रत्येक चरण में उपलब्ध अक्षरों की संख्या एक कम हो जाती है।
• यह क्रमचय (Permutation) का एक सरल उदाहरण है।
आम गलतियाँ:
• सभी चार स्थानों पर 10 ही विकल्प लिख देना।
• गुणनफल निकालते समय गणना में त्रुटि करना।
• प्रश्नों की भाषा को ठीक से न समझना।
Exam Tips:
a) रिक्त स्थानों की संख्या के अनुसार कॉलम या बॉक्स बनाकर हल करें।
b) बिना पुनरावृत्ति वाले प्रश्नों में घटते क्रम (\( 10, 9, 8, 7 \)) का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम गुणनफल \( 5040 \) को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
Question 4: 0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नंबर 67 से प्रारंभ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है?
Answer:
कुल अंक \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) हैं (कुल 10 अंक)।
टेलीफोन नंबर 5 अंकों का है और यह निश्चित है कि यह '67' से प्रारंभ होता है।
इसका अर्थ है कि पहले स्थान पर '6' और दूसरे स्थान पर '7' फिक्स है।
अतः हमें केवल शेष 3 स्थानों को भरना है।
चूँकि '6' और '7' का प्रयोग हो चुका है और अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती, इसलिए शेष उपलब्ध अंक = \( 10 - 2 = 8 \)
तीसरे स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 8 \)
चौथे स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 7 \)
पाँचवें स्थान को भरने के कुल तरीके = \( 6 \)
अतः कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या = \( 8 \times 7 \times 6 = 336 \)
मुख्य बिंदु:
• निश्चित किए गए अंकों को कुल उपलब्ध अंकों में से घटा दिया जाता है।
• यहाँ केवल 3 रिक्त स्थानों के लिए ही गणना करनी होती है।
• बिना पुनरावृत्ति के नियम का पालन करना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• सभी 5 स्थानों के लिए गणना करना जबकि 2 स्थान पहले से निश्चित हैं।
• कुल अंकों में से '6' और '7' को न घटाना।
• गलत विकल्पों की संख्या से गुणा करना।
Exam Tips:
a) फिक्स किए गए अंकों को बॉक्स बनाकर अलग से दर्शाना उपयोगी होता है।
b) शेष बचे अंकों की संख्या सावधानी से निकालें।
c) गुणन प्रक्रिया चरणबद्ध तरीके से हल करें।
Question 5: एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है?
Answer:
जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, तो संभव परिणामों की संख्या \( 2 \) होती है (चित या पट, अर्थात् H या T)।
सिक्के को कुल \( 3 \) बार उछाला जाता है।
प्रथम उछाल के परिणाम = \( 2 \)
द्वितीय उछाल के परिणाम = \( 2 \)
तृतीय उछाल के परिणाम = \( 2 \)
अतः गुणन सिद्धांत द्वारा परिणामों की कुल संभव संख्या = \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
मुख्य बिंदु:
• प्रत्येक स्वतंत्र घटना के परिणामों को आपस में गुणा किया जाता है।
• सिक्के के एक बार उछालने पर 2 ही परिणाम संभव हैं।
• कुल उछالों की संख्या घात के रूप में भी सोची जा सकती है (\( 2^3 = 8 \))।
आम गलतियाँ:
• 2 और 3 को आपस में जोड़ देना (\( 2 + 3 = 5 \))।
• परिणामों की संख्या गलत मान लेना।
• गुणन सिद्धांत की जगह क्रमचय का गलत सूत्र लगाना।
Exam Tips:
a) स्वतंत्र घटनाओं वाले प्रायिकता और क्रमचय के प्रश्नों में हमेशा गुणा का प्रयोग करें।
b) प्रत्येक उछाल के परिणामों को अलग-لگ लिखकर दिखाएं।
c) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
Question 6: भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं। इनसे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों, एक के नीचे दूसरे, के प्रयोग की आवश्यकता पड़ती है?
Answer:
कुल उपलब्ध झंडों की संख्या \( n = 5 \) है।
प्रत्येक संकेत में 2 झंडों का उपयोग किया जाना है (एक ऊपर और एक नीचे)।
ऊपर वाले स्थान को भरने के लिए झंडों के कुल विकल्प = \( 5 \)
चूँकि एक झंडे का उपयोग हो चुका है और पुनरावृत्ति संभव नहीं है, इसलिए नीचे वाले (शेष) स्थान को भरने के विकल्प = \( 4 \)
अतः गुणन सिद्धांत के अनुसार संकेतों की कुल संख्या = \( 5 \times 4 = 20 \)
मुख्य बिंदु:
• संकेत बनाने के लिए क्रम का विशेष महत्व होता है।
• एक ही झंडे का प्रयोग दोबारा नहीं किया जा सकता।
• कुल स्थानों की संख्या 2 है।
आम गलतियाँ:
• दोनों स्थानों पर 5-5 विकल्प मान लेना।
• गुणा की बजाय योग कर देना।
• स्थानों के क्रम की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) संकेतों और झंडों वाले व्यावहारिक प्रश्नों में रिक्त स्थानों की विधि सबसे आसान होती है।
b) प्रत्येक पद को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
c) अंतिम उत्तर का मात्रक या रूप सही लिखें।
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