NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 05 रैखिक असमिकाएँ
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Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 05 रैखिक असमिकाएँ
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Question 1: असमिका को हल कीजिए: \( 2 \leq 3x - 4 \leq 5 \)
Answer:
दिया गया है:
\( 2 \leq 3x - 4 \leq 5 \)
प्रत्येक भाग में \( 4 \) जोड़ने पर:
\( 2 + 4 \leq 3x - 4 + 4 \leq 5 + 4 \)
\( 6 \leq 3x \leq 9 \)
प्रत्येक भाग को \( 3 \) से भाग देने पर:
\( \frac{6}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{9}{3} \)
\( 2 \leq x \leq 3 \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( [2, 3] \) है।
मुख्य बिंदु:
• असमिका को हल करने के लिए सभी भागों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है।
• धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
• हल समुच्चय को बंद अंतराल (closed interval) में लिखा गया है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक तरफ की असमिका को हल करना और दूसरी तरफ को छोड़ देना।
• अंतराल के चिह्नों (brackets) को गलत लगाना।
• भाग देते समय चिह्न का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) चरणों को स्पष्ट रूप से एक के नीचे एक लिखें।
b) अंतिम उत्तर को अंतराल (interval) रूप में लिखना न भूलें।
c) गणना की जाँच अवश्य करें।
Question 2: असमिका को हल कीजिए: \( 6 \leq -3(2x - 4) < 12 \)
Answer:
दिया गया है:
\( 6 \leq -3(2x - 4) < 12 \)
प्रत्येक भाग को \( -3 \) से भाग देने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
\( \frac{6}{-3} \geq 2x - 4 > \frac{12}{-3} \)
\( -2 \geq 2x - 4 > -4 \)
इसको इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
\( -4 < 2x - 4 \leq -2 \)
प्रत्येक भाग में \( 4 \) जोड़ने पर:
\( -4 + 4 < 2x \leq -2 + 4 \)
\( 0 < 2x \leq 2 \)
प्रत्येक भाग को \( 2 \) से भाग देने पर:
\( 0 < x \leq 1 \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( (0, 1] \) है।
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका की दिशा (चिह्न) उलट जाती है।
• अंतराल लिखते समय खुले और बंद सिरों का ध्यान रखें।
• इसे दो अलग-अलग असमिकाओं में तोड़कर भी हल किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमिका के चिह्न को न बदलना।
• अंतराल में खुला और बंद कोष्टक गलत लगाना।
• पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) उत्तर को मानक रूप में सुव्यवस्थित करें।
c) हल समुच्चय को संख्या रेखा पर भी समझा सकते हैं।
Question 3: असमिका को हल कीजिए: \( -3 \leq 4 - \frac{7x}{2} \leq 18 \)
Answer:
दिया गया है:
\( -3 \leq 4 - \frac{7x}{2} \leq 18 \)
प्रत्येक भाग से \( 4 \) घटाने पर:
\( -3 - 4 \leq -\frac{7x}{2} \leq 18 - 4 \)
\( -7 \leq -\frac{7x}{2} \leq 14 \)
पूरी असमिका को \( -1 \) से गुणा करने पर (चिह्न बदल जाएगा):
\( 7 \geq \frac{7x}{2} \geq -14 \)
इसे व्यवस्थित करने पर:
\( -14 \leq \frac{7x}{2} \leq 7 \)
प्रत्येक भाग को \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( -28 \leq 7x \leq 14 \)
प्रत्येक भाग को \( 7 \) से भाग देने पर:
\( -4 \leq x \leq 2 \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( [-4, 2] \) है।
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक चिह्न हटाने के लिए पूरी असमिका को \( -1 \) से गुणा किया जा सकता है जिससे चिह्न बदल जाते हैं।
• भिन्नों को सरल करने के लिए उचित गुणा या भाग करें।
• अंतिम परिणाम को बंद अंतराल में दर्शाया गया है।
आम गलतियाँ:
• \( -1 \) से गुणा करते समय असमिका के चिह्नों को न बदलना।
• हर (denominator) में दी गई संख्या को हटाना भूल जाना।
• घटते और बढ़ते क्रम में लिखने में गलती करना।
Exam Tips:
a) हर को हटाने के लिए उचित संख्या से गुणा करें।
b) चरणों को क्रमित रूप से लिखें ताकि गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर का अंतराल सही लिखें।
Question 4: असमिका को हल कीजिए: \( -15 < \frac{3(x - 2)}{5} \leq 0 \)
Answer:
दिया गया है:
\( -15 < \frac{3(x - 2)}{5} \leq 0 \)
प्रत्येक भाग को \( 5 \) से गुणा करने पर:
\( -15 \times 5 < 3(x - 2) \leq 0 \times 5 \)
\( -75 < 3(x - 2) \leq 0 \)
प्रत्येक भाग को \( 3 \) से भाग देने पर:
\( \frac{-75}{3} < x - 2 \leq \frac{0}{3} \)
\( -25 < x - 2 \leq 0 \)
प्रत्येक भाग में \( 2 \) जोड़ने पर:
\( -25 + 2 < x - 2 + 2 \leq 0 + 2 \)
\( -23 < x \leq 2 \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( (-23, 2] \) है।
मुख्य बिंदु:
• अंश और हर को अलग-अलग सरल किया जा सकता है।
• धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
• हल समुच्चय में एक सिरा खुला और दूसरा बंद है।
आम गलतियाँ:
• \( 5 \) से गुणा करते समय केवल एक पद को गुणा करना।
• कोष्ठक खोलते समय गलत चिह्न लगाना।
• अंतराल के ब्रैकेट सही न लगाना।
Exam Tips:
a) पहले हर को समाप्त करने का प्रयास करें।
b) बीजगणितीय संक्रियाएं सावधानी से करें।
c) उत्तर को उचित अंतराल रूप में दें।
Question 5: असमिका को हल कीजिए: \( -12 < 4 - \frac{3x}{-5} \leq 2 \)
Answer:
दिया गया है:
\( -12 < 4 + \frac{3x}{5} \leq 2 \)
प्रत्येक भाग से \( 4 \) घटाने पर:
\( -12 - 4 < \frac{3x}{5} \leq 2 - 4 \)
\( -16 < \frac{3x}{5} \leq -2 \)
प्रत्येक भाग को \( 5 \) से गुणा करने पर:
\( -16 \times 5 < 3x \leq -2 \times 5 \)
\( -80 < 3x \leq -10 \)
प्रत्येक भाग को \( 3 \) से भाग देने पर:
\( \frac{-80}{3} < x \leq \frac{-10}{3} \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( \left(-\frac{80}{3}, -\frac{10}{3}\right] \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \frac{-3x}{-5} \) को धनात्मक रूप \( \frac{3x}{5} \) में बदला गया है।
• अचर पद को पक्षांतर करने के लिए घटाया गया है।
• भिन्นนनात्मक हल को अंतराल के रूप में व्यक्त किया गया है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्नों के गुणा में गलती करना।
• पक्षांतर करते समय चिह्न न बदलना।
• भिन्न के रूप में ही उत्तर न छोड़कर दशमलव में लिखना।
Exam Tips:
a) पहले चिह्नों को सरल करके समीकरण को सहज बनाएं।
b) प्रत्येक चरण में सभी भागों पर समान संक्रिया करें।
c) भिन्न रूप में उत्तर लिखना अधिक सटीक होता है।
Question 6: असमिका को हल कीजिए: \( 7 \leq \frac{(3x + 11)}{2} \leq 11 \)
Answer:
दिया गया है:
\( 7 \leq \frac{3x + 11}{2} \leq 11 \)
प्रत्येक भाग को \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( 7 \times 2 \leq 3x + 11 \leq 11 \times 2 \)
\( 14 \leq 3x + 11 \leq 22 \)
प्रत्येक भाग से \( 11 \) घटाने पर:
\( 14 - 11 \leq 3x \leq 22 - 11 \)
\( 3 \leq 3x \leq 11 \)
प्रत्येक भाग को \( 3 \) से भाग देने पर:
\( \frac{3}{3} \leq x \leq \frac{11}{3} \)
\( 1 \leq x \leq \frac{11}{3} \)
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( \left[1, \frac{11}{3}\right] \) है।
मुख्य बिंदु:
• हर हटाने के लिए पूरी असमिका में \( 2 \) से गुणा किया गया है।
• \( 11 \) को सभी पक्षों से घटाया गया है।
• अंतिम परिणाम एक बंद अंतराल है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक तरफ \( 2 \) से गुणा करना।
• घटाते समय गलती करना।
• भिन्नात्मक उत्तर को गलत रूप में लिखना।
Exam Tips:
a) हर हटाने से गणना आसान हो जाती है।
b) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम अंतराल कोष्ठक सही लगाएं।
Question 7: निम्नलिखित असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
\( 5x + 1 > -24, \quad 5x - 1 < 24 \)
Answer:
दी गई प्रथम असमिका है:
\( 5x + 1 > -24 \)
\( 5x > -24 - 1 \)
\( 5x > -25 \)
\( x > -5 \quad \text{--- (1)} \)
दी गई द्वितीय असमिका है:
\( 5x - 1 < 24 \)
\( 5x < 24 + 1 \)
\( 5x < 25 \)
\( x < 5 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि असमिका का हल समुच्चय \( (-5, 5) \) है।
इसे संख्या रेखा पर \( -5 \) से \( 5 \) के बीच की खुली रेखा द्वारा निरूपित किया जाता है।
मुख्य बिंदु:
• दोनों असमिकाओं को अलग-अलग हल करके उभयनिष्ठ (common) हल निकाला जाता है।
• परिणामी हल को संख्या रेखा पर दर्शाया जाता है।
• यहाँ खुले अंतराल का प्रयोग हुआ है क्योंकि असमिकाओं में क-असमीकरण है।
आम गलतियाँ:
• दोनों असमिकाओं के हल का उभयनिष्ठ भाग न लेना।
• संख्या रेखा पर खुले और बंद गोलों (dots) में अंतर न समझना।
• पक्षांतर में चिह्न की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) दोनों असमिकाओं को अलग-अलग हल करें।
b) संख्या रेखा बनाते समय उचित पैमाने का प्रयोग करें।
c) उभयनिष्ठ हल को स्पष्ट रूप से रेखांकित करें।
Question 8: निम्नलिखित असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
\( 2(x - 1) < x + 5, \quad 3(x + 2) > 2 - x \)
Answer:
दी गई प्रथम असमिका है:
\( 2(x - 1) < x + 5 \)
\( 2x - 2 < x + 5 \)
\( 2x - x < 5 + 2 \)
\( x < 7 \quad \text{--- (1)} \)
दी गई द्वितीय असमिका है:
\( 3(x + 2) > 2 - x \)
\( 3x + 6 > 2 - x \)
\( 3x + x > 2 - 6 \)
\( 4x > -4 \)
\( x > -1 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) और (2) से, असमिका का हल समुच्चय \( (-1, 7) \) है।
इसे संख्या रेखा पर \( -1 \) और \( 7 \) के बीच रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
मुख्य बिंदु:
• दोनों असमिकाओं को सरल करके \( x \) के मान की सीमा निकाली जाती है।
• उभयनिष्ठ हल \( -1 < x < 7 \) प्राप्त होता है।
• संख्या रेखा पर इसे खुले अंतराल के रूप में दर्शाया जाता है।
आम गलतियाँ:
• कोष्ठक खोलते समय गुणा करना भूल जाना।
• चरों का पक्षांतर करते समय चिह्न गलत करना।
• संख्या रेखा पर गलत बिंदुओं को अंकित करना।
Exam Tips:
a) कोष्ठक खोलते समय वितरण नियम (distributive law) का पालन करें।
b) दोनों परिणामों को संयुक्त रूप में लिखें।
c) संख्या रेखा का आरेख स्वच्छ बनाएं।
Question 9: निम्नलिखित असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
\( 3x - 7 > 2(x - 6), \quad 6 - x > 11 - 2x \)
Answer:
दी गई प्रथम असमिका है:
\( 3x - 7 > 2(x - 6) \)
\( 3x - 7 > 2x - 12 \)
\( 3x - 2x > -12 + 7 \)
\( x > -5 \quad \text{--- (1)} \)
दी गई द्वितीय असमिका है:
\( 6 - x > 11 - 2x \)
\( -x + 2x > 11 - 6 \)
\( x > 5 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ हल \( x > 5 \) है।
अतः हल समुच्चय \( (5, \infty) \) है, जिसे संख्या रेखा पर \( 5 \) से आगे दाईं ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है।
मुख्य बिंदु:
• दोनों असमिकाओं को हल करने पर एक स्थिति \( x > -5 \) और दूसरी \( x > 5 \) मिलती है।
• दोनों का उभयनिष्ठ भाग \( x > 5 \) है।
• अनंत तक जाने वाले हलों को खुले अंतराल में लिखा जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( x > -5 \) और \( x > 5 \) में से गलत उभयनिष्ठ भाग चुनना।
• पक्षांतर में गलती करना।
• संख्या रेखा पर तीर की दिशा गलत दर्शाना।
Exam Tips:
a) दोनों असमिकाओं को हल करके संख्या रेखा पर उनकी स्थिति की तुलना करें।
b) उभयनिष्ठ क्षेत्र को ध्यान से पहचानें।
c) अनंत (\( \infty \)) वाले अंतरालों का सही प्रयोग करें।
Question 10: निम्नलिखित असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
\( 5(2x - 7) - 3(2x + 3) \leq 0, \quad 2x + 19 \leq 6x + 47 \)
Answer:
दी गई प्रथम असमिका है:
\( 5(2x - 7) - 3(2x + 3) \leq 0 \)
\( 10x - 35 - 6x - 9 \leq 0 \)
\( 4x - 44 \leq 0 \)
\( 4x \leq 44 \)
\( x \leq 11 \quad \text{--- (1)} \)
दी गई द्वितीय असमिका है:
\( 2x + 19 \leq 6x + 47 \)
\( 19 - 47 \leq 6x - 2x \)
\( -28 \leq 4x \)
\( -7 \leq x \quad \text{या} \quad x \geq -7 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) और (2) से, उभयनिष्ठ हल \( -7 \leq x \leq 11 \) है।
अतः हल समुच्चय \( [-7, 11] \) है, जिसे संख्या रेखा पर \( -7 \) से \( 11 \) के बीच बंद अंतराल के रूप में दर्शाया जाता है।
मुख्य बिंदु:
• कोष्ठकों को खोलकर समान पदों (like terms) को जोड़ा गया है।
• दोनों असमिकाओं से प्राप्त सीमाओं को मिलाकर संयुक्त हल निकाला गया है।
• दोनों सिरों पर बंद अंतराल का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• गुणा करते समय ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करना।
• \( -28 \leq 4x \) को हल करते समय चिह्न की दिशा गलत करना।
• संख्या रेखा पर गलत अंतराल दर्शाना।
Exam Tips:
a) बीजगणितीय व्यंजकों को सावधानी से सरल करें।
b) दोनों असमिकाओं के हलों का प्रतिच्छेदन (intersection) लें।
c) संख्या रेखा पर ठोस वृत्तों (solid dots) का प्रयोग करें क्योंकि असमिका में 'बराबर' का चिह्न भी है।
Question 11: एक विलयन को \( 68^\circ\text{F} \) और \( 77^\circ\text{F} \) के मध्य रखना है। सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट सूत्र \( F = \frac{9}{5}C + 32 \) है।
Answer:
दिया गया है कि विलयन का तापमान \( 68^\circ\text{F} \) और \( 77^\circ\text{F} \) के मध्य है।
इसलिए, \( 68 < F < 77 \)
\( F \) का मान रखने पर:
\( 68 < \frac{9}{5}C + 32 < 77 \)
प्रत्येक भाग से \( 32 \) घटाने पर:
\( 68 - 32 < \frac{9}{5}C < 77 - 32 \)
\( 36 < \frac{9}{5}C < 45 \)
प्रत्येक भाग को \( 5 \) से गुणा करने पर:
\( 36 \times 5 < 9C < 45 \times 5 \)
\( 180 < 9C < 225 \)
प्रत्येक भाग को \( 9 \) से भाग देने पर:
\( \frac{180}{9} < C < \frac{225}{9} \)
\( 20 < C < 25 \)
अतः, सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर \( 20^\circ\text{C} \) और \( 25^\circ\text{C} \) के बीच है।
मुख्य बिंदु:
• तापमान रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके असमिका बनाई गई है।
• सेल्सियस के मान को अकेला करने के लिए गणितीय संक्रियाएं की गई हैं।
• परिणाम को परिसर (range) के रूप में व्यक्त किया गया है।
आम गलतियाँ:
• सूत्र में मान रखते समय गलती करना।
• \( 32 \) को घटाना भूल जाना।
• गुणा और भाग के चरणों में गणना की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) भाषा वाले प्रश्नों में पहले दी गई स्थिति को असमिका के रूप में लिखें।
b) समीकरण को हल करते समय इकाइयों का ध्यान रखें।
c) उत्तर को स्पष्ट भाषा में वाक्य के रूप में लिखें।
Question 12: \( 8\% \) बोरिक एसिड के विलयन में \( 2\% \) बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु किया जाता है। परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड \( 4\% \) से अधिक तथा \( 6\% \) से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास \( 8\% \) विलयन की मात्रा \( 640 \) लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि \( 2\% \) विलयन के कितने लीटर इसमें मिलाने होंगे?
Answer:
माना \( x \) लीटर \( 2\% \) बोरिक एसिड विलयन को मिलाया जाता है।
इसलिए, कुल विलयन = \( (x + 640) \) लीटर
कुल विलयन में बोरिक एसिड की मात्रा = \( 2\% \text{ of } x + 8\% \text{ of } 640 \)
\( = \frac{2}{100}x + \frac{8}{100} \times 640 \)
प्रश्नानुसार, परिणामी मिश्रण \( 4\% \) से अधिक और \( 6\% \) से कम है।
स्थिति I: मिश्रण \( 4\% \) से अधिक है:
\( \frac{2}{100}x + \frac{8}{100} \times 640 > 4\% \text{ of } (x + 640) \)
\( \frac{2x + 5120}{100} > \frac{4(x + 640)}{100} \)
\( 2x + 5120 > 4x + 2560 \)
\( 5120 - 2560 > 4x - 2x \)
\( 2560 > 2x \implies x < 1280 \quad \text{--- (1)} \)
स्थिति II: मिश्रण \( 6\% \) से कम है:
\( \frac{2x + 5120}{100} < \frac{6(x + 640)}{100} \)
\( 2x + 5120 < 6x + 3840 \)
\( 5120 - 3840 < 6x - 2x \)
\( 1280 < 4x \implies x > 320 \quad \text{--- (2)} \)
समीकरण (1) और (2) से, \( 320 < x < 1280 \) ।
अतः, \( 2\% \) वाले विलयन की मात्रा \( 320 \) लीटर से अधिक परन्तु \( 1280 \) लीटर से कम होनी चाहिए।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिशतता और मिश्रण के नियमों पर आधारित व्यावहारिक समस्या है।
• दो अलग-अलग असमिकाएं (अधिक और कम के लिए) बनाई गई हैं।
• दोनों असमिकाओं का उभयनिष्ठ हल ही अभीष्ट उत्तर है।
आम गलतियाँ:
• कुल आयतन में \( x \) जोड़ना भूल जाना।
• प्रतिशत को भिन्न या दशमलव में बदलते समय गलती करना।
• असमिका के चिह्नों की दिशा विपरीत लिख देना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में चरों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) दोनों स्थितियों (न्यूनतम और अधिकतम) को अलग-अलग हल करें।
c) अंतिम उत्तर को व्यावहारिक संदर्भ में लिखें।
Question 13: \( 45\% \) अम्ल के \( 1125 \) लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल \( 25\% \) से अधिक परंतु \( 30\% \) से कम हो जाए?
Answer:
माना मिलाए गए पानी की मात्रा \( x \) लीटर है।
इसलिए, परिणामी मिश्रण = \( (x + 1125) \) लीटर
दिए गए विलयन में अम्ल की कुल मात्रा = \( 45\% \) of \( 1125 \)
\( = \frac{45}{100} \times 1125 \)
प्रश्नानुसार, परिणामी मिश्रण में अम्ल \( 25\% \) से अधिक परंतु \( 30\% \) से कम है:
\( 25\% \text{ of } (1125 + x) < \frac{45}{100} \times 1125 < 30\% \text{ of } (1125 + x) \)
\( \frac{25}{100}(1125 + x) < \frac{45 \times 1125}{100} < \frac{30}{100}(1125 + x) \)
पूरी असमिका को \( \frac{100}{1125} \) से सरल करने पर:
प्रथम भाग:
\( 25(1125 + x) < 45 \times 1125 \)
\( 1125 + x < \frac{45 \times 1125}{25} = 45 \times 45 = 2025 \)
\( x < 2025 - 1125 = 900 \)
द्वितीय भाग:
\( 45 \times 1125 < 30(1125 + x) \)
\( \frac{45 \times 1125}{30} < 1125 + x \)
\( 1687.5 < 1125 + x \)
\( x > 1687.5 - 1125 = 562.5 \)
अतः, मिलाए गए पानी की मात्रा \( 562.5 \) लीटर से अधिक परंतु \( 900 \) लीटर से कम होनी चाहिए।
मुख्य बिंदु:
• पानी मिलाने से अम्ल की मात्रा अपरिवर्तित रहती है, केवल कुल विलयन बढ़ता है।
• द्वि-पक्षीय असमिका को दो सरल भागों में विभाजित करके हल किया गया है।
• अंतिम उत्तर लीटर में प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• नए मिश्रण में अम्ल के प्रतिशत को कुल आयतन से गुणा करना भूल जाना।
• गणना में दशमलव या भिन्न की गलती करना।
• असमिका के दोनों भागों को एक साथ हल करने में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) अम्ल की स्थिर मात्रा को दोनों तरफ संतुलित रखें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए समान पदों को काटें।
c) उत्तर को स्पष्ट अंतराल या सीमा के रूप में दें।
Question 14: एक व्यक्ति के बौद्धिक-लब्धि (IQ) मापन का सूत्र निम्नलिखित है:
\( \text{IQ} = \frac{\text{MA}}{\text{CA}} \times 100 \)
जहाँ \text{MA} मानसिक आयु और \text{CA} कलाणुक्रमी आयु है। यदि \( 12 \) वर्ष की आयु के बच्चे के एक समूह की \text{IQ} असमिका \( 80 \leq \text{IQ} \leq 140 \) द्वारा व्यक्त हो, तो उस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है कि समूह की \text{CA} (आयु) \( 12 \) वर्ष है।
तथा \( 80 \leq \text{IQ} \leq 140 \quad \text{--- (1)} \)
\text{IQ} का मान सूत्र से रखने पर:
\( 80 \leq \frac{\text{MA}}{12} \times 100 \leq 140 \)
प्रत्येक भाग को \( 100 \) से भाग देने पर:
\( \frac{80}{100} \leq \frac{\text{MA}}{12} \leq \frac{140}{100} \)
\( 0.8 \leq \frac{\text{MA}}{12} \leq 1.4 \)
प्रत्येक भाग को \( 12 \) से गुणा करने पर:
\( 0.8 \times 12 \leq \text{MA} \leq 1.4 \times 12 \)
\( 9.6 \leq \text{MA} \leq 16.8 \)
अतः, दिए गए \( 12 \) वर्ष आयु वर्ग के बच्चों की मानसिक आयु (\text{MA}) का परिसर \( 9.6 \) से \( 16.8 \) वर्ष है।
मुख्य बिंदु:
• दिए गए सूत्र और मानों को असमिका में प्रतिस्थापित किया गया है।
• \text{MA} (मानसिक आयु) को अकेला करने के लिए गणितीय संक्रियाएं की गई हैं।
• परिणाम बच्चों की मानसिक आयु का परिसर दर्शाता है।
आम गलतियाँ:
• \text{CA} और \text{MA} के मानों को आपस में मिला देना।
• प्रतिशत (\( 100 \)) से भाग या गुणा करने में भूल होना।
• दशमलव की गणना में अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) सूत्र के प्रत्येक पद को ध्यान से पहचानें।
b) चरण-दर-चरण गणना करें ताकि दशमलव की गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर के साथ उचित मात्रक (वर्ष) लिखें।
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Step-by-Step Textbook Answers: Class 11 Mathematics Chapter 05 रैखिक असमिकाएँ
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