NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 05 Linear Inequalities (रैखिक असमिकाएँ) Exercise 5.1 in Hindi

Question 1: हल कीजिए: \( 24x < 100 \), जब
(i) \( x \) एक प्राकृत संख्या है।
(ii) \( x \) एक पूर्णांक है।

Answer:

दिया गया है: \( 24x < 100 \)
दोनों पक्षों को 24 से विभाजित करने पर:
\( x < \frac{100}{24} \)
सरल करने पर:
\( x < \frac{25}{6} \)
\( x < 4.16 \)
(i) जब \( x \) एक प्राकृत संख्या है:
हम जानते हैं कि 4.16 से कम प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3 और 4 हैं।
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( \{1, 2, 3, 4\} \) है।
(ii) जब \( x \) एक पूर्णांक है:
यहाँ \( \frac{25}{6} \) से छोटी पूर्णांक संख्याएँ \( \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \) हैं।
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \) है।

मुख्य बिंदु:

• असमिका के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता है।
• प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं।
• पूर्णांक में धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य सभी शामिल होते हैं।

आम गलतियाँ:

• प्राकृत संख्याओं में शून्य या ऋणात्मक मानों को शामिल कर देना।
• दशमलव मान को पूर्णांक या प्राकृत संख्या मानते समय गलत समुच्चय लिखना।
• असमिका के चिन्ह को गलती से उलटा कर देना।

Exam Tips:

a) हल समुच्चय को हमेशा मजले कोष्ठक \( \{\} \) के अंदर लिखें।
b) प्राकृत संख्या और पूर्णांक की परिभाषा का सही अंतर स्पष्ट करें।
c) भिन्न को दशमलव में बदलकर उसकी सटीक सीमा पहचानें।

Question 2: हल कीजिए: \( -12x > 30 \), जब
(i) \( x \) एक प्राकृत संख्या है।
(ii) \( x \) एक पूर्णांक है।

Answer:

दिया गया है: \( -12x > 30 \)
दोनों पक्षों को -12 से विभाजित करने पर (असमिका का चिन्ह बदल जाएगा):
\( x < \frac{30}{-12} \)
\( x < -\frac{5}{2} \)
\( x < -2.5 \)
(i) जब \( x \) एक प्राकृत संख्या है:
चूँकि -2.5 से छोटी कोई प्राकृत संख्या नहीं होती है, अतः इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
अतः, हल समुच्चय रिक्त समुच्चय \( \phi \) है।
(ii) जब \( x \) एक पूर्णांक है:
-2.5 से छोटे पूर्णांक \( \dots, -5, -4, -3 \) हैं।
अतः, असमिका का हल समुच्चय \( \{\dots, -5, -4, -3\} \) है।

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक संख्या से असमिका के दोनों पक्षों को गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह विपरीत हो जाता है।
• प्राकृत संख्याएँ कभी ऋणात्मक नहीं होतीं।
• -2.5 से छोटे पूर्णांक -3, -4, -5 आदि हैं।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमिका के चिन्ह को न बदलना।
• -2.5 से छोटे पूर्णांक के रूप में -2 को ले लेना।
• प्राकृत संख्या के मामले में 'कोई हल नहीं' लिखने के बजाय 0 लिख देना।

Exam Tips:

a) ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) संख्या रेखा पर मान की स्थिति की कल्पना करके उत्तर की पुष्टि करें।
c) रिक्त समुच्चय को \( \phi \) या \( \{\} \) से दर्शाएँ।

Question 3: हल कीजिए: \( 5x - 3 < 7 \), जब
(i) \( x \) एक पूर्णांक है।
(ii) \( x \) एक वास्तविक संख्या है।

Answer:

दिया गया है: \( 5x - 3 < 7 \)
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर:
\( 5x < 7 + 3 \)
\( 5x < 10 \)
दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:
\( x < 2 \)
(i) जब \( x \) एक पूर्णांक है:
2 से छोटे पूर्णांक \( \dots, -3, -2, -1, 0, 1 \) हैं।
अतः, हल समुच्चय \( \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1\} \) है।
(ii) जब \( x \) एक वास्तविक संख्या है:
असमिका का हल 2 से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः, अंतराल रूप में हल समुच्चय \( (-\infty, 2) \) है।

मुख्य बिंदु:

• वास्तविक संख्या के लिए हल को अंतराल (Interval) के रूप में लिखा जाता है।
• खुला अंतराल \( (-\infty, 2) \) का अर्थ है कि 2 इसमें सम्मिलित नहीं है।
• पक्षांतर करते समय पदों के चिन्ह बदलते हैं।

आम गलतियाँ:

• वास्तविक संख्या के लिए भी केवल पूर्णांक मानों का समुच्चय लिख देना।
• अंतराल लिखते समय खुले और बंद अंतराल के चिन्हों में भ्रमित होना।
• पक्षांतर करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) वास्तविक संख्या वाले प्रश्नों के उत्तर अंतराल रूप में देना न भूलें।
b) अनंत (\( \infty \)) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक \( ) \) लगता है।
c) सरल पक्षांतर के चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 4: हल कीजिए: \( 3x + 8 > 2 \), जब
(i) \( x \) एक पूर्णांक है।
(ii) \( x \) एक वास्तविक संख्या है।

Answer:

दिया गया है: \( 3x + 8 > 2 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 3x > 2 - 8 \)
\( 3x > -6 \)
दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर:
\( x > -2 \)
(i) जब \( x \) एक पूर्णांक है:
-2 से बड़े पूर्णांक \( -1, 0, 1, 2, \dots \) हैं।
अतः, हल समुच्चय \( \{-1, 0, 1, 2, \dots\} \) है।
(ii) जब \( x \) एक वास्तविक संख्या है:
असमिका का हल -2 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः, अंतराल रूप में हल समुच्चय \( (-2, \infty) \) है।

मुख्य बिंदु:

• -2 से बड़ी संख्याओं में -1, 0 और धनात्मक संख्याएँ आती हैं।
• वास्तविक संख्याओं के लिए अंतराल रूप अधिक सटीक होता है।
• धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का मुख नहीं बदलता।

आम गलतियाँ:

• -2 से बड़े पूर्णांक में -3 या -2 को शामिल कर लेना।
• अंतराल लिखते समय अनंत को गलत दिशा में लिख देना।

Exam Tips:

a) संख्या रेखा बनाकर मानों की जाँच कर लें।
b) पूर्णांक और वास्तविक संख्या के उत्तर लिखने के प्रारूप को अलग-अलग समझें।

Question 5: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 4x + 3 < 6x + 7 \0

Answer:

दिया गया है: \( 4x + 3 < 6x + 7 \)
पदों का पक्षांतर करने पर:
\( 3 - 7 < 6x - 4x \)
\( -4 < 2x \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( -2 < x \) या \( x > -2 \)
अतः, हल समुच्चय -2 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिसे अंतराल रूप में \( (-2, \infty) \) लिखा जाता है।

मुख्य बिंदु:

• चर पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ ले जाना।
• \( -2 < x \) का अर्थ \( x > -2 \) ही होता है।
• वास्तविक संख्याओं के लिए हल हमेशा अंतराल में व्यक्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( -4 < 2x \) को हल करते समय चिन्ह गलत कर देना।
• अंतिम उत्तर को \( x > -2 \) की बजाय \( x < -2 \) लिख देना।

Exam Tips:

a) चर को हमेशा धनात्मक बनाने का प्रयास करें ताकि गलती न हो।
b) अंतिम उत्तर को मानक रूप (\( x > a \)) में ही लिखें।

Question 6: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 3x - 7 > 5x - 1 \0

Answer:

दिया गया है: \( 3x - 7 > 5x - 1 \)
पक्षांतर करने पर:
\( -7 + 1 > 5x - 3x \)
\( -6 > 2x \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( -3 > x \) या \( x < -3 \)
अतः, हल समुच्चय -3 से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिसे अंतराल रूप में \( (-\infty, -3) \) लिखा जाता है।

मुख्य बिंदु:

• \( -3 > x \) का अर्थ है कि \( x \) का मान -3 से कम है।
• असमिका को हल करते समय नियमों का क्रमिक पालन करें।

आम गलतियाँ:

• \( -3 > x \) से \( x > -3 \) समझ लेना।
• ऋणात्मक चिन्ह के पक्षांतर में गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि \( a > b \) है, तो इसका अर्थ \( b < a \) भी होता है, इसे ध्यान में रखें।

Question 7: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 3(x - 1) \le 2(x - 3) \0

Answer:

दिया गया है: \( 3(x - 1) \le 2(x - 3) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( 3x - 3 \le 2x - 6 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 3x - 2x \le -6 + 3 \)
\( x \le -3 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, -3] \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( \le \) चिन्ह का अर्थ है कि सीमांत बिंदु (-3) भी हल में सम्मिलित है।
• सम्मिलित बिंदु के लिए बंद अंतराल \( [ \) का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \le \) होने पर भी खुला कोष्ठक लगा देना।
• कोष्ठक खोलते समय गुणा में गलती करना।

Exam Tips:

a) \( \le \) और \( \ge \) के लिए बंद अंतराल \( [ ] \) का प्रयोग करें।

Question 8: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 3(2 - x) \ge 2(1 - x) \0

Answer:

दिया गया है: \( 3(2 - x) \ge 2(1 - x) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( 6 - 3x \ge 2 - 2x \)
पक्षांतर करने पर:
\( 6 - 2 \ge 3x - 2x \)
\( 4 \ge x \) या \( x \le 4 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 4] \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( 4 \ge x \) को \( x \le 4 \) लिखा जा सकता है।
• 4 इस हल में सम्मिलित है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिन्ह के साथ गुणा करते समय चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) चरणों को साफ-सुथरा लिखें ताकि गणना की गलती न हो।

Question 9: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 11 \0

Answer:

दिया गया है: \( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 11 \)
लघुत्तम (LCM) लेने पर:
\( x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) < 11 \)
\( x \left(\frac{6 + 3 + 2}{6}\right) < 11 \)
\( x \left(\frac{11}{6}\right) < 11 \)
दोनों पक्षों को \( \frac{6}{11} \) से गुणा करने पर:
\( x < 11 \times \frac{6}{11} \)
\( x < 6 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 6) \) है।

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों को जोड़ने के लिए हर समान करना आवश्यक है।
• उभयनिष्ठ (Common) निकालकर भी हल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• लघुत्तम लेने में गलती करना।
• भिन्नों को सीधे जोड़ देना।

Exam Tips:

a) अंश और हर का गुणन करते समय सावधानी रखें।

Question 10: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( \frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1 \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1 \)
पक्षांतर करने पर:
\( \frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1 \)
लघुत्तम लेने पर:
\( \frac{2x - 3x}{6} > 1 \)
\( \frac{-x}{6} > 1 \)
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर:
\( -x > 6 \)
दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर (असमिका का चिन्ह बदलेगा):
\( x < -6 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, -6) \) है।

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक चिन्ह से गुणा करने पर असमिका की दिशा बदल जाती है।
• 6 और 3 का लघुत्तम 6 है।

आम गलतियाँ:

• -1 से गुणा करते समय असमिका का चिन्ह न बदलना।

Exam Tips:

a) चिन्ह बदलने के नियम को कभी न भूलें।

Question 11: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( \frac{3(x - 2)}{5} \le \frac{5(2 - x)}{3} \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{3(x - 2)}{5} \le \frac{5(2 - x)}{3} \)
वज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर:
\( 9(x - 2) \le 25(2 - x) \)
\( 9x - 18 \le 50 - 25x \)
पक्षांतर करने पर:
\( 9x + 25x \le 50 + 18 \)
\( 34x \le 68 \)
दोनों पक्षों को 34 से भाग देने पर:
\( x \le 2 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 2] \) है।

मुख्य बिंदु:

• धनात्मक हर होने पर वज्र गुणन करने से असमिका का चिन्ह नहीं बदलता।
• समान पदों को एक तरफ एकत्रित करना।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठक के बाहर की संख्या से अंदर के दोनों पदों को गुणा न करना।

Exam Tips:

a) वज्र गुणन विधि समय बचाती है और गणना को सरल बनाती है।

Question 12: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( \frac{1}{2} \left(\frac{3x}{5} + 4\right) \ge \frac{1}{3}(x - 6) \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{1}{2} \left(\frac{3x}{5} + 4\right) \ge \frac{1}{3}(x - 6) \)
अंदर गुणा करने पर:
\( \frac{3x}{10} + 2 \ge \frac{x}{3} - 2 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 2 + 2 \ge \frac{x}{3} - \frac{3x}{10} \)
\( 4 \ge \frac{10x - 9x}{30} \)
\( 4 \ge \frac{x}{30} \)
दोनों पक्षों को 30 से गुणा करने पर:
\( x \le 120 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 120] \) है।

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों के समीकरणों में लघुत्तम लेकर हर को हटाना आसान होता है।
• \( 4 \ge \frac{x}{30} \) का अर्थ \( x \le 120 \) है।

आम गलतियाँ:

• बाहर दी गई भिन्न से केवल पहले पद को गुणा करना।

Exam Tips:

a) पहले कोष्ठक को हल करें, फिर पक्षांतर करें।

Question 13: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 2(2x + 3) - 10 < 6(x - 2) \0

Answer:

दिया गया है: \( 2(2x + 3) - 10 < 6(x - 2) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( 4x + 6 - 10 < 6x - 12 \)
\( 4x - 4 < 6x - 12 \)
पक्षांतर करने पर:
\( -4 + 12 < 6x - 4x \)
\( 8 < 2x \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( 4 < x \) या \( x > 4 \)
अतः, हल समुच्चय \( (4, \infty) \) है।

मुख्य बिंदु:

• समान पदों को जोड़ना या घटाना (+6 - 10 = -4)।
• चर को धनात्मक रखने के लिए सही दिशा में पक्षांतर करें।

आम गलतियाँ:

• +6 और -10 को हल करते समय चिन्ह की भूल करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण में बीजगणितीय नियमों का सख्ती से पालन करें।

Question 14: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( 37 - (3x + 5) \ge 9x - 8(x - 3) \0

Answer:

दिया गया है: \( 37 - (3x + 5) \ge 9x - 8(x - 3) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( 37 - 3x - 5 \ge 9x - 8x + 24 \)
\( 32 - 3x \ge x + 24 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 32 - 24 \ge x + 3x \)
\( 8 \ge 4x \)
दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर:
\( 2 \ge x \) या \( x \le 2 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 2] \) है।

मुख्य बिंदु:

• माइनस चिन्ह के साथ कोष्ठक खोलने पर अंदर के सभी चिन्ह बदल जाते हैं।
• \( 37 - 5 = 32 \) और \( 9x - 8x = x \) ।

आम गलतियाँ:

• \( -(3x + 5) \) को \( -3x + 5 \) लिख देना (माइनस चिन्ह अंदर नहीं पहुँचाना)।

Exam Tips:

a) कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर विशेष सतर्कता बरतें।

Question 15: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( \frac{x}{4} < \frac{(5x - 2)}{3} - \frac{(7x - 3)}{5} \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{x}{4} < \frac{5x - 2}{3} - \frac{7x - 3}{5} \)
दाएँ पक्ष में लघुत्तम (LCM = 15) लेने पर:
\( \frac{x}{4} < \frac{5(5x - 2) - 3(7x - 3)}{15} \)
\( \frac{x}{4} < \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15} \)
\( \frac{x}{4} < \frac{4x - 1}{15} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 15x < 4(4x - 1) \)
\( 15x < 16x - 4 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 4 < 16x - 15x \)
\( x > 4 \)
अतः, हल समुच्चय \( (4, \infty) \) है।

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों के व्यंजकों को हल करने के लिए लघुत्तम लेना सबसे प्रभावी तरीका है।
• वज्र गुणन करते समय हर के धनात्मक होने की पुष्टि करें।

आम गलतियाँ:

• -3 से \( (7x - 3) \) को गुणा करते समय चिन्ह की गलती करना (\( -3 \times -3 = +9 \) ।

Exam Tips:

a) लघुत्तम लेते समय अंश के पदों को कोष्ठक में रखकर गुणा करें।

Question 16: वास्तविक संख्या \( x \) के लिए हल कीजिए: \( \frac{(2x - 1)}{3} \ge \frac{(3x - 2)}{4} - \frac{(2 - x)}{5} \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4} - \frac{2 - x}{5} \)
दाएँ पक्ष का लघुत्तम (LCM = 20) लेने पर:
\( \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{5(3x - 2) - 4(2 - x)}{20} \)
\( \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{15x - 10 - 8 + 4x}{20} \)
\( \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{19x - 18}{20} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 20(2x - 1) \ge 3(19x - 18) \)
\( 40x - 20 \ge 57x - 54 \)
पक्षांतर करने पर:
\( -20 + 54 \ge 57x - 40x \)
\( 34 \ge 17x \)
\( 2 \ge x \) या \( x \le 2 \)
अतः, हल समुच्चय \( (-\infty, 2] \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो भिन्न भिन्नों के घटाव में हरों का ल.स.पा. (LCM) निकालना आवश्यक है।
• \( 34 \ge 17x \) को सरल करने पर \( x \le 2 \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( -4(2 - x) \) में -4 को -x से गुणा करके धनात्मक न बनाना।

Exam Tips:

a) चरण-दर-चरण गणना करें ताकि बड़ी संख्याओं में गलती न हो।

Question 17: असमिका का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए: \( 3x - 2 < 2x + 1 \0

Answer:

दिया गया है: \( 3x - 2 < 2x + 1 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 3x - 2x < 1 + 2 \)
\( x < 3 \)
अतः हल समुच्चय \( (-\infty, 3) \) है।
संख्या रेखा पर आलेखन: संख्या रेखा पर 3 पर एक खुला वृत्त (open circle) बनाकर बाईं ओर की सभी संख्याओं को गाढ़ा किया जाता है जो यह दर्शाता है कि 3 सम्मिलित नहीं है और उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हल हैं।

मुख्य बिंदु:

• खुले वृत्त का अर्थ है कि सीमांत बिंदु हल में शामिल नहीं है।
• तीर का निशान अनंत की ओर संकेत करता है।

आम गलतियाँ:

• खुले वृत्त के स्थान पर ठोस (solid) वृत्त बना देना।

Exam Tips:

a) संख्या रेखा बनाते समय उचित पैमाना और तीर के निशान अवश्य बनाएँ।

Question 18: असमिका का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए: \( 5x - 3 \ge 3x - 5 \0

Answer:

दिया गया है: \( 5x - 3 \ge 3x - 5 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 5x - 3x \ge -5 + 3 \)
\( 2x \ge -2 \)
\( x \ge -1 \)
अतः हल समुच्चय \( [-1, \infty) \) है।
संख्या रेखा पर आलेखन: संख्या रेखा पर -1 पर एक ठोस वृत्त (solid circle) बनाकर दाईं ओर की सभी संख्याओं को रेखांकित किया जाता है, जो यह दर्शाता है कि -1 और उससे बड़ी सभी संख्याएँ हल हैं।

मुख्य बिंदु:

• \( \ge \) या \( \le \) होने पर संख्या रेखा पर ठोस वृत्त बनाया जाता है।
• दाईं ओर की रेखाएँ बड़ी संख्याओं को दर्शाती हैं।

आम गलतियाँ:

• -1 पर खुला वृत्त बना देना।

Exam Tips:

a) ठोस और खुले वृत्त के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें और दर्शाएँ।

Question 19: असमिका का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए: \( 3(1 - x) < 2(x + 4) \0

Answer:

दिया गया है: \( 3(1 - x) < 2(x + 4) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( 3 - 3x < 2x + 8 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 3 - 8 < 2x + 3x \)
\( -5 < 5x \)
\( -1 < x \) या \( x > -1 \)
अतः हल समुच्चय \( (-1, \infty) \) है।
संख्या रेखा पर आलेखन: -1 पर एक खुला वृत्त बनाकर -1 से दाईं ओर की संख्या रेखा को गाढ़ा किया जाता है।

मुख्य बिंदु:

• \( x > -1 \) का अर्थ है कि -1 से बड़ी सभी संख्याएँ।
• खुला वृत्त यह स्पष्ट करता है कि -1 स्वयं हल का भाग नहीं है।

आम गलतियाँ:

• गलत दिशा में तीर का निशान लगा देना।

Exam Tips:

a) संख्या रेखा का आलेखन उत्तर का अनिवार्य भाग है, इसे न छोड़ें।

Question 20: असमिका का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए: \( \frac{x}{2} \ge \frac{(5x - 2)}{3} - \frac{(7x - 3)}{5} \0

Answer:

दिया गया है: \( \frac{x}{2} \ge \frac{5x - 2}{3} - \frac{7x - 3}{5} \)
दाएँ पक्ष में लघुत्तम (LCM = 15) लेने पर:
\( \frac{x}{2} \ge \frac{5(5x - 2) - 3(7x - 3)}{15} \)
\( \frac{x}{2} \ge \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15} \)
\( \frac{x}{2} \ge \frac{4x - 1}{15} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 15x \ge 2(4x - 1) \)
\( 15x \ge 8x - 2 \)
पक्षांतर करने पर:
\( 15x - 8x \ge -2 \)
\( 7x \ge -2 \)
\( x \ge -\frac{2}{7} \)
अतः हल समुच्चय \( \left[-\frac{2}{7}, \infty\right) \) है।
संख्या रेखा पर आलेखन: \( -\frac{2}{7} \) (जो लगभग -0.28 है) पर एक ठोस वृत्त बनाकर दाईं ओर की संख्या रेखा को आलेखित किया जाता है।

मुख्य बिंदु:

• भिन्न मानों को संख्या रेखा पर लगभग सही स्थान पर दर्शाना चाहिए।
• \( \ge \) चिन्ह के कारण ठोस वृत्त बनेगा।

आम गलतियाँ:

• भिन्न मान को संख्या रेखा पर गलत बिंदु पर अंकित करना।

Exam Tips:

a) दशमलव रूप में बदलकर संख्या रेखा पर स्थिति का अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है।

Question 21: रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके।

Answer:

माना रवि की तीसरी एकक परीक्षा में प्राप्तांक \( x \) हैं।
प्रلاશ્नानुसार, न्यूनतम औसत 60 होना चाहिए, इसलिए:
\( \frac{70 + 75 + x}{3} \ge 60 \)
\( \frac{145 + x}{3} \ge 60 \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 145 + x \ge 180 \)
\( x \ge 180 - 145 \)
\( x \ge 35 \)
अतः, रवि को तीसरी परीक्षा में कम से कम 35 अंक प्राप्त करने चाहिए ताकि उसका औसत न्यूनतम 60 हो सके।

मुख्य बिंदु:

• औसत निकालने के लिए कुल अंकों को कुल परीक्षाओं की संख्या (3) से भाग दिया जाता है।
• न्यूनतम औसत का अर्थ है कि मान 60 से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए (\( \ge \))。

आम गलतियाँ:

• कुल परीक्षाओं की संख्या से भाग देना भूल जाना।
• \( \ge \) के स्थान पर केवल \( = \) का प्रयोग करना।

Exam Tips:

• इबारती प्रश्नों को ध्यान से पढ़कर असमिका का समीकरण बनाएँ।

Question 22: किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड 'A' पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 में से) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए। यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87, 92, 94 और 95 हैं तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसे जिसे पाँचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड 'A' पाएगी।

Answer:

माना सुनीता के पाँचवीं परीक्षा में प्राप्तांक \( x \) हैं।
ग्रेड 'A' पाने के लिए औसत 90 या उससे अधिक होना चाहिए, इसलिए:
\( \frac{87 + 92 + 94 + 95 + x}{5} \ge 90 \)
\( \frac{368 + x}{5} \ge 90 \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 368 + x \ge 450 \)
\( x \ge 450 - 368 \)
\( x \ge 82 \)
अतः, सुनीता को पाँचवीं परीक्षा में कम से कम 82 अंक प्राप्त करने होंगे।

मुख्य बिंदु:

• कुल 5 परीक्षाओं के अंकों का योग निकाला गया है।
• '90 या अधिक' के लिए \( \ge 90 \) का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रथम चार अंकों के योग में गलती करना।

Exam Tips:

a) जोड़ की गणना की दो बार जाँच अवश्य करें।

Question 23: 10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।

Answer:

माना पहली क्रमागत विषम संख्या \( x \) है। तब दूसरी संख्या \( x + 2 \) होगी।
प्रश्ناनुसार:
1) संख्याएँ 10 से कम हैं, अतः:
\( x < 10 \dots (1) \)
2) दोनों संख्याओं का योग 11 से अधिक है, अतः:
\( x + (x + 2) > 11 \)
\( 2x + 2 > 11 \)
\( 2x > 9 \)
\( x > 4.5 \dots (2) \)
समीकरण (1) और (2) से, \( 4.5 < x < 10 \) ।
चूँकि \( x \) एक विषम संख्या है, अतः \( x \) का मान 5 या 7 हो सकता है।
यदि \( x = 5 \), तो दूसरी संख्या \( 5 + 2 = 7 \) ।
यदि \( x = 7 \), तो दूसरी संख्या \( 7 + 2 = 9 \) ।
अतः, अभीष्ट युग्म (5, 7) और (7, 9) हैं।

मुख्य बिंदु:

• क्रमागत विषम संख्याओं में 2 का अंतर होता है (\( x \) और \( x + 2 \))।
• एक से अधिक प्रतिबंधों वाले प्रश्नों में सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ हल निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• विषम संख्या के बजाय कोई भी पूर्णांक या सम संख्या युग्म में ले लेना।

Exam Tips:

a) प्रतिबंधों को अलग-अलग समीकरणों के रूप में लिखकर हल करें।

Question 24: क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों, तथा उनका योगफल 23 से कम हो।

Answer:

माना पहली क्रमागत सम संख्या \( x \) है। तब दूसरी संख्या \( x + 2 \) होगी।
प्रश्नानुसार:
1) प्रत्येक संख्या 5 से बड़ी है, अतः:
\( x > 5 \dots (1) \)
2) दोनों संख्याओं का योग 23 से कम है, अतः:
\( x + (x + 2) < 23 \)
\( 2x + 2 < 23 \)
\( 2x < 21 \)
\( x < 10.5 \dots (2) \)
समीकरण (1) और (2) से, \( 5 < x < 10.5 \) ।
चूँकि \( x \) एक सम संख्या है, अतः \( x \) के संभावित मान 6, 8 और 10 हो सकते हैं।
• यदि \( x = 6 \), युग्म = (6, 8)
• यदि \( x = 8 \), युग्म = (8, 10)
• यदि \( x = 10 \), युग्म = (10, 12)
अतः, अभीष्ट सम संख्याओं के युग्म (6, 8), (8, 10) और (10, 12) हैं।

मुख्य बिंदु:

• सम संख्याएँ 2 के अंतर पर होती हैं।
• सीमा के अंतर्गत आने वाली सभी सम संख्याओं की सूची बनाएँ।

आम गलतियाँ:

• 10.5 से बड़ी सम संख्या को भी सम्मिलित कर लेना।

Exam Tips:

a) अंतिम निष्कर्ष निकालते समय प्रश्न की सभी शर्तों की पुनः जाँच करें।

Question 25: एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे छोटी भुजा से 2 सेमी कम है। तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।

Answer:

माना त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई \( x \) सेमी है।
प्रश्न के अनुसार:
• सबसे बड़ी भुजा = \( 3x \) सेमी
• तीसरी भुजा = \( (3x - 2) \) सेमी
त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग \( \ge 61 \)
\( x + 3x + (3x - 2) \ge 61 \)
\( 7x - 2 \ge 61 \)
\( 7x \ge 63 \)
\( x \ge 9 \)
सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई 9 सेमी है।
अतः, तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई = \( 3(9) - 2 = 27 - 2 = 25 \) सेमी।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।
• 'न्यूनतम 61' का अर्थ है कि परिमाप 61 या उससे अधिक हो सकता है (\( \ge 61 \))。

आम गलतियाँ:

• केवल सबसे छोटी भुजा ज्ञात करके उत्तर समाप्त कर देना (प्रश्न में तीसरी भुजा पूछी गई है)।

Exam Tips:

a) उत्तर लिखने से पहले यह जरूर देख लें कि प्रश्न में अंततः क्या पूछा गया है।

Question 26: एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाइयां काटना चाहता है। दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दुगुनी है। सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाइयां क्या हैं, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे से कम से कम 5 सेमी अधिक बड़ा हो?

Answer:

माना सबसे छोटी लंबाई \( x \) सेमी है।
तब दूसरी लंबाई = \( (x + 3) \) सेमी और तीसरी लंबाई = \( 2x \) सेमी।
शर्त 1: तीनों टुकड़ों की कुल लंबाई 91 सेमी से अधिक नहीं हो सकती:
\( x + (x + 3) + 2x \le 91 \)
\( 4x + 3 \le 91 \)
\( 4x \le 88 \)
\( x \le 22 \dots (1) \)
शर्त 2: तीसरा टुकड़ा, दूसरे से कम से कम 5 सेमी बड़ा होना चाहिए:
\( 2x \ge (x + 3) + 5 \)
\( 2x \ge x + 8 \)
\( x \ge 8 \dots (2) \)
समीकरण (1) और (2) से:
\( 8 \le x \le 22 \)
अतः, सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई 8 सेमी के बराबर या इससे बड़ी होनी चाहिए और 22 सेमी के बराबर या इससे छोटी होनी चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• 'कम से कम 5 सेमी अधिक' का अर्थ है \( \ge \) चिन्ह का प्रयोग।
• कुल लंबाई 91 से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए \( \le 91 \) ।

आम गलतियाँ:

• असमिका के चिन्हों (<, >) को विपरीत दिशा में लगा देना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के बड़े प्रश्नों को छोटे-छोटे तार्किक भागों में विभाजित करके हल करें।