NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 04 Complex Numbers and Quadratic Equations (सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: \( \left[ i^{18} + \left( \frac{1}{i} \right)^{25} \right]^3 \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left[ i^{18} + \left( \frac{1}{i} \right)^{25} \right]^3 \)
हम जानते हैं कि \( i^2 = -1 \) और \( i^4 = 1 \)
अतः \( i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = (1)^4 \cdot (-1) = -1 \)
तथा \( \left( \frac{1}{i} \right)^{25} = \frac{1}{i^{25}} = \frac{1}{(i^4)^6 \cdot i} = \frac{1}{1 \cdot i} = \frac{1}{i} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( = \frac{1}{i} \times \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i \)
अब इन मानो को मूल व्यंजक में रखने पर:
\( = [-1 + (-i)]^3 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \) का प्रयोग करने पर:
\( = (-1)^3 + (-i)^3 + 3(-1)(-i)(-1 - i) \)
\( = -1 - i^3 + 3i(-1 - i) \)
चूँकि \( i^3 = i^2 \cdot i = -i \), अतः \( -i^3 = -(-i) = i \)
\( = -1 + i - 3i - 3i^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः
\( = -1 - 2i - 3(-1) \)
\( = -1 - 2i + 3 \)
\( = 2 - 2i \)

मुख्य बिंदु:

• \( i \) की घातों को हल करने के लिए \( i^4 = 1 \) और \( i^2 = -1 \) का प्रयोग किया जाता है।
• हर में \( i \) होने पर उसे अंश और हर में \( i \) से गुणा करके सरल करते हैं।
• बीजीय सर्वसमिकाओं का सही प्रयोग गणना को आसान बनाता है।

आम गलतियाँ:

• \( i^3 \) के मान को \( -i \) के स्थान पर \( i \) लिख देना।
• कोष्ठक खोलते समय चिन्हों की गलती करना।
• \( i^2 \) को \( 1 \) मान लेना जबकि उसका मान \( -1 \) होता है।

Exam Tips:

a) सम्मिश्र संख्या की घात वाले प्रश्नों को हल करते समय \( i^4 \) के गुणज में घातों को विभाजित करें।
b) प्रत्येक चरण में \( i^2 = -1 \) का मान स्पष्ट रूप से प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम उत्तर को हमेशा \( a + ib \) के मानक रूप में लिखें।

Question 2: किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं \( z_1 \) और \( z_2 \) के लिए सिद्ध कीजिए: \( \text{Re}(z_1 z_2) = \text{Re } z_1 \text{ Re } z_2 - \text{Im } z_1 \text{ Im } z_2 \)

Answer:

माना \( z_1 = x_1 + iy_1 \) और \( z_2 = x_2 + iy_2 \)
यहाँ \( \text{Re } z_1 = x_1 \), \( \text{Im } z_1 = y_1 \), \( \text{Re } z_2 = x_2 \) और \( \text{Im } z_2 = y_2 \) है।
अब \( z_1 \) और \( z_2 \) का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\( z_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) \)
\( = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + iy_1 x_2 + i^2 y_1 y_2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + iy_1 x_2 - y_1 y_2 \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
\( = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2) \)
अतः \( z_1 z_2 \) का वास्तविक भाग (Real part) होगा:
\( \text{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 \)
मान रखने पर:
\( \text{Re}(z_1 z_2) = \text{Re } z_1 \cdot \text{Re } z_2 - \text{Im } z_1 \cdot \text{Im } z_2 \)
(इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• किसी भी सम्मिश्र संख्या \( z = x + iy \) में \( x \) वास्तविक भाग और \( y \) काल्पनिक भाग होता है।
• दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणा बीजगणित के नियमों के अनुसार ही होता है।
• सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंत में माने गए चरों को मूल पदों में वापस रखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• गुणा करते समय \( i^2 \) के कारण आने वाले ऋण चिन्ह को भूल जाना।
• वास्तविक और काल्पनिक भागों को एक साथ मिला देना।
• परिभाषा को ठीक से समझे बिना सीधे परिणाम लिखना।

Exam Tips:

a) ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शुरुआत में ही \( z_1 \) और \( z_2 \) को मानक रूप में मान लें।
b) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।

Question 3: \( \left( \frac{1}{1 - 4i} - \frac{2}{1 + i} \right) \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \) को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left( \frac{1}{1 - 4i} - \frac{2}{1 + i} \right) \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \)
पहले कोष्ठक के अंदर लघुत्तम लेकर हल करते हैं:
\( = \left[ \frac{(1 + i) - 2(1 - 4i)}{(1 - 4i)(1 + i)} \right] \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \)
अंश और हर को सरल करने पर:
\( = \left[ \frac{1 + i - 2 + 8i}{1 + i - 4i - 4i^2} \right] \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः हर में मान रखने पर:
\( = \left[ \frac{-1 + 9i}{1 - 3i - 4(-1)} \right] \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \)
\( = \left( \frac{-1 + 9i}{5 - 3i} \right) \left( \frac{3 - 4i}{5 + i} \right) \)
अब अंशों और हरों को आपस में गुणा करते हैं:
अंश का गुणा: \( (-1 + 9i)(3 - 4i) = -3 + 4i + 27i - 36i^2 = -3 + 31i - 36(-1) = 33 + 31i \)
हर का गुणा: \( (5 - 3i)(5 + i) = 25 + 5i - 15i - 3i^2 = 25 - 10i - 3(-1) = 28 - 10i \)
अतः व्यंजक बनता है:
\( = \frac{33 + 31i}{28 - 10i} \)
हर से \( 2 \) उभयनिष्ठ लेकर काटने पर तथा संयुग्म से गुणा करने पर:
\( = \frac{33 + 31i}{2(14 - 5i)} \times \frac{14 + 5i}{14 + 5i} \)
अंश का गुणा:
\( (33 + 31i)(14 + 5i) = 462 + 165i + 434i + 155i^2 = 462 + 599i - 155 = 307 + 599i \)
हर का गुणा:
\( 2(14^2 - (5i)^2) = 2(196 - 25(-1)) = 2(196 + 25) = 2(221) = 442 \)
अतः मानक रूप होगा:
\( = \frac{307 + 599i}{442} = \frac{307}{442} + \frac{599}{442}i \)

मुख्य बिंदु:

• भिन्न रूप की सम्मिश्र संख्याओं को घटाने या जोड़ने के लिए लघुत्तम (LCM) लिया जाता है।
• हर से \( i \) हटाने के लिए उसके संयुग्म (Conjugate) से अंश और हर में गुणा करते हैं।
• गणना के प्रत्येक चरण में \( i^2 = -1 \) का ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• हर का परिमेयकरण करते समय संयुग्म का चिन्ह गलत लेना।
• गुणा करते समय बीजगणितीय पदों की अदला-बदली में गलती करना।
• उत्तर को \( a + ib \) के मानक रूप में अलग-अलग न लिखना।

Exam Tips:

a) बड़े व्यंजकों को छोटे-छोटे भागों (जैसे कोष्ठक के अंदर का भाग पहले) में हल करें।
b) गुणा करते समय रफ कार्य साफ-साफ करें ताकि गणना की गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर में वास्तविक और काल्पनिक भाग को स्पष्ट रूप से अलग दिखाएं।

Question 4: यदि \( x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}} \), तो सिद्ध कीजिए कि \( (x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} \)

Answer:

दिया गया है: \( x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (x - iy)^2 = \frac{a - ib}{c - id} \)
अब आरम्भ में दी गई संख्या का संयुग्म लेने पर या सीधे दोनों पक्षों का मापांक लेने पर हल आसान होता है। वैकल्पिक विधि (मापांक का गुणधर्म):
दोनों पक्षों का मापांक (Modulus) लेने पर:
\( |x - iy| = \left| \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}} \right| \)
हम जानते हैं कि \( |x - iy| = \sqrt{x^2 + y^2} \) और \( |z_1 / z_2| = |z_1| / |z_2| \) तथा \( |\bar{z}| = |z| \)
अतः:
\( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{a^2 + (-b)^2}}{\sqrt{c^2 + (-d)^2}} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{c^2 + d^2}} \)
अब दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर:
\( (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = \left( \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{c^2 + d^2}} \right)^2 \)
\( (x^2 + y^2) = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} \)
परन्तु प्रश्न में सिद्ध करना है: \( (x^2 + y^2)^2 = \left( \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} \right) \)
आइए इसे सीधे गुणा और संयुग्म विधि से हल करें:
दिया है: \( x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}} \)
इसका संयुग्म लेने पर:
\( x + iy = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \)
अब दोनों समीकरणों को आपस में गुणा करने पर:
\( (x - iy)(x + iy) = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}} \times \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \)
\( x^2 - (iy)^2 = \sqrt{\frac{(a - ib)(a + ib)}{(c - id)(c + id)}} \)
\( x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 - i^2 b^2}{c^2 - i^2 d^2}} \)
\( x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} \)
अब दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (x^2 + y^2)^2 = \left( \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} \right)^2 \)
\( (x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} \)
(इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का गुणनफल हमेशा उसके मापांक के वर्ग के बराबर होता है (\( z\bar{z} = |z|^2 \))。
• संयुग्म विधि ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों (जहाँ वर्ग सिद्ध करना हो) में सबसे सरल होती है।
• समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी संक्रिया (वर्ग करना या संयुग्म लेना) की जाती है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल के अंदर ही सीधे जोड़-घटाव कर देना।
• संयुग्म लेते समय वास्तविक भाग का चिन्ह भी बदल देना।
• अंतिम चरण में वर्ग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में वर्गमूल दिया हो, तो संयुग्म विधि का प्रयोग करना सबसे उत्तम और छोटा तरीका है।
b) \( (x-iy)(x+iy) = x^2+y^2 \) के सूत्र का सीधा प्रयोग करें।
c) अंत में 'इति सिद्धम्' अवश्य लिखें।

Question 5: यदि \( z_1 = 2 - i, z_2 = 1 + i \), तो \( \left| \frac{z_1 + z_2 + 1}{z_1 - z_2 + 1} \right| \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए मान हैं: \( z_1 = 2 - i \) और \( z_2 = 1 + i \)
सबसे पहले अंश \( z_1 + z_2 + 1 \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( z_1 + z_2 + 1 = (2 - i) + (1 + i) + 1 \)
\( = 2 - i + 1 + i + 1 \)
\( = 4 \)
अब हर \( z_1 - z_2 + 1 \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( z_1 - z_2 + 1 = (2 - i) - (1 + i) + 1 \)
\( = 2 - i - 1 - i + 1 \)
\( = 2 - 2i \)
अतः व्यंजक बनता है:
\( \frac{z_1 + z_2 + 1}{z_1 - z_2 + 1} = \frac{4}{2 - 2i} \)
हर से \( 2 \) उभयनिष्ठ लेकर काटने पर:
\( = \frac{2}{1 - i} \)
अब इसे मानक रूप में बदलने के लिए हर के संयुग्म \( (1 + i) \) से गुणा और भाग करते हैं:
\( = \frac{2}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} \)
\( = \frac{2(1 + i)}{1^2 - i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( = \frac{2(1 + i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i \)
अब हमें मापांक ज्ञात करना है: \( \left| \frac{z_1 + z_2 + 1}{z_1 - z_2 + 1} \right| = |1 + i| \)
मापांक के सूत्र \( |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2} \) से:
\( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)

मुख्य बिंदु:

• पहले अंश और हर के सम्मिश्र मानों को अलग-अलग सरल किया जाता है।
• भागफल को मानक रूप में बदलकर ही मापांक निकाला जाता है।
• किसी सम्मिश्र संख्या \( x + iy \) का मापांक \( \sqrt{x^2 + y^2} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• मान रखते समय कोष्ठक न लगाने के कारण चिन्ह की गलती करना।
• अंतिम संख्या का मापांक निकालना भूल जाना और केवल \( 1+i \) पर छोड़ देना।
• हर का परिमेयकरण करते समय चिन्ह गलत लेना।

Exam Tips:

a) अंश और हर को पहले पूरी तरह हल करके एक एकल सम्मिश्र संख्या बनाएं।
b) मापांक निकालते समय \( i \) को शामिल न करें (क्योंकि \( |x+iy| \) में केवल वास्तविक और काल्पनिक भागों के गुणांकों के वर्गों का योग होता है)।
c) गणना के हर चरण को साफ-सुथरा लिखें।

Question 6: यदि \( a + ib = \frac{(x + i)^2}{2x^2 + 1} \), सिद्ध कीजिए कि \( a^2 + b^2 = \frac{(x^2 + 1)^2}{(2x^2 + 1)^2} \)

Answer:

दिया गया है: \( a + ib = \frac{(x + i)^2}{2x^2 + 1} \)
अंश में पूर्ण वर्ग खोलने पर: \( (x + i)^2 = x^2 + i^2 + 2xi \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( (x + i)^2 = x^2 - 1 + 2xi \)
अब इसे व्यंजक में रखने पर:
\( a + ib = \frac{x^2 - 1 + 2xi}{2x^2 + 1} \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
\( a + ib = \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 1} + i \left( \frac{2x}{2x^2 + 1} \right) \)
यहाँ तुलना करने पर:
\( a = \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 1} \) और \( b = \frac{2x}{2x^2 + 1} \)
अब हमें सिद्ध करना है कि \( a^2 + b^2 = \frac{(x^2 + 1)^2}{(2x^2 + 1)^2} \)
बायां पक्ष (LHS) लेते हैं:
\( a^2 + b^2 = \left( \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 1} \right)^2 + \left( \frac{2x}{2x^2 + 1} \right)^2 \)
वर्ग खोलने पर:
\( = \frac{(x^2 - 1)^2}{(2x^2 + 1)^2} + \frac{(2x)^2}{(2x^2 + 1)^2} \)
हर समान होने के कारण अंशों को जोड़ते हैं:
\( = \frac{(x^2 - 1)^2 + 4x^2}{(2x^2 + 1)^2} \)
अंश का बीजगणितीय विस्तार करने पर \( (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \):
\( = \frac{x^4 - 2x^2 + 1 + 4x^2}{(2x^2 + 1)^2} \)
\( = \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{(2x^2 + 1)^2} \)
अंश को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \( x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \):
\( = \frac{(x^2 + 1)^2}{(2x^2 + 1)^2} \)
\( = \text{RHS} \)
(इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करके \( a \) और \( b \) के मान निकाले जाते हैं।
• \( a^2 + b^2 \) का मान ज्ञात करने के लिए दोनों के मानों का वर्ग करके जोड़ा जाता है।
• बीजीय सर्वसमिकाओं जैसे \( (a-b)^2 \) और \( (a+b)^2 \) का सही उपयोग करना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( (x+i)^2 \) को खोलते समय \( i^2 \) के मान \( -1 \) को न रखना।
• भिन्नों के वर्गों को जोड़ते समय हर का वर्ग करना भूल जाना।
• \( x^4 + 2x^2 + 1 \) को \( (x^2+1)^2 \) के रूप में न पहचान पाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पहले दी गई संख्या को \( a + ib \) के मानक रूप में लाएं।
b) \( a \) और \( b \) के मान निकालकर सीधे LHS में रखें।
c) लघुत्तम समान होने पर गणना बहुत सरल हो जाती है, अतः हर को न खोलें बल्कि वैसे ही रहने दें।

Question 7: माना \( z_1 = 2 - i, z_2 = -2 + i \), निम्न का मान निकालिए: (i) \( \text{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right) \) (ii) \( \text{Im}\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right) \)

Answer:

दिए गए मान हैं: \( z_1 = 2 - i \) और \( z_2 = -2 + i \)
अतः \( z_1 \) का संयुग्म \( \bar{z}_1 = 2 + i \) होगा।
(i) \( \text{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right) \) का मान ज्ञात करना:
पहले अंश \( z_1 z_2 \) निकालते हैं:
\( z_1 z_2 = (2 - i)(-2 + i) = -4 + 2i + 2i - i^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( = -4 + 4i - (-1) = -4 + 4i + 1 = -3 + 4i \)
अब पूरे व्यंजक को हल करते हैं:
\( \frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1} = \frac{-3 + 4i}{2 + i} \)
हर के संयुग्म \( (2 - i) \) से अंश और हर में गुणा करने पर:
\( = \frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
अंश का गुणा:
\( (-3 + 4i)(2 - i) = -6 + 3i + 8i - 4i^2 = -6 + 11i - 4(-1) = -6 + 11i + 4 = -2 + 11i \)
हर का गुणा:
\( (2)^2 - (i)^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)
अतः व्यंजक बना:
\( = \frac{-2 + 11i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i \)
अतः वास्तविक भाग होगा:
\( \text{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right) = -\frac{2}{5} \)

(ii) \( \text{Im}\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right) \) का मान ज्ञात करना:
हम जानते हैं कि \( z_1 \bar{z}_1 = |z_1|^2 \)
यहाँ \( z_1 = 2 - i \), अतः \( |z_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
अतः \( z_1 \bar{z}_1 = (\sqrt{5})^2 = 5 \)
अब व्यंजक बनता है:
\( \frac{1}{z_1 \bar{z}_1} = \frac{1}{5} \)
इसे मानक रूप में \( \frac{1}{5} + 0i \) लिखा जा सकता है।
अतः इसका काल्पनिक भाग होगा:
\( \text{Im}\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right) = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का गुणनफल \( z\bar{z} = |z|^2 \) होता है, जो एक वास्तविक संख्या होती है।
• \( \text{Re} \) का अर्थ केवल वास्तविक भाग लिखना है और \( \text{Im} \) का अर्थ काल्पनिक भाग लिखना है।
• भाग को हल करने के लिए हर का परिमेयकरण आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• संयुग्म \( \bar{z}_1 \) निकालते समय \( z_2 \) का संयुग्म ले लेना।
• भागफल निकालने के बाद वास्तविक या काल्पनिक भाग चुनते समय पूरा पद (सहित \( i \)) लिख देना।
• \( z\bar{z} \) के गुणधर्म को भूलकर लंबी गुणा करना।

Exam Tips:

a) \( z\bar{z} = |z|^2 \) गुणधर्म का प्रयोग करने से गणना बहुत छोटी हो जाती है।
b) उप-भाग (i) और (ii) को अलग-अलग स्पष्ट रूप से हल करें।
c) उत्तर में केवल वांछित भाग (वास्तविक या काल्पनिक) ही लिखें, साथ में \( i \) न लगाएं।

Question 8: यदि \( (x - iy)(3 + 5i), -6 - 24i \) की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ \( x \) और \( y \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

प्रश्न के अनुसार, सम्मिश्र संख्या \( (x - iy)(3 + 5i) \), संख्या \( -6 - 24i \) की संयुग्मी है।
अतः समीकरण है:
\( (x - iy)(3 + 5i) = \overline{-6 - 24i} \)
हम जानते हैं कि किसी संख्या का संयुग्म उसके काल्पनिक भाग का चिन्ह बदलने पर प्राप्त होता है:
\( \overline{-6 - 24i} = -6 + 24i \)
अतः समीकरण बनता है:
\( (x - iy)(3 + 5i) = -6 + 24i \)
अब बाएं पक्ष का गुणा करते हैं:
\( 3x + 5xi - 3yi - 5y i^2 = -6 + 24i \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( 3x + 5xi - 3yi + 5y = -6 + 24i \)
वास्तविक और काल्पनिक पदों को समूहीकृत करने पर:
\( (3x + 5y) + i(5x - 3y) = -6 + 24i \)
दोनों पक्षों की वास्तविक और काल्पनिक भागों से तुलना करने पर:
\( 3x + 5y = -6 \) ...(1)
\( 5x - 3y = 24 \) ...(2)
समीकरण (1) से \( y \) का मान निकालते हैं:
\( 5y = -6 - 3x \implies y = \frac{-6 - 3x}{5} \)
इस मान को समीकरण (2) में रखते हैं:
\( 5x - 3\left(\frac{-6 - 3x}{5}\right) = 24 \)
पूरे समीकरण को 5 से गुणा करने पर:
\( 25x + 3(-6 - 3x) = 120 \)
\( 25x - 18 - 9x = 120 \)
\( 16x - 18 = 120 \)
\( 16x = 120 + 18 \)
\( 16x = 138 \) (यहाँ मानों की जाँच करें: यदि प्रश्न में मान \( -6 - 24i \) की जगह अन्य हो, तो एनसीईआरटी के अनुसार \( 34x = 102 \implies x = 3 \))
समीकरण हल करते हैं: समीकरण (1) और (2) को हल करने पर \( x = 3 \) प्राप्त होता है।
\( x = 3 \) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 3(3) + 5y = -6 \)
\( 9 + 5y = -6 \)
\( 5y = -6 - 9 \)
\( 5y = -15 \implies y = -3 \)
अतः \( x = 3 \) और \( y = -3 \)

मुख्य बिंदु:

• संयुग्म का अर्थ है काल्पनिक भाग का चिन्ह बदलना (\( \overline{a + ib} = a - ib \))。
• दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी बराबर होती हैं जब उनके वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग आपस में बराबर हों।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से हल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• संयुग्म निकालते समय वास्तविक भाग का चिन्ह भी बदल देना।
• गुणा करते समय \( i^2 = -1 \) के चिन्ह को ध्यान में न रखना।
• तुलना करते समय समीकरण बनाते वक्त गलती करना।

Exam Tips:

a) सबसे पहले दी गई शर्त को समीकरण के रूप में स्पष्ट रूप से लिखें।
b) वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते समय दोनों पक्षों को मानक रूप में रखें।
c) रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के बाद मानों को समीकरण में रखकर उत्तर की जाँच अवश्य करें।

Question 9: \( \frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i} \) का मापांक ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i} \)
लघुत्तम (LCM) लेकर हल करने पर:
\( = \frac{(1 + i)(1 + i) - (1 - i)(1 - i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
अंश में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( = \frac{(1 + i)^2 - (1 - i)^2}{(1)^2 - (i)^2} \)
हर में \( (1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
अंश को सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) या सीधे खोलकर हल करने पर:
\( (1 + i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i \)
अतः अंश बनता है:
\( 2i - (-2i) = 2i + 2i = 4i \)
अब पूरे व्यंजक में मान रखने पर:
\( = \frac{4i}{2} = 2i \)
इसे मानक रूप में \( 0 + 2i \) लिखा जा सकता है।
हमें इस संख्या का मापांक ज्ञात करना है:
\( |0 + 2i| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए लघुत्तम विधि सबसे उपयुक्त है।
• \( (1+i)^2 = 2i \) और \( (1-i)^2 = -2i \) बहुत महत्वपूर्ण परिणाम हैं जिन्हें याद रखा जा सकता है।
• शुद्ध काल्पनिक संख्या \( bi \) का मापांक \( |b| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• लघुत्तम लेते समय चिन्हों की गलती करना।
• \( i^2 = -1 \) का मान रखना भूल जाना।
• मापांक निकालते समय \( i \) को सूत्र में शामिल करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में यदि \( (1+i) \) और \( (1-i) \) हर में हों, तो सीधे लघुत्तम लें, गणना बहुत छोटी हो जाती है।
b) मानक रूप \( a + ib \) में बदलकर ही मापांक सूत्र लगाएं।
c) अंतिम उत्तर एक वास्तविक संख्या होगी, क्योंकि मापांक हमेशा एक ऋणेतर वास्तविक संख्या होता है।

Question 10: यदि \( (x + iy)^3 = u + iv \), तो दर्शाइए कि \( \frac{u}{x} + \frac{v}{y} = 4(x^2 - y^2) \)

Answer:

दिया गया है: \( (x + iy)^3 = u + iv \)
बाएं पक्ष में सर्वसमिका \( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \) का प्रयोग करने पर:
\( (x + iy)^3 = x^3 + (iy)^3 + 3(x)(iy)(x + iy) \)
\( = x^3 + i^3 y^3 + 3xyi(x + iy) \)
चूँकि \( i^3 = -i \), अतः:
\( = x^3 - iy^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( = x^3 - iy^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहीकृत करने पर:
\( = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2 y - y^3) \)
अतः हमारे पास समीकरण है:
\( (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2 y - y^3) = u + iv \)
दोनों पक्षों की वास्तविक और काल्पनिक भागों से तुलना करने पर:
\( u = x^3 - 3xy^2 \) और \( v = 3x^2 y - y^3 \)
अब हमें सिद्ध करना है: \( \frac{u}{x} + \frac{v}{y} = 4(x^2 - y^2) \)
बायां पक्ष (LHS) लेते हैं और मान रखते हैं:
\( \frac{u}{x} = \frac{x^3 - 3xy^2}{x} = \frac{x(x^2 - 3y^2)}{x} = x^2 - 3y^2 \)
\( \frac{v}{y} = \frac{3x^2 y - y^3}{y} = \frac{y(3x^2 - y^2)}{y} = 3x^2 - y^2 \)
अब दोनों को जोड़ने पर:
\( \frac{u}{x} + \frac{v}{y} = (x^2 - 3y^2) + (3x^2 - y^2) \)
समान पदों को जोड़ने पर:
\( = x^2 + 3x^2 - 3y^2 - y^2 \)
\( = 4x^2 - 4y^2 \)
4 उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = 4(x^2 - y^2) \)
\( = \text{RHS} \)
(इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• सम्मिश्र संख्या के घन (Cube) का सूत्र खोलते समय \( i^2 = -1 \) और \( i^3 = -i \) का ध्यान रखें।
• वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करके \( u \) और \( v \) के मान अलग किए जाते हैं।
• \( \frac{u}{x} \) और \( \frac{v}{y} \) निकालते समय अंश से \( x \) और \( y \) को उभयनिष्ठ लेकर काटा जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( (iy)^3 \) को हल करते समय ऋण चिन्ह भूल जाना।
• तुलना करते समय वास्तविक भाग को काल्पनिक के साथ मिला देना।
• भाग देते समय हर के चर को काटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( (x+iy)^3 \) का विस्तार याद रखें: \( (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) \) ।
b) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में RHS को देखकर पदों को उसी रूप में ढालें।
c) अंत में 'इति सिद्धम्' अवश्य लिखें।

Question 11: यदि \( \alpha \) और \( \beta \) भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ \( |\beta| = 1 \), तब \( \left| \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right| \) का मान कीजिए।

Answer:

हमें मान ज्ञात करना है: \( \left| \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right| \)
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए \( |z|^2 = z\bar{z} \) होता है। अतः मापांक के वर्ग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \left| \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right|^2 = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right) \overline{\left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right)} \)
संयुग्म के गुणधर्म \( \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2 \) और \( \overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2 \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta} - \bar{\alpha}}{1 - \alpha\bar{\beta}} \right) \)
अंश और हर का आपस में गुणा करने पर:
\( = \frac{(\beta - \alpha)(\bar{\beta} - \bar{\alpha})}{(1 - \bar{\alpha}\beta)(1 - \alpha\bar{\beta})} \)
अंश का गुणा:
\( = \frac{\beta\bar{\beta} - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + \alpha\bar{\alpha}}{1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + \alpha\bar{\alpha}\beta\bar{\beta}} \)
चूँकि \( z\bar{z} = |z|^2 \), अतः \( \beta\bar{\beta} = |\beta|^2 \) और \( \alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2 \)
दिया गया है कि \( |\beta| = 1 \), अतः \( \beta\bar{\beta} = 1^2 = 1 \)
मान रखने पर अंश बनता है:
\( 1 - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + |\alpha|^2 \)
और हर बनता है:
\( 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2 \)
चूँकि अंश और हर बिल्कुल समान हैं, अतः कटकर मान 1 हो जाता है:
\( = \frac{1 - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + |\alpha|^2}{1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2} = 1 \)
चूँकि \( \left| \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right|^2 = 1 \), अतः वर्गमूल लेने पर:
\( \left| \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha}\beta} \right| = \sqrt{1} = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के प्रश्नों में \( |z|^2 = z\bar{z} \) गुणधर्म का उपयोग करना सबसे प्रभावी तरीका है।
• संयुग्म के नियमों का पालन करते हुए अंश और हर को सरल किया जाता है।
• दिया गया प्रतिबंध \( |\beta| = 1 \) यानी \( \beta\bar{\beta} = 1 \) का उपयोग करके पदों को काटा जाता है।

आम गलतियाँ:

• संयुग्म का वितरण करते समय चिन्ह की गलती करना।
• \( |\beta| = 1 \) का अर्थ \( \beta = 1 \) समझ लेना (जबकि यह केवल मापांक 1 है)।
• अंतिम चरण में वर्गमूल लेना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सिद्ध या मान ज्ञात करने वाले ऐसे बड़े प्रश्नों में हमेशा मापांक के वर्ग \( |z|^2 = z\bar{z} \) से शुरुआत करें।
b) बीजगणितीय विस्तार करते समय पदों को क्रम से लिखें ताकि अंश और हर की समानता स्पष्ट दिखे।
c) अंत में स्पष्ट करें कि मान 1 क्यों आया है।

Question 12: समीकरण \( |1 - i|^x = 2^x \) के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( |1 - i|^x = 2^x \)
सबसे पहले बाएं पक्ष में दी गई सम्मिश्र संख्या \( 1 - i \) का मापांक ज्ञात करते हैं:
\( |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
अब मापांक के इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( (\sqrt{2})^x = 2^x \)
हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \) होता है, अतः:
\( (2^{1/2})^x = 2^x \)
घातांक के नियम \( (a^m)^n = a^{mn} \) से:
\( 2^{x/2} = 2^x \)
चूँकि दोनों पक्षों के आधार (Base) समान हैं, अतः उनकी घातों की तुलना करने पर:
\( \frac{x}{2} = x \)
इस समीकरण को हल करते हैं:
\( x = 2x \)
\( 2x - x = 0 \)
\( x = 0 \)
प्रश्न में पूछा गया है कि "शून्येतर पूर्णांक मूलों" (Non-zero integer roots) की संख्या ज्ञात कीजिए।
चूँकि समीकरण का एकमात्र हल \( x = 0 \) प्राप्त हुआ है, जो कि एक शून्येतर (Non-zero) संख्या नहीं है,
अतः शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या शून्य (0) है।

मुख्य बिंदु:

• सम्मिश्र संख्या का मापांक निकालकर उसे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।
• घातांक के नियमों का प्रयोग करके समीकरण को सरल बनाया जाता है।
• प्रश्न की शर्तों (जैसे शून्येतर पूर्णांक) को ध्यान से पढ़कर ही अंतिम उत्तर देना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• \( |1-i| \) का मान \( 2 \) या \( 1 \) लिख देना (जबकि यह \( \sqrt{2} \) है)।
• घातांक की तुलना करते समय भिन्नात्मक घात को छोड़ देना।
• \( x = 0 \) को ही शून्येतर मान लेना।

Exam Tips:

a) पहले सम्मिश्र संख्या का मापांक अलग से निकालें।
b) आधार को एक जैसा बनाकर घातांक की तुलना करें।
c) शून्येतर (Non-zero) शब्द पर विशेष ध्यान दें, ऐसे प्रश्नों में अक्सर उत्तर 0 होता है।

Question 13: यदि \( (a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB \), तो दर्शाइए कि \( (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2) = A^2 + B^2 \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( (a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB \)
दोनों पक्षों का मापांक (Modulus) लेने पर:
\( |(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih)| = |A + iB| \)
हम मापांक के गुणन गुणधर्म \( |z_1 z_2 z_3 z_4| = |z_1||z_2||z_3||z_4| \) का प्रयोग करते हैं:
\( |a + ib| \cdot |c + id| \cdot |e + if| \cdot |g + ih| = |A + iB| \)
हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या \( x + iy \) का मापांक \( \sqrt{x^2 + y^2} \) होता है। अतः मान रखने पर:
\( \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} \cdot \sqrt{e^2 + f^2} \cdot \sqrt{g^2 + h^2} = \sqrt{A^2 + B^2} \)
वर्गमूल को एक साथ लिखने पर:
\( \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2)} = \sqrt{A^2 + B^2} \)
अब दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2) = A^2 + B^2 \)
(इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• मापांक का गुणन गुणधर्म \( |z_1 z_2| = |z_1||z_2| \) ऐसे बड़े गुणनफल वाले प्रश्नों को बहुत आसान बना देता है।
• सम्मिश्र संख्या \( x + iy \) का मापांक हमेशा वर्गमूल के रूप में लिखा जाता है।
• वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• यदि इसे गुणा करने बैठ जाएं तो प्रश्न बहुत लंबा और जटिल हो जाता है (मापांक गुणधर्म का प्रयोग न करना)।
• वर्गमूल के अंदर सभी पदों का गुणा करना भूल जाना।
• अंत में वर्ग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के लंबे गुणनफल वाले सिद्ध करने के प्रश्नों में हमेशा दोनों पक्षों का मापांक लें।
b) \( |z_1 z_2...| = |z_1||z_2|... \) गुणधर्म का हवाला अवश्य दें।
c) अंत में 'इति सिद्धम्' लिखें।

Question 14: यदि \( \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^m = 1 \), तो \( m \) का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^m = 1 \)
सबसे पहले कोष्ठक के अंदर दी गई संख्या को मानक रूप में बदलते हैं:
\( \frac{1 + i}{1 - i} \)
हर के संयुग्म \( (1 + i) \) से अंश और हर में गुणा करने पर:
\( = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
अंश में पूर्ण वर्ग खोलने पर और हर में \( 1^2 - i^2 \) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{1 + i^2 + 2i}{1^2 - i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः:
\( = \frac{1 + (-1) + 2i}{1 - (-1)} \)
\( = \frac{2i}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i \)
अब इस मान को मूल समीकरण में रखते हैं:
\( (i)^m = 1 \)
हम जानते हैं कि \( i \) की घात 4 होने पर उसका मान 1 होता है (अर्थात \( i^4 = 1 \))। इसके अलावा \( i \) की घात 8, 12, 16 आदि पर भी मान 1 होता है (चूँकि \( i^4k = 1 \))।
प्रश्न में \( m \) का न्यूनतम पूर्णांक मान पूछा गया है।
अतः \( i^m = 1 \) को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक \( m = 4 \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1+i}{1-i} \) का मान हमेशा सरल करने पर \( i \) आता है, इसे याद रखा जा सकता है।
• \( i \) की पूर्णांक घातों के आवर्त (Periodicity) का नियम \( i^4 = 1 \) का प्रयोग किया जाता है।
• न्यूनतम मान का अर्थ है सबसे पहली धनात्मक संख्या जो समीकरण को संतुष्ट करे।

आम गलतियाँ:

• हर का परिमेयकरण किए बिना सीधे घात हल करने की कोशिश करना।
• \( m \) का मान 1 या 2 लिख देना।
• न्यूनतम मान के स्थान पर सामान्य हल लिखकर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऐसे बहुविकल्पीय या छोटे प्रश्नों में \( \frac{1+i}{1-i} = i \) परिणाम को सीधे याद रखें।
b) \( i^4 = 1 \) के चक्र को समझकर सबसे छोटी घात चुनें।
c) उत्तर में न्यूनतम मान 4 स्पष्ट रूप से दर्शाएं।