NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 04 Complex Numbers and Quadratic Equations (सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण) Exercise 4.1 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( (5i)\left(-\frac{3}{5}i\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( (5i)\left(-\frac{3}{5}i\right) \)
इसे गुणा करने पर:
\( = 5 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times i \times i \)
\( = -3i^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \) होता है, मान रखने पर:
\( = -3 \times (-1) \)
\( = 3 \)
इसे मानक रूप \( a + ib \) में लिखने पर:
\( = 3 + 0i \)

मुख्य बिंदु:

• \( i^2 \) का मान -1 होता है।
• गुणा करते समय वास्तविक और काल्पनिक भागों का ध्यान रखें।
• मानक रूप \( a + ib \) है।

आम गलतियाँ:

• \( i^2 \) का मान -1 रखना भूल जाना।
• \( a + ib \) रूप में 0i न लिखना।
• गुणा में चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) \( i^2 = -1 \) को कोष्ठक में अवश्य दर्शाएँ।
c) अंत में उत्तर को \( a + ib \) रूप में ही छोड़ें।

Question 2: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( i^9 + i^{19} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( i^9 + i^{19} \)
घातांक को 4 के गुणों में विभाजित करने पर:
\( = (i^4)^2 \cdot i + (i^4)^4 \cdot i^3 \)
चूँकि \( i^4 = 1 \) और \( i^3 = -i \), मान रखने पर:
\( = (1)^2 \cdot i + (1)^4 \cdot (-i) \)
\( = i - i \)
\( = 0 \)
मानक रूप में लिखने पर:
\( = 0 + 0i \)

मुख्य बिंदु:

• \( i^4 = 1 \) का प्रयोग करके बड़ी घातों को सरल करते हैं।
• \( i^3 = -i \) होता है।
• सम्मिश्र संख्या का मानक रूप \( a + ib \) है।

आम गलतियाँ:

• \( i^4 \) को 1 के बराबर न समझना।
• \( i^3 \) का मान \( i \) लिख देना।
• अंतिम उत्तर को \( a + ib \) रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) बड़ी घातों को हमेशा 4 से भाग देकर शेषफल के रूप में लिखें।
b) \( i^4 = 1 \) का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) गणना सावधानीपूर्वक करें।

Question 3: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( i^{-39} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( i^{-39} \)
ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने पर:
\( = \frac{1}{i^{39}} \)
हर में घात को 4 के गुणज में बदलने पर:
\( = \frac{1}{i^{40} \cdot i^{-1}} \) या \( = \frac{i}{(i^4)^{10}} \)
चूँकि \( i^4 = 1 \), मान रखने पर:
\( = \frac{i}{(1)^{10}} \)
\( = i \)
मानक रूप में लिखने पर:
\( = 0 + 1i \)

मुख्य बिंदु:

• \( i^{-n} = \frac{1}{i^n} \) होता है।
• \( i^4 = 1 \) का उपयोग करके हर को सरल करते हैं।
• मानक रूप \( a + ib \) है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक घातांक को हल करते समय व्युत्क्रम न लेना।
• \( i^4 = 1 \) का सही उपयोग न करना।
• \( a + ib \) रूप में शून्य न दिखाना।

Exam Tips:

a) ऋणात्मक घात को पहले हर में ले जाकर धनात्मक बनाएँ।
b) अंश और हर में \( i \) से गुणा करके भी हल किया जा सकता है।
c) अंतिम रूप स्पष्ट रखें।

Question 4: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( 3(7 + i7) + i(7 + i7) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( 3(7 + i7) + i(7 + i7) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( = 21 + 21i + 7i + i^2 7 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), मान रखने पर:
\( = 21 + 21i + 7i - 7 \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को मिलाने पर:
\( = (21 - 7) + (21 + 7)i \)
\( = 14 + 28i \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय वितरण नियम का प्रयोग करें।
• \( i^2 = -1 \) का प्रतिस्थापन करें।
• वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें।

आम गलतियाँ:

• \( i \times i7 \) को \( 7i \) लिख देना जबकि यह \( 7i^2 \) होता है।
• समान पदों को जोड़ने में गलती करना।
• चिन्ह की असावधानी।

Exam Tips:

a) वितरण नियम सावधानी से लागू करें।
b) \( i^2 \) वाले पद का चिन्ह अवश्य बदलें।
c) उत्तर को \( a + ib \) के रूप में सत्यापित करें।

Question 5: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( (1 - i) - (-1 + i6) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( (1 - i) - (-1 + i6) \)
ऋणात्मक चिन्ह अंदर भेजने पर:
\( = 1 - i + 1 - 6i \)
वास्तविक और काल्पनिक पदों को समूहीकृत करने पर:
\( = (1 + 1) + (-1 - 6)i \)
\( = 2 - 7i \)

मुख्य बिंदु:

• कोष्ठक के बाहर ऋण चिन्ह होने पर अंदर के सभी चिन्ह बदल जाते हैं।
• वास्तविक भागों को एक साथ जोड़ें/घटाएँ।
• काल्पनिक भागों को एक साथ जोड़ें/घटाएँ।

आम गलतियाँ:

• दूसरे कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को न बदलना।
• घटते समय चिन्हों की भूल।
• मानक रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) कोष्ठक हटाते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) समान पदों को पास-पास लिखकर हल करें।
c) परिणाम की जाँच करें।

Question 6: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( \left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}\right) - \left(4 + i\frac{5}{2}\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}\right) - \left(4 + i\frac{5}{2}\right) \)
कोष्ठक हटाने पर:
\( = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i - 4 - \frac{5}{2}i \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
\( = \left(\frac{1}{5} - 4\right) + \left(\frac{2}{5} - \frac{5}{2}\right)i \)
लघुत्तम लेकर हल करने पर:
\( = \left(\frac{1 - 20}{5}\right) + \left(\frac{4 - 25}{10}\right)i \)
\( = -\frac{19}{5} - \frac{21}{10}i \)

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों के जोड़-घटाव में लघुत्तम (LCM) का प्रयोग करें।
• वास्तविक और काल्पनिक भागों को स्पष्ट रूप से अलग करें।
• चिन्हों का सही संयोजन रखें।

आम गलतियाँ:

• लघुत्तम लेने में गलती करना।
• काल्पनिक भाग के साथ \( i \) छोड़ देना।
• ऋण चिन्ह का गलत वितरण।

Exam Tips:

a) भिन्न वाले प्रश्नों में LCM सावधानी से निकालें।
b) प्रत्येक चरण में \( i \) को अलग से दर्शाएँ।
c) उत्तर को सरलतम भिन्न रूप में लिखें।

Question 7: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( \left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}\right) + \left(4 + i\frac{1}{3}\right)\right] - \left(-\frac{4}{3} + i\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}\right) + \left(4 + i\frac{1}{3}\right)\right] - \left(-\frac{4}{3} + i\right) \)
पहले बड़े कोष्ठक के अंदर हल करने पर:
\( = \left(\frac{1}{3} + 4 + i\frac{7}{3} + i\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{4}{3} + i\right) \)
\( = \left(\frac{1+12}{3} + i\frac{7+1}{3}\right) - \left(-\frac{4}{3} + i\right) \)
\( = \left(\frac{13}{3} + i\frac{8}{3}\right) + \frac{4}{3} - i \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को एकत्रित करने पर:
\( = \left(\frac{13}{3} + \frac{4}{3}\right) + i\left(\frac{8}{3} - 1\right) \)
\( = \left(\frac{13+4}{3}\right) + i\left(\frac{8-3}{3}\right) \)
\( = \frac{17}{3} + i\frac{5}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• BODMAS नियम का पालन करें और पहले कोष्ठक हल करें।
• समान हर वाली भिन्नों को आसानी से जोड़ा जा सकता है।
• अंतिम उत्तर \( a + ib \) रूप में हो।

आम गलतियाँ:

• बाहर के ऋण चिन्ह से अंदर के सभी पदों के चिन्ह न बदलना।
• भिन्नों को जोड़ते समय हर समान न करना।
• काल्पनिक भाग से \( i \) गायब कर देना।

Exam Tips:

a) बड़े प्रश्नों को छोटे चरणों में तोड़कर हल करें।
b) लघुत्तम लेते समय सावधानी बरतें।
c) अंतिम परिणाम की जाँच करें।

Question 8: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( (1 - i)^4 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( (1 - i)^4 \)
घात को इस प्रकार लिखने पर:
\( = [(1 - i)^2]^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) का प्रयोग करने पर:
\( = [1^2 + i^2 - 2i]^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), मान रखने पर:
\( = [1 - 1 - 2i]^2 \)
\( = [-2i]^2 \)
वर्ग करने पर:
\( = 4i^2 \)
पुनः \( i^2 = -1 \) रखने पर:
\( = 4(-1) \)
\( = -4 \)
मानक रूप में लिखने पर:
\( = -4 + 0i \)

मुख्य बिंदु:

• \( (1-i)^4 \) को \( ((1-i)^2)^2 \) के रूप में तोड़ना आसान होता है।
• \( (a-b)^2 \) सर्वसमिका का सही प्रयोग करें।
• \( i^2 = -1 \) का मान दो बार प्रतिस्थापित करना पड़ सकता है।

आम गलतियाँ:

• सीधे द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) के बजाय गलत गुणा करना।
• \( (-2i)^2 \) को धनात्मक \( 4i^2 \) की जगह \( -4i^2 \) लिख देना।
• मानक रूप \( a + ib \) न लिखना।

Exam Tips:

a) बड़ी घातों को वर्ग के वर्ग के रूप में तोड़ना परीक्षा में समय बचाता है।
b) चिन्हों के वर्ग पर विशेष ध्यान दें।
c) अंतिम उत्तर में काल्पनिक भाग 0 दर्शाएँ।

Question 9: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( \left(\frac{1}{3} + 3i\right)^3 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left(\frac{1}{3} + 3i\right)^3 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + (3i)^3 + 3\left(\frac{1}{3}\right)^2(3i) + 3\left(\frac{1}{3}\right)(3i)^2 \)
सरल करने पर:
\( = \frac{1}{27} + 27i^3 + 3\left(\frac{1}{9}\right)(3i) + 3\left(\frac{1}{3}\right)(9i^2) \)
\( = \frac{1}{27} + 27(-i) + i + 9i^2 \)
चूँकि \( i^2 = -1 \) और \( i^3 = -i \), मान रखने पर:
\( = \frac{1}{27} - 27i + i + 9(-1) \)
\( = \left(\frac{1}{27} - 9\right) + (-27i + i) \)
\( = \left(\frac{1 - 243}{27}\right) - 26i \)
\( = -\frac{242}{27} - 26i \)

मुख्य बिंदु:

• घन की सर्वसमिका \( (a+b)^3 \) का उपयोग करें।
• \( i^3 = -i \) और \( i^2 = -1 \) का मान रखें।
• वास्तविक और काल्पनिक पदों को अलग करें।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका में पदों के गुणा में गलती करना।
• लघुत्तम लेते समय गणना त्रुटि होना।
• चिन्ह की गलती।

Exam Tips:

a) सर्वसमिका को पहले बिना मान रखे लिखें।
b) प्रत्येक पद को अलग से सरल करके जोड़ें।
c) गणना की जाँच पुनः करें।

Question 10: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( \left(-2 - \frac{1}{3}i\right)^3 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \left(-2 - \frac{1}{3}i\right)^3 \)
ऋणात्मक चिन्ह बाहर लेकर या सर्वसमिका \( -(a+b)^3 \) का प्रयोग करने पर:
\( = -\left(2 + \frac{1}{3}i\right)^3 \)
सर्वसमिका विस्तार करने पर:
\( = -\left[2^3 + \left(\frac{1}{3}i\right)^3 + 3(2)^2\left(\frac{1}{3}i\right) + 3(2)\left(\frac{1}{3}i\right)^2\right] \)
मान रखने पर:
\( = -\left[8 + \frac{1}{27}i^3 + 3(4)\left(\frac{1}{3}i\right) + 6\left(\frac{1}{9}i^2\right)\right] \)
\( = -\left[8 + \frac{1}{27}(-i) + 4i + \frac{6}{9}(-1)\right] \)
\( = -\left[8 - \frac{2}{3} - \frac{1}{27}i + 4i\right] \)
कोष्ठक के अंदर सरल करने पर:
\( = -\left[\left(8 - \frac{2}{3}\right) + \left(4 - \frac{1}{27}\right)i\right] \)
\( = -\left[\left(\frac{24 - 2}{3}\right) + \left(\frac{108 - 1}{27}\right)i\right] \)
\( = -\left[\frac{22}{3} + \frac{107}{27}i\right] \)
\( = -\frac{22}{3} - \frac{107}{27}i \)

मुख्य बिंदु:

• माइनस चिन्ह कॉमन लेने से गणना आसान हो जाती है।
• \( (a+b)^3 \) सर्वसमिका का सही विस्तार करें।
• अंत में बाहर के ऋण चिन्ह का सभी पदों पर प्रभाव पड़ेगा।

आम गलतियाँ:

• बाहर के माइनस चिन्ह को अंत में न गुणा करना।
• भिन्नों के जोड़ में लघुत्तम की गलती।
• \( i^3 \) और \( i^2 \) के मान में गड़बड़ी।

Exam Tips:

a) माइनस चिन्ह बाहर लेकर कोष्ठक के अंदर धनात्मक पदों के साथ सूत्र लगाएँ।
b) लघुत्तम सावधानी से लें।
c) अंतिम उत्तर मानक रूप में ही दें।

Question 11: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए: \( 4 - 3i \)

Answer:

माना \( Z = 4 - 3i \) है।
गुणात्मक प्रतिलोम \( Z^{-1} \) या \( \frac{1}{Z} \) होता है:
\( Z^{-1} = \frac{1}{4 - 3i} \)
हर के संयुग्मी (Conjugate) \( 4 + 3i \) से अंश और हर में गुणा करने पर:
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{(4 - 3i)(4 + 3i)} \)
हर में \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का प्रयोग करने पर:
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{4^2 - (3i)^2} \)
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{16 - 9i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \):
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{16 - 9(-1)} \)
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{16 + 9} \)
\( Z^{-1} = \frac{4 + 3i}{25} \)
मानक रूप में अलग करने पर:
\( = \frac{4}{25} + \frac{3}{25}i \)

मुख्य बिंदु:

• गुणात्मक प्रतिलोम किसी संख्या \( Z \) का \( \frac{1}{Z} \) होता है।
• संयुग्मी से गुणा करके हर का \( i \) हटाया जाता है।
• \( a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• संयुग्मी लेते समय बीच का चिन्ह न बदलना।
• \( i^2 \) का मान रखना भूल जाना।
• अंतिम उत्तर को \( a + ib \) रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) हमेशा हर के संयुग्मी से ही ऊपर-नीचे गुणा करें।
b) \( |Z|^2 \) सीधे सूत्र का भी प्रयोग किया जा सकता है।
c) परिणाम को भिन्नों के रूप में अलग-अलग लिखें।

Question 12: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए: \( \sqrt{5} + 3i \)

Answer:

माना \( Z = \sqrt{5} + 3i \) है।
गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए:
\( Z^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5} + 3i} \)
हर के संयुग्मी \( \sqrt{5} - 3i \) से अंश और हर में गुणा करने पर:
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5} + 3i)(\sqrt{5} - 3i)} \)
सर्वसमिका का प्रयोग करने पर:
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5})^2 - (3i)^2} \)
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{5 - 9i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \):
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{5 - 9(-1)} \)
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{5 + 9} \)
\( Z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14} \)
मानक रूप में लिखने पर:
\( = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3}{14}i \)

मुख्य बिंदु:

• गुणात्मक प्रतिलोम \( Z^{-1} = \frac{\bar{Z}}{|Z|^2} \) होता है।
• \( (\sqrt{5})^2 = 5 \) होता है।
• संयुग्मी से अंश और हर में गुणा करते हैं।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल संख्या का वर्ग करते समय गलती करना।
• चिन्ह बदलना भूल जाना।
• मानक रूप में अलग न करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाली संख्याओं के साथ शांत रहकर गणना करें।
b) संयुग्मी हमेशा काल्पनिक भाग का चिन्ह बदलकर प्राप्त होता है।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से \( a + ib \) प्रारूप दें।

Question 13: निम्नलिखित सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए: \( -i \)

Answer:

माना \( Z = 0 - i \) है।
गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए:
\( Z^{-1} = \frac{1}{-i} \)
अंश और हर में \( i \) से गुणा करने पर या संयुग्मी से:
\( Z^{-1} = \frac{1 \times i}{-i \times i} \)
\( Z^{-1} = \frac{i}{-i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), मान रखने पर:
\( Z^{-1} = \frac{i}{-(-1)} \)
\( Z^{-1} = \frac{i}{1} \)
\( Z^{-1} = i \)
मानक रूप में लिखने पर:
\( = 0 + i \)

मुख्य बिंदु:

• \( -i \) का गुणात्मक प्रतिलोम केवल \( i \) होता है।
• \( i^2 = -1 \) का प्रयोग किया जाता है।
• मानक रूप में वास्तविक भाग 0 होगा।

आम गलतियाँ:

• चिन्ह की गलती के कारण \( -i \) लिख देना।
• \( i^2 \) का मान न रखना।
• मानक रूप न लिखना।

Exam Tips:

a) ऐसे छोटे प्रश्नों में सीधे \( i \) से गुणा करना आसान होता है।
b) हर में \( i^2 \) बनने पर उसका मान -1 रखना न भूलें।
c) उत्तर को \( 0 + i \) के रूप में दर्शाएँ।

Question 14: निम्नलिखित व्यंजक को \( a + ib \) के रूप में व्यक्त कीजिए: \( \frac{(3 + i\sqrt{5})(3 - i\sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) - (\sqrt{3} - i\sqrt{2})} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \frac{(3 + i\sqrt{5})(3 - i\sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) - (\sqrt{3} - i\sqrt{2})} \)
अंश में \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का प्रयोग करने पर और हर के कोष्ठक खोलने पर:
अंश \( = 3^2 - (i\sqrt{5})^2 = 9 - i^2(5) \)
हर \( = \sqrt{3} + \sqrt{2}i - \sqrt{3} + \sqrt{2}i = 2\sqrt{2}i \)
अंश में \( i^2 = -1 \) रखने पर:
अंश \( = 9 - (-1)5 = 9 + 5 = 14 \)
अतः व्यंजक बनता है:
\( = \frac{14}{2\sqrt{2}i} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{7}{\sqrt{2}i} \)
हर से \( i \) हटाने के लिए अंश और हर में \( i \) से गुणा करने पर:
\( = \frac{7i}{\sqrt{2}i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \):
\( = \frac{7i}{\sqrt{2}(-1)} = -\frac{7}{\sqrt{2}}i \)
हर का परिमेयकरण (Rationalisation) करने पर या मानक रूप में लिखने पर:
\( = 0 - \frac{7\sqrt{2}}{2}i \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का प्रयोग करें।
• हर में समान पदों को जोड़ें/घटाएँ।
• हर में \( i \) रहने पर अंश-हर में \( i \) से गुणा करें।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल और \( i \) के वर्ग में गलती करना।
• हर का \( i \) हटाने के लिए परिमेयकरण न करना।
• मानक रूप \( a + ib \) न लिखना।

Exam Tips:

a) अंश और हर को अलग-अलग सरल करना सबसे आसान तरीका है।
b) हर में \( i \) नहीं रहना चाहिए, इसलिए उसे ऊपर ले जाएँ।
c) अंतिम उत्तर में वास्तविक भाग शून्य स्पष्ट दिखाएँ।