Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
Review structured textbook solutions for Class 11 Mathematics Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन. Built according to NCERT guidelines for the 2026-27 academic year, these downloadable answers support daily revision and problem-solving accuracy.
Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
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Question 1: सिद्ध कीजिए: \( 2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} = 0 \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = 2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
यहाँ सूत्र \( 2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \cos \left(\frac{\pi}{13} + \frac{9\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{13} - \frac{9\pi}{13}\right) + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
\( = \cos \frac{10\pi}{13} + \cos \left(-\frac{8\pi}{13}\right) + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
चूँकि \( \cos(-x) = \cos x \) होता है:
\( = \cos \left(\pi - \frac{3\pi}{13}\right) + \cos \frac{8\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
\( = -\cos \frac{3\pi}{13} + \cos \left(\pi - \frac{5\pi}{13}\right) + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
\( = -\cos \frac{3\pi}{13} - \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} \)
\( = 0 = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय योग और अंतर सूत्रों का उपयोग।
• \( \cos(\pi - x) = -\cos x \) का प्रयोग।
• पदों को सरल करके शून्यता सिद्ध करना।
आम गलतियाँ:
• कोणों को जोड़ते या घटाते समय चिह्न की गलती करना।
• \( \cos(-x) \) में ऋणात्मक चिह्न को बाहर रखना।
• सूत्रों का गलत संयोजन उपयोग करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) कोणों को सरल बनाते समय चतुर्थांश के नियमों का ध्यान रखें।
c) अंत में दायाँ पक्ष (RHS) अवश्य दर्शाएं।
Question 2: सिद्ध कीजिए: \( (\sin 3x + \sin x)\sin x + (\cos 3x - \cos x)\cos x = 0 \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = (\sin 3x + \sin x)\sin x + (\cos 3x - \cos x)\cos x \)
यहाँ योग और अंतर के सूत्रों \( \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \) तथा \( \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left(2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2}\right)\sin x + \left(-2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}\right)\cos x \)
\( = (2 \sin 2x \cos x)\sin x + (-2 \sin 2x \sin x)\cos x \)
\( = 2 \sin 2x \sin x \cos x - 2 \sin 2x \sin x \cos x \)
\( = 0 = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• sin और cos के योग/अंतर सूत्रों का अनुप्रयोग।
• समान पदों के कटने से परिणाम शून्य प्राप्त होना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की पहचान।
आम गलतियाँ:
• sin और cos के सूत्रों में अंतर को भूल जाना।
• गुणा करते समय कोष्ठक की गलतियाँ करना।
• कोणों के भाग (2 से विभाजन) को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) सर्वसमिका लिखते समय चरों का सही मिलान करें।
b) प्रत्येक पद को विस्तार से हल करें।
c) अंतिम चरण में समान पदों को जोडने या घटाने में सावधानी बरतें।
Question 3: सिद्ध कीजिए: \( (\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = (\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 \)
सूत्र \( \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \) तथा \( \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left(2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right)^2 \)
वर्ग करने पर:
\( = 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} \cos^2 \frac{x-y}{2} + 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} \sin^2 \frac{x-y}{2} \)
उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} \left(\cos^2 \frac{x-y}{2} + \sin^2 \frac{x-y}{2}\right) \)
चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) होता है:
\( = 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} (1) \)
\( = 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• पूर्ण वर्ग को खोलना और उभयनिष्ठ निकालना।
• मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) का प्रयोग।
• आधे कोण के रूपों का सरलीकरण।
आम गलतियाँ:
• कोष्ठक के बाहर वर्ग करते समय गुणांक (जैसे 2 का वर्ग 4) छोड़ देना।
• सर्वसमिका \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) को पहचान न पाना।
• कोणों के व्यंजकों में कोष्ठक की अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) वर्ग करते समय गुणांक और त्रिकोणमितीय अनुपात दोनों का वर्ग करें।
b) उभयनिष्ठ पद बाहर निकालने के बाद अंदर की सर्वसमिका पर ध्यान दें।
c) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंतिम परिणाम को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 4: सिद्ध कीजिए: \( (\cos x - \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \sin^2 \frac{x-y}{2} \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = (\cos x - \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 \)
सूत्रों का प्रयोग करने पर:
\( = \left(-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right)^2 \)
वर्ग करने पर:
\( = 4 \sin^2 \frac{x+y}{2} \sin^2 \frac{x-y}{2} + 4 \cos^2 \frac{x+y}{2} \sin^2 \frac{x-y}{2} \)
उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = 4 \sin^2 \frac{x-y}{2} \left(\sin^2 \frac{x+y}{2} + \cos^2 \frac{x+y}{2}\right) \)
चूँकि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \):
\( = 4 \sin^2 \frac{x-y}{2} (1) \)
\( = 4 \sin^2 \frac{x-y}{2} = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \cos x - \cos y \) के मानक सूत्र का उपयोग।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड विधि का प्रयोग।
• सर्वसमिका का उपयोग करके मान 1 करना।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्न का वर्ग करते समय भूल करना।
• कोणों के अंतर को गलत तरीके से लिखना।
• अंतिम पद में कोणों का सही मिलान न करना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक पदों का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है, इसे ध्यान में रखें।
b) उभयनिष्ठ निकालते समय दोनों पदों के समान हिस्सों को पहचानें।
c) चरणों को क्रमिक रूप से हल करें ताकि गलती न हो।
Question 5: सिद्ध कीजिए: \( \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x \)
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि योग के सूत्र आसानी से लग सकें:
\( = (\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x) \)
सूत्र \( \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left(2 \sin \frac{7x+x}{2} \cos \frac{7x-x}{2}\right) + \left(2 \sin \frac{5x+3x}{2} \cos \frac{5x-3x}{2}\right) \)
\( = 2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x \)
\( = 2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x) \)
पुનઃ \( \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = 2 \sin 4x \left(2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2}\right) \)
\( = 2 \sin 4x (2 \cos 2x \cos x) \)
\( = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• उपयुक्त पदों का युग्म (Grouping) बनाना।
• sin और cos के योग सूत्रों का क्रमिक उपयोग।
• उभयनिष्ठ पद बाहर निकालना।
आम गलतियाँ:
• गलत पदों का युग्म बनाना जिससे सरलीकरण कठिन हो जाए।
• कोणों के जोड़ और घटाव में भाग देने पर गलती करना।
• उभयनिष्ठ लेने के बाद कोष्ठक के अंदर के पदों को भूल जाना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में बड़े और छोटे कोणों के युग्म बनाएं जिनका योग समान हो।
b) प्रत्येक चरण में सूत्र का हवाला अवश्य दें।
c) क्रम को सजाकर दायाँ पक्ष (RHS) के अनुसार लिखें।
Question 6: सिद्ध कीजिए: \( \frac{(\sin 7x + \sin 5x) + (\sin 9x + \sin 3x)}{(\cos 7x + \cos 5x) + (\cos 9x + \cos 3x)} = \tan 6x \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{(\sin 7x + \sin 5x) + (\sin 9x + \sin 3x)}{(\cos 7x + \cos 5x) + (\cos 9x + \cos 3x)} \)
अंश और हर दोनों में योग के सूत्रों का प्रयोग करने पर:
अंश के लिए:
\( = 2 \sin \frac{7x+5x}{2} \cos \frac{7x-5x}{2} + 2 \sin \frac{9x+3x}{2} \cos \frac{9x-3x}{2} \)
\( = 2 \sin 6x \cos x + 2 \sin 6x \cos 3x \)
हर के लिए:
\( = 2 \cos \frac{7x+5x}{2} \cos \frac{7x-5x}{2} + 2 \cos \frac{9x+3x}{2} \cos \frac{9x-3x}{2} \)
\( = 2 \cos 6x \cos x + 2 \cos 6x \cos 3x \)
अब अंश और हर में मान रखने पर:
\( = \frac{2 \sin 6x (\cos x + \cos 3x)}{2 \cos 6x (\cos x + \cos 3x)} \)
समान पद काटने पर:
\( = \frac{\sin 6x}{\cos 6x} \)
\( = \tan 6x = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• अंश और हर को अलग-अलग सरल करना।
• \( \sin 6x \) और \( \cos 6x \) को उभयनिष्ठ निकालना।
• \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \) का प्रयोग।
आम गलतियाँ:
• अंश और हर के सूत्रों में भ्रमित होना।
• पूरे पद को बिना उभयनिष्ठ लिए सीधे काटना (जो कि गलत है)।
• कोणों के मान में त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) अंश और हर को चरणबद्ध तरीके से हल करें।
b) उभयनिष्ठ गुणनखंड मिलने के बाद ही अंश और हर को विभाजित करें।
c) अंत में त्रिकोणमितीय अनुपात \( \tan \) का प्रयोग स्पष्ट करें।
Question 7: सिद्ध कीजिए: \( \sin 3x + \sin 2x - \sin x = 4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin 3x + \sin 2x - \sin x \)
पदों को पुनर्व व्यवस्थित करने पर:
\( = (\sin 3x - \sin x) + \sin 2x \)
सूत्र \( \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \left(2 \cos \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}\right) + \sin 2x \)
\( = 2 \cos 2x \sin x + \sin 2x \)
चूँकि \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) होता है:
\( = 2 \cos 2x \sin x + 2 \sin x \cos x \)
उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = 2 \sin x (\cos 2x + \cos x) \)
अब \( \cos A + \cos B \) का सूत्र लगाने पर:
\( = 2 \sin x \left(2 \cos \frac{2x+x}{2} \cos \frac{2x-x}{2}\right) \)
\( = 2 \sin x \left(2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}\right) \)
\( = 4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} = \text{दायाँ पक्ष (RHS)} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \sin 3x - \sin x \) का सूत्र उपयोग करना।
• \( \sin 2x \) के द्वि-कोण सूत्र का प्रयोग।
• अंत में \( \cos A + \cos B \) सूत्र लगाना।
आम गलतियाँ:
• गलत पदों का संयोजन करना।
• \( \sin 2x \) के सूत्र को भूल जाना।
• कोणों के भिन्नों को जोड़ते/घटाते समय गलती करना।
Exam Tips:
a) द्वيكोण और अर्धकोण सूत्रों का सही स्मरण रखें।
b) गुणनखंड विधि का चरण-दर-चरण पालन करें।
c) क्रम को RHS के अनुसार व्यवस्थित करें।
Question 8: यदि \( \tan x = -\frac{4}{3} \), x द्वितीय चतुर्थांश में है, तो \( \sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} \) और \( \tan \frac{x}{2} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( \tan x = -\frac{4}{3} \) और x द्वितीय चतुर्थांश में है अर्थात् \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \)
सर्वसमिका \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \) से:
\( \sec^2 x = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9} \)
चूँकि x द्वितीय चतुर्थांश में है और द्वितीय चतुर्थांश में sec ऋणात्मक होता है:
\( \sec x = -\frac{5}{3} \)
अतः \( \cos x = -\frac{3}{5} \)
चूँकि \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), इसलिए अर्धकोण के लिए:
\( \frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} \) (अर्थात् \( \frac{x}{2} \) प्रथम चतुर्थांश में है)
प्रथम चतुर्थांश में सभी त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होते हैं।
\( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
\( \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + \left(-\frac{3}{5}\right)}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
\( \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \)
अतः \( \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2 \)
मुख्य बिंदु:
• चतुर्थांश के अनुसार चिह्नों का निर्धारण।
• अर्धकोण सूत्रों \( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2} \) और \( \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} \) का प्रयोग।
• \( \tan \frac{x}{2} \) को sin और cos के अनुपात से ज्ञात करना।
आम गलतियाँ:
• चतुर्थांश बदलने पर अर्धकोण के चिह्नों (धनात्मक/ऋणात्मक) की उपेक्षा करना।
• \( \sec x \) से \( \cos x \) निकालते समय व्युत्क्रम न करना।
• भिन्न की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा पहले मुख्य कोण के चतुर्थांश से अर्धकोण के चतुर्थांश की सीमा ज्ञात करें।
b) अर्धकोण सूत्रों का उपयोग करते समय ± चिन्ह में से उचित चिन्ह चुनें।
c) गणनाओं को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
Question 9: यदि \( \cos x = -\frac{1}{3} \), x तृतीय चतुर्थांश में है, तो \( \sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} \) और \( \tan \frac{x}{2} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( \cos x = -\frac{1}{3} \) और x तृतीय चतुर्थांश में है अर्थात् \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \)
चूँकि x तृतीय चतुर्थांश में है, अर्धकोण की सीमा:
\( \frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4} \) (अर्थात् \( \frac{x}{2} \) द्वितीय चतुर्थांश में है)
द्वितीय चतुर्थांश में sin धनात्मक और cos ऋणात्मक होता है।
\( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
चूँकि \( \frac{x}{2} \) द्वितीय चतुर्थांश में है, \( \sin \frac{x}{2} \) धनात्मक होगा:
\( \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
चूँकि \( \frac{x}{2} \) द्वितीय चतुर्थांश में है, \( \cos \frac{x}{2} \) ऋणात्मक होगा:
\( \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः \( \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{2} \)
मुख्य बिंदु:
• तृतीय चतुर्थांश के कोण के लिए अर्धकोण का द्वितीय चतुर्थांश में होना समझना।
• द्वितीय चतुर्थांश में sin धनात्मक तथा cos ऋणात्मक होना।
• अर्धकोण सूत्रों का उपयोग।
आम गलतियाँ:
• अर्धकोण के चतुर्थांश का निर्धारण गलत करना।
• \( \cos \frac{x}{2} \) के साथ ऋणात्मक चिह्न लगाना भूल जाना।
• भिन्नों के सरलीकरण में गलती करना।
Exam Tips:
a) सीमा की असमिकाओं को 2 से भाग देकर अर्धकोण की सही स्थिति निकालें।
b) परिणामी त्रिकोणमितीय अनुपातों के चिन्ह चतुर्थांश के अनुसार लगाएं।
c) अंतिम उत्तर को सरल रूप में प्रस्तुत करें।
Question 10: यदि \( \sin x = \frac{1}{4} \), x द्वितीय चतुर्थांश में है, तो \( \sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} \) और \( \tan \frac{x}{2} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( \sin x = \frac{1}{4} \) और x द्वितीय चतुर्थांश में है अर्थात् \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \)
सर्वसमिका \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) से:
\( \cos^2 x = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)
चूँकि x द्वितीय चतुर्थांश में है, \( \cos x \) ऋणात्मक होगा:
\( \cos x = -\frac{\sqrt{15}}{4} \)
अब अर्धकोण की सीमा:
\( \frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} \) (अर्थात् \( \frac{x}{2} \) प्रथम चतुर्थांश में है)
प्रथम चतुर्थांश में सभी फलन धनात्मक होते हैं।
\( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{15}}{4}}{2} = \frac{4 + \sqrt{15}}{8} \)
\( \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{15}}{8}} \)
\( \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{15}}{4}}{2} = \frac{4 - \sqrt{15}}{8} \)
\( \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4 - \sqrt{15}}{8}} \)
अतः \( \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8}}}{\sqrt{\frac{4-\sqrt{15}}{8}}} = \sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( = \sqrt{\frac{(4+\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}} = \sqrt{\frac{(4+\sqrt{15})^2}{16 - 15}} = 4 + \sqrt{15} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \sin x \) से \( \cos x \) का मान ज्ञात करना और चतुर्थांश देखना।
• अर्धकोण के प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण सभी मान धनात्मक होना।
• वर्गमूल और परिमेयकरण (Rationalisation) विधि का प्रयोग।
आम गलतियाँ:
• परिमेयकरण करते समय बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का गलत प्रयोग।
• वर्गमूल के अंदर भिन्नों को हल करने में गलती करना।
• चतुर्थांश की पहचान में चूक होना।
Exam Tips:
a) परिमेयकरण करते समय अंश और हर दोनों में संयुग्मी (conjugate) से गुणा करें।
b) अंतिम उत्तर को जितना संभव हो सके सरल रूप में छोड़ें।
c) प्रत्येक चरण में चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
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