NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 03 Trigonometric Functions (त्रिकोणमितीय फलन) Exercise 3.3 in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए: \( \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) \)
मान रखने पर:
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - (1)^2 \)
\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1 \)
\( = \frac{2}{4} - 1 \)
\( = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मानों का प्रयोग किया गया है।
• \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) होता है।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• वर्ग (square) करते समय मानों का गलत वर्ग निकालना।
• धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों में भ्रम होना।
• रेडियन को अंश में बदलने में कैलकुलेशन की गलती करना।

Exam Tips:

a) मानक कोणों के मानों को ज़بانی याद रखें ताकि परीक्षा में समय बचे।
b) प्रत्येक चरण में चिह्न (+/-) का विशेष ध्यान रखें।
c) अंत में "LHS = RHS" लिखना न भूलें।

Question 2: सिद्ध कीजिए: \( 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \csc^2 \left(\frac{7\pi}{6}\right) \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \csc^2 \left(\frac{7\pi}{6}\right) \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \)
मान रखने और चतुर्थांश नियम का प्रयोग करने पर:
\( = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \csc^2 \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( = 2 \times \frac{1}{4} + \left(-\csc\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2 \times \frac{1}{4} \)
\( = \frac{1}{2} + (-2)^2 \times \frac{1}{4} \)
\( = \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} \)
\( = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \csc(\pi + \theta) = -\csc\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \csc\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \) होता है।
• भिन्नों का सरल जोड़ और गुणा किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) \) का मान ऋणात्मक न लेना।
• वर्ग के कारण ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करना जो कि यहाँ सही हो जाता है क्योंकि वर्ग है।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) बड़े कोणों को \( \pi \pm \theta \) या \( 2\pi \pm \theta \) के रूप में तोड़ना सीखें।
b) चतुर्थांश (Quadrants) के नियमों को स्पष्ट रूप से समझें।
c) हर चरण के बाद समीकरण को संक्षिप्त करें।

Question 3: सिद्ध कीजिए: \( \cot^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \csc \left(\frac{5\pi}{6}\right) + 3\tan^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cot^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \csc \left(\frac{5\pi}{6}\right) + 3\tan^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) \)
कोण को बदलकर लिखने पर:
\( = (\sqrt{3})^2 + \csc \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \)
मान रखने पर:
\( = 3 + \csc \left(\frac{\pi}{6}\right) + 3 \times \frac{1}{3} \)
\( = 3 + 2 + 1 = 6 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \csc(\pi - \theta) = \csc\theta \) होता है क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में cosec धनात्मक होता है।
• \( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \) होता है।
• \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \csc\left(\frac{5\pi}{6}\right) \) को ऋणात्मक मान लेना।
• वर्गमूल वाली संख्याओं का वर्ग करते समय गलती करना।
• गुणा और जोड़ के क्रम में गड़बड़ी करना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि दूसरे चतुर्थांश में sin और cosec धनात्मक होते हैं।
b) परीक्षा में चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर मिलने पर उसकी जाँच अवश्य करें।

Question 4: सिद्ध कीजिए: \( 2\sin^2 \left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = 10 \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = 2\sin^2 \left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \)
कोण को विभाजित करने पर:
\( = 2\sin^2 \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2(2)^2 \)
मान रखने पर:
\( = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \times \frac{1}{2} + 2(4) \)
\( = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 + 8 \)
\( = 2 \times \frac{1}{2} + 9 = 1 + 9 = 10 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) होता है।
• \( \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) में चतुर्थांश का नियम गलत लगाना।
• कोष्ठक और वर्ग खोलते समय गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) रेडियन कोणों को अंश में बदलकर (यदि भ्रम हो) हल कर सकते हैं, फिर रेडियन में लिखें।
b) प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात का मान सावधानी से रखें।
c) हर पंक्ति में बराबर (=) का चिह्न सीध में लगाएं।

Question 5: मान ज्ञात कीजिए: (i) \( \sin 75^\circ \) (ii) \( \tan 15^\circ \)

Answer:

(i) \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) \)
सूत्र \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) का प्रयोग करने पर:
\( = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)
\( = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
\( = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \)

(ii) \( \tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) \)
सूत्र \( \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B \) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)
\( = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \)
\( = \frac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \)

मुख्य बिंदु:

• योग और अंतर वाले त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया गया है।
• हर का परिमेयकरण (Rationalisation) करना आवश्यक है।
• मानक कोणों \( 45^\circ \) और \( 30^\circ \) का संयोजन बनाया गया है।

आम गलतियाँ:

• tan के सूत्र में अंश और हर के चिह्न में गलती करना।
• परिमेयकरण करते وقت बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में कोणों को ऐसे दो मानक कोणों में तोड़ें जिनके मान ज्ञात हों।
b) परिमेयकरण के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
c) अंतिम उत्तर को सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 6: सिद्ध कीजिए: \( \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - y\right) - \sin \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} - y\right) = \sin(x + y) \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - y\right) - \sin \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} - y\right) \)
सूत्र \( \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B) \) का प्रयोग करने पर (जहाँ \( A = \frac{\pi}{4} - x \) और \( B = \frac{\pi}{4} - y \)):
\( = \cos \left[ \left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - y\right) \right] \)
\( = \cos \left[ \frac{\pi}{2} - (x + y) \right] \)
क्योंकि \( \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \) होता है:
\( = \sin(x + y) = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( \cos(A+B) \) के प्रसार के विपरीत सूत्र का प्रयोग हुआ है।
• \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) होता है।
• पूरक कोण (Complementary angle) संबंध का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में ऋण चिह्न के कारण कोष्ठक के अंदर के पदों के चिह्न बदलना भूल जाना।
• अंतिम चरण में cos को sin में बदलते समय चतुर्थांश की गलती करना।

Exam Tips:

• सर्वसमिका को पहचानें कि यह किस मानक सूत्र का विस्तारित रूप है।
• बीजगणितीय सरलतीकरण सावधानी से करें।
• कारण को ब्रैकेट में अवश्य लिखें।

Question 7: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} = \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2 \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} \)
अंश और हर में \( \tan(A + B) \) और \( \tan(A - B) \) का सूत्र लगाने पर:
\( = \frac{\frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 - \tan\frac{\pi}{4} \tan x}}{\frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{4} \tan x}} \)
चूँकि \( \tan\frac{\pi}{4} = 1 \) होता है, मान रखने पर:
\( = \frac{\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}}{\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}} \)
पदों को ऊपर ले जाकर गुणा करने पर:
\( = \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right) \times \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right) \)
\( = \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \) का प्रयोग किया गया है।
• जटिल भिन्न (Complex fraction) को सरल करना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र के अंश और हर में चिह्नों (+ और -) की अदला-बदली कर देना।
• भिन्न को पलटते समय व्युत्क्रम (reciprocal) में गलती करना।

Exam Tips:

a) बड़े भिन्नात्मक पदों को लिखते समय ब्रैकेट का सही प्रयोग करें।
b) सूत्र को पहले साइड में लिखकर दिखाएं।
c) अंतिम रूप को सीधे RHS के रूप में व्यवस्थित करें।

Question 8: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\cos(\pi + x) \cos(-x)}{\sin(\pi - x) \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} = \cot^2 x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\cos(\pi + x) \cos(-x)}{\sin(\pi - x) \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} \)
विभिन्न चतुर्थांशों के त्रिकोणमितीय मानों का प्रयोग करने पर:
• \( \cos(\pi + x) = -\cos x \) (तीसरे चतुर्थांश में cos ऋणात्मक होता है)
• \( \cos(-x) = \cos x \) (cos सम फलन है)
• \( \sin(\pi - x) = \sin x \) (दूसरे चतुर्थांश में sin धनात्मक होता है)
• \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \) (दूसरे चतुर्थांश में cos ऋणात्मक होता है)

मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( = \frac{(-\cos x)(\cos x)}{(\sin x)(-\sin x)} \)
\( = \frac{-\cos^2 x}{-\sin^2 x} \)
\( = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• चार अलग-अलग त्रिकोणमितीय रूपांतरण सूत्रों का एक साथ प्रयोग।
• सम-विषम फलन गुणधर्म \( \cos(-x) = \cos x \) ।
• ऋणात्मक चिह्नों का आपस में कट जाना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \) का मान लिखते समय चिह्न की गलती करना।
• अंश और हर के ऋण चिह्नों को काटने में भूल करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद का मान अलग से बाजू में लिखकर स्पष्ट करें।
b) चतुर्थांश के नियमों का अभ्यास बार-बार करें।
c) अंतिम पद को \( (\frac{\cos x}{\sin x})^2 \) के रूप में लिखकर \( \cot^2 x \) दर्शाएं।

Question 9: सिद्ध कीजिए: \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos(2\pi + x) \left[ \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cot(2\pi + x) \right] = 1 \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos(2\pi + x) \left[ \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cot(2\pi + x) \right] \)
पदों को सरल करने पर:
• \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \)
• \( \cos(2\pi + x) = \cos x \)
• \( \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan x \)
• \( \cot(2\pi + x) = \cot x \)

व्यंजक में मान रखने पर:
\( = \sin x \cos x (\tan x + \cot x) \)
\( \tan x \) और \( \cot x \) को sine और cosine में बदलने पर:
\( = \sin x \cos x \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}\right) \)
लघुत्तम लेकर हल करने पर:
\( = \sin x \cos x \left(\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}\right) \)
चूँकि \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) होता है:
\( = \sin x \cos x \left(\frac{1}{\sin x \cos x}\right) \)
\( = 1 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• चतुर्थांश नियमों द्वारा त्रिकोणमितीय अनुपातों का रूपांतरण।
• \( \cot x \) को \( \frac{\cos x}{\sin x} \) के रूप में बदलना।
• सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \) को tan x की बजाय cot x ही लिख देना।
• ब्रैकेट के अंदर एलसीएम (LCM) लेते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े व्यंजकों को पहले अलग-अलग सरल करके फिर मुख्य समीकरण में रखें।
b) अंत में सर्वसमिका का उपयोग करके उत्तर को छोटा बनाएं।
c) प्रत्येक चरण में बराबर का चिह्न सुव्यवस्थित लगाएं।

Question 10: सिद्ध कीजिए: \( \sin(n + 1)x \sin(n + 2)x + \cos(n + 1)x \cos(n + 2)x = \cos x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin(n + 1)x \sin(n + 2)x + \cos(n + 1)x \cos(n + 2)x \)
पदों के क्रम को व्यवस्थित करने पर:
\( = \cos(n + 1)x \cos(n + 2)x + \sin(n + 1)x \sin(n + 2)x \)
सूत्र \( \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B) \) का प्रयोग करने पर (जहाँ \( A = (n + 2)x \) और \( B = (n + 1)x \)):
\( = \cos[ (n + 2)x - (n + 1)x ] \)
कोष्टक खोलने और घटाने पर:
\( = \cos[ nx + 2x - nx - x ] \)
\( = \cos x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• यह \( \cos(A - B) \) के प्रसार का सीधा अनुप्रयोग है।
• बीजगणितीय पदों को घटाते समय चरों का ध्यान रखना।
• \( nx \) पद का आपस में कट जाना।

आम गलतियाँ:

• घटाते समय ब्रैकेट के अंदर के चिह्न गलत करना।
• सूत्र का चयन गलत करना (sin और cos मिला देना)।

Exam Tips:

a) सूत्र लिखते समय ब्रैकेट का सही इस्तेमाल करें।
b) बड़े कोण को पहले (A के रूप में) और छोटे कोण को बाद में (B के रूप में) रखें।
c) परीक्षा में सूत्र को साइड में जरूर दर्शाएं।

Question 11: सिद्ध कीजिए: \( \cos\left(\frac{3\pi}{4} + x\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = -\sqrt{2}\sin x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos\left(\frac{3\pi}{4} + x\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) \)
सूत्र \( \cos C - \cos D = -2 \sin\left(\frac{C + D}{2}\right) \sin\left(\frac{C - D}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = -2 \sin \left( \frac{\left(\frac{3\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}{2} \right) \sin \left( \frac{\left(\frac{3\pi}{4} + x\right) - \left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}{2} \right) \)
अंश को जोड़ने और घटाने पर:
\( = -2 \sin \left( \frac{\frac{6\pi}{4}}{2} \right) \sin \left( \frac{2x}{2} \right) \)
\( = -2 \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \sin x \)
चूँकि \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) होता है:
\( = -2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \sin x \)
\( = -\sqrt{2}\sin x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos C - \cos D \) के योग-अंतर सूत्र का प्रयोग।
• कोणों के योग और अंतर को 2 से भाग देना।
• \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) का मान निकालना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos C - \cos D \) के सूत्र में आगे के ऋण चिह्न (-2) को छोड़ देना।
• कोणों को सरल करते समय हर (denominator) की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) योग-अंतर वाले सूत्रों को याद करने के लिए विशेष सारणी का प्रयोग करें।
b) हर चरण में ब्रैकेट का सही ध्यान रखें।
c) अंत में рационализацию (परिमेयकरण) या वर्गमूल का संयोजन सही से करें।

Question 12: सिद्ध कीजिए: \( \sin^2 6x - \sin^2 4x = \sin 2x \sin 10x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin^2 6x - \sin^2 4x \)
सर्वसमिका \( \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A + B)\sin(A - B) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \sin(6x + 4x) \sin(6x - 4x) \)
\( = \sin(10x) \sin(2x) \)
क्रम बदलने पर:
\( = \sin 2x \sin 10x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• सर्वसमिका \( \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B) \) का प्रत्यक्ष उपयोग।
• कोणों का सीधा जोड़ और घटाव।
• गुणन की क्रमविनिमेयता (Commutative property) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• इस मानक सर्वसमिका की बजाय इसे लंबे विधि से हल करने की कोशिश करना।
• कोणों को गुणा कर देना (जैसे \( 6x \times 4x \)) जो कि गलत है।

Exam Tips:

a) वर्ग वाले अंतर के सूत्रों को अच्छे से याद रखें, ये समय बचाते हैं।
b) उत्तर के क्रम के अनुसार पदों को व्यवस्थित करें।
c) सूत्र को ब्रैकेट में अवश्य लिखें।

Question 13: सिद्ध कीजिए: \( \cos^2 2x - \cos^2 6x = \sin 4x \sin 8x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos^2 2x - \cos^2 6x \)
सर्वसमिका \( \cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B)\cos(A-B) \) या \( \cos^2 A - \cos^2 B = \sin(A+B)\sin(B-A) \) का प्रयोग करने पर:
\( = (\cos 2x + \cos 6x)(\cos 2x - \cos 6x) \)
अब \( \cos C + \cos D \) और \( \cos C - \cos D \) के सूत्र लगाने पर:
\( = \left[ 2 \cos\left(\frac{2x + 6x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x - 6x}{2}\right) \right] \left[ -2 \sin\left(\frac{2x + 6x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x - 6x}{2}\right) \right] \)
सरल करने पर:
\( = [ 2 \cos 4x \cos(-2x) ] [ -2 \sin 4x \sin(-2x) ] \)
चूँकि \( \cos(-x) = \cos x \) और \( \sin(-x) = -\sin x \) होता है:
\( = [ 2 \cos 4x \cos 2x ] [ -2 \sin 4x (-\sin 2x) ] \)
\( = [ 2 \cos 4x \cos 2x ] [ 2 \sin 4x \sin 2x ] \)
पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( = (2 \sin 2x \cos 2x)(2 \sin 4x \cos 4x) \)
दुकोने के सूत्र \( 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta \) का प्रयोग करने पर:
\( = (\sin 4x)(\sin 8x) = \sin 4x \sin 8x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos C + \cos D \) और \( \cos C - \cos D \) दोनों सूत्रों का संयोजन।
• सम-विषम फलन गुणधर्मों का प्रयोग।
• द्वि-कोण सूत्र (Double angle formula) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \cos(-2x) \) को ऋणात्मक लिख देना।
• अंतिम चरणों में गुणन को सही से संयोजित न करना।

Exam Tips:

a) यदि सीधा सूत्र याद न हो, तो cos को sin में बदलकर भी हल किया जा सकता है।
b) कोष्ठकों के गुणन में चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) चरणों को क्रमबद्ध तरीके से नीचे की ओर हल करें।

Question 14: सिद्ध कीजिए: \( \sin 2x + 2\sin 4x + \sin 6x = 4\cos^2 x \sin 4x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \sin 2x + 2\sin 4x + \sin 6x \)
पदों को पास लाने पर जिन पर \( \sin C + \sin D \) का सूत्र लग सके:
\( = (\sin 6x + \sin 2x) + 2\sin 4x \)
सूत्र \( \sin C + \sin D = 2 \sin\left(\frac{C + D}{2}\right) \cos\left(\frac{C - D}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = 2 \sin\left(\frac{6x + 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x - 2x}{2}\right) + 2\sin 4x \)
\( = 2 \sin 4x \cos 2x + 2\sin 4x \)
उभयनिष्ठ (Common) लेने पर:
\( = 2\sin 4x (\cos 2x + 1) \)
चूँकि \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \) होता है:
\( = 2\sin 4x (2\cos^2 x - 1 + 1) \)
\( = 2\sin 4x (2\cos^2 x) \)
\( = 4\cos^2 x \sin 4x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin C + \sin D \) सूत्र का प्रयोग।
• उभयनिष्ठ \( 2\sin 4x \) बाहर निकालना।
• \( \cos 2x \) का वह अर्ध-कोण सूत्र चुनना जिसमें \( \cos^2 x \) आता हो।

आम गलतियाँ:

• गलत पदों को साथ लेना जिससे सूत्र लगाने पर कोण समान न आएं।
• \( \cos 2x \) के कई सूत्रों में से गलत सूत्र का चयन करना।

Exam Tips:

a) हमेशा उन दो कोणों को चुनें जिनका योग या अंतर दो से विभाजित होकर बीच वाले पद का कोण दे दे।
b) उभयनिष्ठ लेने की कला में निपुण बनें।
c) अंतिम उत्तर RHS के अनुसार व्यवस्थित करें।

Question 15: सिद्ध कीजिए: \( \cot 4x (\sin 5x + \sin 3x) = \cot x (\sin 5x - \sin 3x) \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cot 4x (\sin 5x + \sin 3x) \)
\( \cot 4x \) को \( \frac{\cos 4x}{\sin 4x} \) में बदलने और \( \sin C + \sin D \) सूत्र लगाने पर:
\( = \frac{\cos 4x}{\sin 4x} \left[ 2 \sin\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x - 3x}{2}\right) \right] \)
\( = \frac{\cos 4x}{\sin 4x} [ 2 \sin 4x \cos x ] \)
\( \sin 4x \) का आपस में कट जाना:
\( = 2 \cos 4x \cos x \)     --- (1)

अब दायाँ पक्ष (RHS) लेने पर:
\( = \cot x (\sin 5x - \sin 3x) \)
\( \cot x \) को \( \frac{\cos x}{\sin x} \) में बदलने और \( \sin C - \sin D \) सूत्र लगाने पर:
\( = \frac{\cos x}{\sin x} \left[ 2 \cos\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \sin\left(\frac{5x - 3x}{2}\right) \right] \)
\( = \frac{\cos x}{\sin x} [ 2 \cos 4x \sin x ] \)
\( \sin x \) का आपस में कट जाना:
\( = 2 \cos 4x \cos x \)     --- (2)

समीकरण (1) और (2) से, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (LHS = RHS)

मुख्य बिंदु:

• LHS और RHS दोनों को अलग-अलग हल करना आसान होता है।
• \( \sin C + \sin D \) और \( \sin C - \sin D \) दोनों सूत्रों का प्रयोग।
• समान पदों को काटकर अंतिम परिणाम तक पहुँचना।

आम गलतियाँ:

• LHS को सीधे RHS के बराबर साबित करने में उलझ जाना (दोनों को अलग हल करना बेहतर है)।
• कोणों को घटाने या जोड़ने में गलती करना।

Exam Tips:

a) जब दोनों पक्ष थोड़े जटिल लगें, तो दोनों को अलग-अलग हल करके एक ही मान पर लाएं।
b) समीकरण (1) और (2) नाम देना न भूलें।
c) cot को हमेशा \( \cos/\sin \) में बदलकर हल करना आसान होता है।

Question 16: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\cos 9x - \cos 5x}{\sin 17x - \sin 3x} = -\frac{\sin 2x}{\cos 10x} \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\cos 9x - \cos 5x}{\sin 17x - \sin 3x} \)
अंश में \( \cos C - \cos D \) और हर में \( \sin C - \sin D \) का सूत्र लगाने पर:
• \( \cos C - \cos D = -2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \)
• \( \sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \)

मान रखने पर:
\( = \frac{-2 \sin\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \sin\left(\frac{9x - 5x}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{17x + 3x}{2}\right) \sin\left(\frac{17x - 3x}{2}\right)} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{-2 \sin 7x \sin 2x}{2 \cos 10x \sin 7x} \)
अंश और हर से समान पद \( \sin 7x \) और 2 का कट जाना:
\( = \frac{-\sin 2x}{\cos 10x} = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos C - \cos D \) और \( \sin C - \sin D \) के मानक सूत्रों का प्रयोग।
• अंश और हर से उभयनिष्ठ पदों को काटना।
• ऋण चिह्न का यथावत रहना।

आम गलतियाँ:

• अंश के सूत्र में आगे के ऋण चिह्न को भूल जाना।
• कोणों के भागफल में 2 से भाग देना भूलना।

Exam Tips:

a) सूत्र लिखते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) कोणों को काटकर छोटा करने से पहले सुनिश्चित करें कि वे दोनों में समान हैं।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 17: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = \tan 4x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} \)
अंश में \( \sin C + \sin D \) और हर में \( \cos C + \cos D \) का सूत्र लगाने पर:
• \( \sin C + \sin D = 2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right) \)
• \( \cos C + \cos D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right) \)

मान रखने पर:
\( = \frac{2 \sin\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x - 3x}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x - 3x}{2}\right)} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{2 \sin 4x \cos x}{2 \cos 4x \cos x} \)
समान पदों \( 2 \), \( \cos x \) का कट जाना:
\( = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर दोनों में योग वाले सूत्रों का प्रयोग।
• \( \cos x \) और \( 2 \) का अंश व हर से निरस्त होना।
• \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सूत्रों के कोणों को निकालते समय गलत जोड़ करना।
• \( \cos x \) को बिना काटे सीधे उत्तर लिख देना।

Exam Tips:

a) यह त्रिकोणमिति के सबसे महत्वपूर्ण और सरल प्रश्नों में से एक है, इसे अच्छे से समझें।
b) सूत्र को स्पष्ट रूप से किनारे लिखें।
c) अंतिम पद को tan के रूप में बदलना न भूलें।

Question 18: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} = \tan\left(\frac{x - y}{2}\right) \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} \)
अंश में \( \sin C - \sin D \) और हर में \( \cos C + \cos D \) का सूत्र लगाने पर:
• \( \sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right) \)
• \( \cos C + \cos D = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right) \)

मान रखने पर:
\( = \frac{2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right)} \)
समान पद \( 2 \) और \( \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \) का कट जाना:
\( = \frac{\sin\left(\frac{x - y}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x - y}{2}\right)} \)
\( = \tan\left(\frac{x - y}{2}\right) = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin C - \sin D \) और \( \cos C + \cos D \) के मानक सूत्रों का प्रयोग।
• कोणों का भिन्नात्मक रूप में होना।
• sin और cos के अनुपात से tan बनाना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र के चरों (x और y) को आपस में भ्रमित करना।
• सही पद को न काट पाना।

Exam Tips:

a) चरों वाले सूत्रों में कोणों के आधे (half-angles) को सावधानी से लिखें।
b) परीक्षा में सूत्र का हवाला अवश्य दें।
c) उत्तर को सीधे RHS के रूप में प्राप्त करें।

Question 19: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = \tan 2x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} \)
पदों को बड़े कोण से छोटे कोण के क्रम में व्यवस्थित करने पर:
\( = \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} \)
अंश में \( \sin C + \sin D \) और हर में \( \cos C + \cos D \) का सूत्र लगाने पर:
\( = \frac{2 \sin\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - x}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - x}{2}\right)} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{2 \sin 2x \cos x}{2 \cos 2x \cos x} \)
समान पद \( 2 \) और \( \cos x \) का कट जाना:
\( = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• बड़े कोण को पहले लिखकर सूत्र लगाना आसान बनाता है।
• \( \sin C + \sin D \) और \( \cos C + \cos D \) का प्रयोग।
• समान पदों का निरस्तीकरण।

आम गलतियाँ:

• कोणों को जोड़ते समय क्रम की गलती करना।
• \( \cos x \) को न काटना।

Exam Tips:

a) हमेशा बड़े कोण को C और छोटे को D मानकर सूत्र में रखें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम परिणाम tan के रूप में निकालें।

Question 20: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x} = 2\sin x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x} \)
अंश में \( \sin C - \sin D \) का सूत्र लगाने पर (जहाँ \( C = x \) और \( D = 3x \)):
\( = \frac{2 \cos\left(\frac{x + 3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x - 3x}{2}\right)}{-( \cos^2 x - \sin^2 x )} \)
हर से ऋण चिह्न उभयनिष्ठ लेने पर वह \( \cos^2 x - \sin^2 x \) बनता है जो \( \cos 2x \) होता है:
\( = \frac{2 \cos 2x \sin(-x)}{-\cos 2x} \)
चूँकि \( \sin(-x) = -\sin x \) होता है:
\( = \frac{2 \cos 2x (-\sin x)}{-\cos 2x} \)
ऋण चिह्नों और \( \cos 2x \) का आपस में कट जाना:
\( = 2\sin x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin C - \sin D \) सूत्र का प्रयोग।
• हर में से ऋण चिह्न कॉमन लेकर \( \cos 2x \) सर्वसमिका बनाना।
• विषम फलन गुणधर्म \( \sin(-x) = -\sin x \) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• हर में \( \sin^2 x - \cos^2 x \) को सीधे \( \cos 2x \) लिख देना (यह \( -\cos 2x \) होता है)।
• \( \sin(-x) \) के ऋण चिह्न को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) हर के पदों को पलटते समय ऋण चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
b) कोणों के अंतर से आने वाले ऋण चिह्न को सही से संयोजित करें।
c) प्रत्येक चरण को ध्यानपूर्वक लिखें।

Question 21: सिद्ध कीजिए: \( \frac{\cos 4x + \cos 3x + \cos 2x}{\sin 4x + \sin 3x + \sin 2x} = \cot 3x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \frac{\cos 4x + \cos 3x + \cos 2x}{\sin 4x + \sin 3x + \sin 2x} \)
अंश और हर में पहले और तीसरे पद को साथ रखने पर (\( 4x \) और \( 2x \)):
\( = \frac{(\cos 4x + \cos 2x) + \cos 3x}{(\sin 4x + \sin 2x) + \sin 3x} \)
सूत्र \( \cos C + \cos D \) और \( \sin C + \sin D \) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{2 \cos\left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x - 2x}{2}\right) + \cos 3x}{2 \sin\left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x - 2x}{2}\right) + \sin 3x} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{2 \cos 3x \cos x + \cos 3x}{2 \sin 3x \cos x + \sin 3x} \)
अंश से \( \cos 3x \) और हर से \( \sin 3x \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = \frac{\cos 3x (2 \cos x + 1)}{\sin 3x (2 \cos x + 1)} \)
समान पद \( (2 \cos x + 1) \) का कट जाना:
\( = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} = \cot 3x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• सही पदों (\( 4x \) और \( 2x \)) का चयन ताकि औसत कोण \( 3x \) बने।
• अंश और हर दोनों में उभयनिष्ठ लेना।
• \( \frac{\cos 3x}{\sin 3x} = \cot 3x \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• गलत पदों को साथ में जोड़ना जिससे बीच वाला पद न कटे।
• उभयनिष्ठ लेते समय कोष्ठक के अंदर के पदों की गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे तीन पदों वाले प्रश्नों में हमेशा पहले और अंतिम पद को जोड़ें ताकि मध्य पद (middle term) बाहर कॉमन आ सके।
b) बीजगणितीय उभयनिष्ठ लेने की प्रक्रिया साफ लिखें।
c) अंत में cot का सूत्र लगाएं।

Question 22: सिद्ध कीजिए: \( \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1 \)

Answer:

हम जानते हैं कि कोण संबंध से:
\( 3x = 2x + x \)
दोनों तरफ cot लेने पर:
\( \cot(3x) = \cot(2x + x) \)
cot के योग सूत्र \( \cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot B + \cot A} \) का प्रयोग करने पर:
\( \cot 3x = \frac{\cot 2x \cot x - 1}{\cot x + \cot 2x} \)
वज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर:
\( \cot 3x (\cot x + \cot 2x) = \cot 2x \cot x - 1 \)
कोष्टक खोलने पर:
\( \cot 3x \cot x + \cot 3x \cot 2x = \cot 2x \cot x - 1 \)
पदों को पक्षांतर (Transpose) करने पर:
\( 1 = \cot 2x \cot x - \cot 3x \cot 2x - \cot 3x \cot x \)
अतः,
\( \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( 3x = 2x + x \) के रूप में मुख्य संबंध स्थापित करना।
• \( \cot(A+B) \) के प्रसार सूत्र का अनुप्रयोग।
• वज्र गुणन द्वारा समीकरण को व्यवस्थित करना।

आम गलतियाँ:

• cot के योग सूत्र में अंश और हर के पदों में भ्रम होना।
• पक्षांतर करते समय चिह्नों की गलती करना।

Exam Tips:

a) यह विशिष्ट प्रकार का प्रश्न है, इसलिए इसकी शुरुआत \( 3x = 2x + x \) से होती है, इसे याद रखें।
b) क्रॉस मल्टीप्लिकेशन के चरणों को बहुत सावधानी से हल करें।
c) अंतिम समीकरण को सीधे प्रश्न के रूप में सजाएं।

Question 23: सिद्ध कीजिए: \( \tan 4x = \frac{4\tan x(1 - \tan^2 x)}{1 - 6\tan^2 x + \tan^4 x} \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \tan 4x \)
द्वि-कोण रूप में तोड़ने पर:
\( = \tan 2(2x) \)
सूत्र \( \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \) का प्रयोग करने पर (जहाँ \( \theta = 2x \)):
\( = \frac{2\tan 2x}{1 - \tan^2 2x} \)
पुनः \( \tan 2x \) का सूत्र \( \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} \) रखने पर:
\( = \frac{2\left(\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\right)}{1 - \left(\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\right)^2} \)
अंश और हर को सरल करने पर:
\( = \frac{\frac{4\tan x}{1 - \tan^2 x}}{1 - \frac{4\tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}} \)
हर में लघुत्तम लेने पर:
\( = \frac{\frac{4\tan x}{1 - \tan^2 x}}{\frac{(1 - \tan^2 x)^2 - 4\tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}} \)
एक पद का कट जाना और ऊपर ले जाकर गुणा करने पर:
\( = \frac{4\tan x (1 - \tan^2 x)}{(1 - \tan^2 x)^2 - 4\tan^2 x} \)
हर का विस्तार करने पर (\( (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \)):
\( = \frac{4\tan x (1 - \tan^2 x)}{1 + \tan^4 x - 2\tan^2 x - 4\tan^2 x} \)
\( = \frac{4\tan x (1 - \tan^2 x)}{1 - 6\tan^2 x + \tan^4 x} = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan 4x \) को \( \tan 2(2x) \) के रूप में लिखना।
• द्वि-कोण सूत्र का दो बार प्रयोग।
• बीजगणितीय विस्तार और भिन्नों का सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• हर के वर्ग को खोलते समय बीजगणितीय सर्वसमिका की गलती करना।
• जटिल भिन्न को हल करते समय व्युत्क्रम में गड़बड़ी करना।

Exam Tips:

a) यह बड़ा प्रश्न है, अतः हर एक चरण को साफ़ और अलग-अलग पंक्तियों में लिखें।
b) हर के विस्तार पर विशेष ध्यान दें।
c) अंत में RHS से मिलाप अवश्य करें।

Question 24: सिद्ध कीजिए: \( \cos 4x = 1 - 8\sin^2 x \cos^2 x \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos 4x \)
इसे द्वि-कोण के रूप में लिखने पर:
\( = \cos 2(2x) \)
सूत्र \( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \) का प्रयोग करने पर (जहाँ \( \theta = 2x \)):
\( = 1 - 2\sin^2 2x \)
\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) का मान रखने पर:
\( = 1 - 2 (2\sin x \cos x)^2 \)
वर्ग खोलने पर:
\( = 1 - 2 (4 \sin^2 x \cos^2 x) \)
गुणा करने पर:
\( = 1 - 8\sin^2 x \cos^2 x = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \) सूत्र का प्रयोग।
• \( \sin 2x \) के द्वि-कोण सूत्र का अनुप्रयोग।
• वर्ग का सही विस्तार।

आम गलतियाँ:

• \( (2\sin x \cos x)^2 \) का वर्ग करते समय 2 का वर्ग 4 करना भूल जाना।
• ऋण चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) सूत्र चुनते समय RHS की आवश्यकता (जैसे 1 और sin पदों का होना) को ध्यान में रखें।
b) गुणन और वर्ग की गणना सावधानी से करें।
c) चरण-दर-चरण हल करें।

Question 25: सिद्ध कीजिए: \( \cos 6x = 32\cos^6 x - 48\cos^4 x + 18\cos^2 x - 1 \)

Answer:

बायाँ पक्ष (LHS) लेने पर:
\( = \cos 6x \)
इसे त्रि-कोण के रूप में लिखने पर:
\( = \cos 3(2x) \)
सूत्र \( \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \) का प्रयोग करने पर (जहाँ \( \theta = 2x \)):
\( = 4\cos^3 2x - 3\cos 2x \)
अब \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \) का मान रखने पर:
\( = 4(2\cos^2 x - 1)^3 - 3(2\cos^2 x - 1) \)
घन (Cube) का विस्तार सूत्र \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) लगाने पर:
\( = 4 \left[ (2\cos^2 x)^3 - 3(2\cos^2 x)^2(1) + 3(2\cos^2 x)(1)^2 - (1)^3 \right] - 3(2\cos^2 x - 1) \)
\( = 4 \left[ 8\cos^6 x - 3(4\cos^4 x) + 6\cos^2 x - 1 \right] - 6\cos^2 x + 3 \)
\( = 4 [ 8\cos^6 x - 12\cos^4 x + 6\cos^2 x - 1 ] - 6\cos^2 x + 3 \)
4 से अंदर गुणा करने पर:
\( = 32\cos^6 x - 48\cos^4 x + 24\cos^2 x - 4 - 6\cos^2 x + 3 \)
समान पदों को जोड़ने/घटाने पर:
\( = 32\cos^6 x - 48\cos^4 x + (24\cos^2 x - 6\cos^2 x) + (-4 + 3) \)
\( = 32\cos^6 x - 48\cos^4 x + 18\cos^2 x - 1 = \) दायाँ पक्ष (RHS)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 3\theta \) और \( \cos 2\theta \) दोनों सूत्रों का प्रयोग।
• बीजगणितीय घन सूत्र \( (a-b)^3 \) का अनुप्रयोग।
• समान घात वाले पदों को आपस में जोड़ना-घटाना।

आम गलतियाँ:

• \( (2\cos^2 x)^3 \) का मान निकालते समय 2 का घन 8 न लिखना।
• घन के विस्तार में चिह्नों की गलती करना।

Exam Tips:

a) यह इस प्रश्नावली का सबसे लंबा प्रश्न है, अतः धैर्य और एकाग्रता से गणना करें।
b) कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या से प्रत्येक पद को गुणा करें।
c) अंत में घटते क्रम में घातों को व्यवस्थित करें।