Download NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
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Question 1: \( \cos x = -\frac{1}{2}, x \) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Answer:
दिया गया है: \( \cos x = -\frac{1}{2} \)
सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का उपयोग करने पर:
\( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
चूँकि \( x \) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है और तीसरे चतुर्थांश में \( \sin x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = -2 \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3} \)
\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• चतुर्थांश के आधार पर चिह्नों (+ या -) का निर्धारण किया गया है।
• अन्य सभी पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात किए गए हैं।
आम गलतियाँ:
• चतुर्थांश पहचानते समय चिह्न की गलती करना।
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक चिह्न का सही ध्यान न रखना।
• व्युत्क्रम फलनों के मान उल्टे लिखने में गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा पहले यह देखें कि कोण किस चतुर्थांश में स्थित है।
b) सभी चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती की गुنجाइश न रहे।
c) अंतिम उत्तर में मात्रकों या भिन्नों को सरलतम रूप में लिखें।
Question 2: \( \sin x = \frac{3}{5}, x \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Answer:
दिया गया है: \( \sin x = \frac{3}{5} \)
सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का उपयोग करने पर:
\( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \)
\( \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
चूँकि \( x \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दूसरे चतुर्थांश में \( \cos x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \cos x = -\frac{4}{5} \)
\( \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{5}{3} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = -\frac{5}{4} \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \)
\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3} \)
मुख्य बिंदु:
• दूसरे चतुर्थांश में केवल \( \sin x \) और \( \csc x \) धनात्मक होते हैं।
• \( \cos x \) का मान ऋणात्मक लिया गया है।
• \( \tan x \) और \( \cot x \) के मान भी ऋणात्मक होंगे।
आम गलतियाँ:
• दूसरे चतुर्थांश में \( \cos x \) को धनात्मक मान लेना।
• भिन्नों के वर्ग और घटाव में गणना की गलती करना।
Exam Tips:
a) ASTC नियम (All Silver Tea Cups) को हमेशा याद रखें।
b) गणना के प्रत्येक चरण को अलग लाइन में दिखाएँ।
Question 3: \( \cot x = \frac{3}{4}, x \) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
Answer:
दिया गया है: \( \cot x = \frac{3}{4} \)
हम जानते हैं कि \( \tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{4}{3} \)
सर्वसमिका \( 1 + \tan^2 x = \csc^2 x \) या \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \) का उपयोग करने पर:
\( \csc^2 x = 1 + \cot^2 x = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)
\( \csc^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \)
चूँकि \( x \) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है और तृतीय चतुर्थांश में \( \csc x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \csc x = -\frac{5}{4} \)
अतः \( \sin x = \frac{1}{\csc x} = -\frac{4}{5} \)
सर्वसमिका \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) का उपयोग करने पर:
\( \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
चूँकि तृतीय चतुर्थांश में \( \cos x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \cos x = -\frac{3}{5} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = -\frac{5}{3} \)
\( \tan x = \frac{4}{3} \) (चूँकि \( \cot x = \frac{3}{4} \))
मुख्य बिंदु:
• \( \cot x \) से \( \tan x \) आसानी से निकाला जा सकता है।
• तृतीय चतुर्थांश में \( \tan \) और \( \cot \) धनात्मक जबकि अन्य सभी ऋणात्मक होते हैं।
• व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं का सही उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• तृतीय चतुर्थांश में \( \sin x \) और \( \cos x \) को धनात्मक मान लेना।
• \( \csc^2 x \) से \( \csc x \) निकालते समय चिह्न छोड़ देना।
Exam Tips:
a) जिस फलन का मान दिया हो, उससे जुड़े सबसे सरल सूत्र का चयन करें।
b) सभी छह फलनों के मान निकालने के बाद एक बार पुनः जाँच अवश्य करें।
Question 4: \( \sec x = \frac{13}{5}, x \) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
Answer:
दिया गया है: \( \sec x = \frac{13}{5} \)
इसलिए, \( \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{5}{13} \)
सर्वसमिका \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) का उपयोग करने पर:
\( \sin^2 x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
चूँकि \( x \) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है और चतुर्थ चतुर्थांश में \( \sin x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \sin x = -\frac{12}{13} \)
\( \csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{13}{12} \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} \)
\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} \)
मुख्य बिंदु:
• चतुर्थ चतुर्थांश में \( \cos x \) और \( \sec x \) धनात्मक होते हैं।
• \( \sin x, \csc x, \tan x, \cot x \) सभी ऋणात्मक होते हैं।
• \( \sec x \) से सीधे \( \cos x \) ज्ञात किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• चतुर्थ चतुर्थांश में \( \cos x \) को ऋणात्मक मान लेना।
• गणना में लघुतम समापवर्त्य (LCM) की गलती करना।
Exam Tips:
a) \( \sec x \) दिया होने पर सबसे पहले \( \cos x \) ज्ञात करना सबसे आसान तरीका है।
b) अंतिम उत्तर में प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन के आगे उसका सही चिह्न दर्शाएँ।
Question 5: \( \tan x = -\frac{5}{12}, x \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Answer:
दिया गया है: \( \tan x = -\frac{5}{12} \)
सर्वसमिका \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \) का उपयोग करने पर:
\( \sec^2 x = 1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144} \)
चूँकि \( x \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दूसरे चतुर्थांश में \( \sec x \) ऋणात्मक होता है, इसलिए:
\( \sec x = -\frac{13}{12} \)
इसलिए, \( \cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{12}{13} \)
सर्वसमिका \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) का उपयोग करने पर:
\( \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \)
चूँकि दूसरे चतुर्थांश में \( \sin x \) धनात्मक होता है, इसलिए:
\( \sin x = \frac{5}{13} \)
\( \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{13}{5} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{12}{5} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \tan x \) से \( \sec^2 x \) सर्वसमिका का प्रयोग करके सीधे \( \sec x \) निकाला गया है।
• दूसरे चतुर्थांश में \( \sin x \) और \( \csc x \) धनात्मक होते हैं।
• \( \cot x \) का मान \( \tan x \) का व्युत्क्रम होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \sec^2 x \) से \( \sec x \) निकालते समय दूसरा चतुर्थांश होने के कारण ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• \( \tan x \) का व्युत्क्रम करते समय चिह्न बदलना भूल जाना।
Exam Tips:
a) \( \tan x \) दिया होने पर सीधे \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \) सर्वसमिका का प्रयोग करें।
b) प्रत्येक फलन के मान के साथ उसका कारण कोष्ठक में अवश्य लिखें।
Question 6: \( \sin 765^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया त्रिकोणमितीय फलन है: \( \sin 765^\circ \)
चूँकि \( 765^\circ = 2 \times 360^\circ + 45^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \sin(2n\pi + \theta) = \sin \theta \) होता है, इसलिए:
\( \sin 765^\circ = \sin(2 \times 360^\circ + 45^\circ) = \sin 45^\circ \)
सारणी से मान रखने पर:
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
मुख्य बिंदु:
• बड़े कोणों को \( 360^\circ \) (या \( 2\pi \)) के गुणज के रूप में तोड़ा जाता है।
• \( \sin(360^\circ \cdot n + \theta) = \sin \theta \) का प्रयोग किया गया है।
• मानक कोण \( 45^\circ \) का मान रखा गया है।
आम गलतियाँ:
• \( 360^\circ \) के पूर्ण चक्करों की संख्या गलत गिनना।
• त्रिकोणमितीय अनुपात बदलते समय भ्रमित होना (\( \sin \) को \( \cos \) लिख देना)।
Exam Tips:
a) कोण को \( 360^\circ \) से भाग देकर भागफल और शेषफल ज्ञात करें।
b) याद रखें कि \( 360^\circ \) के पूर्ण चक्करों से त्रिकोणमितीय फलन का मान नहीं बदलता है।
Question 7: \( \csc(-1410^\circ) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया त्रिकोणमितीय फलन है: \( \csc(-1410^\circ) \)
हम जानते हैं कि \( \csc(-\theta) = -\csc(\theta) \) होता है, इसलिए:
\( \csc(-1410^\circ) = -\csc(1410^\circ) \)
अब \( 1410^\circ \) को \( 360^\circ \) के गुणज के रूप में लिखने पर:
\( 1410^\circ = 4 \times 360^\circ - 30^\circ = 1440^\circ - 30^\circ \)
इसलिए:
\( -\csc(1410^\circ) = -\csc(4 \times 360^\circ - 30^\circ) \)
चूँकि \( \csc(360^\circ \cdot n - \theta) = -\csc\theta \), अतः:
\( -[-\csc(30^\circ)] = \csc(30^\circ) \)
सारणी से मान रखने पर:
\( = 2 \)
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक कोण के सूत्र \( \csc(-\theta) = -\csc\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• कोण को \( 360^\circ \) के निकटतम गुणज के रूप में समायोजित किया गया है।
• चतुर्थ चतुर्थांश के नियमों का उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्न को बाहर निकालते समय गलती करना।
• \( 360^\circ \cdot n - \theta \) रूप में चतुर्थांश के चिह्नों को गलत समझना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले ऋणात्मक कोण के सूत्र का उपयोग करके कोण को धनात्मक बनाएं।
b) निकटतम पूर्ण चक्कर के गुणज से घटाकर या जोड़कर मान निकालें।
Question 8: \( \tan \frac{19\pi}{3} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया त्रिकोणमितीय फलन है: \( \tan \frac{19\pi}{3} \)
कोण को सरल करने पर:
\( \frac{19\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} = 3 \times (2\pi) + \frac{\pi}{3} \)
हम जानते हैं कि \( \tan(2n\pi + \theta) = \tan\theta \) होता है, इसलिए:
\( \tan\left(6\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan \frac{\pi}{3} \)
सारणी से मान रखने पर:
\( = \sqrt{3} \)
मुख्य बिंदु:
• रेडियन माप में दिए गए कोण को \( 2\pi \) के पूर्ण गुणजों में विभाजित किया गया है।
• \( \tan(2\pi + \theta) = \tan\theta \) आवर्तीय गुण का उपयोग किया गया है।
• मानक कोण \( \frac{\pi}{3} \) (\( 60^\circ \)) का मान रखा गया है।
आम गलतियाँ:
• रेडियन को डिग्री में बदलते समय गणना की गलती करना।
• \( 2\pi \) के गुणज को अलग करते समय भिन्न का भाग गलत करना।
Exam Tips:
a) अंश को हर से भाग देकर देखें कि \( 2\pi \) का कितना गुणा बनता है।
b) सीधे रेडियन रूप में हल करना सीखें, डिग्री में बदलना अनिवार्य नहीं है।
Question 9: \( \sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया त्रिकोणमितीय फलन है: \( \sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \) होता है, इसलिए:
\( \sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{11\pi}{3}\right) \)
अब कोण को \( 2\pi \) के गुणज में तोड़ने पर:
\( \frac{11\pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3} \)
अतः:
\( -\sin\left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\left[-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] \)
\( = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \)
सारणी से मान रखने पर:
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक कोण सर्वसमिका \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• चतुर्थ चतुर्थांश के नियम का उपयोग करके \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \) लागू किया गया है।
• मानक मान \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) रखा गया है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्नों के गुणा में गलती करना।
• चतुर्थांश बदलते समय साइन (sin) के चिह्न को गलत पहचानना।
Exam Tips:
a) चरणों को बहुत सावधानी से लिखें ताकि चिह्न की गलती न हो।
b) हर चरण में उपयोग किए जाने वाले सूत्र को कोष्ठक में अवश्य दर्शाएँ।
Question 10: \( \cot\left(-\frac{15\pi}{4}\right) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया त्रिकोणमितीय फलन है: \( \cot\left(-\frac{15\pi}{4}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cot(-\theta) = -\cot\theta \) होता है, इसलिए:
\( \cot\left(-\frac{15\pi}{4}\right) = -\cot\left(\frac{15\pi}{4}\right) \)
अब कोण को \( 2\pi \) के गुणज में तोड़ने पर:
\( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \)
अतः:
\( -\cot\left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\left[-\cot\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \)
\( = \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) \)
सारणी से मान रखने पर:
\( = 1 \)
मुख्य बिंदु:
• \( \cot(-\theta) = -\cot\theta \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• \( 4\pi - \frac{\pi}{4} \) रूप का उपयोग करके चतुर्थ चतुर्थांश के नियम लागू किए गए हैं।
• मानक कोण \( \frac{\pi}{4} \) का मान रखा गया है।
आम गलतियाँ:
• बाहर और अंदर के ऋणात्मक चिह्नों को आपस में भ्रमित करना।
• \( \cot \) के आवर्त काल को गलत समझना।
Exam Tips:
a) कोण को इस प्रकार तोड़ें कि शेषफल एक मानक कोण (\( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \) आदि) बचे।
b) अंत में उत्तर की शुद्धता की जाँच अवश्य करें।
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NCERT Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
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