NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
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Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 03 त्रिकोणमितीय फलन
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Question 1: निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) \( 25^\circ \)
(ii) \( -47^\circ 30' \)
(iii) \( 240^\circ \)
(iv) \( 520^\circ \)
Answer:
हम जानते हैं कि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन होता है। इसलिए 1 डिग्री माप \( = \frac{\pi}{180} \) रेडियन होगी।
(i) \( 25^\circ \) के लिए:
\( = 25 \times \frac{\pi}{180} \)
\( = \frac{5\pi}{36} \) रेडियन
(ii) \( -47^\circ 30' \) के लिए:
चूँकि \( 30' = \left(\frac{30}{60}\right)^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^\circ \) होता है, इसलिए \( -47^\circ 30' = -47\frac{1}{2}^\circ = -\frac{95}{2}^\circ \)
अब रेडियन माप में बदलने पर:
\( = -\frac{95}{2} \times \frac{\pi}{180} \)
\( = -\frac{19\pi}{72} \) रेडियन
(iii) \( 240^\circ \) के लिए:
\( = 240 \times \frac{\pi}{180} \)
\( = \frac{4\pi}{3} \) रेडियन
(iv) \( 520^\circ \) के लिए:
\( = 520 \times \frac{\pi}{180} \)
\( = \frac{26\pi}{9} \) रेडियन
मुख्य बिंदु:
• डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा किया जाता है।
• \( 1^\circ = 60' \) का उपयोग करके मिनट को डिग्री में बदला जाता है।
• भिन्नों को सरलतम रूप में लिखना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• \( -47^\circ 30' \) में \( 30' \) को सीधे \( 0.3 \) मान लेना।
• \( \pi \) का मान अनावश्यक रूप से \( \frac{22}{7} \) रख देना जबकि उत्तर सामान्यतः पाई के पदों में ही छोड़ा जाता है।
• गुणा या भाग करते समय चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) सूत्र \( \text{रेडियन} = \text{डिग्री} \times \frac{\pi}{180} \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) मिनट को पहले डिग्री में बदल कर मिश्र भिन्न को सरल करें।
c) गणना को अंत तक काट कर सरलतम रूप में प्रदर्शित करें।
Question 2: निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (\( \pi = \frac{22}{7} \) का प्रयोग करें):
(i) \( \frac{11}{16} \)
(ii) \( -4 \)
(iii) \( \frac{5\pi}{3} \)
(iv) \( \frac{7\pi}{6} \)
Answer:
हम जानते हैं कि \( \pi \) रेडियन \( = 180^\circ \) होता है, इसलिए 1 रेडियन \( = \frac{180}{\pi} \) डिग्री होता है।
(i) \( \frac{11}{16} \) रेडियन के लिए:
\( = \frac{11}{16} \times \frac{180}{\pi} \)
\( = \frac{11}{16} \times \frac{180 \times 7}{22} \)
\( = \frac{315}{8}^\circ = 39\frac{3}{8}^\circ \)
\( = 39^\circ + \left(\frac{3}{8} \times 60\right)' \)
\( = 39^\circ + \frac{45}{2}' = 39^\circ + 22\frac{1}{2}' \)
\( = 39^\circ + 22' + \left(\frac{1}{2} \times 60\right)'' \)
\( = 39^\circ 22' 30'' \)
(ii) \( -4 \) रेडियन के लिए:
\( = -4 \times \frac{180}{\pi} \)
\( = -4 \times \frac{180 \times 7}{22} \)
\( = -\frac{2520}{11}^\circ = -229\frac{1}{11}^\circ \)
\( = -\left(229^\circ + \frac{1}{11} \times 60'\right) \)
\( = -\left(229^\circ + 5\frac{5}{11}'\right) \)
\( = -\left(229^\circ + 5' + \frac{5}{11} \times 60''\right) \)
\( = -229^\circ 5' 27'' \) (लगभग)
(iii) \( \frac{5\pi}{3} \) रेडियन के लिए:
\( = \frac{5\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} \)
\( = 5 \times 60^\circ = 300^\circ \)
(iv) \( \frac{7\pi}{6} \) रेडियन के लिए:
\( = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} \)
\( = 7 \times 30^\circ = 210^\circ \)
मुख्य बिंदु:
• रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180}{\pi} \) से गुणा किया जाता है।
• शेष बची अंश डिग्री को मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा करते हैं।
• मिनट के शेष भाग को सेकंड में बदलने के लिए पुनः 60 से गुणा किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( \pi \) का मान प्रतिस्थापित करना भूल जाना जब संख्यात्मक रेडियन माप दिया हो।
• अंशों को मिनट और सेकंड में बदलते समय शेषफल की गणना में गलती करना।
• ऋणात्मक चिह्न को बीच में छोड़ देना।
Exam Tips:
a) अंश, मिनट और सेकंड में बदलने के चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) \( 1^\circ = 60' \) और \( 1' = 60'' \) का उल्लेख जरूर करें।
c) गणना को सावधानीपूर्वक करें क्योंकि भिन्न बड़ी हो सकती हैं।
Question 3: एक पहिया एक मिनट में 360 परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
Answer:
दिया गया है कि पहिया 1 मिनट (60 सेकंड) में कुल परिक्रमण करता है \( = 360 \)
इसलिए, 1 सेकंड में किए गए कुल परिक्रमण
\( = \frac{360}{60} = 6 \) परिक्रमण
हम जानते हैं कि पहिया द्वारा एक पूर्ण परिक्रमण में बनाया गया कुल कोण \( = 360^\circ = 2\pi \) रेडियन होता है।
अतः 6 परिक्रमणों में बनाया गया कुल कोण
\( = 6 \times 2\pi \)
\( = 12\pi \) रेडियन
इसलिए, पहिया एक सेकंड में \( 12\pi \) रेडियन का कोण बनाएगा।
मुख्य बिंदु:
• 1 मिनट को 60 सेकंड में बदला जाता है।
• एक परिक्रमण में \( 2\pi \) रेडियन कोण बनता है।
• कुल कोण निकालने के लिए परिक्रमणों की संख्या को \( 2\pi \) से गुणा करते हैं।
आम गलतियाँ:
• 1 मिनट को सेकंड में बदले बिना सीधे हल करना।
• एक परिक्रमण में कोण \( \pi \) या \( 360 \) डिग्री के बजाय गलत मान लेना।
• अंतिम उत्तर में पाई (\( \pi \)) लिखना भूल जाना।
Exam Tips:
• प्रत्येक चरण को भाषा के रूप में लिखें ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
• इकाई (रेडियन) लिखना न भूलें।
• गणना बहुत सरल है, अतः उत्तर की दोबारा जाँच अवश्य करें।
Question 4: एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, की 22 सेमी लंबी चाप वृत्त के केंद्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी (\( \pi = \frac{22}{7} \) का प्रयोग कीजिए)।
Answer:
यहाँ वृत्त की त्रिज्या \( r = 100 \) सेमी और चाप की लंबाई \( l = 22 \) सेमी दी गई है।
हम जानते हैं कि चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण (रेडियन में) \( \theta = \frac{l}{r} \) होता है।
अतः \( \theta = \frac{22}{100} \) रेडियन
अब इस रेडियन माप को डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180}{\pi} \) से गुणा करते हैं:
\( \theta = \frac{22}{100} \times \frac{180}{\pi} \)
\( \pi = \frac{22}{7} \) रखने पर:
\( \theta = \frac{22}{100} \times 180 \times \frac{7}{22} \)
\( \theta = \frac{180 \times 7}{100} = \frac{1260}{100} = \frac{63}{5}^\circ = 12\frac{3}{5}^\circ \)
अब इसे मिनट में बदलने पर:
\( = 12^\circ + \left(\frac{3}{5} \times 60\right)' \)
\( = 12^\circ + 36' \)
अतः चाप वृत्त के केंद्र पर \( 12^\circ 36' \) माप का कोण बनाएगी।
मुख्य बिंदु:
• सूत्र \( \theta = \frac{l}{r} \) का उपयोग केवल तब होता है जब \( \theta \) रेडियन में हो।
• रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180}{\pi} \) से गुणा करते हैं।
• भिन्नात्मक डिग्री को मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( \theta = \frac{l}{r} \) से सीधे डिग्री प्राप्त मान लेना।
• \( \pi \) का मान गलत रखना।
• अंश और मिनट के रूपांतरण में गलती करना।
Exam Tips:
a) पहले सूत्र लिखकर दिए गए मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) कैलकुलेशन स्टेप्स को अलग-अलग लाइनों में दिखाएं।
c) अंत में डिग्री और मिनट का सही संयोजन लिखें।
Question 5: एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी है, की एक जीवा 20 सेमी लंबी है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
यहाँ वृत्त का व्यास \( = 40 \) सेमी है, इसलिए त्रिज्या \( r = \frac{40}{2} = 20 \) सेमी है।
जीवा की लंबाई \( AB = 20 \) सेमी दी गई है।
त्रिभुज \( OAB \) में, वृत्त की त्रिज्याएँ \( OA = OB = 20 \) सेमी हैं और जीवा \( AB = 20 \) सेमी है।
चूँकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं (\( OA = OB = AB = 20 \) सेमी), इसलिए \( \triangle OAB \) एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः कोण \( \angle AOB = 60^\circ \)
अब इस कोण को रेडियन में बदलते हैं:
\( \theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) रेडियन
चाप की लंबाई \( l \) के सूत्र \( l = r \times \theta \) से:
\( l = 20 \times \frac{\pi}{3} = \frac{20\pi}{3} \) सेमी
अतः वृत्त के संगत छोटे चाप की लंबाई \( \frac{20\pi}{3} \) सेमी है।
मुख्य बिंदु:
• व्यास से त्रिज्या ज्ञात की जाती है (\( r = \frac{d}{2} \))।
• समबाहु त्रिभुज के सभी कोण \( 60^\circ \) होते हैं।
• चाप की लंबाई का सूत्र \( l = r\theta \) है जहाँ \( \theta \) रेडियन में होना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• व्यास को ही त्रिज्या मान लेना।
• कोण को डिग्री में ही रखकर \( l = r\theta \) में प्रयोग करना।
• समबाहु त्रिभुज की पहचान न कर पाना।
Exam Tips:
a) चित्र बनाकर त्रिभुज की भुजाओं और कोण को स्पष्ट करें।
b) डिग्री को रेडियन में बदलने के चरण को अवश्य दिखाएँ।
c) उत्तर में इकाई (सेमी) लिखना न भूलें।
Question 6: यदि दो वृत्तॊ के समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमशः \( 60^\circ \) तथा \( 75^\circ \) के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लेते हैं कि दोनों वृत्तों के चाप की लंबाई समान \( l \) है।
पहले वृत्त की त्रिज्या \( r_1 \) तथा केंद्र पर बना कोण \( \theta_1 = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन है।
दूसरे वृत्त की त्रिज्या \( r_2 \) तथा केंद्र पर बना कोण \( \theta_2 = 75^\circ = 75 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन है।
हम जानते हैं कि चाप की लंबाई \( l = r\theta \) होती है।
इसलिए पहले वृत्त के लिए: \( l = r_1 \theta_1 \)
और दूसरे वृत्त के लिए: \( l = r_2 \theta_2 \)
चूँकि दोनों चाप की लंबाई समान है, इसलिए:
\( r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2 \)
अतः त्रिज्याओं का अनुपात:
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{\theta_2}{\theta_1} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{75 \times \frac{\pi}{180}}{60 \times \frac{\pi}{180}} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{75}{60} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{4} \)
अतः उनकी त्रिज्याओं का अनुपात \( 5:4 \) है।
मुख्य बिंदु:
• दोनों वृत्तों के चाप की लंबाई \( l \) समान दी गई है।
• सूत्र \( l = r\theta \) में \( \theta \) रेडियन में होना चाहिए।
• त्रिज्या और कोण का गुणनफल स्थिर रहता है जिससे व्युत्क्रमानुपाती संबंध प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• \( r_1 \) और \( r_2 \) का अनुपात निकालते समय कोणों को उल्टा रख देना।
• डिग्री को रेडियन में बदले बिना मान रखना (यद्यपि अनुपात में \( \frac{\pi}{180} \) कट जाता है, फिर भी प्रक्रिया सही होनी चाहिए)।
• अनुपात को सरलतम रूप में न बदलना।
Exam Tips:
a) दोनों स्थितियों के लिए अलग-अलग समीकरण लिखकर तुलना करें।
b) स्पष्ट रूप से दिखाएं कि चाप की लंबाई समान होने के कारण समीकरण बराबर किए गए हैं।
c) अंतिम उत्तर को अनुपात के रूप में (\( 5:4 \)) लिखें।
Question 7: 75 सेमी लंबाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित हैं:
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेमी
Answer:
यहाँ दोलक की लंबाई ही वृत्त की त्रिज्या होगी, इसलिए त्रिज्या \( r = 75 \) सेमी है।
चाप की लंबाई \( l \) अलग-अलग स्थितियों में दी गई है। कोण रेडियन में \( \theta = \frac{l}{r} \) सूत्र से ज्ञात किया जाएगा।
(i) जब चाप की लंबाई \( l = 10 \) सेमी हो:
\( \theta = \frac{10}{75} \)
\( \theta = \frac{2}{15} \) रेडियन
(ii) जब चाप की लंबाई \( l = 15 \) सेमी हो:
\( \theta = \frac{15}{75} \)
\( \theta = \frac{1}{5} \) रेडियन
(iii) जब चाप की लंबाई \( l = 21 \) सेमी हो:
\( \theta = \frac{21}{75} \)
\( \theta = \frac{7}{25} \) रेडियन
मुख्य बिंदु:
• दोलक की लंबाई वृत्त की त्रिज्या \( r = 75 \) सेमी के बराबर है।
• कोण निकालने के लिए सूत्र \( \theta = \frac{l}{r} \) का प्रयोग किया जाता है।
• प्राप्त परिणाम सीधे रेडियन में होते हैं।
आम गलतियाँ:
• चाप की लंबाई को त्रिज्या और त्रिज्या को चाप मान लेना।
• भिन्नों को सरलतम रूप (Lowest form) में न बदलना।
• रेडियन इकाई लिखना भूल जाना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग के लिए त्रिज्या \( r = 75 \) सेमी को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) भिन्नों को काटने के लिए सामान्य गुणनखंड (common factor) का उपयोग करें।
c) तीनों उप-प्रश्नों को अलग-अलग और साफ-सुथरा हल करें।
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