Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 02 संबंध एवं फलन
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 02 संबंध एवं फलन
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Question 1: संबंध \( f, g \) क्रमशः \( f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases} \) तथा \( g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित हैं। दर्शाइए कि क्यों \( f \) एक फलन है और \( g \) फलन नहीं है।
Answer:
दिया गया फलन \( f(x) \) है:
\( f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases} \)
यहाँ, संबंध के प्रत्येक अववय के अद्वितीय प्रतिबिंब हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है।
दिया गया संबंध \( g(x) \) है:
\( g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases} \)
यहाँ, एक ही अववय \( 2 \) के दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों \( 4 \) और \( 6 \) से संबंधित है, इसलिए यह संबंध फलन नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• फलन की परिभाषा के अनुसार डोमेन के प्रत्येक अववय का सह-डोमेन में केवल एक ही अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए।
• उभयनिष्ठ बिंदु \( x = 3 \) पर \( f(x) \) का मान दोनों भागों में समान आता है।
• उभयनिष्ठ बिंदु \( x = 2 \) पर \( g(x) \) के मान अलग-अलग आते हैं।
आम गलतियाँ:
• केवल सीमाओं को देखकर बिना मान जांचे फलन बता देना।
• उभयनिष्ठ बिंदु पर मानों की तुलना न करना।
• फलन और संबंध के अंतर को न समझना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में उभयनिष्ठ बिंदु पर फलन के मान की जाँच अवश्य करें।
b) फलन की परिभाषा स्पष्ट रूप से लिखें।
c) कारण सहित उत्तर दें कि अद्वितीय प्रतिबिंब है या नहीं।
Question 2: यदि \( f(x) = x^2 \), तो \( \frac{f(1.1) - f(1)}{1.1 - 1} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f(x) = x^2 \)
इसलिए,
\( \frac{f(1.1) - f(1)}{1.1 - 1} = \frac{(1.1)^2 - (1)^2}{1.1 - 1} \)
\( = \frac{1.21 - 1}{0.1} \)
\( = \frac{0.21}{0.1} \)
\( = 2.1 \)
मुख्य बिंदु:
• दिए गए फलन में मान सीधे प्रतिस्थापित किए जाते हैं।
• \( a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करके गणना आसान बनाई जा सकती है।
• दशमलव की गणना सावधानी से करनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• \( (1.1)^2 \) का मान \( 1.21 \) के स्थान पर \( 1.1 \) लिख देना।
• दशमलव घटाने में गलती करना।
• सीधे मान न रखकर गलत बीजगणितीय सूत्र लगाना।
Exam Tips:
a) वर्गांतर सूत्र \( (a-b)(a+b) \) का उपयोग करने से गणना सरल हो जाती है।
b) दशमलव के स्थानों का विशेष ध्यान रखें।
c) हर चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 3: फलन \( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 8x + 12} \) का प्रांत ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 8x + 12} \)
इसलिए, \( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 - 8x + 12)} = \frac{(x + 1)^2}{(x - 2)(x - 6)} \)
यहाँ, फलन \( f, x = 2 \) और \( x = 6 \) के अतिरिक्त अन्य सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
अतः, का प्रांत \( R - \{2, 6\} \) है।
मुख्य बिंदु:
• परिमेय फलन का प्रांत वह समुच्चय होता है जिसके लिए हर का मान शून्य न हो।
• हर के गुणनखंड करके उन बिंदुओं को ज्ञात किया जाता है जहाँ फलन अपरिभाषित होता है।
• वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \( R \) में से उन बिंदुओं को घटा दिया जाता है।
आम गलतियाँ:
• अंश और हर दोनों के गुणनखंड करके बिना सोचे पद काट देना।
• हर को शून्य के बराबर रखकर मान न निकालना।
• प्रांत को अंतराल के रूप में गलत लिखना।
Exam Tips:
a) हर के गुणनखंड सबसे पहले निकालें।
b) प्रांत लिखते समय वर्जित मानो को समुच्चय से घटाएं।
c) उत्तर को मानक समुच्चय रूप में लिखें।
Question 4: \( f(x) = \sqrt{(x - 1)} \) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन \( f \) का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f(x) = \sqrt{(x - 1)} \)
\( \sqrt{(x - 1)} \) सभी \( x \ge 1 \) वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
अतः, \( f \) का प्रांत \( [1, \infty) \) है।
यदि \( x \ge 1 \) तो \( x - 1 \ge 0 \)
इसलिए, \( f(x) = \sqrt{(x - 1)} \ge 0 \) है।
अतः, \( f \) का परिसर \( [0, \infty) \) है।
मुख्य बिंदु:
• वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती।
• प्रांत निकालने के लिए \( x - 1 \ge 0 \) हल किया जाता है।
• परिसर निकालने के लिए फलन के संभव न्यूनतम और अधिकतम मान देखे जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• प्रांत में ऋणात्मक संख्याएं सम्मिलित कर लेना।
• वर्गमूल फलन का परिसर ऋणात्मक मान मान लेना।
• अंतराल के ब्रैकेट (बड़ा और छोटा कोष्ठक) गलत लगाना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल फलनों के लिए हमेशा अंदर के व्यंजक को \( \ge 0 \) रखें।
b) प्रांत और परिसर दोनों के लिए सही अंतराल कोष्ठकों का प्रयोग करें।
c) परिभाषा के अनुसार तर्क स्पष्ट लिखें।
Question 5: \( f(x) = |x - 1| \) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन \( f \) का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f(x) = |x - 1| \)
\( |x - 1| \) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। अतः, \( f \) का प्रांत वास्तविक संख्या का समुच्चय \( R \) है।
यदि \( x \) एक वास्तविक संख्या है तो \( |x - 1| \), सदैव वास्तविक तथा धनात्मक होगा।
अतः, \( f \) का परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय \( R_+ \) है।
मुख्य बिंदु:
• मापांक फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है।
• मापांक का परिणाम हमेशा ऋणात्मक नहीं होता, यह \( \ge 0 \) होता है।
• प्रांत \( R \) और परिसर \( [0, \infty) \) होता है।
आम गलतियाँ:
• परिसर में ऋणात्मक संख्याएं भी शामिल कर लेना।
• प्रांत को सीमित मान लेना।
• अंतराल और समुच्चय संकेतन में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) मापांक फलन के गुणधर्मों को ध्यान में रखें।
b) परिसर लिखते समय न्यूनतम मान \( 0 \) को शामिल करें।
c) उत्तर को विधिवत वाक्यों में समझाएं।
Question 6: मान लीजिए कि \( f = \left\{\left(x, \frac{x^2}{1+x^2}\right) : x \in R\right\} \) \( R \) से \( R \) में एक फलन है। \( f \) का परिसर निर्धारित कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f = \left\{\left(x, \frac{x^2}{1+x^2}\right) : x \in R\right\} \)
यदि \( x \) एक वास्तविक संख्या है तो \( \frac{x^2}{1+x^2} \), सदैव वास्तविक तथा धनात्मक होगा।
यहाँ, हर \( (x^2 + 1) \) सदैव अंश \( (x^2) \) से बड़ा है, इसलिए \( \frac{x^2}{1+x^2} \) का मान सदैव \( 1 \) से छोटा होगा और \( \frac{x^2}{1+x^2} \) का अधिकतम मान लगभग \( 1 \) तथा न्यूनतम मान \( 0 \) होगा।
अतः, \( f \) का परिसर \( (0, 1) \) है।
मुख्य बिंदु:
• फलन के परिसर के लिए \( y = \frac{x^2}{1+x^2} \) मानकर \( x \) का मान \( y \) के पदों में निकाला जा सकता है।
• अंश हमेशा हर से छोटा होता है जब तक \( x \in R \) हो।
• परिसर अंतराल \( [0, 1) \) के रूप में आता है।
आम गलतियाँ:
• परिसर को सीधे वास्तविक संख्या मान लेना।
• अधिकतम और न्यूनतम सीमाओं का सही आकलन न करना।
• कोष्ठकों के प्रकार में गलती करना।
Exam Tips:
a) ऐसे फलनों में \( y = f(x) \) मानकर \( x \) को \( y \) के पदों में व्यक्त करना सबसे अच्छा तरीका है।
b) वर्ग राशि होने के कारण मान कभी ऋणात्मक नहीं होगा।
c) सीमांत मानों की जाँच अवश्य करें।
Question 7: मान लीजिए कि \( f, g : R \to R \) क्रमशः \( f(x) = x + 1, g(x) = 2x - 3 \) द्वारा परिभाषित हैं। \( f + g, f - g \) और \( \frac{f}{g} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f, g : R \to R \) क्रमशः \( f(x) = x + 1, g(x) = 2x - 3 \) द्वारा परिभाषित हैं।
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1) + (2x - 3) = 3x - 2 \)
\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (x + 1) - (2x - 3) = -x + 4 \)
\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x + 1}{2x - 3}, 2x - 3 \neq 0 \)
\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 1}{2x - 3}, x \neq \frac{3}{2} \)
मुख्य बिंदु:
• फलनों के बीजगणित में समान डोमेन वाले फलनों को जोड़ा, घटाया, गुणा और भाग किया जाता है।
• भाग वाले फलन में हर कभी भी शून्य नहीं होना चाहिए।
• प्रत्येक संक्रिया के लिए नया फलन प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \frac{f}{g} \) में हर के शून्य होने की शर्त \( x \neq \frac{3}{2} \) लिखना भूल जाना।
• बीजगणितीय जोड़-घटाव में चिह्न की गलती करना।
• फलनों के प्रांत का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) फलनों के बीजगणित के मानक सूत्रों का प्रयोग करें।
b) भाग के फलन में वर्जित मान स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) पदों को सरलतम रूप में लिखें।
Question 8: मान लीजिए कि \( f = \{(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)\} \) \( Z \) से \( Z \) में \( f(x) = ax + b \) द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ \( a, b \) कोई पूर्णांक हैं। \( a, b \) को निर्धारित कीजिए।
Answer:
दिया है: \( f = \{(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)\} \) \( Z \) से \( Z \) में \( f(x) = ax + b, \) जहाँ \( a, b \) कोई पूर्णांक हैं।
यहाँ, \( (1, 1) \in f \)
\( \Rightarrow f(1) = 1 \)
\( \Rightarrow 1 = a(1) + b \)
\( \Rightarrow b = 1 - a \) ... (1)
इसी प्रकार, \( (2, 3) \in f \)
\( \Rightarrow f(2) = 3 \)
\( \Rightarrow 3 = a(2) + b \)
\( \Rightarrow 2a + b = 3 \)
समीकरण (1) से मान रखने पर:
\( 2a + (1 - a) = 3 \)
\( \Rightarrow 2a + 1 - a = 3 \)
\( \Rightarrow a = 2 \)
समीकरण (1) में \( a \) का मान रखने पर:
\( b = 1 - a = 1 - 2 = -1 \)
अतः, \( a = 2 \) तथा \( b = -1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• क्रमित युग्मों के मानों का उपयोग करके रैखिक समीकरण बनाए जाते हैं।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करके \( a \) और \( b \) के मान निकाले जाते हैं।
• प्राप्त मानों की पुष्टि अन्य क्रमित युग्मों से की जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• क्रमित युग्म \( (x, y) \) में \( x \) और \( y \) के मान उल्टे रख देना।
• समीकरण हल करते समय गणना की गलती करना।
• पूर्णांक प्रतिबंध की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) किन्हीं भी दो सरल क्रमित युग्मों का चयन करके समीकरण बनाएं।
b) विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का सावधानी से प्रयोग करें।
c) उत्तर की जाँच शेष क्रमित युग्मों से अवश्य करें।
Question 9: \( R = \{(a, b) : a \in N \) तथा \( a = b^2\} \) द्वारा परिभाषित \( N \) से \( N \) में, एक संबंध \( R \) है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं?
(i) \( (a, a) \in R, \) सभी \( a \in N \)
(ii) \( (a, b) \in R, \) का तात्पर्य है कि \( (b, a) \in R \)
(iii) \( (a, b) \in R, (b, c) \in R \) का तात्पर्य है कि \( (c, a) \in R \)
प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Answer:
दिया है: \( R = \{(a, b) : a \in N \) तथा \( a = b^2\} \)
(i) यहाँ, \( 3 \in N, \) परन्तु \( 3^2 = 9 \neq 3 \), इसलिए, \( (a, a) \notin R, \) सभी \( a \in N \) के लिए,
अतः, कथन \( (a, a) \in R, \) सभी \( a \in N, \) असत्य है।
(ii) यहाँ, \( 9 \in N, \) और \( 3^2 = 9 \), इसलिए, \( (9, 3) \in R \),
तथा, \( 3 \in N, \) परन्तु \( 9^2 = 81 \neq 3 \), इसलिए, \( (3, 9) \in R, \)
अतः, कथन \( (a, b) \in R, \) का तात्पर्य है कि \( (b, a) \in R, \) असत्य है।
(iii) यहाँ, \( 81 \in N, \) और \( 9^2 = 81 \),
इसलिए, \( (81, 9) \in R \), और \( 9 \in N, \) और \( 3^2 = 9 \), इसलिए, \( (9, 3) \in R \),
तथा, \( 3 \in N, \) परन्तु \( 3^2 = 9 \neq 81 \), इसलिए, \( (81, 3) \notin R \),
अतः, कथन \( (a, b) \in R, (b, c) \in R \) का तात्पर्य है कि \( (c, a) \in R \) असत्य है।
मुख्य बिंदु:
• ऐसे प्रश्नों में प्रति-उदाहरण (counter-example) देना सबसे प्रभावी तरीका है।
• प्राकृतिक संख्याओं \( N \) के विशिष्ट मान लेकर संबंधों की जाँच की जाती है।
• स्वतःतुल्य, सममित और संक्रामक संबंधों की परिभाषाओं का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक संख्या के लिए सही मानकर सभी के लिए सत्य मान लेना।
• प्रति-उदाहरण देने में संख्याएं गलत चुनना।
• प्रश्न के तीनों भागों के लिए अलग-अलग तर्क न देना।
Exam Tips:
a) असत्य सिद्ध करने के लिए एक उचित प्रति-उदाहरण ही पर्याप्त होता है।
b) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से छोटे पूर्णांकों का चयन करें।
c) प्रत्येक भाग का उत्तर अलग से स्पष्ट लिखें।
Question 10: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\} \) और \( f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\} \). क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं?
(i) \( f, A \) से \( B \) में एक संबंध है।
(ii) \( f, A \) से \( B \) में एक फलन है।
प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बतलाइए।
Answer:
दिया है: \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\} \) और \( f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\} \),
इसलिए,
\( A \times B = \{(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), \) \( (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3, 16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)\} \)
(i) यहाँ, फलन \( f, A \times B \) का उपसमुच्चय है, अतः, \( f, A \) से \( B \) में एक संबंध है।
(ii) यहाँ, \( A \) का एक ही अववय \( 2, \) दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों \( 9 \) और \( 11 \) से संबंधित है, इसलिए यह संबंध \( f, \) फलन नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• संबंध हमेशा कार्तीय गुणन \( A \times B \) का उपसमुच्चय होता है।
• फलन होने के लिए डोमेन के प्रत्येक अववय का केवल एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए।
• एक ही अववय के एक से अधिक प्रतिबिंब होने पर वह संबंध फलन नहीं रहता।
आम गलतियाँ:
• संबंध और फलन की शर्तों को मिला देना।
• क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों की अद्वितीयता की जाँच न करना।
• कार्तीय गुणन को गलत लिखना।
Exam Tips:
a) संबंध की जाँच के लिए उपसमुच्चय होने की शर्त देखें।
b) फलन की जाँच के लिए देखें कि किसी प्रथम घटक की पुनरावृत्ति भिन्न द्वितीय घटकों के साथ तो नहीं हो रही।
c) दोनों भागों का उत्तर तार्किक रूप से दें।
Question 11: मान लीजिए कि \( f = \{(ab, a + b) : a, b \in Z\} \) द्वारा परिभाषित \( Z \times Z \) का एक उपसमुच्चय है। क्या \( f, Z \) से \( Z \) में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।
Answer:
हम जानते हैं कि, यदि संबंध के प्रत्येक अववय के प्रतिबिंब अद्वितीय हों तो संबंध एक फलन होता है।
दिया है: \( f = \{(ab, a + b) : a, b \in Z\} \)
यदि \( a = 2 \in Z \) और \( b = 1 \in Z \) हो तो \( (2 \times 1, 2 + 1) \in f \Rightarrow (2, 3) \in f \)
यदि \( a = -2 \in Z \) और \( b = -1 \in Z \) हो तो \( (-2) \times (-1), (-2) + (-1) \in f \Rightarrow (2, -3) \in f \)
यहाँ, एक ही अववय \( 2, \) दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों \( 3 \) और \( -3 \) से संबंधित है, इसलिए यह संबंध फलन नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• ऐसे प्रश्नों में ऐसे पूर्णांक ढूंढने होते हैं जो एक ही प्रथम अववय दें लेकिन द्वितीय अववय अलग हों।
• \( ab \) का मान समान आने पर \( a + b \) का मान भिन्न आ सकता है।
• फलन की असत्यता सिद्ध करने के लिए एक प्रति-उदाहरण काफी है।
आम गलतियाँ:
• पूर्णांकों का सही चयन न कर पाना।
• केवल एक ही मान की जाँच करके निष्कर्ष निकाल लेना।
• फलन की परिभाषा को ठीक से लागू न करना।
Exam Tips:
a) ऐसे बीजोपयुक्त संबंधों में मान रखकर देखने का अभ्यास करें।
b) अपने उत्तर को स्पष्ट प्रति-उदाहरण के साथ लिखें।
c) कारण में अद्वितीयता के नियम का उल्लेख करें।
Question 12: मान लीजिए कि \( A = \{9, 10, 11, 12, 13\} \) तथा \( f : A \to N, f(n) = n \) का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा, परिभाषित है। \( f \) का परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: \( A = \{9, 10, 11, 12, 13\} \) तथा \( f : A \to N, \)
\( f(n) = n \) का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है।
\( 9 \) का अभाज्य गुणक \(= 3\)
\( 10 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 2, 5\)
\( 11 \) का अभाज्य गुणक \(= 11\)
\( 12 \) का अभाज्य गुणक \(= 2, 3\)
\( 13 \) का अभाज्य गुणक \(= 13\)
\( \therefore f(9) = 9 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 3\)
\( f(10) = 10 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 5\)
\( f(11) = 11 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 11\)
\( f(12) = 12 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 3\)
\( f(13) = 13 \) का महत्तम अभाज्य गुणक \(= 13\)
\( \therefore f \) का परिसर \(= \{3, 5, 11, 13\}\)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय \( A \) के प्रत्येक अववय के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात किए जाते हैं।
• गुणनखंडों में से सबसे बड़े (महत्तम) अभाज्य संख्या को चुना जाता है।
• सभी परिणामों का समुच्चय फलन का परिसर बनता है।
आम गलतियाँ:
• सभी गुणनखंड लिख देना, केवल महत्तम अभाज्य गुणक न चुनना।
• भाज्य संख्याओं को अभाज्य गुणक मान लेना।
• समुच्चय लिखते समय पुनरावृत्ति वाले अववय बार-बार लिखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड अलग से निकालें।
b) केवल महत्तम अभाज्य संख्या को ही फलन का मान मानें।
c) परिसर को समुच्चय रूप (curly brackets) में लिखें।
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