Step-by-Step Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 02 संबंध एवं फलन
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Question 1: निम्नलिखित संबंधों में कौन से फलन हैं? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है, तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए:
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
Answer:
(i) दिया गया संबंध है: \( \{(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)\} \)
यहाँ, संबंध के प्रत्येक प्रथम अवयव \( 2, 5, 8, 11, 14 \) और \( 17 \) के प्रतिबिंब अद्वितीय हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है।
प्रांत \( = \{2, 5, 8, 11, 14, 17\} \)
परिसर \( = \{1\} \)
(ii) दिया गया संबंध है: \( \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)\} \)
यहाँ, संबंध के प्रत्येक प्रथम अवयव \( 2, 4, 6, 8, 10, 12 \) और \( 14 \) के प्रतिबिंब अद्वितीय हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है।
प्रांत \( = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\} \)
परिसर \( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
(iii) दिया गया संबंध है: \( \{(1, 3), (1, 5), (2, 5)\} \)
यहाँ, एक ही प्रथम अवयव \( 1 \) दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों \( 3 \) और \( 5 \) से संबंधित है, इसलिए यह संबंध फलन नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• फलन होने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक और केवल एक (अद्वितीय) प्रतिबिंब होना चाहिए।
• यदि किसी क्रमित युग्मों के समुच्चय में प्रथम अवयव की पुनरावृत्ति भिन्न द्वितीय अवयवों के साथ हो, तो वह फलन नहीं होता है।
• फलन के सभी द्वितीय अवयवों के समुच्चय को उसका परिसर कहते हैं।
आम गलतियाँ:
• प्रांत और परिसर के समुच्चय को गलत लिखना।
• प्रथम अवयव की पुनरावृत्ति को नजरअंदाज कर देना।
• फलन की परिभाषा को ठीक से समझे बिना उत्तर देना।
Exam Tips:
a) फलन की जाँच करते समय हमेशा प्रथम अवयवों (input) को ध्यान से देखें।
b) प्रांत और परिसर लिखते समय उन्हें समुच्चय (set) के रूप में ही दर्शाएं।
c) कारण स्पष्ट रूप से लिखें कि प्रतिबिंब अद्वितीय है या नहीं।
Question 2: निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = -|x| \)
(ii) \( f(x) = \sqrt{9 - x^2} \)}
Answer:
(i) दिया है: \( f(x) = -|x| \)
हम जानते हैं कि \( |x| = x, \text{ यदि } x \ge 0 \)
\( |x| = -x, \text{ यदि } x \lt 0 \)
इसलिए \( f(x) = -|x| = \begin{cases} -x, & x \ge 0 \\ x, & x \lt 0 \end{cases} \)
चूँकि \( f(x) \) प्रत्येक \( x \in \mathbb{R} \) द्वारा परिभाषित फलन है, इसलिए प्रांत \( \mathbb{R} \) है।
\( x \) के सभी वास्तविक मानों के लिए \( |x| \) सदैव धनात्मक होगा, इसलिए \( -|x| \) सदैव ऋणात्मक होगा।
अतः, परिसर \( = (-\infty, 0] \) है।
(ii) दिया है: \( f(x) = \sqrt{9 - x^2} \)
\( f \) के प्रांत के लिए \( 9 - x^2 \ge 0 \)
\( \Rightarrow 9 \ge x^2 \)
\( \Rightarrow -3 \le x \le 3 \)
इसलिए, प्रांत \( = \{x : -3 \le x \le 3, x \in \mathbb{R}\} \)
\( x \) के किसी भी मान के लिए जो \(-3 \le x \le 3\) में स्थित है, \( f(x) \) का मान \( 0 \) से \( 3 \) के बीच में होगा।
अतः, परिसर \( [0, 3] \) है।
मुख्य बिंदु:
• वास्तविक फलन का प्रांत वह सभी मान हैं जिनके लिए फलन परिभाषित हो।
• वर्गमूल के अंदर की संख्या हमेशा ऋणातर (non-negative) होनी चाहिए।
• मापांक फलन (Modulus function) का परिसर हमेशा सकारात्मक या शून्य होता है।
आम गलतियाँ:
• प्रांत निकालते समय वर्गमूल के प्रतिबंधों को भूल जाना।
• परिसर के अंतराल (intervals) में खुले और बंद ब्रैकेट्स की गलती करना।
• फलन के न्यूनतम और अधिकतम मान को गलत निकालना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल फलनों के लिए हमेशा अंदर के व्यंजक को \( \ge 0 \) रखकर हल करें।
b) प्रांत और परिसर को अंतराल (interval notation) में सही प्रकार से प्रदर्शित करें।
c) फलन के न्यूनतम व अधिकतम मान की जाँच करके ही परिसर लिखें।
Question 3: एक फलन \( f(x) = 2x - 5 \) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए:
(i) \( f(0) \)
(ii) \( f(7) \)
(iii) \( f(-3) \)}
Answer:
दिया है: \( f(x) = 2x - 5 \)
(i) \( f(0) = 2(0) - 5 \)
\( = 0 - 5 = -5 \)
(ii) \( f(7) = 2(7) - 5 \)
\( = 14 - 5 = 9 \)
(iii) \( f(-3) = 2(-3) - 5 \)
\( = -6 - 5 = -11 \)
मुख्य बिंदु:
• फलन के किसी दिए गए मान को ज्ञात करने के लिए \( x \) के स्थान पर वह संख्या प्रतिस्थापित की जाती है।
• बीजगणितीय गणना करते समय चिह्नों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
• प्रत्येक भाग की गणना अलग-अलग चरणों में स्पष्ट रूप से दिखाएं।
आम गलतियाँ:
• गुणा या घटाव करते समय सामान्य गणना त्रुटि करना।
• ऋणात्मक मान रखते समय कोष्ठक (brackets) का प्रयोग न करना।
• प्रश्न के सभी उप-भागों को हल न करना।
Exam Tips:
a) मान प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठक का उपयोग अवश्य करें ताकि चिह्न की गलती न हो।
b) प्रत्येक भाग को अलग-अलग पंक्ति में हल करें।
c) उत्तर को अंत में स्पष्ट रूप से हाइलाइट करें।
Question 4: फलन 't' सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रति चित्रण करता है, जो \( t(C) = \frac{9C}{5} + 32 \) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) \( t(0) \)
(ii) \( t(28) \)
(iii) \( t(-10) \)
(iv) \( C \) का मान, जब \( t(C) = 212 \)}
Answer:
दिया है: \( t(C) = \frac{9C}{5} + 32 \)
(i) \( t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32 \)
\( = 0 + 32 = 32 \)
(ii) \( t(28) = \frac{9(28)}{5} + 32 \)
\( = \frac{252}{5} + 32 \)
\( = \frac{252 + 160}{5} = \frac{412}{5} \)
(iii) \( t(-10) = \frac{9(-10)}{5} + 32 \)
\( = 9(-2) + 32 \)
\( = -18 + 32 = 14 \)
(iv) जब \( t(C) = 212 \), तो
\( \frac{9C}{5} + 32 = 212 \)
\( \Rightarrow \frac{9C}{5} = 212 - 32 \)
\( \Rightarrow \frac{9C}{5} = 180 \)
\( \Rightarrow 9C = 180 \times 5 \)
\( \Rightarrow C = \frac{180 \times 5}{9} \)
\( \Rightarrow C = 100 \)
अतः, जब \( t(C) = 212 \), तो \( C = 100 \) है।
मुख्य बिंदु:
• तापमान रूपांतरण के लिए दिए गए सूत्र में सीधे मान रखे जाते हैं।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर (transposition) के नियमों का पालन करें।
• भिन्नों को जोड़ते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।
आम गलतियाँ:
• भिन्न जोड़ते समय हर (denominator) का सही उपयोग न करना।
• समीकरण हल करते समय गुणा या भाग में गलती करना।
• ऋणात्मक चिह्न का सही से गुना न करना।
Exam Tips:
a) चरणबद्ध तरीके से गणना करें ताकि गलती की संभावना न रहे।
b) समीकरण आधारित प्रश्न (चौथा भाग) में प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंत में मात्रक या निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।
Question 5: निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = 2 - 3x, x \in \mathbb{R}, x \gt 0 \)
(ii) \( f(x) = x^2 + 2, x \) एक वास्तविक संख्या है।
(iii) \( f(x) = x, x \) एक वास्तविक संख्या है।
Answer:
(i) दिया है: \( f(x) = 2 - 3x, x \in \mathbb{R}, x \gt 0 \)
\( f(x) \) का मान अधिकतम होगा यदि \( 2 - 3x \) का मान अधिकतम (2) हो अर्थात \( x \) का मान न्यूनतम (\( x = 0 \)) हो।
परन्तु, दिया है \( x \gt 0 \), अतः फलन \( f \) का परिसर \( (-\infty, 2) \) है।
(ii) दिया है: \( f(x) = x^2 + 2, x \) एक वास्तविक संख्या है।
\( f(x) \) का मान न्यूनतम होगा यदि \( x^2 + 2 \) का मान न्यूनतम (2) हो अर्थात \( x \) का मान न्यूनतम (\( x = 0 \)) हो।
अतः, फलन \( f \) का परिसर \( [2, \infty) \) है।
(iii) दिया है: \( f(x) = x, x \) एक वास्तविक संख्या है।
यहाँ प्रांत और परिसर दोनों बराबर हैं।
अतः, फलन \( f \) का परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
मुख्य बिंदु:
• परिसर ज्ञात करने के लिए हमें फलन के न्यूनतम और अधिकतम मानों का विश्लेषण करना होता है।
• तत्समक फलन (Identity function) के लिए प्रांत और परिसर समान होते हैं।
• चर के दिए गए प्रतिबंध (जैसे \( x \gt 0 \)) परिसर को सीधे प्रभावित करते हैं।
आम गलतियाँ:
• असमिकाओं (inequalities) के प्रतिबंधों को ध्यान में न रखना।
• खुले और बंद अंतराल (\( ( \) और \( [ \)) का गलत चयन करना।
• फलन के न्यूनतम/अधिकतम मान गलत निकालना।
Exam Tips:
a) परिसर निकालते समय \( x \) के दिए गए प्रांत या प्रतिबंध को सबसे पहले देखें।
b) वर्ग वाले फलनों (\( x^2 \)) के लिए न्यूनतम मान हमेशा \( 0 \) होता है, इस तथ्य का प्रयोग करें।
c) उत्तर को समुच्चय या अंतराल के रूप में मानक भाषा में लिखें।
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