NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 08 अनुक्रम तथा श्रेणी
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Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 08 अनुक्रम तथा श्रेणी
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Question 1: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = n(n + 2) \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = n(n + 2) \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = 1(1 + 2) = 3 \)
\( a_2 = 2(2 + 2) = 8 \)
\( a_3 = 3(3 + 2) = 15 \)
\( a_4 = 4(4 + 2) = 24 \)
\( a_5 = 5(5 + 2) = 35 \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( 3, 8, 15, 24 \) और \( 35 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• किसी अनुक्रम का \( n \) वाँ पद \( a_n \) एक ऐसा सूत्र होता है जिससे हम अनुक्रम के सभी पदों को ज्ञात कर सकते हैं।
• \( n \) के मान हमेशा धनात्मक पूर्णांक \( 1, 2, 3, \dots \) होते हैं।
• प्रत्येक पद को प्राप्त करने के लिए \( n \) के स्थान पर क्रमिक रूप से संख्याएँ रखी जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• \( n \) के स्थान पर पूर्णांकों के बजाय ऋणात्मक संख्याएँ रख देना।
• कोष्ठक हल करते समय गुणा या जोड़ में गलती करना।
• अंतिम उत्तर लिखते समय पदों को सही क्रम में न लिखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक पद की गणना को अलग-अलग पंक्ति में स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
b) गणना के बाद अंतिम उत्तर को एक साथ वाक्य में अवश्य लिखें।
c) कोष्ठक वाले पदों को हल करते समय BODMAS नियम का पालन करें।
Question 2: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = \frac{n}{n + 1} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = \frac{n}{n + 1} \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
\( a_2 = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3} \)
\( a_3 = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4} \)
\( a_4 = \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5} \)
\( a_5 = \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6} \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5} \) और \( \frac{5}{6} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• भिन्नात्मक अनुक्रमों में अंश और हर दोनों में \( n \) का मान प्रतिस्थापित किया जाता है।
• प्रत्येक पद एक भिन्न के रूप में प्राप्त होता है।
• यदि संभव हो तो भिन्नों को सरलतम रूप में बदला जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल अंश में मान रखकर हर को छोड़ देना।
• हर में \( n + 1 \) जोड़ते समय गलती करना।
• भिन्नों को जोड़ या काटते समय गणितीय त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) अंश और हर दोनों के मानों को कोष्ठक में या स्पष्ट रूप से लिखकर जोड़ें।
b) भिन्नों के रूप में उत्तर आने पर उन्हें मानक रूप में छोड़ें।
c) प्रत्येक पद के लिए समीकरण लिखकर स्टेप-बाय-स्टेप हल करें।
Question 3: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = 2^n \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = 2^n \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = 2^1 = 2 \)
\( a_2 = 2^2 = 4 \)
\( a_3 = 2^3 = 8 \)
\( a_4 = 2^4 = 16 \)
\( a_5 = 2^5 = 32 \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( 2, 4, 8, 16 \) और \( 32 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• यह एक घातांकीय (exponential) अनुक्रम है जिसमें आधार समान रहता है और घात बढ़ती है।
• किसी भी संख्या की घात \( 1 \) होने पर वह संख्या स्वयं आती है।
• दो की घातों का मान तेजी से बढ़ता है।
आम गलतियाँ:
• \( 2^3 \) को \( 2 \times 3 = 6 \) लिख देना, जबकि यह \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) होता है।
• \( n = 1 \) के लिए मान शून्य मान लेना।
• घातांक की गणना में गुणा की गलती करना।
Exam Tips:
a) घातों की गणना सावधानीपूर्वक करें और गुणनफल सही लिखें।
b) दो की शुरुआती घातों (\( 2^1 \) से \( 2^{10} \)) को याद रखें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से अनुक्रम के रूप में दर्शाएँ।
Question 4: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = \frac{2n - 3}{6} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = \frac{2n - 3}{6} \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = \frac{2(1) - 3}{6} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \)
\( a_2 = \frac{2(2) - 3}{6} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \)
\( a_3 = \frac{2(3) - 3}{6} = \frac{6 - 3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( a_4 = \frac{2(4) - 3}{6} = \frac{8 - 3}{6} = \frac{5}{6} \)
\( a_5 = \frac{2(5) - 3}{6} = \frac{10 - 3}{6} = \frac{7}{6} \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( -\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6} \) और \( \frac{7}{6} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• इस प्रकार के प्रश्नों में ऋणात्मक मान भी प्राप्त हो सकते हैं।
• अंश में गुणा और घटाव की प्रक्रिया एक साथ की जाती है।
• भिन्न मिलने पर उसे सरलतम रूप में बदला जा सकता है (जैसे \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \))।
आम गलतियाँ:
• \( 2(1) - 3 \) में चिह्न की गलती करके \( +1 \) लिख देना।
• भिन्नों को सरल न करना।
• ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) चिह्नों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
b) यदि अंश और हर दोनों किसी संख्या से कटते हैं, तो भिन्न को न्यूनतम रूप में बदलें।
c) प्रत्येक पद की गणना को अलग पंक्ति में दिखाएँ।
Question 5: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1} \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = (-1)^{1-1} 5^{1+1} = (-1)^0 5^2 = 1 \times 25 = 25 \)
\( a_2 = (-1)^{2-1} 5^{2+1} = (-1)^1 5^3 = -1 \times 125 = -125 \)
\( a_3 = (-1)^{3-1} 5^{3+1} = (-1)^2 5^4 = 1 \times 625 = 625 \)
\( a_4 = (-1)^{4-1} 5^{4+1} = (-1)^3 5^5 = -1 \times 3125 = -3125 \)
\( a_5 = (-1)^{5-1} 5^{5+1} = (-1)^4 5^6 = 1 \times 15625 = 15625 \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( 25, -125, 625, -3125 \) और \( 15625 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• \( (-1) \) की घात सम होने पर परिणाम धनात्मक और विषम होने पर ऋणात्मक होता है।
• किसी भी संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान \( 1 \) होता है।
• घातांक नियम \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) का उपयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( (-1)^0 \) को \( 0 \) या \( -1 \) लिख देना (सही मान \( 1 \) है)।
• चिह्नों (धनात्मक/ऋणात्मक) को एकांतर (alternate) रूप से न लगाना।
• बड़ी घातों (\( 5^5, 5^6 \)) की गणना में गुणा की गलती करना।
Exam Tips:
a) एकांतर चिह्न वाले प्रश्नों में उत्तर की जाँच अवश्य करें कि चिह्न सही क्रम में हैं या नहीं।
b) \( (-1) \) की घातों को पहले सरल करें।
c) बड़ी संख्याओं के गुणन को रफ कार्य में सावधानी से करें।
Question 6: अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = n \frac{n^2 + 5}{4} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = n \frac{n^2 + 5}{4} \)
\( n = 1, 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_1 = 1 \frac{1^2 + 5}{4} = 1 \left(\frac{1 + 5}{4}\right) = 1 \left(\frac{6}{4}\right) = \frac{3}{2} \)
\( a_2 = 2 \frac{2^2 + 5}{4} = 2 \left(\frac{4 + 5}{4}\right) = 2 \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{2} \)
\( a_3 = 3 \frac{3^2 + 5}{4} = 3 \left(\frac{9 + 5}{4}\right) = 3 \left(\frac{14}{4}\right) = \frac{21}{2} \)
\( a_4 = 4 \frac{4^2 + 5}{4} = 4 \left(\frac{16 + 5}{4}\right) = 4 \left(\frac{21}{4}\right) = 21 \)
\( a_5 = 5 \frac{5^2 + 5}{4} = 5 \left(\frac{25 + 5}{4}\right) = 5 \left(\frac{30}{4}\right) = \frac{75}{2} \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}, 21 \) और \( \frac{75}{2} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ \( n \) बाहर गुणा के रूप में है और अंदर एक बीजीय व्यंजक है।
• पहले कोष्ठक के अंदर के वर्ग और जोड़ को हल किया जाता है।
• यदि बाहर की संख्या हर से कटती है, तो उसे काट दिया जाता है।
आम गलतियाँ:
• बाहर वाले \( n \) को सीधे हर से काट देना बिना कोष्ठक हल किए।
• वर्ग निकालते समय संख्या का गुणा गलत करना (जैसे \( 3^2 = 6 \) लिख देना)।
• भिन्नों को सरल न करना।
Exam Tips:
a) पहले कोष्ठक के अंदर के अंश को पूरी तरह हल करें।
b) बाहर की संख्या और हर में यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उसे सरल करें।
c) प्रत्येक पद के लिए अलग चरण लिखें।
Question 7: अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = 4n - 3; a_{17}, a_{24} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = 4n - 3 \)
\( n = 17 \) रखने पर:
\( a_{17} = 4(17) - 3 = 68 - 3 = 65 \)
\( n = 24 \) रखने पर:
\( a_{24} = 4(24) - 3 = 96 - 3 = 93 \)
अतः, \( a_{17} = 65 \) और \( a_{24} = 93 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• इस प्रकार के प्रश्नों में पूरे अनुक्रम के बजाय केवल विशिष्ट पद पूछे जाते हैं।
• दिए गए \( n \) के मान को सीधे \( a_n \) के व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है।
• गुणन और घटाव की सामान्य प्रक्रिया का उपयोग होता है।
आम गलतियाँ:
• \( n \) के स्थान पर गलत संख्या रख देना (जैसे 17 के स्थान पर 24)।
• गुणा करते समय सामान्य गणना त्रुटि करना।
• अंतिम परिणाम से \( 3 \) घटाना भूल जाना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में दिए गए दोनों पदों (\( a_{17} \) और \( a_{24} \)) को अलग-अलग हल करें।
b) गणना के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से बॉक्स में या अलग वाक्य में दर्शाएँ।
Question 8: अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = \frac{n^2}{2^n}; a_7 \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = \frac{n^2}{2^n} \)
\( n = 7 \) रखने पर:
\( a_7 = \frac{7^2}{2^7} = \frac{49}{128} \)
अतः, वांछित पद \( a_7 = \frac{49}{128} \) है।
मुख्य बिंदु:
• अंश में \( n \) का वर्ग और हर में \( 2 \) की घात \( n \) है।
• \( n = 7 \) के लिए \( 7^2 = 49 \) और \( 2^7 = 128 \) होता है।
• यह एक घातांकीय और बीजीय पदों का मिश्रित अनुक्रम है।
आम गलतियाँ:
• \( 2^7 \) का मान \( 14 \) या \( 64 \) लिख देना (सही मान \( 128 \) है)।
• \( 7^2 \) को \( 14 \) लिख देना।
• घातांक गणना में भूल करना।
Exam Tips:
a) \( 2 \) की घातों को कम से कम \( 2^{10} \) तक याद रखें।
b) वर्ग निकालते समय संख्या को उसी संख्या से गुणा करें।
c) अंतिम भिन्न को यदि काटा जा सके तो सरल करें, अन्यथा वैसे ही छोड़ें।
Question 9: अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = (-1)^{n-1} n^3; a_9 \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = (-1)^{n-1} n^3 \)
\( n = 9 \) रखने पर:
\( a_9 = (-1)^{9-1} (9)^3 = (-1)^8 (9)^3 = 1 \times 729 = 729 \)
अतः, वांछित पद \( a_9 = 729 \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( n = 9 \) रखने पर \( (-1)^{9-1} = (-1)^8 \) प्राप्त होता है जो कि धनात्मक \( 1 \) है।
• \( 9 \) का घन (\( 9^3 \)) ज्ञात किया जाता है।
• सम घात होने के कारण \( (-1) \) का परिणाम \( +1 \) होता ਹੈ।
आम गलतियाँ:
• \( (-1)^8 \) को ऋणात्मक मान देना।
• \( 9^3 \) का मान \( 27 \) या \( 81 \) लिख देना (सही मान \( 729 \) है)।
• \( n-1 \) की जगह सीधे \( n \) की घात लगा देना।
Exam Tips:
a) घात का निर्धारण करते समय \( n-1 \) में मान रखकर सावधानी से हल करें।
b) संख्याओं के घन (cubes) याद रखें।
c) चिह्न का निर्धारण सबसे पहले करें।
Question 10: अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका \( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = \frac{n(n - 2)}{n + 3}; a_{20} \)
Answer:
दिया गया है: \( a_n = \frac{n(n - 2)}{n + 3} \)
\( n = 20 \) रखने पर:
\( a_{20} = \frac{20(20 - 2)}{20 + 3} \)
\( a_{20} = \frac{20 \times 18}{23} \)
\( a_{20} = \frac{360}{23} \)
अतः, वांछित पद \( a_{20} = \frac{360}{23} \) है।
मुख्य बिंदु:
• अंश में दो पदों का गुणनफल है और हर में एक बीजीय व्यंजक है।
• पहले कोष्ठक के अंदर घटाव की क्रिया की जाती है।
• यदि अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, तो भिन्न को ज्यों का त्यों छोड़ दिया जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( 20 - 2 \) को गलत घटाना।
• \( 20 \times 18 \) का गुणा गलत करना।
• हर में \( 20 + 3 \) को \( 203 \) लिख देना।
Exam Tips:
a) अंश और हर के मान अलग-अलग निकालकर फिर उनका अनुपात निकालें।
b) गुणन कार्य को रफ में सही प्रकार से करें।
c) अभाज्य संख्या हर में आने पर उसे सरल करने की आवश्यकता नहीं होती।
Question 11: अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा श्रेणी ज्ञात कीजिए: \( a_1 = 3, a_n = 3a_{n-1} + 2 \) सभी \( n > 1 \) के लिए
Answer:
दिया गया है: \( a_1 = 3 \), \( a_n = 3a_{n-1} + 2 \) सभी \( n > 1 \) के लिए
\( n = 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_2 = 3a_{2-1} + 2 = 3a_1 + 2 = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11 \)
\( a_3 = 3a_{3-1} + 2 = 3a_2 + 2 = 3(11) + 2 = 33 + 2 = 35 \)
\( a_4 = 3a_{4-1} + 2 = 3a_3 + 2 = 3(35) + 2 = 105 + 2 = 107 \)
\( a_5 = 3a_{5-1} + 2 = 3a_4 + 2 = 3(107) + 2 = 321 + 2 = 323 \)
इसलिए, अनुक्रम के पद \( 3, 11, 35, 107 \) और \( 323 \) हैं।
अतः, अभीष्ट श्रेणी \( 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + \dots \) है।
मुख्य बिंदु:
• यह एक आवर्ती या पुनरावर्ती (recurrence relation) संबंध है, जिसमें अगला पद पिछले पद पर निर्भर करता है।
• प्रथम पद प्रश्न में पहले से दिया होता है।
• पदों को '+' चिह्न के साथ जोड़ने पर श्रेणी (series) प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• \( a_{n-1} \) में पिछले पद का मान रखने के बजाय \( n \) का मान रख देना।
• गुणा करने के बाद \( 2 \) जोड़ना भूल जाना।
• श्रेणी और अनुक्रम में अंतर न समझना (श्रेणी में पदों के बीच '+' लगाया जाता है)।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रश्नों में प्रत्येक पिछला पद सही उपयोग होना चाहिए, अतः पिछले उत्तर की जाँच तुरंत करें।
b) श्रेणी लिखते समय अंत में '...' (डॉट-डॉट) अवश्य लगाएँ।
c) चरणों को क्रमिक रूप से स्पष्ट लिखें।
Question 12: अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा श्रेणी ज्ञात कीजिए: \( a_1 = -1, a_n = \frac{a_{n-1}}{n} \), जहाँ \( n \ge 2 \)
Answer:
दिया गया है: \( a_1 = -1 \), \( a_n = \frac{a_{n-1}}{n} \), जहाँ \( n \ge 2 \)
\( n = 2, 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_2 = \frac{a_{2-1}}{2} = \frac{a_1}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \)
\( a_3 = \frac{a_{3-1}}{3} = \frac{a_2}{3} = \frac{-\frac{1}{2}}{3} = -\frac{1}{6} \)
\( a_4 = \frac{a_{4-1}}{4} = \frac{a_3}{4} = \frac{-\frac{1}{6}}{4} = -\frac{1}{24} \)
\( a_5 = \frac{a_{5-1}}{5} = \frac{a_4}{5} = \frac{-\frac{1}{24}}{5} = -\frac{1}{120} \)
इसलिए, अनुक्रम के पद \( -1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{24} \) और \( -\frac{1}{120} \) हैं।
अतः, अभीष्ट श्रेणी \( (-1) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{6}\right) + \left(-\frac{1}{24}\right) + \left(-\frac{1}{120}\right) + \dots \) है।
मुख्य बिंदु:
• यह पुनरावर्ती संबंध भिन्नात्मक रूप में है जिसमें पिछले पद को \( n \) से भाग दिया जाता है।
• प्रत्येक नया पद पिछले पद की तुलना में और छोटा (यात्मक रूप से बड़ा) होता जाता है।
• हर में फैक्टोरियल जैसा पैटर्न बनता जाता है।
आम गलतियाँ:
• भिन्न को हर से भाग देते समय गणितीय व्युत्क्रम (reciprocal) का नियम न लगाना।
• ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• श्रेणी लिखते समय कोष्ठक का सही प्रयोग न करना।
Exam Tips:
a) \( \frac{a/b}{c} \) को \( \frac{a}{b \times c} \) के रूप में लिखकर हल करें।
b) ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) श्रेणी को दर्शाते समय पदों को कोष्ठक में लिखें।
Question 13: अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा श्रेणी ज्ञात कीजिए: \( a_1 = 2, a_n = a_{n-1} - 1 \), जहाँ \( n > 2 \)
Answer:
दिया गया है: \( a_1 = 2 \), \( a_n = a_{n-1} - 1 \), जहाँ \( n > 2 \) (साथ ही \( a_2 = 2 \) मानकर अथवा मानक रूप में \( n \ge 2 \) मानते हुए हल करते हैं)
नोट: प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार \( a_1 = 2, a_2 = 2 \) (या \( a_2 = a_1 - 1 = 1 \), आमतौर पर इस प्रकार के प्रश्नों में \( n \ge 2 \) होता है):
\( n = 3, 4, \) और \( 5 \) रखने पर:
\( a_3 = a_{3-1} - 1 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1 \) (यदि \( a_2 = 2 \) दिया हो, अन्यथा यदि \( a_2 = a_1 - 1 = 1 \) हो तो \( a_3 = 1 - 1 = 0 \))
मानक हल (जहाँ संबंध \( n \ge 2 \) के लिए है):
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1 \)
\( a_3 = a_2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
\( a_4 = a_3 - 1 = 0 - 1 = -1 \)
\( a_5 = a_4 - 1 = -1 - 1 = -2 \)
इसलिए, अनुक्रम के पद \( 2, 1, 0, -1 \) और \( -2 \) हैं।
अतः, अभीष्ट श्रेणी \( 2 + 1 + 0 + (-1) + (-2) + \dots \) है।
मुख्य बिंदु:
• यह एक सरल रैखिक पुनरावर्ती संबंध है जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से \( 1 \) कम होता है।
• यह एक समांतर श्रेणी (A.P.) का उदाहरण है।
• ऋणात्मक मान और शून्य भी अनुक्रम के पद हो सकते हैं।
आम गलतियाँ:
• \( n > 2 \) और \( n \ge 2 \) के अंतर को समझे बिना \( a_2 \) की उपेक्षा करना।
• घटाव में चिह्न की गलती करना।
• श्रेणी में शून्य को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) यदि \( a_1 \) दिया है तो \( a_2 \) से आगे के सभी पदों के लिए संबंध का उपयोग करें।
b) क्रमिक घटाव को सही ढंग से दिखाएँ।
c) श्रेणी बनाते समय सभी पदों को योग के रूप में लिखें।
Question 14: Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है: \( 1 = a_1 = a_2 \) तथा \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) , \( n > 2 \) तो \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) ज्ञात कीजिए, जबकि \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \)
Answer:
दिया गया है: \( a_1 = 1, a_2 = 1 \) तथा \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) (\( n > 2 \))
सबसे पहले Fibonacci अनुक्रम के शुरुआती पद ज्ञात करते हैं:
\( a_3 = a_{3-1} + a_{3-2} = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \)
\( a_4 = a_{4-1} + a_{4-2} = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \)
\( a_5 = a_{5-1} + a_{5-2} = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5 \)
\( a_6 = a_{6-1} + a_{6-2} = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8 \)
अब, \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \) के लिए अनुपात \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) ज्ञात करते हैं:
• \( n = 1 \) रखने पर:
\( \frac{a_{1+1}}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1 \)
• \( n = 2 \) रखने पर:
\( \frac{a_{2+1}}{a_2} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2 \)
• \( n = 3 \) रखने पर:
\( \frac{a_{3+1}}{a_3} = \frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2} \)
• \( n = 4 \) रखने पर:
\( \frac{a_{4+1}}{a_4} = \frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3} \)
• \( n = 5 \) रखने पर:
\( \frac{a_{5+1}}{a_5} = \frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5} \)
मुख्य बिंदु:
• Fibonacci अनुक्रम में प्रत्येक अगला पद अपने ठीक पिछले दो पदों का योग होता है।
• इस अनुक्रम में प्रथम दो पद \( 1 \) और \( 1 \) होते हैं।
• \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) का अनुपात स्वर्ण अनुपात (Golden Ratio) की ओर अग्रसर होता है।
आम गलतियाँ:
• \( a_1 \) और \( a_2 \) दोनों के मान \( 1 \) होने की बात भूल जाना।
• अनुपात निकालते समय \( a_{n+1} \) के स्थान पर गलत पद का मान रख देना।
• अनुक्रम के पर्याप्त पद (जैसे \( a_6 \) तक) निकाले बिना अनुपात ज्ञात करने का प्रयास करना।
Exam Tips:
a) पहले Fibonacci अनुक्रम के आवश्यक पदों (\( a_1 \) से \( a_6 \)) की सूची बना लें।
b) प्रत्येक \( n \) के मान के लिए अंश और हर के पदों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) भिन्नों के रूप में ही उत्तर छोड़ें जब तक कि दशमलव आवश्यक न हो।
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