NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 02 संबंध एवं फलन
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Practice Class 11 Mathematics Solutions: Chapter 02 संबंध एवं फलन
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Question 1: यदि \( \left( \frac{x}{3} + 1, y - \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{1}{3} \right) \), तो \( x \) तथा \( y \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया क्रमित युग्म समीकरण है:
\( \left( \frac{x}{3} + 1, y - \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{1}{3} \right) \)
दो क्रमित युग्म समान होते हैं यदि उनके संगत अव요 (coordinates) समान हों। अतः संगत घटकों की तुलना करने पर:
\( \frac{x}{3} + 1 = \frac{5}{3} \)
\( \frac{y}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
पहले समीकरण को हल करने पर:
\( \frac{x}{3} = \frac{5}{3} - 1 \)
\( \frac{x}{3} = \frac{5 - 3}{3} \)
\( \frac{x}{3} = \frac{2}{3} \)
\( x = 2 \)
दूसरे समीकरण को हल करने पर:
\( y = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)
\( y = \frac{1 + 2}{3} \)
\( y = \frac{3}{3} = 1 \)
अतः \( x = 2 \) तथा \( y = 1 \)
मुख्य बिंदु:
• क्रमित युग्मों की समानता की परिभाषा का उपयोग करना।
• संगत घटकों (Coordinates) को आमने-सामने रखकर समीकरण बनाना।
• भिन्न (Fractions) को सरल करके चर का मान ज्ञात करना।
आम गलतियाँ:
• संगत घटकों की तुलना करते समय चिह्न की गलती करना।
• भिन्नों के समीकरण हल करते समय लघुत्तम (LCM) लेने में भूल करना।
• अंत में \( x \) और \( y \) के मान स्पष्ट रूप से न लिखना।
Exam Tips:
a) क्रमित युग्म की परिभाषा स्पष्ट रूप से लिखें।
b) प्रत्येक चरण को अलग लाइन में हल करें ताकि स्पष्टता बनी रहे।
c) अंत में उत्तर को अलग से हाईलाइट करें।
Question 2: यदि समुच्चय \( A \) में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय \( B = \{3, 4, 5\} \), तो \( (A \times B) \) में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है कि समुच्चय \( A \) में अवयवों की संख्या \( n(A) = 3 \) है।
समुच्चय \( B = \{3, 4, 5\} \) है, इसलिए समुच्चय \( B \) में अवयवों की संख्या \( n(B) = 3 \) है।
दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन (Cartesian Product) \( (A \times B) \) में अवयवों की संख्या का सूत्र निम्नलिखित होता है:
\( n(A \times B) = n(A) \times n(B) \)
मान रखने पर:
\( n(A \times B) = 3 \times 3 = 9 \)
अतः \( (A \times B) \) में अवयवों की संख्या 9 है।
मुख्य बिंदु:
• कार्तीय गुणन के अवयवों की संख्या का सूत्र \( n(A \times B) = n(A) \times n(B) \) ।
• दिए गए समुच्चयों के अवयवों को पहचानना।
• गुणन संक्रिया का सही निष्पादन।
आम गलतियाँ:
• गुणा के स्थान पर दोनों समुच्चयों के अवयवों को जोड़ देना।
• \( B \) के अवयवों की गिनती में गलती करना।
• सूत्र का उल्लेख न करना।
Exam Tips:
a) हमेशा कार्तीय गुणन का सूत्र लिखकर ही हल शुरू करें।
b) \( n(A) \) और \( n(B) \) के मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर की इकाई या वाक्य पूरा लिखें।
Question 3: यदि \( G = \{7, 8\} \) और \( H = \{5, 4, 2\} \), तो \( G \times H \) और \( H \times G \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं:
\( G = \{7, 8\} \) और \( H = \{5, 4, 2\} \)
कार्तीय गुणन \( G \times H \) ज्ञात करने के लिए, समुच्चय \( G \) के प्रत्येक अवयव को समुच्चय \( H \) के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमित युग्म के रूप में लिखते हैं:
\( G \times H = \{(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)\} \)
इसी प्रकार, कार्तीय गुणन \( H \times G \) ज्ञात करने के लिए, समुच्चय \( H \) के प्रत्येक अवयव को समुच्चय \( G \) के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमित युग्म के रूप में लिखते हैं:
\( H \times G = \{(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)\} \)
मुख्य बिंदु:
• कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों (Ordered Pairs) का समुच्चय होता है।
• \( G \times H \) में पहला घटक \( G \) से और दूसरा घटक \( H \) से होता है।
• \( G \times H \neq H \times G \) (क्रमविनिमय नियम लागू नहीं होता)।
आम गलतियाँ:
• अवयवों के क्रम को उलट देना (जैसे \( (5, 7) \) को \( G \times H \) में लिख देना)।
• कोई युग्म छूट जाना।
• समुच्चय के कर्ली ब्रैकेट्स \( \{\} \) और क्रमित युग्म के छोटे ब्रैकेट्स \( () \) में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) पहले समुच्चय के हर एक अवयव को दूसरे समुच्चय के सभी अवयवों के साथ क्रमानुसार लिखें।
b) कुल युग्मों की संख्या पहले ही जांच लें (\( 2 \times 3 = 6 \) युग्म होने चाहिए)।
c) ब्रैकेट का सही उपयोग करें।
Question 4: बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य अथवा असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि \( P = \{m, n\} \) और \( Q = \{n, m\} \) तो \( P \times Q = \{(m, n), (n, m)\} \)
(ii) यदि \( A \) और \( B \) अरिक्त समुच्चय हैं, तो \( A \times B \) क्रमित युग्मों \( (x, y) \) का एक रिक्त समुच्चय है, इस प्रकार कि \( x \in A \) तथा \( y \in B \)
(iii) यदि \( A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\} \) तो \( A \times (B \cap \phi) = \phi \).
Answer:
(i) असत्य
सही कथन: चूँकि \( P = \{m, n\} \) और \( Q = \{n, m\} \), इसलिए कार्तीय गुणन:
\( P \times Q = \{(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)\} \) होगा।
(ii) सत्य
(iii) सत्य
स्पष्टीकरण: चूंकि \( B \) और रिक्त समुच्चय \( \phi \) का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय होता है अर्थात् \( B \cap \phi = \phi \), इसलिए किसी समुच्चय \( A \) का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन भी रिक्त समुच्चय \( \phi \) होता है।
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय के कार्तीय गुणन में सभी संभव क्रमित युग्म शामिल होते हैं।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) के साथ किसी भी समुच्चय का सर्वनिष्ठ \( \phi \) होता है।
• \( A \times \phi = \phi \) ।
आम गलतियाँ:
• \( P \times Q \) निकालते समय सभी क्रमित युग्मों को न लिखना।
• सर्वनिष्ठ और कार्तीय गुणन के नियमों में अंतर न समझना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़कर उसकी सत्यता की जांच करें।
b) असत्य कथनों के लिए सही कारण और सही रूप दोनों लिखें।
c) उप-भागों (i), (ii), (iii) के नंबर स्पष्ट रूप से डालें।
Question 5: यदि \( A = \{-1, 1\} \), तो \( A \times A \times A \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( A = \{-1, 1\} \)
सबसे पहले \( A \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times A = \{-1, 1\} \times \{-1, 1\} \)
\( A \times A = \{(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)\} \)
अब त्रिक गुणन (Cartesian product of three sets) \( A \times A \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times A \times A = A \times (A \times A) \)
\( A \times A \times A = \{-1, 1\} \times \{(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)\} \)
प्रत्येक अवयव को क्रमित त्रिक (Ordered Triplet) के रूप में लिखने पर:
\( A \times A \times A = \{(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)\} \)
मुख्य बिंदु:
• तीन समुच्चयों का कार्तीय गुणन क्रमित त्रिक (Ordered Triplets) देता है, जैसे \( (x, y, z) \)。
• पहले \( A \times A \) निकालना गणना को सरल बनाता है।
• कुल अवयवों की संख्या \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) होगी।
आम गलतियाँ:
• त्रिक के स्थान पर केवल युग्म \( (x, y) \) लिख देना।
• चिह्नों (+ और -) में गलती करना।
• कोई क्रमित त्रिक छोड़ देना।
Exam Tips:
a) चरणबद्ध तरीके से पहले \( A \times A \) निकालें और फिर उसे \( A \) से गुणा करें।
b) उत्तर में सभी 8 त्रिक ठीक से लिखे हों, इसकी पुष्टि कर लें।
c) कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
Question 6: यदि \( A \times B = \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)\} \) तो \( A \) तथा \( B \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया कार्तीय गुणन है:
\( A \times B = \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)\} \)
समुच्चय \( A \) कार्तीय गुणन के क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय होता है:
\( A = \{a, b\} \)
समुच्चय \( B \) कार्तीय गुणन के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय होता है:
\( B = \{x, y\} \)
अतः \( A = \{a, b\} \) तथा \( B = \{x, y\} \)
मुख्य बिंदु:
• \( A \times B \) के क्रमित युग्मों का पहला अवयव समुच्चय \( A \) का सदस्य होता है।
• \( A \times B \) के क्रमित युग्मों का दूसरा अवयव समुच्चय \( B \) का सदस्य होता है।
• समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति (Repetition) नहीं होती है।
आम गलतियाँ:
• पहले और दूसरे घटकों को आपस में मिला देना।
• यदि कोई घटक दो बार आए तो उसे समुच्चय में दो बार लिख देना।
Exam Tips:
a) परिभाषा याद रखें: प्रथम घटक \( A \) के लिए और द्वितीय घटक \( B \) के लिए।
b) समुच्चय बनाते समय अवयवों को केवल एक बार ही लिखें।
c) उत्तर को समुच्चय रूप \( \{\} \) में ही प्रस्तुत करें।
Question 7: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, C = \{5, 6\} \) तथा \( D = \{5, 6, 7, 8\} \) सत्यापित कीजिए कि
(i) \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
(ii) \( A \times C \) , \( B \times D \) का एक उपसमुच्चय है।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं:
\( A = \{1, 2\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( C = \{5, 6\} \)
\( D = \{5, 6, 7, 8\} \)
(i) पहले बायां पक्ष (LHS) हल करते हैं:
सबसे पहले \( B \cap C \) ज्ञात करते हैं:
\( B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5, 6\} = \phi \)
अब \( A \times (B \cap C) \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times (B \cap C) = A \times \phi = \phi \quad \text{--- (समीकरण 1)} \)
अब दायां पक्ष (RHS) हल करते हैं:
\( A \times B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)\} \)
\( A \times C = \{(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\} \)
अब दोनों का सर्वनिष्ठ (Intersection) ज्ञात करते हैं:
\( (A \times B) \cap (A \times C) = \phi \quad \text{--- (समीकरण 2)} \)
समीकरण (1) और (2) से:
\( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) (सत्यापित)
(ii) अब \( A \times C \) और \( B \times D \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\} \)
\( B \times D \) के अवयव:
\( B \times D = \{(1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), \dots \} \)
चूँकि \( A \times C \) के सभी अवयव \( \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\} \) समुच्चय \( B \times D \) में उपस्थित हैं, इसलिए:
\( A \times C \subset B \times D \) (सत्यापित)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय के सर्वनिष्ठ (Intersection) और कार्तीय गुणन के नियमों का अनुप्रयोग।
• उपसमुच्चय (Subset) की परिभाषा: यदि A का प्रत्येक अवयव B में हो, तो \( A \subset B \)。
• समीकरणों की तुलना करके सत्यापन करना।
आम गलतियाँ:
• \( B \cap C \) निकालते समय गलत अवयव चुन लेना।
• उपसमुच्चय साबित करते समय सभी अवयवों की जाँच न करना।
Exam Tips:
a) LHS और RHS को अलग-अलग हल करें।
b) उप-भागों (i) और (ii) को स्पष्ट रूप से अलग लिखकर हल करें।
c) अंत में "सत्यापित" लिखना न भूलें।
Question 8: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2\} \) और \( B = \{3, 4\} \). \( A \times B \) लिखिए। \( A \times B \) के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाइए।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं:
\( A = \{1, 2\} \) और \( B = \{3, 4\} \)
कार्तीय गुणन \( A \times B \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times B = \{1, 2\} \times \{3, 4\} \)
\( A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \)
यहाँ \( A \times B \) में अवयवों की संख्या \( n(A \times B) = 4 \) है।
हम जानते हैं कि यदि किसी समुच्चय में \( m \) अवयव हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \( 2^m \) होती है।
अतः \( A \times B \) के उपसमुच्चयों की संख्या = \( 2^4 = 16 \) होगी।
सभी 16 उपसमुच्चयों की सूची:
\( \phi \)
\( \{(1, 3)\}, \{(1, 4)\}, \{(2, 3)\}, \{(2, 4)\} \)
\( \{(1, 3), (1, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3)\}, \{(1, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 4), (2, 4)\}, \{(2, 3), (2, 4)\} \)
\( \{(1, 3), (1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \)
\( \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \)
मुख्य बिंदु:
• उपसमुच्चयों की कुल संख्या का सूत्र \( 2^n \) होता है।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
• स्वयं समुच्चय भी अपना उपसमुच्चय होता है।
आम गलतियाँ:
• उपसमुच्चयों की संख्या \( 2^4 = 16 \) की जगह \( 4 \times 2 = 8 \) लिख देना।
• सूची बनाते समय कुछ युग्मों को दो बार लिख देना या छोड़ देना।
Exam Tips:
a) पहले उपसमुच्चयों की कुल संख्या सूत्र से अवश्य निकालें।
b) उपसमुच्चयों को क्रम से (शून्य अवयव, 1 अवयव, 2 अवयव आदि वाले) लिखें ताकि कोई छूटे नहीं।
c) हर उपसमुच्चय को समुच्चय कोष्ठक \( \{\} \) में बंद करें।
Question 9: मान लीजिए कि \( A \) और \( B \) दो समुच्चय हैं, जहाँ \( n(A) = 3 \) और \( n(B) = 2 \). यदि \( (x, 1), (y, 2), (z, 1) \) अर्क \( A \times B \) में हैं, तो \( A \) और \( B \) को ज्ञात कीजिए, जहाँ \( x, y \) और \( z \) भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
Answer:
दिया गया है:
\( n(A) = 3 \) और \( n(B) = 2 \)
कार्तीय गुणन \( A \times B \) में दिए गए क्रमित युग्म हैं:
\( (x, 1), (y, 2), (z, 1) \)
हम जानते हैं कि क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समुच्चय \( A \) से और द्वितीय घटक समुच्चय \( B \) से संबंधित होते हैं।
अतः प्रथम घटकों का समुच्चय \( A \) होगा:
\( A = \{x, y, z\} \)
और द्वितीय घटकों का समुच्चय \( B \) होगा (पुनरावਰ्ति हटाकर):
\( B = \{1, 2\} \)
चूँकि \( n(A) = 3 \) और \( n(B) = 2 \) दिया गया है और हमारे द्वारा प्राप्त समुच्चयों में भी \( n(A) = 3 \) तथा \( n(B) = 2 \) संतुष्ट होता है, इसलिए:
\( A = \{x, y, z\} \) तथा \( B = \{1, 2\} \)
मुख्य बिंदु:
• क्रमित युग्मों का पहला अवयव \( A \) का और दूसरा अवयव \( B \) का होता है।
• समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति नहीं होती (जैसे '1' दो बार आया है, पर समुच्चय में एक ही बार लिखा जाएगा)।
• दिए गए \( n(A) \) और \( n(B) \) से उत्तर की पुष्टि करना।
आम गलतियाँ:
• समुच्चय \( B \) बनाते समय '1' को दो बार लिख देना।
• प्रथम और द्वितीय घटकों को आपस में बदल देना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में दिए गए क्रमित युग्मों के पहले और दूसरे घटकों को अलग-अलग छाँटें।
b) उत्तर लिखने के बाद \( n(A) \) और \( n(B) \) की संख्या की जाँच अवश्य करें।
c) समुच्चय निर्माण रूप में उत्तर दें।
Question 10: कार्तीय गुणन \( A \times A \) में 9 अवयव हैं, जिनमें \( (-1, 0) \) तथा \( (0, 1) \) भी हैं। समुच्चय \( A \) ज्ञात कीजिए तथा \( A \times A \) के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
कार्तीय गुणन \( A \times A \) में अवयवों की कुल संख्या = 9
अतः \( n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 9 \)
इससे प्राप्त होता है: \( n(A) = 3 \)
यह भी दिया गया है कि \( (-1, 0) \) और \( (0, 1) \) कार्तीय गुणन \( A \times A \) के अवयव हैं।
इसका अर्थ है कि -1, 0 और 1 समुच्चय \( A \) के अवयव हैं।
चूँकि \( n(A) = 3 \) है, इसलिए समुच्चय \( A \) निम्नलिखित होगा:
\( A = \{-1, 0, 1\} \)
अब \( A \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A \times A = \{-1, 0, 1\} \times \{-1, 0, 1\} \)
\( A \times A = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\} \)
अतः समुच्चय \( A = \{-1, 0, 1\} \) है तथा \( A \times A \) के सभी 9 अवयव ऊपर दिए गए हैं।
मुख्य बिंदु:
• \( n(A \times A) = [n(A)]^2 \) का प्रयोग करके \( n(A) \) ज्ञात करना।
• क्रमित युग्मों के घटकों से समुच्चय \( A \) के अवयवों की पहचान करना।
• पूर्ण कार्तीय गुणन \( A \times A \) लिखना।
आम गलतियाँ:
• \( n(A) = 3 \) से समुच्चय \( A \) के अवयव गलत मान लेना।
• \( A \times A \) लिखते समय कुछ क्रमित युग्मों को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) पहले \( n(A) \) निकालें ताकि पता चले कि समुच्चय में कितने अवयव होंगे।
b) दिए गए क्रमित युग्मों की सहायता से समुच्चय \( A \) के अवयव ढूंढें।
c) सभी 9 युग्मों को व्यवस्थित रूप से लिखकर दिखाएं।
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