Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 01 समुच्चय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 01 समुच्चय
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Question 1: निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उप समुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए:
\( A = \{x \in \mathbb{R} \text{ तथा } x^2 - 8x + 12 = 0\} \)
\( B = \{2, 4, 6\} \)
\( C = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \)
\( D = \{6\} \)
Answer:
सबसे पहले समुच्चय \( A \) के अवयवों को ज्ञात करते हैं।
समीकरण \( x^2 - 8x + 12 = 0 \) को हल करने पर:
\( x^2 - 6x - 2x + 12 = 0 \)
\( x(x - 6) - 2(x - 6) = 0 \)
\( (x - 2)(x - 6) = 0 \)
अतः \( x = 2 \) या \( x = 6 \)
इस प्रकार, समुच्चय \( A = \{2, 6\} \)
अब अन्य समुच्चयों के अवयव हैं:
\( B = \{2, 4, 6\} \)
\( C = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \)
\( D = \{6\} \)
यहाँ स्पष्ट है कि समुच्चय \( D \) के सभी अवयव \( A \) में हैं, अतः \( D \subset A \)
समुच्चय \( A \) के सभी अवयव \( B \) में हैं, अतः \( A \subset B \)
समुच्चय \( A \) के सभी अवयव \( C \) में हैं, अतः \( A \subset C \)
समुच्चय \( B \) के सभी अवयव \( C \) में हैं, अतः \( B \subset C \)
समुच्चय \( D \) के सभी अवयव \( B \) और \( C \) में भी हैं, अतः \( D \subset B \) और \( D \subset C \)
मुख्य बिंदु:
• द्विघात समीकरण को हल करके समुच्चय \( A \) के वास्तविक अवयव ज्ञात किए गए।
• उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार यदि \( X \) का प्रत्येक अवयव \( Y \) में हो, तो \( X \subset Y \) होता है।
• \( D \subset A \subset B \subset C \) और \( D \subset C \) संबंध प्राप्त होते हैं।
आम गलतियाँ:
• द्विघात समीकरण के गुणनखंडन में चिह्न की गलती करना।
• उपसमुच्चय की परिभाषा को ठीक से न समझकर गलत संबंध लिखना।
• अपरिमित समुच्चय \( C \) के सभी अवयवों को सीमित समझ लेना।
Exam Tips:
a) द्विघात समीकरणों को हल करते समय मध्य पद को ध्यान से विभाजित करें।
b) सभी उपसंबंधों को क्रमित रूप से लिखें ताकि कोई छूटे नहीं।
c) प्रतीक \( \subset \) का प्रयोग सही ढंग से करें।
Question 2: ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है, तो एक उदाहरण दीजिए:
(i) यदि \( x \in A \) तथा \( A \in B \), तो \( x \in B \)
(ii) यदि \( A \subset B \) तथा \( B \in C \), तो \( A \in C \)
(iii) यदि \( A \subset B \) तथा \( B \subset C \), तो \( A \subset C \)
(iv) यदि \( A \not\subset B \) तथा \( B \subset C \), तो \( A \not\subset C \)
(v) यदि \( x \in A \) तथा \( A \not\subset B \), तो \( x \in B \)
(vi) यदि \( A \subset B \) तथा \( x \not\in B \), तो \( x \not\in A \)
Answer:
(i) असत्य
माना \( A = \{1, 2\} \) और \( B = \{1, \{1, 2\}, \{3\}\} \)
यहाँ \( A \in B \) है और \( 1 \in A \) है, परन्तु \( 1 \notin B \) (क्योंकि \( 1 \) समुच्चय \( B \) का अवयव नहीं है, बल्कि समुच्चय \( \{1, 2\} \) अवयव है)।
अतः कथन असत्य है।
(ii) असत्य
माना \( A = \{2\}, B = \{0, 2\} \) और \( C = \{1, \{0, 2\}, 3\} \)
यहाँ \( A \subset B \) और \( B \in C \) है, परन्तु \( A \notin C \) (क्योंकि समुच्चय \( \{2\} \) समुच्चय \( C \) का अवयव नहीं है)।
अतः कथन असत्य है।
(iii) सत्य
माना \( A \subset B \) और \( B \subset C \)
मान लीजिए \( x \in A \)
चूँकि \( A \subset B \), इसलिए \( x \in B \)
चूँकि \( B \subset C \), इसलिए \( x \in C \)
अतः \( A \subset C \)
(iv) असत्य
माना \( A = \{1, 2\}, B = \{0, 6, 8\} \) और \( C = \{0, 1, 2, 6, 9\} \)
मानकों के अनुसार \( A \not\subset B \) और \( B \subset C \), जबकि \( A \subset C \) है।
अतः कथन असत्य है।
(v) असत्य
माना \( A = \{3, 5, 7\} \) और \( B = \{3, 4, 6\} \)
यहाँ \( 5 \in A \) और \( A \not\subset B \) है, परन्तु \( 5 \notin B \)
अतः कथन असत्य है।
(vi) सत्य
माना \( A \subset B \) और \( x \notin B \)
दर्शना है: \( x \notin A \)
यदि संभव हो तो माना \( x \in A \)
चूँकि \( A \subset B \), इसलिए \( x \in B \)
परंतु यह इस बात का विरोधाभास है कि \( x \notin B \)
अतः हमारी कल्पना गलत थी, इसलिए \( x \notin A \)
मुख्य बिंदु:
• असत्य कथनों को सिद्ध करने के लिए उपयुक्त काउंटर-एग्जांपल (प्रति-उदाहरण) दिए गए हैं।
• सत्य कथनों को उपपत्ति (Proof) विधि द्वारा सिद्ध किया गया है।
• अवयવ \( (\in) \) और उपसमुच्चय \( (\subset) \) के अंतर को स्पष्ट किया गया है।
आम गलतियाँ:
• अवयव और उपसमुच्चय के प्रतीकों को एक ही मान लेना।
• प्रति-उदाहरण लेते समय समुच्चयों की सही संरचना न बनाना।
• विरोधाभास विधि (Proof by contradiction) के चरणों को उल्टा लिखना।
Exam Tips:
a) असत्य कथन के लिए हमेशा सरल और छोटे समुच्चयों का उदाहरण लें।
b) सत्य कथन के लिए सामान्य तत्वों \( x \) को मानकर तार्किक चरण लिखें।
c) \( \in \) और \( \subset \) के प्रयोग में विशेष सावधानी बरतें।
Question 3: मान लीजिए कि \( A, B \) और \( C \) समुच्चय हैं कि \( A \cup B = A \cup C \) तथा \( A \cap B = A \cap C \), तो दर्शाइए कि \( B = C \).
Answer:
हमें दिया गया है: \( A \cup B = A \cup C \) और \( A \cap B = A \cap C \)
हमें दर्शाना है: \( B = C \)
इसके लिए हमें सिद्ध करना होगा कि \( B \subset C \) और \( C \subset B \)
पहले \( B \subset C \) सिद्ध करते हैं:
माना \( x \in B \)
तब \( x \in A \cup B \)
चूँकि \( A \cup B = A \cup C \), इसलिए \( x \in A \cup C \)
अतः \( x \in A \) या \( x \in C \)
स्थिति I: यदि \( x \in A \)
चूँकि \( x \in B \) और \( x \in A \), इसलिए \( x \in A \cap B \)
दिया गया है \( A \cap B = A \cap C \), अतः \( x \in A \cap C \)
इसलिए \( x \in C \)
स्थिति II: यदि \( x \in C \)
यह सीधे ही सत्य है कि \( x \in C \)
अतः दोनों ही स्थितियों में \( x \in C \), इसलिए \( B \subset C \)
इसी प्रकार, हम \( C \subset B \) भी सिद्ध कर सकते हैं।
अतः \( B = C \)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय की समानता दिखाने के लिए दोनों पक्षों को एक-दूसरे का उपसमुच्चय सिद्ध किया जाता है।
• संघ (Union) और सर्वनिष्ठ (Intersection) के गुणों का प्रयोग किया गया है।
• स्थितियों (Cases) में विभाजित करके तार्किक उपपत्ति दी गई है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक तरफ से उपसमुच्चय साबित करके छोड़ देना।
• स्थितियों का सही विश्लेषण न करना।
• दिए गए समीकरणों का सही उपयोग न करना।
Exam Tips:
a) समुच्चय की समानता के प्रश्नों में हमेशा \( B \subset C \) और \( C \subset B \) दोनों सिद्ध करें।
b) 'या' (OR) की स्थिति आने पर मामलों (Cases) में हल करें।
c) तार्किक चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 4: দেখाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबंध तुल्य हैं:
(i) \( A \subset B \)
(ii) \( A - B = \phi \)
(iii) \( A \cup B = B \)
(iv) \( A \cap B = A \)
Answer:
हमें निम्नलिखित चक्र को सिद्ध करना है: (i) \( \iff \) (ii) \( \iff \) (iii) \( \iff \) (iv)
सबसे पहले दर्शाइए कि (i) \( \iff \) (ii):
माना \( A \subset B \)
दर्शना है: \( A - B = \phi \)
यदि संभव हो तो माना \( A - B \neq \phi \)
इसका तात्पर्य यह है कि कोई अवयव \( x \in A \) ऐसा है कि \( x \notin B \)
परंतु यह इस बात का विरोधाभास है कि \( A \subset B \)
अतः \( A - B = \phi \)
विलोमः माना \( A - B = \phi \)
दर्शना है: \( A \subset B \)
माना \( x \in A \)
चूँकि \( A - B = \phi \), अतः \( x \notin A - B \), जिसका अर्थ है कि \( x \in B \)
अतः \( A \subset B \)
अब दर्शाइए कि (i) \( \iff \) (iii):
माना \( A \subset B \)
दर्शना है: \( A \cup B = B \)
स्पष्टतः \( B \subset A \cup B \) हमेशा सत्य है।
अब माना \( x \in A \cup B \)
तब \( x \in A \) या \( x \in B \)
यदि \( x \in A \), तो चूँकि \( A \subset B \), इसलिए \( x \in B \)
यदि \( x \in B \), तो \( x \in B \) है ही
अतः दोनों ही स्थितियों में \( x \in B \)
इसलिए \( A \cup B \subset B \)
अतः \( A \cup B = B \)
विलोम रूप से, यदि \( A \cup B = B \), तो \( A \subset B \) स्वतः सिद्ध होता है।
इसी प्रकार, अन्य प्रतिबंधों (i) \( \iff \) (iv) को भी सिद्ध किया जा सकता है।
मुख्य बिंदु:
• तुल्यता (Equivalence) सिद्ध करने के लिए एक चक्र या दोनों तरफ के निहितार्थ सिद्ध किए जाते हैं।
• समुच्चय अंतर और वेन आरेख की अवधारणा का तार्किक उपयोग किया गया है।
• विरोधाभास विधि का प्रयोग सुगमता के लिए किया गया है।
आम गलतियाँ:
• सभी चारों को अलग-अलग बिना चक्र के सिद्ध करना।
• अंतर समुच्चय की परिभाषा में गलती करना।
• उपसमुच्चय साबित करते समय दोनों पक्षों को स्पष्ट न करना।
Exam Tips:
a) तुल्यता के प्रश्नों में चक्रिय विधि (i) \( \implies \) (ii) \( \implies \) (iii) \( \implies \) (iv) \( \implies \) (i) का पालन करें।
b) प्रत्येक चरण में मान्य परिभाषाओं का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) प्रतीकों का सही और साफ सुथरा प्रयोग करें।
Question 5: दर्शाइए कि यदि \( A \subset B \), तो \( C - B \subset C - A \).
Answer:
हमें दिया गया है: \( A \subset B \)
हमें दर्शाना है: \( C - B \subset C - A \)
मान लीजिए \( x \in C - B \)
तब समुच्चय अंतर की परिभाषा से:
\( x \in C \) और \( x \notin B \)
चूँकि \( A \subset B \) दिया गया है, यदि \( x \in A \) होता, तो \( x \in B \) भी होना चाहिए था।
परंतु \( x \notin B \) है, इसलिए \( x \notin A \)
अतः हमारे पास है: \( x \in C \) और \( x \notin A \)
परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है:
\( x \in C - A \)
चूँकि \( C - B \) का प्रत्येक अवयव \( C - A \) में भी है,
अतः \( C - B \subset C - A \)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय के अंतर की परिभाषा \( x \in (X - Y) \implies x \in X \text{ तथा } x \notin Y \) का प्रयोग किया गया है।
• प्रतिधनात्मक (Contrapositive) तर्क का उपयोग करके उपपत्ति दी गई है।
• उपसमुच्चय की परिभाषा को अंतिम चरण में स्थापित किया गया है।
आम गलतियाँ:
• समुच्चय अंतर के गुणों को उलटा लिख देना।
• दिए गए प्रतिबंध \( A \subset B \) का सही जगह उपयोग न करना।
• तत्वों के तार्किक संबंध में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) हमेशा मानकर शुरू करें कि एक यादृच्छिक तत्व \( x \) पहले समुच्चय में है।
b) दिए गए प्रतिबंधों का उपयोग बीच के चरणों में सावधानी से करें।
c) अंत में उपसमुच्चय का प्रतीक \( \subset \) लगाकर निष्कर्ष लिखें।
Question 6: किन्हीं दो समुच्चयों \( A \) तथा \( B \) के लिए सिद्ध कीजिए कि, \( A = (A \cap B) \cup (A - B) \) और \( A \cup (B - A) = (A \cup B) \).
Answer:
भाग I: सिद्ध करना है कि \( A = (A \cap B) \cup (A - B) \)
मान लीजिए \( x \in A \)
तत्व \( x \) या तो \( B \) में होगा या \( B \) में नहीं होगा।
स्थिति I: यदि \( x \in B \)
तब \( x \in A \) और \( x \in B \), जिसका अर्थ है कि \( x \in (A \cap B) \)
अतः \( x \in (A \cap B) \cup (A - B) \)
स्थिति II: यदि \( x \notin B \)
तब \( x \in A \) और \( x \notin B \), जिसका अर्थ है कि \( x \in (A - B) \)
अतः \( x \in (A \cap B) \cup (A - B) \)
दोनों ही स्थितियों से स्पष्ट है कि \( A \subset (A \cap B) \cup (A - B) \)
विलोम रूप से, यदि \( x \in (A \cap B) \cup (A - B) \), तो सरल हल द्वारा यह \( A \) में प्राप्त होता है।
अतः \( A = (A \cap B) \cup (A - B) \)
भाग II: सिद्ध करना है कि \( A \cup (B - A) = A \cup B \)
मान लीजिए \( x \in A \cup (B - A) \)
तब \( x \in A \) या \( x \in (B - A) \)
यदि \( x \in A \), तो निश्चित रूप से \( x \in A \cup B \)
यदि \( x \in (B - A) \), तो \( x \in B \) और \( x \notin A \), जिसका अर्थ है कि \( x \in B \), अतएव \( x \in A \cup B \)
इस प्रकार \( A \cup (B - A) \subset A \cup B \)
इसी प्रकार, दूसरी ओर से भी सिद्ध किया जा सकता है कि \( A \cup B \subset A \cup (B - A) \)
अतः \( A \cup (B - A) = A \cup B \)
मुख्य बिंदु:
• दो भागों वाले इस प्रश्न में प्रत्येक भाग के लिए समुच्चय समानता के नियमों का पालन किया गया है।
• मामलों (Cases) में विभाजन करके उपपत्ति को सरल बनाया गया है।
• संघ, सर्वनिष्ठ और अंतर के मूलभूत नियमों का अनुप्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• दोनों भागों को एक ही चरण में मिलाने की कोशिश करना।
• स्थितियों के चयन में त्रुटि करना।
• उपसमुच्चय की दोनों दिशाओं को सिद्ध न करना।
Exam Tips:
a) प्रश्न के दोनों भागों को अलग-अलग headings डालकर हल करें।
b) मामलों (Cases) का स्पष्ट उल्लेख करें ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
c) प्रत्येक भाग के अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें।
Question 7: समुच्चयों के गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
(i) \( A \cup (A \cap B) = A \)
(ii) \( A \cap (A \cup B) = A \)
Answer:
(i) सिद्ध करना है: \( A \cup (A \cap B) = A \)
हम जानते हैं कि \( A \subset A \)
अतः \( A \cap B \subset A \) (सर्वनिष्ठ का गुण)
इसलिए, \( A \cup (A \cap B) \subset A \) --- (1)
तथा, \( A \subset A \cup (A \cap B) \) --- (2)
समीकरण (1) और (2) से:
\( A \cup (A \cap B) = A \)
(ii) सिद्ध करना है: \( A \cap (A \cup B) = A \)
वितरण नियम का प्रयोग करने पर:
\( A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B) \)
चूँकि \( A \cap A = A \), अतः:
\(= A \cup (A \cap B) \)
भाग (i) से हम जानते हैं कि \( A \cup (A \cap B) = A \)
अतः \( A \cap (A \cup B) = A \)
मुख्य बिंदु:
• बीजगणितीय समुच्चयों के नियमों (जैसे वितरण नियम, सर्वसमिका नियम) का प्रयोग किया गया है।
• समीकरणों की समानता दिखाने के लिए दोनों तरफ के उपसमुच्चय सिद्ध किए गए हैं।
• अवशोषण नियम (Absorption Law) का प्रत्यक्ष उपयोग हुआ है।
आम गलतियाँ:
• वितरण नियम लगाते समय संक्रियाओं (Operations) के क्रम में गलती करना।
• केवल एक तरफ से हल करके छोड़ देना।
• नियमों का नाम या संदर्भ स्पष्ट न करना।
Exam Tips:
a) समुच्चय के बीजगणितीय नियमों को अच्छी तरह याद रखें।
b) चरण-दर-चरण समीकरण संख्या डालकर हल करें।
c) वितरण नियम का प्रयोग करते समय कोष्ठकों का ध्यान रखें।
Question 8: दिखाइए कि \( A \cap B = A \cap C \) का तात्पर्य \( B = C \) आवश्यक रूप से नहीं होता है।
Answer:
इसे एक प्रति-उदाहरण (Counter-example) द्वारा दर्शाया जा सकता है।
माना समुच्चय \( A = \{0, 1\} \)
माना समुच्चय \( B = \{0, 2, 3\} \)
माना समुच्चय \( C = \{0, 4, 5\} \)
अब इनके सर्वनिष्ठ ज्ञात करते हैं:
\( A \cap B = \{0, 1\} \cap \{0, 2, 3\} = \{0\} \)
\( A \cap C = \{0, 1\} \cap \{0, 4, 5\} = \{0\} \)
अतः \( A \cap B = A \cap C = \{0\} \)
परंतु, समुच्चयों को देखने पर स्पष्ट है कि \( B \neq C \) (क्योंकि \( 2 \in B \) किन्तु \( 2 \notin C \))
अतः यह सिद्ध होता है कि \( A \cap B = A \cap C \) होने पर आवश्यक नहीं है कि \( B = C \) हो।
मुख्य बिंदु:
• इस प्रकार के प्रश्नों में एक उपयुक्त प्रति-उदाहरण देना ही सबसे प्रभावी विधि है।
• सर्वनिष्ठ संक्रिया के परिणाम समान होने पर भी मूल समुच्चय भिन्न हो सकते हैं।
• काउंटर-एग्जांपल के सभी अवयवों की जाँच करनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• ऐसे कथनों को सिद्ध करने के लिए सामान्य उपपत्ति देने का प्रयास करना जो संभव नहीं है।
• प्रति-उदाहरण लेते समय समुच्चयों में कोई समानता न छोड़ना।
• निष्कर्ष स्पष्ट रूप से न लिखना।
Exam Tips:
a) 'आवश्यक रूप से नहीं होता है' वाले कथनों के लिए हमेशा काउंटर-उदाहरण चुनें।
b) उदाहरण में छोटे और स्पष्ट संख्याओं का प्रयोग करें।
c) अंत में यह जरूर दिखाएं कि क्यों \( B \neq C \) है।
Question 9: मान लीजिए कि \( A \) और \( B \) समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय \( X \) के लिए \( A \cap X = B \cap X = \phi \) तथा \( A \cup X = B \cup X \), तो सिद्ध कीजिए कि \( A = B \)
(संकेत: \( A = A \cap (A \cup X), B = B \cap (B \cup X) \) और वितरण नियम का प्रयोग कीजिए)।
Answer:
हमें दिया गया है:
\( A \cap X = B \cap X = \phi \) और \( A \cup X = B \cup X \)
हमें सिद्ध करना है: \( A = B \)
संकेत के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
\( A = A \cap (A \cup X) \)
चूँकि \( A \cup X = B \cup X \) दिया गया है, इसलिए प्रतिस्थापित करने पर:
\( A = A \cap (B \cup X) \)
अब वितरण नियम का प्रयोग करने पर:
\( A = (A \cap B) \cup (A \cap X) \)
दिया गया है कि \( A \cap X = \phi \), अतः:
\( A = (A \cap B) \cup \phi \)
\( A = A \cap B \) --- (1)
इसी प्रकार, दूसरे पद के लिए:
\( B = B \cap (B \cup X) \)
\( B = B \cap (A \cup X) \) (चूँकि \( B \cup X = A \cup X \))
वितरण नियम से:
\( B = (B \cap A) \cup (B \cap X) \)
चूँकि \( B \cap X = \phi \), अतः:
\( B = (B \cap A) \cup \phi \)
\( B = A \cap B \) --- (2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि:
\( A = B \)
मुख्य बिंदु:
• संकेत का सटीक उपयोग करते हुए समीकरणों को आगे बढ़ाया गया है।
• वितरण नियम \( P \cap (Q \cup R) = (P \cap Q) \cup (P \cap R) \) का अनुप्रयोग किया गया है।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) के गुणों का उपयोग करके पदों को सरल किया गया है।
आम गलतियाँ:
• संकेत का पालन न करके अपनी विधि से उलझ जाना।
• वितरण नियम लगाते समय कोष्ठक की गलती करना।
• समीकरण (1) और (2) की तुलना अंत में न करना।
Exam Tips:
a) यदि प्रश्न में संकेत (Hint) दिया गया है, तो उसका अवश्य पालन करें।
b) वितरण और साहचर्य नियमों को लिखते समय सावधानी बरतें।
c) अंत में समीकरणों की तुलना करके मुख्य परिणाम पर पहुँचें।
Question 10: ऐसे समुच्चय \( A, B \) और \( C \) ज्ञात कीजिए ताकि \( A \cap B, B \cap C \) तथा \( A \cap C \) अरิก्व समुच्चय हों और \( A \cap B \cap C = \phi \).
Answer:
हमें ऐसे तीन समुच्चय \( A, B \) और \( C \) ढूँढ़ने हैं जिनके युग्मों का सर्वनिष्ठ अरिक्त (non-empty) हो, परंतु तीनों का उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ रिक्त (\( \phi \)) हो।
माना समुच्चय निम्नलिखित हैं:
\( A = \{0, 1\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( C = \{2, 0\} \)
अब इनके युग्मों के सर्वनिष्ठ ज्ञात करते हैं:
\( A \cap B = \{1\} \) (जो कि अरिक्त समुच्चय है)
\( B \cap C = \{2\} \) (जो कि अरिक्त समुच्चय है)
\( A \cap C = \{0\} \) (जो कि अरिक्त समुच्चय है)
अब तीनों का सर्वनिष्ठ ज्ञात करते हैं:
\( A \cap B \cap C = \{0, 1\} \cap \{1, 2\} \cap \{2, 0\} = \phi \)
अतः ये समुच्चय दी गई शर्त को संतुष्ट करते हैं।
मुख्य बिंदु:
• ऐसे प्रश्नों में ऐसे उदाहरण चुने जाते हैं जो चक्रीय (Cyclic) रूप से एक-दूसरे से जुड़े हों।
• अरिक्त समुच्चय का अर्थ है कि समुच्चय में कम से कम एक अवयव अवश्य होना चाहिए।
• तीनों का उभयनिष्ठ अवयव कुछ भी न हो, यह सुनिश्चित किया गया है।
आम गलतियाँ:
• ऐसे समुच्चय चुन लेना जिनमें तीनों का सर्वनिष्ठ भी अरिक्त हो जाए।
• युग्मों के सर्वनिष्ठ को रिक्त छोड़ देना।
• उदाहरण में समुच्चयों को परिभाषित करने में भूल करना।
Exam Tips:
a) चक्रीय प्रकार के अवयवों वाले समुच्चय (जैसे \( \{0,1\}, \{1,2\}, \{2,0\} \)) ऐसे प्रश्नों के लिए सर्वोत्तम होते हैं।
b) प्रत्येक शर्त की अलग-अलग जाँच करके दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि सभी शर्तें पूरी हो रही हैं।
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