NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 01 Sets (समुच्चय) Exercise 1.5 in Hindi

Question 1: मान लीजिए कि \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{2, 4, 6, 8\} \) तथा \( C = \{3, 4, 5, 6\} \) तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A' \)
(ii) \( B' \)
(iii) \( (A \cup C)' \)
(iv) \( (A \cup B)' \)
(v) \( (A')' \)
(vi) \( (B - C)' \)

Answer:

दिया गया सार्वत्रिक समुच्चय \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) है।
(i) \( A' = U - A \)
\( A' = \{5, 6, 7, 8, 9\} \)
(ii) \( B' = U - B \)
\( B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
(iii) पहले \( A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) ज्ञात करते हैं।
अतः \( (A \cup C)' = U - (A \cup C) = \{7, 8, 9\} \)
(iv) पहले \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} \) ज्ञात करते हैं।
अतः \( (A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{5, 7, 9\} \)
(v) चूंकि \( A' = \{5, 6, 7, 8, 9\} \) है।
अतः \( (A')' = U - A' = \{1, 2, 3, 4\} = A \)
(vi) पहले \( B - C = \{2, 8\} \) ज्ञात करते हैं।
अतः \( (B - C)' = U - (B - C) = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी समुच्चय का पूरक समुच्चय \( A' \) वह समुच्चय है जिसमें \( U \) के वे अवэлемент होते हैं जो \( A \) में नहीं हैं।
• पूरक नियम के अनुसार \( (A')' = A \) होता है।
• अंतर समुच्चय \( B - C \) में वे अवयव होते हैं जो \( B \) में हैं लेकिन \( C \) में नहीं हैं।
• सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) सभी उपसमुच्चयों का आधार होता है।

आम गलतियाँ:

• \( U \) के अवयवों में से समुच्चय के अवयव घटाते समय संख्याएं भूल जाना।
• \( A \cup B \) निकालते समय उभयवैध अवयवों को दो बार लिख देना।
• \( (B - C)' \) निकालते समय गलत अंतर समुच्चय का पूरक निकालना।

Exam Tips:

a) पूरक समुच्चय निकालते समय हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) से तुलना करें।
b) संघ (Union) और अंतर (Difference) की संक्रियाओं को पहले हल करें।
c) अंतिम उत्तर को समुच्चय कोष्ठक \( \{\} \) में ही लिखें।

Question 2: यदि \( U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\} \), तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए:
(i) \( A = \{a, b, c\} \)
(ii) \( B = \{d, e, f, g\} \)
(iii) \( C = \{a, c, e, g\} \)
(iv) \( D = \{f, g, h, a\} \)

Answer:

दिया गया सार्वत्रिक समुच्चय \( U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\} \) है।
(i) \( A = \{a, b, c\} \)
\( A' = U - A = \{d, e, f, g, h\} \)
(ii) \( B = \{d, e, f, g\} \)
\( B' = U - B = \{a, b, c, h\} \)
(iii) \( C = \{a, c, e, g\} \)
\( C' = U - C = \{b, d, f, h\} \)
(iv) \( D = \{f, g, h, a\} \)
\( D' = U - D = \{b, c, d, e\} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी समुच्चय \( X \) का पूरक \( X' = \{x : x \in U \text{ और } x \notin X\} \) होता है।
• वर्णमाला के क्रम में अवयव लिखने से उत्तर स्पष्ट रहता है।
• \( U \) के सभी अवयव दिए गए समुच्चय और उसके पूरक में विभाजित होते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( U \) के उन अवयवों को पूरक में शामिल कर देना जो दिए गए समुच्चय में पहले से मौजूद हैं।
• वर्णमाला के अक्षरों को लिखने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) \( U \) के अवयवों को एक रफ पेज पर टिक करते जाएं जो समुच्चय में आ चुके हैं।
b) बचे हुए अवयवों को ही पूरक समुच्चय में लिखें।
c) सभी भागों के लिए चरण-दर-चरण हल प्रस्तुत करें।

Question 3: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i) \(\{x : x \text{ एक प्राकृत सम संख्या है}\}\)
(ii) \(\{x : x \text{ एक प्राकृत विषम संख्या है}\}\)
(iii) \(\{x : x \text{ संख्या 3 का एक धन गुणज है}\}\)
(iv) \(\{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\}\)
(v) \(\{x : x, 3 \text{ और } 5 \text{ से विभाजित होने वाली एक संख्या है}\}\)
(vi) \(\{x : x \text{ एक पूर्ण वर्ग संख्या है}\}\)
(vii) \(\{x : x \text{ एक पूर्ण घन संख्या है}\}\)
(viii) \(\{x : x + 5 = 8\}\)
(ix) \(\{x : x + 5 = 9\}\)
(x) \(\{x : x \ge 7\}\)
(xi) \(\{x : x \in \mathbb{N} \text{ और } 2x + 1 > 10\}\)

Answer:

यहाँ सार्वत्रिक समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय \( N = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \) है।
(i) यदि \( A = \{x : x \text{ एक प्राकृत सम संख्या है}\} \), तो
\( A' = \{x : x \text{ एक प्राकृत विषम संख्या है}\} \)
(ii) यदि \( B = \{x : x \text{ एक प्राकृत विषम संख्या है}\} \), तो
\( B' = \{x : x \text{ एक प्राकृत सम संख्या है}\} \)
(iii) यदि \( C = \{x : x \text{ संख्या 3 का एक धन गुणज है}\} \), तो
\( C' = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ और } x \text{ संख्या 3 का गुणज नहीं है}\} \)
(iv) यदि \( D = \{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} \), तो
\( D' = \{x : x \text{ एक भाज्य संख्या है तथा } x \neq 1\} \)
(v) यदि \( E = \{x : x, 3 \text{ और } 5 \text{ से विभाजित होने वाली संख्या है}\} \), तो
\( E' = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है जो } 3 \text{ और } 5 \text{ से विभाजित नहीं है}\} \)
(vi) यदि \( F = \{x : x \text{ एक पूर्ण वर्ग संख्या है}\} \), तो
\( F' = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है}\} \)
(vii) यदि \( G = \{x : x \text{ एक पूर्ण घन संख्या है}\} \), तो
\( G' = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और पूर्ण घन नहीं है}\} \)
(viii) यदि \( H = \{x : x + 5 = 8\} \Rightarrow \{3\} \), तो
\( H' = \{x \in \mathbb{N} \text{ और } x \neq 3\} \)
(ix) यदि \( I = \{x : x + 5 = 9\} \Rightarrow \{4\} \), तो
\( I' = \{x \in \mathbb{N} \text{ और } x \neq 4\} \)
(x) यदि \( J = \{x : x \ge 7\} \), तो
\( J' = \{x \in \mathbb{N} \text{ और } x < 7\} \)
(xi) यदि \( K = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ और } 2x + 1 > 10\} \Rightarrow \{x : x \in \mathbb{N} \text{ और } x > 4.5\} \), तो
\( K' = \{x \in \mathbb{N} \text{ और } x \le 4\} \) (चूंकि \( x \in \mathbb{N} \))

मुख्य बिंदु:

• समुच्चय निर्माण रूप में पूरक लिखते समय कथन का निषेध (Negation) किया जाता है।
• समीकरण हल करके पहले समुच्चय के अवयव या सरल प्रतिबंध ज्ञात करें।
• प्राकृत संख्याओं के संदर्भ में \( x \ge 7 \) का पूरक \( x < 7 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• अभाज्य संख्या के पूरक में संख्या 1 को छोड़ देना या गलत तरीके से शामिल करना।
• असमानता के चिह्नों (\( >, <, \ge, \le \)) को बदलते समय गलती करना।
• समीकरण वाले प्रश्नों में समुच्चय रूप के बजाय केवल संख्या लिख देना।

Exam Tips:

• समुच्चय निर्माण रूप (Set-builder form) में ही उत्तर दें यदि प्रश्न उसी रूप में पूछा गया हो।
• असमिकाओं (Inequalities) को हल करते समय \( x \in \mathbb{N} \) का विशेष ध्यान रखें।
• प्रत्येक उप-प्रश्न को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।

Question 4: यदि \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) और \( B = \{2, 3, 5, 7\} \), तो सत्यापित कीजिए कि:
(i) \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
(ii) \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)

Answer:

दिया गया है: \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) और \( B = \{2, 3, 5, 7\} \)
(i) \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) का सत्यापन:
बायां पक्ष (LHS): \( A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
\( (A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1, 9\} \)
दायां पक्ष (RHS): \( A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
\( B' = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \)
\( A' \cap B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 9\} \)
चूंकि \( \text{LHS} = \text{RHS} \), अतः \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) सत्यापित हुआ।
(ii) \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) का सत्यापन:
बायां पक्ष (LHS): \( A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{2\} \)
\( (A \cap B)' = U - (A \cap B) = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
दायां पक्ष (RHS): \( A' \cup B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
चूंकि \( \text{LHS} = \text{RHS} \), अतः \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) सत्यापित हुआ।

मुख्य बिंदु:

• यह डी मॉर्गन नियम (De Morgan's Laws) को सत्यापित करता है।
• पहला नियम: \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
• दूसरा नियम: \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
• सत्यापन वाले प्रश्नों में LHS और RHS को अलग-अलग हल करके समान दिखाना होता है।

आम गलतियाँ:

• संघ (\( \cup \)) और सर्वनिष्ठ (\( \cap \)) के प्रतीकों में भ्रमित होना।
• सार्वत्रिक समुच्चय से घटाते समय अवयव छूट जाना।

Exam Tips:

a) डी मॉर्गन के नियमों के नाम याद रखें, यह बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी काम आते हैं।
b) LHS और RHS को स्पष्ट रूप से लिखकर अंत में दिखाएं कि दोनों बराबर हैं।
c) गणना की जाँच पुनः अवश्य करें।

Question 5: निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपयुक्त वेन आरेख खींचिए:
(i) \( (A \cup B)' \)
(ii) \( A' \cap B' \)
(iii) \( (A \n B)' \) [नोट: यहाँ \( (A \cap B)' \) है]
(iv) \( A' \cup B' \)

Answer:

वेन आरेख बनाने के लिए एक आयत सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) को प्रदर्शित करता है और इसके अंदर दो वृत्त \( A \) तथा \( B \) एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए बनाए जाते हैं।
(i) \( (A \cup B)' \): इसमें \( A \) और \( B \) दोनों वृत्तों के बाहर का संपूर्ण क्षेत्र छायांकित (shaded) किया जाता है, लेकिन \( U \) के अंदर का भाग होता है।
(ii) \( A' \cap B' \): यह डी मॉर्गन नियम के अनुसार \( (A \cup B)' \) के बराबर है, अतः इसमें भी \( A \) और \( B \) के बाहर का क्षेत्र छायांकित होता है।
(iii) \( (A \cap B)' \): इसमें केवल \( A \) और \( B \) के उभयनिष्ठ (common) भाग को छोड़कर शेष पूरा आयत \( U \) छायांकित किया जाता है।
(iv) \( A' \cup B' \): यह डी मॉर्गन नियम के अनुसार \( (A \cap B)' \) के बराबर है, अतः इसमें भी \( A \cap B \) के उभयनिष्ठ भाग को छोड़कर शेष सभी क्षेत्र छायांकित होते हैं।

मुख्य बिंदु:

• वेन आरेख में आयत सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) को और वृत्त उपसमुच्चयों को दर्शाते हैं।
• छायांकित भाग (Shaded region) वांछित समुच्चय को निरूपित करता है।
• \( (A \cup B)' \) और \( A' \cap B' \) के वेन आरेख एकसमान होते हैं।

आम गलतियाँ:

• गलत क्षेत्रों को छायांकित कर देना।
• सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) का बॉक्स बनाना भूल जाना।
• वृत्तों को प्रतिच्छेदी (intersecting) के बजाय अलग-अलग बना देना।

Exam Tips:

a) पेंसिल और स्केल का उपयोग करके साफ और स्पष्ट वेन आरेख बनाएं।
b) छायांकित क्षेत्र को स्पष्ट रूप से लेबल करें।
c) डी मॉर्गन के नियमों के वेन आरेख की समानता को समझकर आरेख बनाएं।

Question 6: मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) है। यदि \( A \) उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमें कम से कम एक कोण \( 60^\circ \) से भिन्न है, तो \( A' \) क्या है?

Answer:

दिया गया है कि सार्वत्रिक समुच्चय \( U \) समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय है।
समुच्चय \( A \) उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमें कम से कम एक कोण \( 60^\circ \) से भिन्न (अलग) है।
हमें \( A' \) (पूरक समुच्चय) ज्ञात करना है:
\( A' = U - A \)
चूंकि \( A \) में वे त्रिभुज हैं जिनके सभी कोण \( 60^\circ \) के नहीं हैं, इसलिए \( A' \) में वे त्रिभुज होंगे जिनके सभी कोण \( 60^\circ \) के हैं।
ऐसे त्रिभुज जिनके तीनों कोण \( 60^\circ \) होते हैं, वे समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangles) कहलाते हैं।
अतः \( A' = \text{सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है।} \)

मुख्य बिंदु:

• पूरक समुच्चय \( A' \) उन सभी अवयवों का संग्रह है जो \( U \) में हैं परन्तु \( A \) में नहीं हैं।
• 'कम से कम एक कोण \( 60^\circ \) से भिन्न है' का पूरक 'कोई भी कोण \( 60^\circ \) से भिन्न नहीं है अर्थात् सभी कोण \( 60^\circ \) के हैं' होगा।
• तीनों कोण \( 60^\circ \) होने पर त्रिभुज समबाहु होता है।

आम गलतियाँ:

• कथन को ठीक से समझे बिना गलत निष्कर्ष निकालना।
• समबाहु त्रिभुज के स्थान पर समद्विबाहु त्रिभुज लिख देना।

Exam Tips:

a) भाषा आधारित समुच्चय के प्रश्नों को ध्यानपूर्वक पढ़ें।
b) विपरीत स्थिति (Negation) को समझकर ही अंतिम समुच्चय का नाम लिखें।
c) उत्तर को समुच्चय के रूप में स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 7: निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) \( A \cup A' = \dots \)
(ii) \( \phi' \cap A = \dots \)
(iii) \( A \cap A' = \dots \)
(iv) \( U' \cap A = \dots \)

Answer:

(i) \( A \cup A' = U \)
(स्पष्टीकरण: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है)
(ii) \( \phi' \cap A = A \)
(स्पष्टीकरण: चूंकि \( \phi' = U \) और \( U \cap A = A \))
(iii) \( A \cap A' = \phi \)
(स्पष्टीकरण: किसी समुच्चय और उसके पूरक में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं होता है)
(iv) \( U' \cap A = \phi \)
(स्पष्टीकरण: चूंकि \( U' = \phi \) और \( \phi \cap A = \phi \))

मुख्य बिंदु:

• पूरक नियम (Complement laws): \( A \cup A' = U \) और \( A \cap A' = \phi \)
• रिक्त समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय होता है: \( \phi' = U \)
• सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक रिक्त समुच्चय होता है: \( U' = \phi \)

आम गलतियाँ:

• \( A \cup A' \) में \( \phi \) लिख देना।
• \( A \cap A' \) में \( U \) लिख देना।
• रिक्त समुच्चय और सार्वत्रिक समुच्चय के पूरक में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) समुच्चयों के मूलभूत गुणधर्मों (Properties) को याद रखें।
b) रिक्त स्थान भरने वाले प्रश्नों में केवल सही मान लिखें।
c) वेन आरेख की सहायता से इन परिणामों की सत्यता की जाँच मन में कर लें।