NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 01 Sets (समुच्चय) Exercise 1.4 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए:
(i) \( X = \{1, 3, 5\}, Y = \{1, 2, 3\} \)
(ii) \( A = \{a, e, i, o, u\}, B = \{a, b, c\} \)
(iii) \( A = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 3 \text{ का गुणज है}\}, B = \{x : x \text{ संख्या } 6 \text{ से कम एक प्राकृत संख्या है}\}
(iv) \( A = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 1 < x \le 6\}, B = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 6 < x < 10\}
(v) \( A = \{1, 2, 3\}, B = \phi \)

Answer:

दिए गए समुच्चय युग्मों का सम्मिलन (Union) ज्ञात करने के लिए दोनों समुच्चयों के सभी अवयवों को एकसाथ लिखा जाता है और उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया जाता है।
(i) \( X \cup Y = \{1, 2, 3, 5\} \)
(ii) \( A \cup B = \{a, b, c, e, i, o, u\} \)
(iii) यहाँ \( A = \{3, 6, 9, 12, \dots\} \) और \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) है।
इसलिए, \( A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 3, 6, 9, 12, \dots\} \)
इसे समुच्चय निर्माण रूप में \( \{x : x = 1, 2, 4, 5 \text{ या } 3 \text{ का गुणज है}\} \) लिख सकते हैं।
(iv) यहाँ \( A = \{2, 3, 4, 5, 6\} \) और \( B = \{7, 8, 9\} \) है।
इसलिए, \( A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
(v) \( A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \phi = \{1, 2, 3\} \)

मुख्य बिंदु:

• समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ दोनों समुच्चयों के सभी अवयवों को मिलाना है।
• उभयनिष्ठ (Common) अवयवों को परिणामी समुच्चय में केवल एक बार लिखा जाता है।
• किसी समुच्चय का रिक्त समुच्चय \( \phi \) के साथ सम्मिलन वही समुच्चय होता है।

आम गलतियाँ:

• उभयनिष्ठ अवयवों को दो बार लिख देना।
• समुच्चय निर्माण रूप को रोस्टर रूप में बदलते समय सीमा का ध्यान न रखना।
• रिक्त समुच्चय को जोड़ते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा रोस्टर रूप में उत्तर देते समय अवयवों को बढ़ते क्रम में लिखें।
b) समुच्चय निर्माण रूप में दी गई शर्त को ध्यान से समझें।
c) प्रतीक \( \cup \) का सही प्रयोग करें।

Question 2: मान लीजिए कि \( A = \{a, b\}, B = \{a, b, c\} \), क्या \( A \subset B \) ? \( A \cup B \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ समुच्चय \( A = \{a, b\} \) और \( B = \{a, b, c\} \) दिए गए हैं।
समुच्चय \( A \) के सभी अवयव समुच्चय \( B \) में उपस्थित हैं, इसलिए \( A \subset B \) है।
अब, \( A \cup B = \{a, b\} \cup \{a, b, c\} \)
\( A \cup B = \{a, b, c\} = B \)

मुख्य बिंदु:

• यदि \( A \subset B \) हो, तो \( A \cup B = B \) होता है।
• उपसमुच्चय की परिभाषा यह है कि \( A \) का प्रत्येक अवयव \( B \) में होना चाहिए।
• सम्मिलन में बड़े समुच्चय के सभी अवयव आ जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( A \subset B \) और \( A \cup B \) को आपस में मिला देना।
• \( c \) अवयव को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) उपसमुच्चय की जाँच स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
b) परिणामों को करली ब्रैकेट्स \( \{ \} \) के अंदर ही लिखें।
c) कारण सहित उत्तर दें।

Question 3: यदि \( A \) और \( B \) दो ऐसे समुच्चय हैं कि \( A \subset B \), तो \( A \cup B \) क्या है?

Answer:

यदि \( A \) और \( B \) दो ऐसे समुच्चय हैं कि \( A \subset B \), तो इसका अर्थ है कि समुच्चय \( A \) के सभी अवयव समुच्चय \( B \) में उपस्थित हैं।
अतः जब हम \( A \) और \( B \) का सम्मिलन ज्ञात करते हैं, तो हमें समुच्चय \( B \) के सभी अवयव प्राप्त होते हैं।
इसलिए, \( A \cup B = B \)

मुख्य बिंदु:

• \( A \subset B \) होने पर \( A \) छोटा समुच्चय होता है और \( B \) बड़ा समुच्चय होता है।
• दो समुच्चयों के सम्मिलन में बड़ा समुच्चय प्राप्त होता है यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो।
• परिणाम हमेशा \( B \) होगा।

आम गलतियाँ:

• उत्तर में \( A \) लिख देना।
• उपसमुच्चय की शर्त को उल्टा समझ लेना।

Exam Tips:

a) सिद्धांत को वेन आरेख बनाकर समझ सकते हैं।
b) संक्षिप्त और सटीक उत्तर लिखें।
c) प्रतीकों का सही उपयोग करें।

Question 4: यदि \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{3, 4, 5, 6\}, C = \{5, 6, 7, 8\} \) और \( D = \{7, 8, 9, 10\} \), तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A \cup B \)
(ii) \( A \cup C \)
(iii) \( B \cup C \)
(iv) \( B \cup D \)
(v) \( A \cup B \cup C \)
(vi) \( A \cup B \cup D \)
(vii) \( B \cup C \cup D \)

Answer:

(i) \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(ii) \( A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{5, 6, 7, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(iii) \( B \cup C = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(iv) \( B \cup D = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{7, 8, 9, 10\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(v) \( A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(vi) \( A \cup B \cup D = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{7, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(vii) \( B \cup C \cup D = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} \cup \{7, 8, 9, 10\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन समुच्चयों का सम्मिलन ज्ञात करते समय भी सभी अवयवों को एक बार ही लिखा जाता है।
• साहचर्य नियम (Associative Law) लागू होता है: \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)。
• अवयवों के क्रम का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

आम गलतियाँ:

• किसी अवयव को दो बार लिख देना।
• दिए गए समुच्चयों के मान गलत उतार लेना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक भाग को अलग-अलग हल करें ताकि गलती न हो।
b) क्रमिक रूप से बढ़ते क्रम में अवयव लिखें।
c) गणना की जाँच पुनः करें।

Question 5: यदि \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{3, 4, 5, 6\}, C = \{5, 6, 7, 8\} \) और \( D = \{7, 8, 9, 10\} \), तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A \cap B \)
(ii) \( A \cap C \)
(iii) \( B \cap C \)
(iv) \( B \cap D \)
(v) \( A \cap B \cap C \)
(vi) \( A \cap B \nd D \)
(vii) \( B \cap C \cap D \)

Answer:

(i) \( A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\} \)
(ii) \( A \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5, 6, 7, 8\} = \phi \)
(iii) \( B \cap C = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{5, 6, 7, 8\} = \{5, 6\} \)
(iv) \( B \cap D = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{7, 8, 9, 10\} = \phi \)
(v) \( A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C = \{3, 4\} \cap \{5, 6, 7, 8\} = \phi \)
(vi) \( A \cap B \cap D = (A \cap B) \cap D = \{3, 4\} \cap \{7, 8, 9, 10\} = \phi \)
(vii) \( B \cap C \cap D = (B \cap C) \cap D = \{5, 6\} \cap \{7, 8, 9, 10\} = \phi \)

मुख्य बिंदु:

• सर्वनिष्ठ (Intersection) में केवल दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव आते हैं।
• यदि कोई भी अवयव उभयनिष्ठ न हो, तो परिणाम रिक्त समुच्चय \( \phi \) होता है।
• तीन समुच्चयों का सर्वनिष्ठ उनके युग्मों के सर्वनिष्ठ पर निर्भर करता है।

आम गलतियाँ:

• सर्वनिष्ठ में सभी अवयवों को मिला देना ( सम्मिलन समझ लेना )।
• रिक्त समुच्चय के स्थान पर शून्य \( \{0\} \) लिख देना।

Exam Tips:

a) \( \cap \) और \( \cup \) के अंतर को अच्छी तरह समझ लें।
b) यदि कोई उभयनिष्ठ अवयव न हो तो स्पष्ट रूप से \( \phi \) लिखें।
c) चरणों को स्पष्ट दिखाएँ।

Question 6: यदि \( A = \{3, 5, 7, 9, 11\}, B = \{7, 9, 11, 13\}, C = \{11, 13, 15\} \) और \( D = \{15, 17\} \); तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A \cap B \)
(ii) \( B \cap C \)
(iii) \( A \cap C \cap D \)
(iv) \( A \cap C \)
(v) \( B \cap D \)
(vi) \( A \cap (B \cup C) \)
(vii) \( A \cap D \)
(viii) \( A \cap (B \cup D) \)
(ix) \( (A \cap B) \cap (B \cup C) \)
(x) \( (A \cup D) \cap (B \cup C) \)

Answer:

(i) \( A \cap B = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13\} = \{7, 9, 11\} \)
(ii) \( B \cap C = \{7, 9, 11, 13\} \cap \{11, 13, 15\} = \{11, 13\} \)
(iii) \( A \cap C \cap D = (A \cap C) \cap D = \{11\} \cap \{15, 17\} = \phi \)
(iv) \( A \cap C = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{11, 13, 15\} = \{11\} \)
(v) \( B \cap D = \{7, 9, 11, 13\} \cap \{15, 17\} = \phi \)
(vi) \( B \cup C = \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
अतः \( A \cap (B \cup C) = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15\} = \{7, 9, 11\} \)
(vii) \( A \cap D = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{15, 17\} = \phi \)
(viii) \( B \cup D = \{7, 9, 11, 13, 15, 17\} \)
अतः \( A \cap (B \cup D) = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15, 17\} = \{7, 9, 11\} \)
(ix) \( A \cap B = \{7, 9, 11\} \) और \( B \cup C = \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
अतः \( (A \cap B) \cap (B \cup C) = \{7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15\} = \{7, 9, 11\} \)
(x) \( A \cup D = \{3, 5, 7, 9, 11, 15, 17\} \) और \( B \cup C = \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
अतः \( (A \cup D) \cap (B \cup C) = \{7, 9, 11, 15\} \)

मुख्य बिंदु:

• कोष्ठक (Brackets) वाले संक्रियाओं को पहले हल किया जाता है (Bodmas नियम के अनुसार)।
• सम्मिलन \( (\cup) \) और सर्वनिष्ठ \( (\cap) \) दोनों का एक साथ प्रयोग होने पर प्राथमिकता नियमों का पालन करें।
• उभयनिष्ठ अवयवों को बहुत सावधानी से छाँटें।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठक की संक्रिया को छोड़े बिना सीधे हल करने की कोशिश करना।
• गलत समुच्चय मान लिख लेना।

Exam Tips:

a) जटिल प्रश्नों को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करके हल करें।
b) प्रत्येक चरण का परिणाम अलग से लिखकर फिर अंतिम उत्तर निकालें।
c) अंत में उत्तर की पुनरावृत्ति करके जाँच लें।

Question 7: यदि \( A = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है}\}, B = \{x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है}\}, C = \{x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है}\} \) और \( D = \{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} \), तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A \cap B \)
(ii) \( A \cap C \)
(iii) \( A \cap D \)
(iv) \( B \cap C \)
(v) \( B \cap D \)
(vi) \( C \cap D \)

Answer:

दिए गए समुच्चय हैं:
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \)
\( B = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \)
\( C = \{1, 3, 5, 7, \dots\} \)
\( D = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\} \)
(i) \( A \cap B = B \) (क्योंकि सभी सम प्राकृत संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं)
(ii) \( A \cap C = C \) (क्योंकि सभी विषम प्राकृत संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं)
(iii) \( A \cap D = D \) (क्योंकि सभी अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं)
(iv) \( B \cap C = \phi \) (सम और विषम संख्याओं में कोई भी संख्या उभयनिष्ठ नहीं होती)
(v) \( B \cap D = \{2\} \) (केवल '2' एक ऐसी सम संख्या है जो अभाज्य भी है)
(vi) \( C \cap D = \{x : x \text{ एक विषम अभाज्य संख्या है}\} \)

मुख्य बिंदु:

• उपसमुच्चय का सर्वनिष्ठ छोटा समुच्चय होता है।
• सम और विषम संख्याओं का सर्वनिष्ठ हमेशा रिक्त समुच्चय होता है।
• संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

आम गलतियाँ:

• संख्या 2 को विषम या अभाज्य में गलत पहचानना।
• समुच्चय निर्माण रूप को समझने में भूल करना।

Exam Tips:

a) संख्याओं के प्रकार (सम, विषम, अभाज्य) की परिभाषाएँ स्पष्ट रखें।
b) यदि उत्तर समुच्चय निर्माण रूप में हो तो उसी रूप में दें।
c) तार्किक कारणों को स्पष्ट करें।

Question 8: निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) \( \{1, 2, 3, 4\} \) तथा \( \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 4 \le x \le 6\} \)
(ii) \( \{a, e, i, o, u\} \) तथा \( \{c, d, e, f\} \)
(iii) \( \{x : x \text{ एक सम पूर्णांक है}\} \) और \( \{x : x \text{ एक विषम पूर्णांक है}\} \)

Answer:

दो समुच्चय \( A \) और \( B \) असंयुक्त (Disjoint sets) कहलाते हैं यदि \( A \cap B = \phi \) हो।
(i) मान लीजिए \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) और \( B = \{4, 5, 6\} \)
यहाँ \( A \cap B = \{4\} \neq \phi \) है।
अतः दिए गए युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) मान लीजिए \( A = \{a, e, i, o, u\} \) और \( B = \{c, d, e, f\} \)
यहाँ \( A \cap B = \{e\} \neq \phi \) है (चूंकि 'e' दोनों में उभयनिष्ठ है)।
अतः दिए गए युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(iii) सम पूर्णांकों और विषम पूर्णांकों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं होता है।
अतः \( A \cap B = \phi \)
अतः दिए गए युग्म असंयुक्त समुच्चय हैं।

मुख्य बिंदु:

• असंयुक्त समुच्चय वे होते हैं जिनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय \( \phi \) होता है।
• यदि एक भी अवयव उभयनिष्ठ हो, तो वे असंयुक्त नहीं हैं।
• सम और विषम पूर्णांक कभी भी उभयनिष्ठ नहीं हो सकते।

आम गलतियाँ:

• सर्वनिष्ठ को ठीक से चेक न करना।
• असंयुक्त और संयुक्त की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) असंयुक्त सिद्ध करने के लिए दोनों का सर्वनिष्ठ \( \phi \) दिखाएँ।
b) यदि उभयनिष्ठ अवयव मिल जाए तो उसे लिखकर बताएँ कि यह असंयुक्त नहीं है।
c) परिभाषा का स्पष्ट उल्लेख करें।

Question 9: यदि \( A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}, B = \{4, 8, 12, 16, 20\}, C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}, D = \{5, 10, 15, 20\} \); तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) \( A - B \)
(ii) \( A - C \)
(iii) \( A - D \)
(iv) \( B - A \)
(v) \( C - A \)
(vi) \( D - A \)
(vii) \( B - C \)
(viii) \( B - D \)
(ix) \( C - B \)
(x) \( D - B \)
(xi) \( C - D \)
(xii) \( D - C \)

Answer:

समुच्चयों का अंतर \( A - B \) वह समुच्चय है जिसमें \( A \) के वे सभी अवयव होते हैं जो \( B \) में नहीं हैं।
(i) \( A - B = \{3, 6, 9, 15, 18, 21\} \) (चूंकि 12 दोनों में है, उसे हटा दिया गया)
(ii) \( A - C = \{3, 9, 15, 21\} \)
(iii) \( A - D = \{3, 6, 9, 12, 18, 21\} \)
(iv) \( B - A = \{4, 8, 16, 20\} \)
(v) \( C - A = \{2, 4, 8, 10, 14, 16\} \)
(vi) \( D - A = \{5, 10, 20\} \)
(vii) \( B - C = \{20\} \)
(viii) \( B - D = \{4, 8, 12, 16\} \)
(ix) \( C - B = \{2, 6, 10, 14\} \)
(x) \( D - B = \{5, 15\} \)
(xi) \( C - D = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16\} \)
(xii) \( D - C = \{5, 15, 20\} \) (चूंकि 10 दोनों में है, उसे हटा दिया गया)

मुख्य बिंदु:

• अंतर \( A - B \) में केवल पहले समुच्चय \( A \) के वे अवयव बचते हैं जो \( B \) में नहीं हैं।
• सामान्यतः \( A - B \neq B - A \) होता है।
• उभयनिष्ठ अवयवों को पहले समुच्चय से हटा दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• दूसरे समुच्चय के शेष बचे हुए अवयवों को भी उत्तर में लिख देना।
• गलत अवयव को हटा देना।

Exam Tips:

a) अंतर निकालते समय पहले समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करें।
b) उभयनिष्ठ अवयवों पर पेंसिल से निशान लगाकर काट सकते हैं।
c) सभी भागों को क्रम से हल करें।

Question 10: यदि \( X = \{a, b, c, d\} \) और \( Y = \{f, b, d, g\} \), तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) \( X - Y \)
(ii) \( Y - X \)
(iii) \( X \cap Y \)

Answer:

(i) \( X - Y \) वह समुच्चय है जिसमें \( X \) के वे अवयव हैं जो \( Y \) में नहीं हैं।
\( X - Y = \{a, c\} \) (चूंकि b और d दोनों में हैं)
(ii) \( Y - X \) वह समुच्चय है जिसमें \( Y \) के वे अवयव हैं जो \( X \) में नहीं हैं।
\( Y - X = \{f, g\} \) (चूंकि b और d दोनों में हैं)
(iii) \( X \cap Y \) वह समुच्चय है जिसमें \( X \) और \( Y \) दोनों के उभयनिष्ठ अवयव हैं।
\( X \cap Y = \{b, d\} \)

मुख्य बिंदु:

• समुच्चय अंतर \( X - Y \) और \( Y - X \) एक-दूसरे के विपरीत हो सकते हैं।
• सर्वनिष्ठ \( X \cap Y \) दोनों में उभयनिष्ठ अवयव देता है।
• अवयवों का क्रम उत्तर में महत्वपूर्ण नहीं है।

आम गलतियाँ:

• \( X - Y \) में \( Y \) के अवयव भी शामिल कर लेना।
• उभयनिष्ठ अवयवों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयवों को पहले चिह्नित कर लें।
b) अंतर और सर्वनिष्ठ की परिभाषाओं का सही प्रयोग करें।
c) उत्तर साफ-सुथरे रूप में लिखें।

Question 11: यदि \( R \) वास्तविक संख्याओं और \( Q \) परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो \( R - Q \) क्या होगा?

Answer:

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय \( R \) परिमेय संख्याओं \( Q \) और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना होता है।
यानी, \( R = Q \cup Q' \) (जहाँ \( Q' \) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है)
जब हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में से परिमेय संख्याओं के समुच्चय को घटाते हैं, तो शेष बची हुई संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
अतः \( R - Q = Q' \) (अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय)

मुख्य बिंदु:

• वास्तविक संख्याएँ \( R \) = परिमेय संख्याएँ \( Q \) + अपरिमेय संख्याएँ \( Q' \)。
• \( R - Q \) का अर्थ है वास्तविक संख्याओं में से सभी परिमेय संख्याओं को हटाना।
• शेष बची संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

आम गलतियाँ:

• उत्तर में रिक्त समुच्चय लिख देना।
• वास्तविक और परिमेय संख्याओं के संबंध को न समझना।

Exam Tips:

a) संख्या पद्धतियों के वर्गीकरण (Real, Rational, Irrational) को याद रखें।
b) उत्तर को समुच्चय निर्माण रूप में \( \{x : x \in R \text{ तथा } x \notin Q\} \) भी लिख सकते हैं।
c) संक्षिप्त और स्पष्ट कारण दें।

Question 12: बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए:
(i) \( \{2, 3, 4, 5\} \) तथा \( \{3, 6\} \) असंयुक्त समुच्चय हैं।
(ii) \( \{a, e, i, o, u\} \) तथा \( \{a, b, c, d\} \) असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) \( \{2, 6, 10, 14\} \) तथा \( \{3, 7, 11, 15\} \) असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) \( \{2, 6, 10\} \) तथा \( \{3, 7, 11\} \) असंयुक्त समुच्चय हैं।

Answer:

(i) असत्य
औचित्य: क्योंकि \( \{2, 3, 4, 5\} \cap \{3, 6\} = \{3\} \neq \phi \) है, अतः ये असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं।
(ii) असत्य
औचित्य: क्योंकि \( \{a, e, i, o, u\} \cap \{a, b, c, d\} = \{a\} \neq \phi \) है, अतः ये असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं।
(iii) सत्य
औचित्य: क्योंकि \( \{2, 6, 10, 14\} \cap \{3, 7, 11, 15\} = \phi \) है, अतः ये असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) सत्य
औचित्य: क्योंकि \( \{2, 6, 10\} \cap \{3, 7, 11\} = \phi \) है, अतः ये असंयुक्त समुच्चय हैं।

मुख्य बिंदु:

• असंयुक्त समुच्चय वे होते हैं जिनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय \( \phi \) हो।
• यदि सर्वनिष्ठ में कम से कम एक अवयव मिल जाए, तो कथन असत्य होता है।
• यदि कोई भी अवयव न मिले, तो कथन सत्य होता है।

आम गलतियाँ:

• बिना सर्वनिष्ठ निकाले सीधे अनुमान लगाना।
• सत्य/असत्य के साथ उचित कारण न देना।

Exam Tips:

a) सत्य/असत्य बताने के साथ उसका गणितीय कारण \( (\cap = \phi) \) जरूर लिखें।
b) उभयनिष्ठ अवयवों को ध्यान से देखें।
c) प्रत्येक उप-भाग को अलग से हल करें।