NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 01 Sets (समुच्चय) Exercise 1.3 in Hindi

Question 1: रिक्त स्थानों में प्रतीक \( \subset \) या \( \not\subset \) को भरकर सही कथन बनाइए:
(i) \( \{2, 3, 4\} \dots \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
(ii) \( \{a, b, c\} \dots \{b, c, d\} \)
(iii) \( \{x : x \) आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है \( \} \dots \{x : x \) आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है \( \} \)
(iv) \( \{x : x \) किसी समतल में एक वृत्त है \( \} \dots \{x : x \) एक समान समतल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है \( \} \)
(v) \( \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है \( \} \dots \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक आयत है \( \} \)
(vi) \( \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है \( \} \dots \{x : x \) किसी समतल में स्थितएक त्रिभुज है \( \} \)
(vii) \( \{x : x \) एक सम प्राकृत संख्या है \( \} \dots \{x : x \) एक पूर्णांक है \( \} \)

Answer:

(i) \( \{2, 3, 4\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
(ii) \( \{a, b, c\} \not\subset \{b, c, d\} \)
(iii) \( \{x : x \) आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है \( \} \subset \{x : x \) आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है \( \} \)
(iv) \( \{x : x \) किसी समतल में एक वृत्त है \( \} \not\subset \{x : x \) एक समान समतल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है \( \} \)
(v) \( \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है \( \} \not\subset \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक आयत है \( \} \)
(vi) \( \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है \( \} \subset \{x : x \) किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है \( \} \)
(vii) \( \{x : x \) एक सम प्राकृत संख्या है \( \} \subset \{x : x \) एक पूर्णांक है \( \)

मुख्य बिंदु:

• यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B का भी अवयव है, तो A, B का उपसमुच्चय होता है जिसे \( A \subset B \) लिखते हैं।
• यदि A का कम से कम एक अवयव B में नहीं है, तो \( A \not\subset B \) होता है।
• कक्षा XI के विद्यार्थी विद्यालय के सभी विद्यार्थियों के समुच्चय का भाग होते हैं।

आम गलतियाँ:

• उपसमुच्चय और सदस्य होने के अंतर को न समझना।
• वृत्त की त्रिज्या वाली शर्त को नजरअंदाज करना।
• समबाहु त्रिभुज को साधारण त्रिभुज का उपसमुच्चय न समझना।

Exam Tips:

a) दोनों समुच्चयों के अवयवों की तुलना ध्यानपूर्वक करें।
b) भाषा आधारित समुच्चयों में उनके सार्वत्रिक क्षेत्र को समझें।
c) \( \subset \) और \( \not\subset \) के चिह्नों का प्रयोग स्पष्ट रूप से करें।

Question 2: जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं:
(i) \( \{a, b\} \not\subset \{b, c, a\} \)
(ii) \( \{a, e\} \subset \{x : x \) अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है \( \)
(iii) \( \{1, 2, 3\} \subset \{1, 3, 5\} \)
(iv) \( \{a\} \subset \{a, b, c\} \)
(v) \( \{a\} \in \{a, b, c\} \)
(vi) \( \{x : x \) संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है \( \} \subset \{x : x \) एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है \( \} \)

Answer:

(i) असत्य, क्योंकि \( \{a, b\} \) के सभी अवयव समुच्चय \( \{b, c, a\} \) के अवयव भी हैं।
(ii) सत्य, क्योंकि \( a, e \) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर हैं।
(iii) असत्य, क्योंकि 2 समुच्चय \( \{1, 2, 3\} \) का अवयव है परन्तु 2 समुच्चय \( \{1, 3, 5\} \) में नहीं है।
(iv) सत्य, क्योंकि एकल समुच्चय \( \{a\} \) का अवयव a समुच्चय \( \{a, b, c\} \) का भी अवयव है।
(v) असत्य, क्योंकि समुच्चय \( \{a\} \) समुच्चय \( \{a, b, c\} \) का अवयव नहीं बल्कि उपसमुच्चय है।
(vi) सत्य, क्योंकि 6 से कम सम प्राकृत संख्याएँ \( \{2, 4\} \) हैं और 36 को विभाजित करने वाली प्राकृत संख्याएँ \( \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• \( \subset \) उपसमुच्चय को दर्शाता है जबकि \( \in \) अवयव (सदस्य) को दर्शाता है।
• किसी समुच्चय के सभी अवयव दूसरे में होने पर ही वह उपसमुच्चय बनता है।
• रोस्टर रूप में बदलकर जाँच करना सबसे आसान तरीका है।

आम गलतियाँ:

• \( \in \) और \( \subset \) के बीच भ्रमित होना।
• समुच्चय के अंदर वाले अवयव को सीधे सदस्य मान लेना।
• विभाज्य संख्याओं की सूची बनाते समय संख्याएँ छोड़ देना।

Exam Tips:

a) कथन को ध्यान से पढ़ें और उसका अर्थ समझें।
b) निर्माण रूप को रोस्टर रूप में बदलकर सत्यता जाँचें।
c) कारणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 3: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} \) निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं हैं और क्यों?
(i) \( \{3, 4\} \subset A \)
(ii) \( \{3, 4\} \in A \)
(iii) \( \{\{3, 4\}\} \subset A \)
(iv) \( 1 \in A \)
(v) \( 1 \subset A \)
(vi) \( \{1, 2, 5\} \subset A \)
(vii) \( \{1, 2, 5\} \in A \)
(viii) \( \{1, 2, 3\} \subset A \)
(ix) \( \phi \in A \)
(x) \( \phi \subset A \)
(xi) \( \{\phi\} \subset A \)

Answer:

दिया गया समुच्चय है: \( A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} \)
(i) कथन \( \{3, 4\} \subset A \) सही नहीं है क्योंकि \( \{3, 4\} \) समुच्चय A का एक अवयव है, उपसमुच्चय नहीं।
(ii) कथन \( \{3, 4\} \in A \) सही है क्योंकि \( \{3, 4\} \) समुच्चय A का एक अवयव है।
(iii) कथन \( \{\{3, 4\}\} \subset A \) सही है क्योंकि \( \{3, 4\} \) समुच्चय A का अवयव है, अतः इसे कर्ली ब्रैकेट में लिखने पर यह उपसमुच्चय बनता है।
(iv) कथन \( 1 \in A \) सही है क्योंकि 1 समुच्चय A का अवयव है।
(v) कथन \( 1 \subset A \) सही नहीं है क्योंकि अवयव को उपसमुच्चय की तरह नहीं लिखा जा सकता।
(vi) कथन \( \{1, 2, 5\} \subset A \) सही है क्योंकि इसके सभी अवयव A में हैं।
(vii) कथन \( \{1, 2, 5\} \in A \) सही नहीं है क्योंकि यह समुच्चय A का अवयव नहीं है।
(viii) कथन \( \{1, 2, 3\} \subset A \) सही नहीं है क्योंकि 3 समुच्चय A का अवयव नहीं है।
(ix) कथन \( \phi \in A \) सही नहीं है क्योंकि \( \phi \) समुच्चय A का अवयव नहीं है।
(x) कथन \( \phi \subset A \) सही है क्योंकि रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
(xi) कथन \( \{\phi\} \subset A \) सही नहीं है क्योंकि \( \phi \notin A \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में अवयव स्वयं एक समुच्चय है (\( \{3, 4\} \)) जो बहुत महत्वपूर्ण है।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
• सदस्य और उपसमुच्चय के अंतर को भली-भांति समझें।

आम गलतियाँ:

• \( \{3, 4\} \) को उपसमुच्चय मान लेना जबकि यह A का एक अवयव है।
• संख्या 1 को उपसमुच्चय की तरह लिखना।
• \( \phi \) के संबंध में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) समुच्चय A के अवयवों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पहचानें।
b) \( \in \) के बाईं ओर अवयव और दाईं ओर समुच्चय होता है।
c) \( \subset \) के दोनों ओर समुच्चय होने चाहिए।

Question 4: निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
(i) \( \{a\} \)
(ii) \( \{a, b\} \)
(iii) \( \{1, 2, 3\} \)
(iv) \( \phi \)

Answer:

(i) समुच्चय \( \{a\} \) के उपसमुच्चय:
\( \phi, \{a\} \)
(ii) समुच्चय \( \{a, b\} \) के उपसमुच्चय:
\( \phi, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \)
(iii) समुच्चय \( \{1, 2, 3\} \) के उपसमुच्चय:
\( \phi, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} \)
(iv) समुच्चय \( \phi \) के उपसमुच्चय:
\( \phi \)

मुख्य बिंदु:

• यदि किसी समुच्चय में \( n \) अवयव हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या \( 2^n \) होती है।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
• प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है।

आम गलतियाँ:

• उपसमुच्चयों की संख्या भूल जाना (जैसे \( 2^n \) सूत्र का प्रयोग न करना)।
• रिक्त समुच्चय \( \phi \) को छोड़ देना।
• समुच्चय बनाते समय क्रम गलत लिखना।

Exam Tips:

a) उपसमुच्चय लिखने से पहले \( 2^n \) से कुल संख्या की गणना कर लें।
b) पहले 0 अवयव वाले, फिर 1, फिर 2 और अंत में सभी अवयव वाले उपसमुच्चय लिखें।
c) हर उपसमुच्चय को सर्पाकार कोष्ठक \( \{\} \) में बंद करें।

Question 5: निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
(i) \( \{x : x \in \mathbb{R}, -4 < x \le 6\} \)
(ii) \( \{x : x \in \mathbb{R}, -12 < x < -10\} \)
(iii) \( \{x : x \in \mathbb{R}, 0 \le x < 7\} \)
(iv) \( \{x : x \in \mathbb{R}, 3 \le x \le 4\} \)

Answer:

(i) \( (-4, 6] \)
(ii) \( (-12, -10) \)
(iii) \( [0, 7) \)
(iv) \( [3, 4] \)

मुख्य बिंदु:

• खुले अंतराल (Open Interval) को \( (a, b) \) द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें अंत्येष्टि बिंदु शामिल नहीं होते।
• बंद अंतराल (Closed Interval) को \( [a, b] \) द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें अंत्येष्टि बिंदु शामिल होते हैं।
• अर्ध-खुले या अर्ध-बंद अंतराल \( [a, b) \) या \( (a, b] \) होते हैं।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठकों (brackets) का गलत चयन करना (जैसे \( ( \) के स्थान पर \( [ \) लगाना)।
• दी गई असमिका (inequality) के चिह्नों को न समझना।
• संख्याओं के क्रम को बदल देना।

Exam Tips:

a) 'छोटा है' (\( < \)) के लिए छोटा कोष्ठक \( ( \) और 'छोटा या बराबर है' (\( \le \)) के लिए बड़ा कोष्ठक \( [ \) का प्रयोग करें।
b) अंतराल लिखते समय छोटी संख्या को पहले और बड़ी संख्या को बाद में लिखें।
c) हमेशा प्रश्न में दिए गए समुच्चय निर्माण रूप की शर्तों को ध्यान से देखें।

Question 6: निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i) \( (-3, 0) \)
(ii) \( [6, 12] \)
(iii) \( (6, 12] \)
(iv) \( [-23, 5) \)

Answer:

(i) \( \{x : x \in \mathbb{R}, -3 < x < 0\} \)
(ii) \( \{x : x \in \mathbb{R}, 6 \le x \le 12\} \)
(iii) \( \{x : x \in \mathbb{R}, 6 < x \le 12\} \)
(iv) \( \{x : x \in \mathbb{R}, -23 \le x < 5\} \)

मुख्य बिंदु:

• अंतराल से समुच्चय निर्माण रूप बनाते समय \( x \in \mathbb{R} \) लिखना आवश्यक है।
• खुला अंतराल होने पर केवल \( < \) या \( > \) का प्रयोग होता है।
• बंद अंतराल होने पर \( \le \) या \( \ge \) का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \in \mathbb{R} \) लिखना भूल जाना।
• कोष्ठक के अनुसार असमिका के चिह्न गलत लगाना।
• चरों के बीच सही संबंध न स्थापित करना।

Exam Tips:

a) अंतराल का प्रकार देखकर तुरंत असमिका के चिह्न तय करें।
b) निर्माण रूप लिखते समय मानक प्रारूप \( \{x : x \in \mathbb{R}, \dots\} \) का पालन करें।
c) अंत्येष्टि बिंदुओं को सही स्थान पर रखें।

Question 7: निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्ताव करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय

Answer:

(i) समकोण त्रिभुजों के समुच्चय के लिए सार्वत्रिक समुच्चय सभी बहुभुजों का समुच्चय या सभी त्रिभुजों का समुच्चय हो सकता है।
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों के समुच्चय के लिए भी सार्वत्रिक समुच्चय सभी बहुभुजों या सभी त्रिभुजों के समुच्चय को मान सकते हैं अथवा सभी त्रिभुजों को सार्वत्रिक समुच्चय लिया जा सकता है।

मुख्य बिंदु:

• सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set) वह बड़ा समुच्चय होता है जिसके अंतर्गत दिए गए सभी उपसमुच्चय आते हैं।
• समकोण और समद्विबाहु दोनों ही त्रिभुजों के प्रकार हैं।
• 'सभी त्रिभुजों का समुच्चय' इन दोनों के लिए उपयुक्त सार्वत्रिक समुच्चय है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक विशेष त्रिभुज को ही सार्वत्रिक मान लेना।
• सार्वत्रिक समुच्चय की परिभाषा को न समझ पाना।
• बहुत बड़ा या अप्रासंगिक समुच्चय चुनना।

Exam Tips:

a) सार्वत्रिक समुच्चय ऐसा चुनें जिसमें दी गई सभी वस्तुएँ समाहित हों।
b) त्रिभुजों के मामले में 'सभी त्रिभुजों का समुच्चय' सबसे सटीक उत्तर है।
c) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट शब्दों में लिखें।

Question 8: समुच्चय \( A = \{1, 3, 5\}, B = \{2, 4, 6\} \) और \( C = \{0, 2, 4, 6, 8\} \) प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चय A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(ii) \( \phi \)
(iii) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(iv) \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)

Answer:

(i) हम देख सकते हैं कि \( A \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) और \( B \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
लेकिन \( C \not\subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) (क्योंकि 8 समुच्चय में नहीं है)
इसलिए, समुच्चय \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) समुच्चय A, B और C के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं है।
(ii) \( A \not\subset \phi, B \not\subset \phi, C \not\subset \phi \)
इसलिए, समुच्चय \( \phi \) समुच्चयों A, B और C के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं है।
(iii) \( A \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}, B \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) और \( C \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
इसलिए, समुच्चय \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) समुच्चय A, B और C के लिए सार्वत्रिक समुच्चय है।
(iv) \( A \subset \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) और \( B \subset \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
लेकिन \( C \not\subset \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) (क्योंकि 0 समुच्चय में नहीं है)
इसलिए, समुच्चय \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) समुच्चय A, B और C के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• सार्वत्रिक समुच्चय वह होता है जिसमें A, B और C तीनों के सभी अवयव अनिवार्य रूप से उपस्थित होने चाहिए।
• यदि किसी एक भी समुच्चय का एक अवयव बाहर रह जाए, तो वह सार्वत्रिक समुच्चय नहीं हो सकता।
• C समुच्चय में 0 और 8 है, अतः सार्वत्रिक समुच्चय में 0 और 8 होना जरूरी है।

आम गलतियाँ:

• केवल दो समुच्चयों की जाँच करके उत्तर लिख देना और तीसरे को भूल जाना।
• रिक्त समुच्चय को सार्वत्रिक मान लेना।
• अवयवों की मिलान करते समय संख्या छोड़ देना।

Exam Tips:

a) तीनों समुच्चयों A, B, C के प्रत्येक अवयव को दिए गए विकल्पों में अलग से चेक करें।
b) जिस विकल्प में तीनों के सभी अवयव मिल जाएँ, वही सही सार्वत्रिक समुच्चय होगा।
c) अपने उत्तर के समर्थन में कारण अवश्य दें कि कौन सा अवयव किस विकल्प में अनुपस्थित है।