Official NCERT Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 01 समुच्चय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 01 समुच्चय
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Question 1: निम्नलिखित में से कौन से रिक्त समुच्चय के उदाहरण हैं?
(i) 2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(iii) \( \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है, } x < 5 \text{ और साथ ही } x > 7\} \)
(iv) \( \{y : y \text{ किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु है\}} \)
Answer:
(i) दिया गया समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है क्योंकि कोई भी विषम प्राकृत संख्या 2 से विभाज्य नहीं होती है।
(ii) यह रिक्त समुच्चय नहीं है क्योंकि संख्या 2 एक सम संख्या भी है और अभाज्य भी है, अतः समुच्चय में अवयव 2 शामिल है।
(iii) यह एक रिक्त समुच्चय है क्योंकि ऐसी कोई प्राकृत संख्या संभव नहीं है जो एक ही समय में 5 से छोटी हो और 7 से बड़ी हो।
(iv) यह एक रिक्त समुच्चय है क्योंकि किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं के बीच कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है।
मुख्य बिंदु:
• रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें एक भी अवयव नहीं होता है।
• इसे प्रतीक \( \phi \) या \( \{\} \) द्वारा दर्शाया जाता है।
• स्थितियों की तार्किक जाँच करके यह तय किया जाता है कि समुच्चय रिक्त है या नहीं।
आम गलतियाँ:
• सम अभाज्य संख्या 2 को नजरअंदाज करके भाग (ii) को रिक्त समुच्चय मान लेना।
• असंगत असमिकाओं वाले समुच्चय को रिक्त न समझना।
• समांतर रेखाओं के गुणधर्म को ज्यामितीय रूप से न समझना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक उप-भाग की शर्त को ध्यानपूर्वक पढ़ें और उसकी सत्यता की जाँच करें।
b) रिक्त समुच्चय की परिभाषा को स्पष्ट रूप से याद रखें।
c) गणितीय तार्किकता का प्रयोग करके उत्तर लिखें।
Question 2: निम्नलिखित समुच्चय में से कौन परिमित और कौन अपरिमित हैं?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय
(ii) \( \{1, 2, 3, \dots\} \)
(iii) \( \{1, 2, 3, \dots, 99, 100\} \)
(iv) 100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय
Answer:
(i) यह एक परिमित समुच्चय है क्योंकि वर्ष में महीनों की संख्या निश्चित (12) होती है।
(ii) यह एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय असीमित रूप से अनंत तक जाता है।
(iii) यह एक परिमित समुच्चय है क्योंकि इसमें अवयवों की संख्या निश्चित है जो 1 से 100 तक है।
(iv) यह एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि 100 से बड़े धन पूर्णांकों का कोई अंत नहीं है, यह अनंत तक जाते हैं।
(v) यह एक परिमित समुच्चय है क्योंकि 99 से छोटी अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या निश्चित होती है।
मुख्य बिंदु:
• परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित होती है।
• अपरिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या अनंत होती है।
• (...) का प्रयोग समुच्चय में श्रृंखला की निरंतरता को दर्शाता है।
आम गलतियाँ:
• अपरिमित समुच्चय को परिमित समझ लेना जब अंत में (...) न दिया हो।
• संख्या सीमा को ठीक से न समझ पाना।
• परिमित और अपरिमित की परिभाषा में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) अवयवों को गिनने की संभावना (निश्चितता) के आधार पर निर्णय लें।
b) तीन बिंदुओं (...) के अर्थ को समझकर अपरिमित समुच्चय पहचानें।
c) उत्तर में कारण स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 3: निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है:
(i) \( x \)-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय
(v) मूल बिंदु \( (0, 0) \) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय
Answer:
(i) यह एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि \( x \)-अक्ष के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(ii) यह एक परिमित समुच्चय है क्योंकि अंग्रेजी वर्णमाला में केवल 26 अक्षर होते हैं।
(iii) यह एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि 5 के गुणजों की संख्या अनंत होती है।
(iv) यह एक परिमित समुच्चय है, यद्यपि संख्या बहुत बड़ी है, फिर भी पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों की संख्या निश्चित है।
(v) यह एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि मूल बिंदु से होकर गुजरने वाले वृत्तों की संख्या अनंत हो सकती है।
मुख्य बिंदु:
• ज्यामितीय रेखाओं और वृत्तों की अनन्तता को पहचानना।
• बहुत बड़ी संख्या (जैसे पृथ्वी के जीव) परिमित होती है, अनंत नहीं।
• गुणजों की संख्या हमेशा अपरिमित होती है।
आम गलतियाँ:
• पृथ्वी पर जानवरों की बड़ी संख्या को अपरिमित समझ लेना।
• ज्यामितीय आकृतियों (रेखाओं/वृत्तों) की संख्या को सीमित मान लेना।
• 5 के गुणजों को सीमित समझ लेना।
Exam Tips:
a) ज्यामिति से जुड़े प्रश्नों में अनंत संभावनाओं का ध्यान रखें।
b) व्यावहारिक जीवन के परिमित समुच्चयों (जैसे प्राणी) और गणितीय अपरिमित समुच्चयों में भेद करें।
c) कारण सहित उत्तर दें ताकि मूल्यांकन स्पष्ट हो।
Question 4: निम्नलिखित में बताइए कि \( A = B \) है अथवा नहीं:
(i) \( A = \{a, b, c, d\}, \quad B = \{d, c, b, a\} \)
(ii) \( A = \{4, 8, 12, 16\}, \quad B = \{8, 4, 16, 18\} \)
(iii) \( A = \{2, 4, 6, 8, 10\}, \quad B = \{x : x \text{ सम धन पूर्णांक है और } x \le 10\} \)
(iv) \( A = \{x : x \text{ संख्या } 10 \text{ का एक गुणज है}\}, \quad B = \{10, 15, 20, 25, 30, \dots\} \)}
Answer:
(i) \( A = B \)
स्पष्टीकरण: समुच्चय \( A \) और \( B \) के अवयव पूर्णतः समान हैं। समुच्चय में अवयवों का क्रम बदलने से उसके मान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
(ii) \( A \neq B \)
स्पष्टीकरण: यहाँ \( 12 \in A \) है परंतु \( 12 \notin B \) है, तथा \( 18 \in B \) है परंतु \( 18 \notin A \) है। अतः दोनों समान नहीं हैं।
(iii) \( A = B \)
स्पष्टीकरण: समुच्चय \( B \) को रोस्टर रूप में लिखने पर \( \{2, 4, 6, 8, 10\} \) प्राप्त होता है, जो समुच्चय \( A \) के बिल्कुल समान है।
(iv) \( A \neq B \)
स्पष्टीकरण: समुच्चय \( A \) (10 के गुणज) में 15 शामिल नहीं है, जबकि \( 15 \in B \) है। अतः \( A \neq B \) है।
मुख्य बिंदु:
• दो समुच्चय \( A \) और \( B \) समान होते हैं यदि उनके अवयव बिल्कुल एक समान हों।
• समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति या क्रम का कोई महत्व नहीं होता।
• समुच्चय निर्माण रूप को रोस्टर रूप में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
आम गलतियाँ:
• क्रम अलग होने पर समुच्चयों को असमान समझ लेना।
• गुणज और विभाज्य की शर्तों में गड़बड़ करना।
• समुच्चय निर्माण रूप को ठीक से हल न करना।
Exam Tips:
a) दोनों समुच्चयों के प्रत्येक अवयव की आपस में भली-भांति तुलना करें।
b) समुच्चय निर्माण रूप वाले समुच्चयों को पहले रोस्टर रूप में बदलें।
c) यदि एक भी अवयव भिन्न है, तो उन्हें असमान (\( \neq \)) घोषित करें।
Question 5: क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं? कारण सहित बताइए:
(i) \( A = \{2, 3\}, \quad B = \{x : x \text{ समीकरण } x^2 + 5x + 6 = 0 \text{ का एक हल है}\} \)
(ii) \( A = \{x : x \text{ शब्द 'FOLLOW' का एक अक्षर है}\}, \quad B = \{y : y \text{ शब्द 'WOLF' का एक अक्षर है}\} \)}
Answer:
(i) दिया गया है: \( A = \{2, 3\} \)
समीकरण \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) को हल करने पर:
\( x^2 + 2x + 3x + 6 = 0 \)
\( x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 \)
\( (x + 2)(x + 3) = 0 \)
\( x = -2, -3 \)
अतः \( B = \{-2, -3\} \)
चूँकि \( A \neq B \) (अवयव समान नहीं हैं), अतः दोनों समुच्चय समान नहीं हैं।
(ii) समुच्चय \( A \) को रोस्टर रूप में लिखने पर:
\( A = \{F, O, L, W\} \)
समुच्चय \( B \) को रोस्टर रूप में लिखने पर:
\( B = \{W, O, L, F\} \)
चूँकि दोनों समुच्चयों के अवयव पूर्णतः समान हैं और समुच्चय में क्रम का कोई महत्व नहीं होता, अतः \( A = B \) है।
मुख्य बिंदु:
• द्विघात समीकरण को हल करके उसके मूल ज्ञात किए जाते हैं।
• शब्द के अक्षरों को समुच्चय में लिखते समय पुनरावृत्ति (Repetition) हटाई जाती है।
• क्रम बदलने पर भी समान अवयव वाले समुच्चय समान होते हैं।
आम गलतियाँ:
• समीकरण के मूलों के चिह्न गलत ले लेना।
• 'FOLLOW' शब्द में 'O' और 'L' को बार-बार लिख देना।
• \( A \) और \( B \) के धनात्मक और ऋणात्मक मानों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) द्विघात समीकरण के गुणनखंड के चरणों को साफ-साफ दिखाएं।
b) शब्द वाले प्रश्नों में यह सुनिश्चित करें कि किसी अक्षर की पुनरावृत्ति न हो।
c) निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि समुच्चय समान हैं या नहीं।
Question 6: नीचे दिए हुए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:
\( A = \{2, 4, 8, 12\}, \quad B = \{1, 2, 3, 4\}, \quad C = \{4, 8, 12, 14\}, \quad D = \{3, 1, 4, 2\} \)
\( E = \{-1, 1\}, \quad F = \{0, a\}, \quad G = \{1, -1\}, \quad H = \{0, 1\} \)
Answer:
दिए गए सभी समुच्चयों के अवयवों की आपस में तुलना करने पर:
अवयवों की जाँच:
\( A = \{2, 4, 8, 12\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( C = \{4, 8, 12, 14\} \)
\( D = \{3, 1, 4, 2\} \)
\( E = \{-1, 1\} \)
\( F = \{0, a\} \)
\( G = {1, -1} \)
\( H = \{0, 1\} \)
तुलना करने पर हम पाते हैं कि:
समुच्चय \( B \) और \( D \) के अवयव समान हैं (\( \{1, 2, 3, 4\} \) और \( \{3, 1, 4, 2\} \)), अतः \( B = D \) ।
समुच्चय \( E \) और \( G \) के अवयव समान हैं (\( \{-1, 1\} \) और \( \{1, -1\} \)), अतः \( E = G \) ।
अन्य कोई भी समुच्चय आपस में मेल नहीं खाते हैं।
अतः समान समुच्चय युग्म हैं: \( B = D \) तथा \( E = G \) ।
मुख्य बिंदु:
• समान समुच्चय खोजने के लिए प्रत्येक समुच्चय के अवयवों की दूसरे सभी समुच्चयों से तुलना करनी होती है।
• क्रम के बदलने से समुच्चय की समानता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
• सभी अवयवों का पूर्ण रूप से मिलना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• किसी एक अवयव के छूट जाने पर भी समुच्चय को समान मान लेना।
• \( B \) और \( D \) या \( E \) और \( G \) के क्रम परिवर्तन को अनदेखा कर देना।
• ठीक से मिलान न करना।
Exam Tips:
a) सभी समुच्चयों को एक सूची में व्यवस्थित रूप से लिखकर तुलना करें।
b) क्रम का ध्यान न देते हुए केवल मानों पर फोकस करें।
c) अपने उत्तर को अंत में स्पष्ट रूप से दर्शाएं कि कौन-से युग्म समान हैं।
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