Step-by-Step Textbook Solutions for Class 11 Mathematics Chapter 01 समुच्चय
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Question 1: निम्नलिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i) जे अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह।
(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
(v) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
(vii) सभी सम पूर्णांकों का संग्रह।
(viii) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
(ix) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
Answer:
(i) जे अक्षर से शुरू होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है क्योंकि कोई निश्चित रूप से इस संग्रह से संबंधित महीने की पहचान कर सकता है। इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(ii) भारत के दस सबसे प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह एक सुपरिभाषित संग्रह नहीं है, क्योंकि लेखक की प्रतिभा को निर्धारित करने के लिए मापदंड एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, यह संग्रह समुच्चय नहीं है।
(iii) दुनिया के ग्यारह सर्वश्रेष्ठ क्रिकेट बल्लेबाजों की एक टीम एक सुपरिभाषितसंग्रह नहीं है, क्योंकि एक बल्लेबाज की प्रतिभा को निर्धारित करने के लिए मापदंड व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, यह संग्रह समुच्चय नहीं है।
(iv) आपकी कक्षा के सभी लड़कों का संग्रह एक सुपरिभाषितसंग्रह है क्योंकि आप निश्चित रूप से इस संग्रह से संबंधित लड़के की पहचान कर सकते हैं इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(v) 100 से कम सभी प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह एक सुपरिभाषित संग्रह है क्योंकि कोई निश्चित रूप से इस संग्रह से संबंधित संख्या की पहचान कर सकता है। इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(vi) लेखक मुंशी प्रेम चंद द्वारा लिखे गए उपन्यासों का संग्रह एक सुपरिभाषित संग्रह है क्योंकि कोई निश्चित रूप से इस संग्रह से संबंधित पुस्तक की पहचान कर सकता है। इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(vii) सभी सम पूर्णांक का संग्रह एक सुपरिभाषितसंग्रह है क्योंकि कोई निश्चित रूप से एक पूर्णांक को भी पहचान सकता है जो इस संग्रह से संबंधित है। इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(viii) इस अध्याय में प्रश्नों का संग्रह एक सुपरिभाषित संग्रह है क्योंकि कोई निश्चित रूप से इस अध्याय से संबंधित प्रश्न की पहचान कर सकता है। इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(ix) दुनिया के सबसे खतरनाक जानवरों का संग्रह एक सुपरिभाषितसंग्रह नहीं है क्योंकि एक जानवर की खतरनाककता का निर्धारण करने के लिए मापदंड व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, यह संग्रह समुच्चय नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह होता है।
• जिस संग्रह में व्यक्ति-विशेष के अनुसार राय बदलती है, वह समुच्चय नहीं होता।
• गणितीय और निश्चित परिभाषा वाले संग्रह हमेशा समुच्चय होते हैं।
आम गलतियाँ:
• 'प्रतिभाशाली' या 'खतरनाक' जैसे शब्दों वाले संग्रह को समुच्चय मान लेना।
• प्रश्न के सभी उप-भागों में कारण स्पष्ट न करना।
• समुच्चय और साधारण संग्रह में अंतर न समझ पाना।
Exam Tips:
a) उत्तर लिखते समय हमेशा 'सुपरिभाषित संग्रह' (well-defined collection) शब्द का प्रयोग करें।
b) हर भाग में कारण अवश्य दें कि वह संग्रह निश्चित है या व्यक्तिपरک (subjective)।
c) परिभाषा को ध्यान में रखकर ही उत्तर का चयन करें।
Question 2: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक \( \in \) अथवा \( \notin \) भरिए:
(i) \( 5 \dots A \)
(ii) \( 8 \dots A \)
(iii) \( 0 \dots A \)
(iv) \( 4 \dots A \)
(v) \( 2 \dots A \)
(vi) \( 10 \dots A \)
Answer:
(i) \( 5 \in A \)
(ii) \( 8 \notin A \)
(iii) \( 0 \notin A \)
(iv) \( 4 \in A \)
(v) \( 2 \in A \)
(vi) \( 10 \notin A \)
मुख्य बिंदु:
• \( \in \) का अर्थ है 'की सदस्यता है' (is an element of)।
• \( \notin \) का अर्थ है 'की सदस्यता नहीं है' (is not an element of)।
• किसी अवयव की उपस्थिति समुच्चय के अंदर जाँची जाती है।
आम गलतियाँ:
• \( \in \) और \( \notin \) के चिह्नों में भ्रमित होना।
• समुच्चय के बाहर की संख्या को भी सदस्य मान लेना।
Exam Tips:
a) प्रतीकों का प्रयोग बहुत सावधानी से करें।
b) पहले दिए गए समुच्चय के अवयवों को ध्यान से देखें।
c) यदि अवयव समुच्चय में है तो \( \in \) लगाएं अन्यथा \( \notin \) ।
Question 3: निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए:
(i) \( A = \{x : x \) एक पूर्णांक है और \( -3 \le x < 7\} \)
(ii) \( B = \{x : x \) संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है\)
(iii) \( C = \{x : x \) दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है\)
(iv) \( D = \{x : x \) एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है\)
(v) \( E = \) TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi) \( F = \) BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
Answer:
(i) \( A = \{x : x \) एक पूर्णांक है और \( -3 \le x < 7\} \)
इस समुच्चय के अवयव \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \) और \( 6 \) हैं।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(ii) \( B = \{x : x \) संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है\)
इस समुच्चय के अवयव \( 1, 2, 3, 4 \) और \( 5 \) हैं।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
(iii) \( C = \{x : x \) दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है\)
इस समुच्चय के अवयव \( 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 \) और \( 80 \) हैं।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( C = \{17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80\} \)
(iv) \( D = \{x : x \) एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है\)
\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
इस समुच्चय के अवयव \( 2, 3 \) और \( 5 \) हैं।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( D = \{2, 3, 5\} \)
(v) \( E = \) TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
TRIGONOMETRY शब्द कुल 12 अक्षरों से बना है, जिसमें T, R, और O की पुनरावृत्ति है।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( E = \{T, R, I, G, O, N, M, E, Y\} \)
(vi) \( F = \) BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
BETTER शब्द कुल 6 अक्षरों से बना है, जिसमें E और T की पुनरावृत्ति है।
इसलिए, समुच्चय का रोस्टर रूप इस प्रकार है: \( F = \{B, E, T, R\} \)
मुख्य बिंदु:
• रोस्टर रूप में सभी अवयवों को सूचिबद्ध किया जाता है और कोष्ठक \( \{\} \) के अंदर लिखा जाता है।
• समुच्चय में किसी भी अवयव की पुनरावृत्ति (repetition) नहीं की जाती है।
• अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके संख्या के भाजक निकाले जा सकते हैं।
आम गलतियाँ:
• शब्दों से समुच्चय बनाते समय अक्षरों को दोबारा लिख देना (पुनरावृत्ति करना)।
• दी गई शर्त (जैसे \( -3 \le x < 7 \)) में सीमा बिंदुओं को गलत पढ़ना।
Exam Tips:
a) शब्दों के समुच्चय बनाते समय प्रत्येक अक्षर को केवल एक ही बार लिखें।
b) अभाज्य संख्याओं और भाजकों को निकालते समय रफ कार्य का प्रयोग करें।
c) कोष्ठकों और अल्प विराम (commas) का सही उपयोग करें।
Question 4: निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) \(\{3, 6, 9, 12\}\)
(ii) \(\{2, 4, 8, 16, 32\}\)
(iii) \(\{5, 25, 125, 625\}\)
(iv) \(\{2, 4, 6, \dots\}\)
(v) \(\{1, 4, 9, \dots, 100\}\)
Answer:
(i) \(\{3, 6, 9, 12\}\)
हम देखते हैं कि \( 3 = 3 \times 1, 6 = 3 \times 2, 9 = 3 \times 3, 12 = 3 \times 4 \) है।
अतः समुच्चय निर्माण रूप है: \( \{x : x = 3n, n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 4\} \)
(ii) \(\{2, 4, 8, 16, 32\}\)
हम देखते हैं कि \( 2 = 2^1, 4 = 2^2, 8 = 2^3, 16 = 2^4, \) और \( 32 = 2^5 \) है।
अतः समुच्चय निर्माण रूप है: \( \{x : x = 2^n, n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 5\} \)
(iii) \(\{5, 25, 125, 625\}\)
हम देखते हैं कि \( 5 = 5^1, 25 = 5^2, 125 = 5^3, \) और \( 625 = 5^4 \) है।
अतः समुच्चय निर्माण रूप है: \( \{x : x = 5^n, n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 4\} \)
(iv) \(\{2, 4, 6, \dots\}\)
ये सम प्राकृत संख्याएँ हैं।
अतः समुच्चय निर्माण रूप है: \( \{x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है}\} \)
(v) \(\{1, 4, 9, \dots, 100\}\)
हम देखते हैं कि \( 1 = 1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, \dots 100 = 10^2 \) है।
अतः समुच्चय निर्माण रूप है: \( \{x : x = n^2, n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 10\} \)
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय निर्माण रूप (set-builder form) में अवयवों का सामान्य गुणधर्म लिखा जाता है।
• घात (powers) और गुणा के पैटर्न को पहचानना आवश्यक है।
• प्राकृतिक संख्या \( n \) की सीमा (range) स्पष्ट रूप से दर्शानी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• \( n \) की सीमा लिखना भूल जाना।
• पैटर्न को गलत पहचानना (जैसे वर्ग के स्थान पर घन मान लेना)।
Exam Tips:
a) पैटर्न को खोजने के लिए प्रत्येक संख्या की तुलना उसके पद क्रमांक से करें।
b) उत्तर को मानक गणितीय भाषा में लिखें।
c) असीमित समुच्चयों में डॉट-डॉट (\(\dots\)) का ध्यान रखें।
Question 5: निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयवों (सदस्यों) को सूचिबद्ध कीजिए:
(i) \( A = \{x : x \) एक विषम प्राकृत संख्या है\)
(ii) \( B = \{x : x \) एक पूर्णांक है, \( -\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}\)
(iii) \( C = \{x : x \) एक पूर्णांक है, \( x^2 \le 4\)
(iv) \( D = \{x : x, LOYAL \) शब्द का एक अक्षर है\)
(v) \( E = \{x : x \) वर्ष का एक ऐसा महीना है, जिसमें 31 दिन नहीं होते हैं\)
(vi) \( F = \{x : x \) अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो \( k \) से पहले आता है\)}
Answer:
(i) \( A = \{x : x \) एक विषम प्राकृत संख्या है \(\} = \{1, 3, 5, 7, 9, \dots\}\)
(ii) \( B = \{x : x \) एक पूर्णांक है, \( -\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}\)}
यहाँ, \( -\frac{1}{2} = -0.5 \) और \( \frac{9}{2} = 4.5 \)
इसलिए, \( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
(iii) \( C = \{x : x \) एक पूर्णांक है, \( x^2 \le 4\)}
हम देखते हैं कि:
\( (-1)^2 = 1 \le 4 \)
\( (-2)^2 = 4 \le 4 \)
\( (-3)^2 = 9 > 4 \)
\( 0^2 = 0 \le 4 \)
\( 1^2 = 1 \le 4 \)
\( 2^2 = 4 \le 4 \)
\( 3^2 = 9 > 4 \)
अतः \( C = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)
(iv) \( D = \{x : x, LOYAL \) शब्द का एक अक्षर है \(\} = \{L, O, Y, A\}\)
(v) \( E = \{x : x \) वर्ष का एक ऐसा महीना है, जिसमें 31 दिन नहीं होते हैं \(\} = \) (फरवरी, अप्रैल, जून, सितंबर, नवंबर)
(vi) \( F = \{x : x \) अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो \( k \) से पहले आता है \(\} = \{b, c, d, f, g, h, j\} \)
मुख्य बिंदु:
• असमानताओं (inequalities) को हल करते समय पूर्णांकों की सही पहचान करें।
• शब्दों के अक्षरों को लिखते समय दोहराव से बचें।
• महीनों के दिनों की संख्या की सामान्य जानकारी होना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक पूर्णांकों (जैसे \( -2 \) और \( -1 \)) को वर्ग असमिका \( x^2 \le 4 \) में छोड़ देना।
• स्वर (vowels) और व्यंजन (consonants) में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) असमिकाओं वाले प्रश्नों में संख्या रेखा (number line) का मानसिक या रफ प्रयोग करें।
b) वर्ग वाली शर्तों के लिए दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मानों की जाँच करें।
c) महीनों के दिनों की गणना उंगलियों पर या कैलेंडर नियम से पक्की करें।
Question 6: बाईं ओर रोस्टर रूप में लिखित और दाईं ओर समुच्चय निर्माण रूप में वर्णित समुच्चयों का सही मिलान कीजिए:
(i) \(\{1, 2, 3, 6\}\) (a) \(\{x : x \) एक अभाज्य संख्या है और 6 की भाजक है\)
(ii) \(\{2, 3\}\) (b) \(\{x : x \) संख्या 10 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है\)
(iii) \(\{M, A, T, H, E, I, C, S\}\) (c) \(\{x : x \) एक प्राकृत संख्या है और 6 की भाजक है\)
(iv) \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) (d) \(\{x : x \) MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है\)}
Answer:
(i) इस समुच्चय के सभी अवयव प्राकृत संख्याएँ हैं और 6 के भाजक हैं।
इसलिए, (i) के साथ (c) का मिलान सही है।
(ii) हम देखते हैं कि 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं और 6 के भाजक भी हैं।
इसलिए, (ii) के साथ (a) का मिलान सही है।
(iii) इस समुच्चय के सभी अवयव शब्द MATHEMATICS के अक्षर हैं।
इसलिए, (iii) के साथ (d) का मिलान सही है।
(iv) इस समुच्चय के सभी अवयव विषम प्राकृत संख्याएँ हैं जो कि 10 से कम हैं।
इसलिए, (iv) के साथ (b) का मिलान सही है।
मुख्य बिंदु:
• मिलान करने वाले प्रश्नों में दोनों पक्षों के गुणों की अच्छी तरह तुलना करनी चाहिए।
• रोस्टर रूप से समुच्चय निर्माण रूप की पहचान करना आसान होता है जब संख्या के गुणों का ज्ञान हो।
• शब्दों और उनके अक्षरों का समुच्चय बनाना आना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• बिना सोचे-समझे सीधे मिलान कर देना बिना गुणधर्म की जाँच किए।
• भाजक और अभाज्य संख्याओं में अंतर न समझ पाना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में मिलान करते समय तीरों को स्पष्ट रूप से मिलाएं या सही युग्म लिखें।
b) प्रत्येक भाग के लिए कारण साथ में जरूर लिखें यदि परीक्षा में वर्णनात्मक पूछा जाए।
c) सभी विकल्पों को एक बार हल करने के बाद ही अंतिम मिलान करें।
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