NCERT Solutions Class 11 Physics Chapter 09 Mechanical Properties of Fluids (तरलों के यांत्रिक गुण) in Hindi

Question 9.1: स्पष्ट कीजिए क्यों.
(a) मस्तिष्क की अपेक्षा मानव का पैरों पर रक्त चाप अधिक होता है।
(b) 6 km ऊँचाई पर वायुमंडलीय दाब समुद्र तल पर लगभग आधे दाब का आधा हो जाता है, यद्यपि वायुमण्डल का विस्तार 100 km से भी अधिक ऊँचाई तक है।
(c) यद्यपि दाब, प्रति एकांक क्षेत्रफल पर लगने वाला बल होता है तथापि द्रवस्थैतिक दाब एक अदिश राशि है।

Answer:

एक तरल का दाब निम्न संबंध द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
\( P = h\rho g \)
जहाँ, \( P = \) दाब, \( h = \) तरल स्तंभ की ऊँचाई, \( \rho = \) द्रव का घनत्व, \( g = \) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण
(a) यह अनुमान लगाया जा सकता है कि दाब ऊँचाई के समानुपातिक है। इसलिए, मानव वाहिकाओं में रक्तचाप शरीर में रक्त स्तंभ की ऊँचाई पर निर्भर करता है। रक्त स्तंभ की ऊँचाई मस्तिष्क की तुलना में पैरों पर अधिक होती है। इसलिए, पैरों पर रक्तचाप मस्तिष्क की तुलना में अधिक होता है।
(b) समुद्र तल के निकट वायु का घनत्व अधिकतम होता है। सतह से ऊँचाई बढ़ने के साथ वायु का घनत्व घटता जाता है। लगभग 6 किमी की ऊँचाई पर, घनत्व समुद्र तल पर अपने मान के लगभग आधे तक कम हो जाता है। वायुमंडलीय दाब घनत्व के समानुपाती होता है। इसलिए, सतह से 6 किमी की ऊँचाई पर, यह समुद्र तल पर अपने मान के लगभग आधे से कम हो जाता है।
(c) जब किसी द्रव पर बल लगाया जाता है, तो द्रव में दाब सभी दिशाओं में संचारित होता है। इसलिए, हाइड्रोस्टेटिक दाब की एक निश्चित दिशा नहीं होती है और यह एक अदिश भौतिक मात्रा होती है।

मुख्य बिंदु:

• द्रव दाब ऊँचाई और घनत्व पर निर्भर करता है।
• वायुमंडल का घनत्व ऊँचाई के साथ समान रूप से नहीं घटता।
• दाब का संचरण सभी दिशाओं में समान रूप से होता है।

आम गलतियाँ:

• विद्यार्थियों को लगता है कि दाब की दिशा होती है क्योंकि इसमें बल शामिल है।
• वायुमंडल के घनत्व को एकसमान मान लेना।

Exam Tips:

a) पास्कल के नियम और द्रव दाब के सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) तीनों भागों के उत्तर वैचारिक स्पष्टता के साथ अलग-अलग बिंदुओं में दें।
c) सूत्र \( P = h\rho g \) का उल्लेख करना न भूलें।

Question 9.2: स्पष्ट कीजिए क्यों.
(a) पारे का काँच के साथ स्पर्श कोण अधिक कोण होता है जबकि जल का काँच के साथ स्पर्श कोण न्यून कोण होता है।
(b) काँच के स्वच्छ समतल पृष्ठ पर जल फैलने का प्रयास करता है जबकि पारा उसी पृष्ठ पर बूँद बनाने का प्रयास करता है। (दूसरे शब्दों में वे जल कोँच को गीला कर देता है जबकि पारा ऐसा नहीं करता है)।
(c) किसी द्रव का पृष्ठ तनाव पृष्ठ के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
(d) जल में घुले अपमार्जकों के स्पर्श कोणों का मान कम होना चाहिए।
(e) यदि किसी बाह्य बल का प्रभाव न हो, तो द्रव बूँद की आकृति सदैव गोलाकार होती है।

Answer:

संपर्क बिंदु पर तरल सतह पर स्पर्शरेखा और तरल के अंदर की सतह के बीच के कोण को स्पर्श कोण (\( \theta \)) कहा जाता है।
\( \cos\theta = \frac{S_{sa} - S_{sl}}{S_{la}} \)
(a) पारे के अणु (जो काँच के साथ अधिक कोण बनाते हैं) में आपस में एक प्रबल आकर्षण बल और ठोस के प्रति निर्बल आकर्षण बल होता है। इसलिए, वे बूँद का निर्माण करते हैं।
(b) दूसरी ओर, पानी के अणु काँच के साथ न्यून कोण बनाते हैं। उनमें आपस में कमजोर आकर्षण बल और ठोस पदार्थों के प्रति आकर्षण का प्रबल बल होता है। इसलिए, वे फैलने लगते हैं।
(c) एक द्रव के सतह और किसी अन्य सतह के पृष्ठ के बीच प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला बल पृष्ठ तनाव बल है। यह बल द्रव के पृष्ठ के क्षेत्रफल से स्वतंत्र है। इसलिए, पृष्ठ तनाव द्रव सतह के क्षेत्र से स्वतंत्र है।
(d) पानी में घुले अपमार्जकों के साथ स्पर्श कोण (\( \theta \)) छोटे होते हैं। इसका कारण यह है कि छोटे \( \theta \) के लिए, कपड़े में अपमार्जकों की केशिका तेजी से ऊपर उठती है। किसी द्रव का केशिका उत्थान संपर्क कोण (\( \theta \)) की cosine के समानुपाती होता है। यदि \( \theta \) छोटा है, तो \( \cos\theta \) बड़ा होगा और कपड़े में अपमार्जक पानी का तेजी से बढ़ेगा।
(e) पृष्ठ तनाव की उपस्थिति के कारण एक द्रव न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल का अधिग्रहण करता है। किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी दिए गए आयतन के लिए न्यूनतम होता है। इसलिए, बिना किसी बाहरी बल के, तरल की बूँदें हमेशा गोलाकार आकार लेती हैं।

मुख्य बिंदु:

• स्पर्श कोण ससंजक और आसंजक बलों के बीच के संबंध को दर्शाता है।
• पृष्ठ तनाव क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता, यह एक आंतरिक गुण है।
• न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल के कारण बूँदें गोलाकार होती हैं।

आम गलतियाँ:

• ससंजक और आसंजक बलों की परिभाषा में भ्रमित होना।
• पृष्ठ तनाव को बल और क्षेत्रफल का अनुपात समझने की भूल करना।

Exam Tips:

a) स्पर्श कोण के सूत्र का उल्लेख करें।
b) प्रत्येक उप-भाग का वैज्ञानिक कारण स्पष्ट शब्दों में दें।
c) गोलाकार आकृति के लिए न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल के सिद्धांत को समझाएँ।

Question 9.3: प्रत्येक प्रकथन के साथ संलग्न सूची में से उपयुक्त शब्द छाँटकर उस प्रकथन के रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए:
(a) व्यापक रूप में द्रवों का पृष्ठ तनाव ताप बढ़ने पर ...................... है। (बढ़ता/घटता)
(b) गैसों की श्यानता ताप बढ़ने पर ...................... है, जबकि द्रवों की श्यानता ताप बढ़ने पर ...................... है। (बढ़ती/घटती)
(c) दृढ़ता प्रत्यास्थता गुणांक वाले ठोसों के लिए अपरूपण प्रतिबल ...................... के अनुक्रमानुपाती होता है, जबकि द्रवों के लिए वह ...................... के अनुक्रमानुपाती होता है। (अपरूपण विकृति/अपरूपण विकृति की दर)
(d) किसी तरल के अपरिवर्ती प्रवाह में आए किसी संकीर्ण पर प्रवाह की चाल में वृद्धि में ...................... का अनुसरण होता है। (संहति का संरक्षण/बरनूली सिद्धांत)
(e) किसी वायु सुरंग में किसी वायुयान के मॉडल में प्रक्षोभ की चाल वास्तविक वायुयान के प्रक्षोभ के लिए क्रांतिक चाल की तुलना में ...................... होती है। (अधिक/कम)

Answer:

(a) घटता है
किसी द्रव का पृष्ठ तनाव तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
(b) बढ़ती है; कम हो जाती है
अधिकांश तरल पदार्थ अपनी गति के लिए प्रतिरोध प्रदान करते हैं। यह आंतरिक यांत्रिक घर्षण की तरह है, जिसे श्यानता के रूप में जाना जाता है। तापमान के साथ गैसों की श्यानता बढ़ती है, जबकि तापमान के साथ तरल पदार्थों की श्यानता कम हो जाती है।
(c) अपरूपण विकृति; अपरूपण विकृति की दर
ठोसों के लिए कठोरता के प्रत्यास्थता गुणांक के संदर्भ में, अपरूपण बल अपरूपण विकृति के समानुपाती होता है। तरल पदार्थ के लिए कठोरता के प्रत्यास्थता गुणांक के संदर्भ में, अपरूपण बल अपरूपण विकृति की दर के समानुपाती होता है।
(d) संहित का संरक्षण / बरनूली के सिद्धांत
एक निरंतर प्रवाह वाले द्रव के लिए, एक संकीर्ण पर इसकी प्रवाह गति में वृद्धि द्रव्यमान के संरक्षण/बरनूली के सिद्धांत का अनुसरण करती है।
(e) अधिक
किसी वायु सुरंग में किसी वायुयान के मॉडल में प्रक्षोभ की चाल वास्तविक वायुयान के प्रक्षोभ के लिए क्रांतिक चाल की तुलना में अधिक होती है। यह बर्नौली के सिद्धांत का अनुसरण करता है और विभिन्न रेनॉल्ड्स की संख्याएं दो विमानों की गति से जुड़ी होती हैं।

मुख्य बिंदु:

• तापमान बढ़ाने पर द्रवों का पृष्ठ तनाव घटता है।
• ठोसों में प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है, जबकि द्रवों में यह विकृति की दर के समानुपाती होता है।
• रेनॉल्ड्स संख्या द्रव प्रवाह के प्रकार को निर्धारित करती है।

आम गलतियाँ:

• गैसों और द्रवों की श्यानता पर तापमान के प्रभाव को आपस में मिला देना।
• ठोस और द्रव के प्रत्यास्थता गुणों में भ्रम होना।

Exam Tips:

a) रिक्त स्थानों में सही शब्द चुनते समय भौतिक अवधारणाओं का ध्यान रखें।
b) प्रत्येक कथन के पीछे के वैज्ञानिक कारण को याद रखें।
c) उत्तर लिखते समय पूर्ण वाक्य का प्रयोग करें।

Question 9.4: निम्नलिखित के कारण स्पष्ट कीजिए:
(a) किसी कागज की पट्टी को क्षैतिज रखने के लिए आपको उस कागज पर ऊपर की ओर हवा फूँकनी चाहिए, नीचे की ओर नहीं।
(b) जब हम किसी जल टोंटी को अपनी उँगलियों द्वारा बंद करने का प्रयास करते हैं, तो उँगलियों के बीच की खाली जगह से तीव्र जल धाराएँ फूट निकलती हैं।
(c) इंजेक्शन लगाते समय डॉक्टर के अंगूठे द्वारा आरोपित दाब की अपेक्षा सुई का आकार दवाई की बहिःप्रवाही धारा को अधिक अच्छा नियंत्रित करता है।
(d) किसी पात्र के बारीक छिद्र से निकलने वाला तरल उस पर पीछे की ओर प्रणाोद आरोपित करता है।
(e) कोई प्रचकमान क्रिकेट की गेंद वायु में परवलीय पथ का अनुसरण नहीं करती।

Answer:

(a) जब एक कागज के नीचे हवा उठाई जाती है, तो हवा का वेग कागज के ऊपर की तुलना में नीचे अधिक होता है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, कागज के नीचे वायुमंडलीय दाब कम हो जाता है। इससे पेपर गिर जाता है। कागज के एक टुकड़े को क्षैतिज रखने के लिए उस पर फूंक मारना चाहिए। इससे कागज के ऊपर हवा का वेग बढ़ जाता है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, वायुमंडलीय दबाव कागज के ऊपर कम हो जाता है और कागज क्षैतिज रहता है। सातत्य समीकरण के अनुसार: क्षेत्रफल \( \times \) वेग = स्थिरांक
(b) एक छोटे छिद्र के लिए, तरल पदार्थ के प्रवाह का वेग उससे अधिक होता है जब छिद्र बड़ा होता है। जब हम अपनी उंगलियों से पानी के नल को बंद करने का प्रयास करते हैं, तो पानी की तेज धाराएं हमारी उंगलियों के बीच के छिद्रों से बह जाती हैं। इसका कारण यह है कि पाइप से पानी निकलने के लिए बहुत छोटे-छोटे छिद्र रह जाते हैं। अतः क्षेत्रफल और वेग एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।
(c) एक सिरिज सुई का छोटा सा छिद्र रक्त बहने वाले वेग को नियंत्रित करता है। यह सातत्य समीकरण के कारण है। सिरिज प्रणाली के संकुचन बिंदु पर, प्रवाह दर अचानक एक स्थिर अंगूठे के दबाव के लिए उच्च मान तक बढ़ जाती है।
(d) जब एक बर्तन में एक छोटे से छेद से कोई द्रव बहता है, तो बर्तन को पीछे की ओर प्रनोद आरोपित करता है। सातत्य समीकरण के अनुसार एक छोटे से छेद से बहने वाला द्रव का वेग अधिक होता है: क्षेत्रफल \( \times \) वेग = स्थिर। गति के संरक्षण के नियम के अनुसार, बर्तन पीछे की ओर जाता है क्योंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहे हैं।
(e) एक प्रचकमान क्रिकेट गेंद में दो गति एक साथ होती है - घूर्णन और रैखिक। ये दो प्रकार की गति एक दूसरे के प्रभाव का विरोध करती हैं। इससे गेंद के नीचे बनने वाली हवा का वेग कम हो जाता है। इसलिए, गेंद के ऊपरी हिस्से में नीचे की तुलना में दबाव कम हो जाता है। गेंद पर एक बल ऊपर की ओर कार्य करता है। इसलिए, गेंद एक घुमावदार रास्ता अपनाती है। यह एक परवलयिक पथ का अनुसरण नहीं करती है।

मुख्य बिंदु:

• बर्नौली का सिद्धांत उच्च वेग और कम दाब के संबंध को समझाता है।
• सातत्य समीकरण (Equation of Continuity) क्षेत्रफल और वेग के व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है।
• मैग्नस प्रभाव के कारण घूर्णन करती गेंद पर उत्थायक बल लगता है।

आम गलतियाँ:

• बर्नौली प्रमेय और सातत्य समीकरण के अनुप्रयोगों में अंतर न समझ पाना।
• प्रक्षेप्य गति और मैग्नस प्रभाव में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक घटना के पीछे के भौतिक सिद्धांत (जैसे बर्नौली प्रमेय) का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) दाब और वेग के व्युत्क्रमानुपाती संबंध को शब्दों में भली-भाँति समझाएँ।
c) तार्किक कारणों को चरणबद्ध तरीके से लिखें।

Question 9.5: ऊँची एड़ी के जूते पहने 50 kg संहति की कोई बालिका अपने शरीर को 1.0 cm व्यास की एक ही वृत्ताकार एड़ी पर संतुलित किए हुए है। क्षैतिज फर्श पर एड़ी द्वारा आरोपित दाब ज्ञात कीजिए।

Answer:

लड़की का द्रव्यमान, \( m = 50\text{ kg} \)
एड़ी का व्यास, \( d = 1\text{ cm} = 0.01\text{ m} \)
एड़ी की त्रिज्या, \( r = d/2 = 0.005\text{ m} \)
एड़ी का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 = \pi (0.005)^2 = 7.85 \times 10^{-5}\text{ m}^2 \)
फर्श पर एड़ी द्वारा लगाया गया बल:
\( F = mg = 50 \times 9.8 = 490\text{ N} \)
एड़ी द्वारा फर्श पर लगाया जाने वाला दाब:
\( P = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्र}} \)
\( P = \frac{490}{7.85 \times 10^{-5}} = 6.24 \times 10^6\text{ N m}^{-2} \)
इसलिए, क्षैतिज फर्श पर एड़ी द्वारा लगाया गया दाब \( 6.24 \times 10^6\text{ N m}^{-2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दाब का सूत्र \( P = \frac{F}{A} \) है।
• क्षेत्रफल निकालने के लिए वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र \( \pi r^2 \) का प्रयोग किया गया है।
• सभी राशियों को SI मात्रक (मीटर और किलोग्राम) में बदलना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• व्यास को त्रिज्या में बदलना भूल जाना।
• सेंटीमीटर को मीटर में बदलते समय घात की गलती करना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय इकाई रूपांतरण (जैसे cm से m) सावधानी से करें।
b) अंतिम उत्तर में दाब का सही मात्रक (\( \text{N m}^{-2} \) या पास्कल) लिखें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 9.6: टोरीसिली के वायुदाब मापी में पारे का उपयोग किया गया था। पास्कल ने ऐसा ही वायुदाब मापी \( 984\text{ kg m}^{-3} \) घनत्व की फ्रेंच शराब का उपयोग करके बनाया। सामान्य वायुमंडलीय दाब के लिए शराब-स्तंभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer:

पारे का घनत्व, \( \rho_1 = 13.6 \times 10^3\text{ kg/m}^3 \)
पारे स्तंभ की ऊँचाई, \( h_1 = 0.76\text{ m} \)
फ्रेंच शराब का घनत्व, \( \rho_2 = 984\text{ kg/m}^3 \)
फ्रेंच शराब स्तम्भ की ऊँचाई = \( h_2 \)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \( g = 9.8\text{ m/s}^2 \)
दोनों स्तंभों में दबाव समान है, अर्थात्, पारे के स्तम्भ में दबाव = फ्रेंच शराब स्तम्भ में दबाव
\( \rho_1 h_1 g = \rho_2 h_2 g \)
\( h_2 = \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2} = \frac{13.6 \times 10^3 \times 0.76}{984} = 10.5\text{ m} \)
इसलिए, सामान्य वायुमंडलीय दाब के लिए फ्रेंच शराब स्तम्भ की ऊँचाई 10.5 मीटर है।

मुख्य बिंदु:

• दोनों द्रवों द्वारा लगाया गया दाब बराबर होता है (\( \rho_1 h_1 g = \rho_2 h_2 g \)).
• कम घनत्व वाले द्रव के लिए स्तंभ की ऊँचाई अधिक होती है।
• मानक पारे का दाब \( 0.76\text{ m} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• घनत्व के मानों में घात की गलती करना।
• सूत्रों में मान रखते समय प्रतीकों की अदला-बदली करना।

Exam Tips:

a) दाबो की समानता के नियम को लिखकर शुरुआत करें।
b) कैल्कुलेशन करते समय दशमलव स्थानों का ध्यान रखें।
c) उत्तर के साथ सही मात्रक (मीटर) लिखना न भूलें।

Question 9.7: समुद्र तट से दूर कोई ऊर्ध्वाधर संरचना \( 10^9\text{ Pa \) के अधिकतम प्रतिबल को सहन करने के लिए बनाई गई है। क्या यह संरचना किसी महासागर के भीतर किसी तेल कुूप के शिखर पर रखे जाने के लिए उपयुक्त है? महासागर की गहराई लगभग \( 3\text{ km} \) है। समुद्री धाराओं की उपेक्षा कीजिए।

Answer:

हाँ, संरचना के लिए अधिकतम स्वीकार्य प्रतिबल, \( P = 10^9\text{ Pa} \)
महासागर की गहराई, \( d = 3\text{ km} = 3 \times 10^3\text{ m} \)
पानी का घनत्व, \( \rho = 10^3\text{ kg/m}^3 \)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \( g = 9.8\text{ m/s}^2 \)
गहराई में महासागर के पानी के कारण डाला गया दबाव,
\( d = \rho d g = 3 \times 10^3 \times 10^3 \times 9.8 = 2.94 \times 10^7\text{ Pa} \)
संरचना के लिए अधिकतम स्वीकार्य प्रतिबल (\( 10^9\text{ Pa} \)), महासागर के पानी के दबाव (\( 2.94 \times 10^7\text{ Pa} \)) से अधिक है।
महासागर द्वारा लगाया गया दबाव उस दबाव से कम है जिसे संरचना सहन सकती है। इसलिए, संरचना महासागर में एक तेल के कुूप के ऊपर रखने के लिए उपयुक्त है।

मुख्य बिंदु:

• hydrostatic pressure का सूत्र \( P = \rho g d \) है।
• दिए गए अधिकतम प्रतिबल की तुलना जल के दाब से की जाती है।
• यदि जल का दाब स्वीकार्य प्रतिबल से कम है, तो संरचना सुरक्षित है।

आम गलतियाँ:

• किलोमीटर को मीटर में बदलना भूल जाना।
• तुलना करते समय घात (powers of 10) की तुलना गलत करना।

Exam Tips:

a) जल के कारण उत्पन्न दाब की गणना स्पष्ट चरणों में करें।
b) निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से शब्दों में लिखें कि संरचना सुरक्षित है या नहीं।
c) सभी दिए गए मानों को सूत्र में सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

Question 9.8: किसी द्रवचालित ऑटोमोबाइल लिफ्ट की संरचना अधिकतम \( 3000\text{ kg} \) संहति की कारों को उठाने के लिए की गई है। बोझ को उठाने वाले पिस्टन की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \( 425\text{ cm}^2 \) है। छोटे पिस्टन को कितना अधिकतम दाब सहन करना होगा?

Answer:

एक कार का अधिकतम द्रव्यमान जिसे उठाया जा सकता है, \( m = 3000\text{ kg} \)
भार बहन करने वाले पिस्टन के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, \( A = 425\text{ cm}^2 = 425 \times 10^{-4}\text{ m}^2 \)
भार द्वारा लगाया गया अधिकतम बल,
\( F = mg = 3000 \times 9.8 = 29400\text{ N} \)
भार बहन करने वाले पिस्टन पर लगाया गया अधिकतम दबाव, \( p = \frac{F}{A} = \frac{29400}{425 \times 10^{-4}} = 6.917 \times 10^5\text{ Pa} \)
एक तरल में सभी दिशाओं में दबाव समान रूप से प्रसारित होता है। इसलिए, अधिकतम दबाव जो छोटे पिस्टन को सहन करना होगा वह \( 6.917 \times 10^5\text{ Pa} \) है।

मुख्य बिंदु:

• पास्कल के नियम के अनुसार बंद द्रव में दाब सभी जगह समान रहता है।
• \( P = \frac{F}{A} \) का उपयोग करके दाब की गणना की जाती है।
• क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर से वर्ग मीटर में बदलना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• \( \text{cm}^2 \) को \( \text{m}^2 \) में बदलते समय \( 10^{-4} \) से गुणा न करना।
• बल और द्रव्यमान को एक ही समझ लेना।

Exam Tips:

a) भार निकालने के लिए \( F = mg \) सूत्र का प्रयोग करें।
b) पास्कल के नियम का संक्षिप्त उल्लेख करें।
c) अंतिम उत्तर पास्कल (\( \text{Pa} \)) में दें।

Question 9.9: किसी U-नली की दोनों भुजाओं में भरे जल तथा मेथेलेटिड स्पिरिट को पारा एक-दूसरे से पृथक करता है। जब जल तथा पारे के स्तंभ क्रमशः \( 10.0\text{ cm} \) तथा \( 12.5\text{ cm} \) ऊँचे हैं, तो दोनों भुजाओं में पारे का स्तर समान है। स्पिरिट का आपेक्षिक घनत्व ज्ञात कीजिए।

Answer:

स्पिरिट स्तंभ की ऊँचाई, \( h_1 = 12.5\text{ cm} = 0.125\text{ m} \)
जल स्तंभ की ऊँचाई, \( h_2 = 10\text{ cm} = 0.1\text{ m} \)
\( P_0 = \) वायुमंडलीय दाब
\( \rho_1 = \) स्पिरिट का घनत्व
\( \rho_2 = \) पानी का घनत्व
बिंदु B पर दाब = \( P_0 + h_1 \rho_1 g \)
बिंदु D पर दाब = \( P_0 + h_2 \rho_2 g \)
बिंदु B और D पर दबाव समान है
\( P_0 + h_1 \rho_1 g = P_0 + h_2 \rho_2 g \)
\( \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{10}{12.5} = 0.8 \)
इसलिए, स्पिरिट का विशिष्ट गुरुत्व \( 0.8 \) है।

मुख्य बिंदु:

• U-नली के समान स्तर पर दाब बराबर होता है।
• आपेक्षिक घनत्व दो घनत्वों का अनुपात होता है।
• ऊंचाइयों का अनुपात घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

आम गलतियाँ:

• पारे और जल के स्तंभों की ऊँचाइयों को आपस में उलटा रख देना।
• वायुमंडलीय दाब को समीकरण में शामिल न करना।

Exam Tips:

a) U-नली के संतुलन की शर्त को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) ऊँचाइयों के मान सही क्रम में रखें।
c) आपेक्षिक घनत्व का कोई मात्रक नहीं होता, इसे स्पष्ट करें।

Question 9.10: यदि प्रश्न 9.9 की समस्या में, U-नली की दोनों भुजाओं में इन्हीं दोनों द्रवों को और उडेल कर दोनों द्रवों के स्तंभों की ऊँचाई \( 15.0\text{ cm} \) और बढ़ा दी जाएँ, तो दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों में क्या अंतर होगा? (पारे का आपेक्षिक घनत्व = 13.6)

Answer:

जल स्तंभ की ऊँचाई, \( h_1 = 10 + 15 = 25\text{ cm} \)
स्पिरिट स्तंभ की ऊँचाई, \( h_2 = 12.5 + 15 = 27.5\text{ cm} \)
पानी का घनत्व, \( \rho_1 = 1\text{ g cm}^{-3} \)
स्पिरिट का घनत्व, \( \rho_2 = 0.8\text{ g cm}^{-3} \)
पारे का घनत्व = \( 13.6\text{ g cm}^{-3} \)
मान लें कि दोनों भुजाओं में पारे के स्तर के बीच का अंतर \( h \) है।
पारा स्तंभ की ऊँचाई \( h \) द्वारा लगाया गया दबाव: = \( h\rho g = h \times \times 13.6 \)
पानी और स्पिरिट द्वारा लगाए गए दबावों के बीच अंतर:
\( = h_1 \rho_1 g - h_1 \rho_1 g = g(25 \times 1 - 27.5 \times 0.8) = 3g \)
समीकरण (i) और (ii) की तुलना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
\( 13.6\text{ hg} = 3gh \Rightarrow h = \frac{3}{13.6} = 0.22058 \approx 0.221\text{ cm} \)
अतः दोनों भुजाओं में पारे के स्तर का अंतर \( 0.221\text{ cm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दोनों द्रवों की ऊँचाई बढ़ाने पर दाब में अंतर उत्पन्न होता है।
• दाब संतुलन के लिए पारे के स्तर में थोड़ा बदलाव आता है।
• पारे के घनत्व का उपयोग करके स्तर के अंतर \( h \) की गणना की जाती है।

आम गलतियाँ:

• नई ऊँचाइयों की गणना में त्रुटि करना।
• पारे के घनत्व से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) नई ऊँचाइयों को स्पष्ट रूप से जोड़कर दिखाएँ।
b) दबावों के अंतर का समीकरण सावधानीपूर्वक हल करें।
c) अंतिम उत्तर सेंटीमीटर में दें।

Question 9.11: क्या बर्नौली समीकरण का उपयोग किसी नदी की किसी क्षिप्रािका के जल-प्रवाह का विवरण देने के लिए किया जा सकता है? स्पष्ट कीजिए।

Answer:

नहीं, बर्नौली के समीकरण का उपयोग किसी नदी की किसी क्षिप्रािका के जल-प्रवाह का विवरण देने के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि नदी के पानी का प्रवाह विक्षोभ होता है। यह सिद्धांत केवल एक सुव्यवस्थित प्रवाह पर लागू किया जा सकता है।

मुख्य बिंदु:

• बर्नौली समीकरण केवल धारारेखी (Streamlined) या शांत प्रवाह के लिए वैध है।
• क्षिप्रािका (Rapids) में जल का प्रवाह विक्षुब्ध (Turbulent) होता है।
• विक्षुब्ध प्रवाह में ऊर्जा नियत नहीं रहती।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि बर्नौली प्रमेय हर प्रकार के द्रव प्रवाह पर लागू होती है।

Exam Tips:

a) 'नहीं' के साथ उपयुक्त कारण स्पष्ट रूप से लिखें।
b) धारारेखी और विक्षुब्ध प्रवाह का अंतर स्पष्ट करें।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 9.12: बर्नौली समीकरण के अनुप्रयोग में यदि निर्देश दाब के स्थान पर प्रमापी दाब (गेज दाब) का प्रयोग करें तो क्या इससे कोई अंतर पड़ेगा? स्पष्ट कीजिए।

Answer:

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बर्नौली के समीकरण को लागू करते समय कोई निरपेक्ष दबाव के बजाय गेज दबाव का उपयोग करता है। जिन दो बिंदुओं पर बर्नौली का समीकरण लागू होता है, उनमें काफी भिन्न वायुमंडलीय दबाव होना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• गेज दाब और निरपेक्ष दाब में वायुमंडलीय दाब का अंतर होता है।
• समीकरण के दोनों सिरों पर वायुमंडलीय दाब समान रूप से जुड़ता है।
• इससे समीकरण के परिणामों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

आम गलतियाँ:

• यह सोचना कि गेज दाब का उपयोग करने से बर्नौली समीकरण बदल जाता है।

Exam Tips:

a) स्पष्ट रूप से कहें कि कोई अंतर नहीं पड़ेगा।
b) कारण में वायुमंडलीय दाब के निरस्तीकरण (cancellation) का जिक्र करें।

Question 9.13: किसी \( 1.5\text{ m} \) लंबी \( 1.0\text{ cm} \) त्रिज्या की क्षैतिज नली से ग्लिसरीन का अपरिवर्ती प्रवाह हो रहा है। यदि नली के एक सिरे पर प्रति सेकंड एकत्र होने वाली ग्लिसरीन का परिमाण \( 4.0 \times 10^{-3}\text{ kg s}^{-1} \) है, तो नली के दोनों सिरों के बीच दाबातंर ज्ञात कीजिए। (ग्लिसरीन का घनत्व = \( 1.3 \times 10^3\text{ kg m}^{-3} \) तथा ग्लिसरीन की श्यानता = \( 0.83\text{ Pa s} \)). [आप यह भी जाँच करना चाहेंगे कि क्या इस नली में स्तरीय प्रवाह की परिकल्पना सही है]।

Answer:

क्षैतिज नली की लंबाई, \( l = 1.5\text{ m} \)
नली की त्रिज्या, \( r = 1\text{ cm} = 0.01\text{ m} \)
नली का व्यास, \( d = 2r = 0.02\text{ m} \)
ग्लिसरीन \( 4.0 \times 10^{-3}\text{ kg s}^{-1} \) की दर से बह रहा है।
\( M = 4.0 \times 10^{-3}\text{ kg s}^{-1} \)
ग्लिसरीन का घनत्व, \( \rho = 1.3 \times 10^3\text{ kg m}^{-3} \)
ग्लिसरीन की श्यानता, \( \eta = 0.83\text{ Pa s} \)
प्रति सेकंड बहने वाली ग्लिसरीन की मात्रा:
\( V = \frac{M}{\rho} = \frac{4.0 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^3} = 3.08 \times 10^{-6}\text{ m}^3\text{s}^{-1} \)
पॉइजविले के सूत्र के अनुसार, प्रवाह की दर के लिए संबंध है:
\( V = \frac{\pi pr^4}{8\eta l} \)
जहाँ, \( p \) नली के दोनों सिरों के बीच दाब का अंतर है
\( p = \frac{V 8\eta l}{\pi r^4} = \frac{3.08 \times 10^{-6} \times 8 \times 0.83 \times 1.5}{\pi \times (0.01)^4} = 9.8 \times 10^2\text{ Pa} \)
रेनॉल्ड्स की संख्या निम्न संबंध द्वारा दी गई है:
\( R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{V \rho v}{\pi d \eta} = \frac{4 \times 1.3 \times 10^3 \times 3.08 \times 10^{-6}}{\pi \times (0.02) \times 0.83} = 0.3 \)
रेनॉल्ड्स की संख्या लगभग 0.3 है। इसलिए, प्रवाह स्तरीय है।

मुख्य बिंदु:

• पॉइजविले के सूत्र (\( V = \frac{\pi pr^4}{8\eta l} \)) का उपयोग दाब अंतर निकालने के लिए किया जाता है।
• रेनॉल्ड्स संख्या से प्रवाह के प्रकार (स्तरीय या विक्षुब्ध) की जाँच की जाती है।
• \( R_e < 2000 \) होने पर प्रवाह स्तरीय होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या और व्यास में भ्रमित होना।
• पॉइजविले सूत्र में मान रखते समय मात्रकों को SI में न बदलना।

Exam Tips:

a) पॉइजविले का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) रेनॉल्ड्स संख्या की गणना करके प्रवाह की संपुष्टि अवश्य दिखाएँ।
c) प्रत्येक चरण में सही मात्रक का प्रयोग करें।

Question 9.14: किसी आदर्श वायुयान के परीक्षण प्रयोग में वायु-सुरंग के भीतर पंखों के ऊपर और नीचे के पृष्ठों पर वायु-प्रवाह की गतियाँ क्रमशः \( 70\text{ m s}^{-1} \) तथा \( 63\text{ m s}^{-1} \) हैं। यदि पंख का क्षेत्रफल \( 2.5\text{ m}^2 \) है, तो उस पर आरोपित उत्थायक बल परिकलित कीजिए। [वायु का घनत्व \( 1.3\text{ kg m}^{-3} \) लीजिए]।

Answer:

पंखा की ऊपरी सतह पर हवा की गति, \( V_1 = 70\text{ m/s} \)
पंखा की निचली सतह पर हवा की गति, \( V_2 = 63\text{ m/s} \)
पंख का क्षेत्रफल, \( A = 2.5\text{ m}^2 \)
हवा का घनत्व, \( \rho = 1.3\text{ kg m}^{-3} \)
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार, हमारा पास संबंध है:
\( P_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 \)
\( P_1 - P_2 = \rho(V_2^2 - V_1^2) \)
जहाँ, \( P_1 = \) पंख की ऊपरी सतह पर दबाव, \( P_2 = \) पंख की निचली सतह पर दबाव
पंख की ऊपरी और निचली सतहों के बीच दबाव अंतर हवाई जहाज को ऊपर उठने में मदद करता है।
पंख पर उत्थायक बल = \( (P_2 - P_1)A = \frac{1}{2}\rho(V_1^2 - V_2^2)A \)
\( = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (70^2 - 63^2) \times 2.5 \)
\( = 1512.87 = 1.51 \times 10^3\text{ N} \)
इसलिए, हवाई जहाज के पंख पर उत्थायक बल \( 1.51 \times 10^3\text{ N} \) है।

मुख्य बिंदु:

• बर्नौली प्रमेय का उपयोग दाब अंतर निकालने के लिए किया जाता है।
• उत्थायक बल (Lift force) दाब अंतर और क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
• ऊपरी सतह पर वेग अधिक होने से दाब कम हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• वेगों के वर्गों के अंतर को गलत तरीके से घटाना।
• \( P_1 \) और \( P_2 \) की स्थिति में भ्रम होना।

Exam Tips:

a) बर्नौली समीकरण लिखकर शुरुआत करें।
b) उत्थायक बल के लिए \( F = \Delta P \times A \) सूत्र का उपयोग करें।
c) उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन (\( 1.51 \times 10^3\text{ N} \)) में लिखें।

Question 9.15: चित्र 9.20 (a) तथा (b) किसी द्रव (श्यानताहीन) का अपरिवर्ती प्रवाह दर्शाते हैं। इन दोनों चित्रों में से कौन सही नहीं है? कारण स्पष्ट कीजिए।

Answer:

चित्र (b) में दिए गए मामले को लें।
जहाँ, \( A_1 = \) पाइप 1 का क्षेत्रफल, \( A_2 = \) पाइप 2 का क्षेत्रफल, \( V_1 = \) पाइप 1 में द्रव की गति, \( V_2 = \) पाइप 2 में द्रव की गति
सातत्य के नियम से, हमारे पास है:
\( A_1 V_1 = A_2 V_2 \)
जब वेंचरीमीटर के मध्य में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल छोटा होता है तो इस भाग से द्रव के प्रवाह की गति अधिक होती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, यदि गति अधिक है, तो दाब कम होता है।
दबाव ऊँचाई के समानुपातिक है। इसलिए, पाइप 2 में पानी का स्तर कम है। इसलिए, आकृति (a) संभव नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• सातत्य समीकरण (\( A_1V_1 = A_2V_2 \)) के अनुसार संकीर्ण भाग में वेग अधिक होता है।
• बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार अधिक वेग वाले स्थान पर दाब कम होता है।
• कम दाब के कारण मैनोमीटर नली में द्रव का स्तर कम हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• वेग और दाब के संबंध को उल्टा समझ लेना।

Exam Tips:

a) सातत्य समीकरण और बर्नौली सिद्धांत दोनों का संयुक्त रूप से उल्लेख करें।
b) आकृति (b) को सही और (a) को गलत क्यों कहा गया है, इसका तार्किक कारण दें।

Question 9.16: किसी स्प्रे पंप की बेलनाकार नली की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \( 8.0\text{ cm}^2 \) है। इस नली के एक सिरे पर \( 1.0\text{ mm} \) व्यास के 40 सूक्ष्म छिद्र हैं। यदि इस नली के भीतर द्रव के प्रवाहित होने की दर \( 1.5\text{ m min}^{-1} \) है, तो छिद्रों से होकर जाने वाले द्रव की निकासन-चाल ज्ञात कीजिए।

Answer:

स्प्रे पंप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, \( A_1 = 8\text{ cm}^2 = 8 \times 10^{-4}\text{ m}^2 \)
छिद्रों की संख्या, \( n = 40 \)
प्रत्येक छेद का व्यास, \( d = 1\text{ mm} = 1 \times 10^{-3}\text{ m} \)
प्रत्येक छेद की त्रिज्या, \( r = \frac{d}{2} = 0.5 \times 10^{-3}\text{ m} \)
प्रत्येक छिद्र के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, \( a = \pi r^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3})^2\text{ m}^2 \)
40 छेदो का कुल क्षेत्रफल, \( A_2 = n \times a \)
\( = 40 \times \pi (0.5 \times 10^{-3})^2\text{ m}^2 = 31.41 \times 10^{-6}\text{ m}^2 \)
नली के अंदर द्रव के प्रवाह की गति, \( V_1 = 1.5\text{ m/min} = 0.025\text{ m/s} \)
छिद्रों के माध्यम से द्रव की निकासी की गति = \( V_2 \)
सातत्य नियम के अनुसार, हमारे पास है:
\( A_1 V_1 = A_2 V_2 \)
\( V_2 = \frac{A_1 V_1}{A_2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 0.025}{31.61 \times 10^{-6}} = 0.633\text{ m/s} \)
अतः छिद्रों से द्रव के निष्कासन की गति \( 0.633\text{ m/s} \) है।

मुख्य बिंदु:

• सातत्य समीकरण \( A_1V_1 = n \cdot a V_2 \) का उपयोग किया जाता है।
• सभी छिद्रों का कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए एक छिद्र के क्षेत्रफल को 40 से गुणा करते हैं।
• मिनट को सेकंड में बदलना आवश्यक है (\( 1.5\text{ m/min} = 0.025\text{ m/s} \)).

आम गलतियाँ:

• सभी 40 छिद्रों के कुल क्षेत्रफल की जगह केवल एक छिद्र का क्षेत्रफल ले लेना।
• मात्रकों के रूपांतरण में भूल करना।

Exam Tips:

a) सातत्य समीकरण का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) प्रत्येक चरण की गणना सावधानी से करें।
c) निकास चाल का मात्रक \( \text{m/s} \) में लिखें।

Question 9.17: U-आकार के किसी तार को साबुन के विलयन में डुबो कर बाहर निकाला गया जिससे उस पर एक पतली साबुन की फिल्म बन गई। इस तार के दूसरे सिरे पर फिल्म के संपर्क में एक फिसलने वाला हल्का तार लगा है जो \( 1.5 \times 10^{-2}\text{ N} \) भार (जिसमें इसका अपना भार भी सम्मिलित है) को संभालता है। फिसलने वाले तार की लंबाई \( 30\text{ cm} \) है। साबुन की फिल्म का पृष्ठ तनाव कितना है?

Answer:

वजन जो साबुन फिल्म का वहन कर सकती है, \( W = 1.5 \times 10^{-2}\text{ N} \)
फिसलने वाले तार की लंबाई, \( l = 30\text{ cm} = 0.3\text{ m} \)
एक साबुन फिल्म में दो मुक्त सतहें हैं।
\( \therefore \) कुल लंबाई = \( 2l = 2 \times 0.3 = 0.6\text{ m} \)
पृष्ठ तनाव, \( S = \frac{\text{बल या भार}}{2l} \)
\( S = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.6} = 2.5 \times 10^{-2}\text{ N/m} \)
इसलिए, फिल्म का पृष्ठ तनाव \( 2.5 \times 10^{-2}\text{ N m}^{-1} \) है।

मुख्य बिंदु:

• पृष्ठ तनाव \( S = \frac{F}{2l} \) होता है क्योंकि साबुन की फिल्म की दो मुक्त सतहें होती हैं।
• लंबाई को सेंटीमीटर से मीटर में बदला जाता है।
• बल, फिल्म द्वारा उठाए जाने वाले भार के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• फिल्म की दो सतहों के कारण लंबाई को 2 से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सूत्र \( S = \frac{W}{2l} \) लिखें।
b) मात्रक का विशेष ध्यान रखें (\( \text{N m}^{-1} \)).

Question 9.18: चित्र 9.21 (a) में किसी पतली द्रव-फिल्म को \( 4.5 \times 10^{-2}\text{ N} \) का छोटा भार सँभाले दर्शाيا गया है। चित्र (b) तथा (c) में बनी इसी द्रव की फिल्मै इसी ताप पर कितना भार संभाल सकती है? अपने उत्तर को प्राकृतिक नियमों के अनुसार स्पष्ट कीजिए।

Answer:

स्थिति (a) में:
वजन संभालने वाली तरल फिल्म की लंबाई, \( l = 40\text{ cm} = 0.4\text{ cm} \)
फिल्म द्वारा संभालने योग्य वजन, \( W = 4.5 \times 10^{-2}\text{ N} \)
एक तरल फिल्म में दो मुक्त सतह होती है।
\( \therefore \) पृष्ठ तनाव = \( \frac{W}{2l} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4} = 5.625 \times 10^{-2}\text{ N m}^{-1} \)
तीनों आकृतियों में द्रव समान है। तापमान भी प्रत्येक मामले के लिए समान है। अतः आकृति (b) और आकृति (c) में पृष्ठ तनाव वही है जो आकृति (a) में है, अर्थात \( 5.625 \times 10^{-2}\text{ N m}^{-1} \) चूंकि सभी मामलों में फिल्म की लंबाई \( 40\text{ cm} \) है, इसलिए प्रत्येक मामले में संभालने योग्य वजन \( 4.5 \times 10^{-2}\text{ N} \) है।

मुख्य बिंदु:

• पृष्ठ तनाव द्रव के प्रकार और ताप पर निर्भर करता है, आकृति पर नहीं।
• यदि लंबाई और पृष्ठ तनाव समान हैं, तो संहारे जाने वाला भार भी समान होगा।
• फिल्म की दो मुक्त सतहें होती हैं।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि तार की आकृति बदलने से पृष्ठ तनाव बदल जाता है।

Exam Tips:

a) कारण स्पष्ट करें कि पृष्ठ तनाव केवल तापमान और प्रकृति पर निर्भर करता है।
b) तीनों स्थितियों में भार समान रहने का तर्क दें।

Question 9.19: \( 3.00\text{ mm} \) त्रिज्या की किसी पारे की बूँद के भीतर कमरे के ताप पर दाब क्या है? (\( 20^{\circ}\text{C} \) ताप पर पारे का पृष्ठ तनाव \( 4.65 \times 10^{-1}\text{ N m}^{-1} \) है। यदि वायुमंडलीय दाब \( 1.01 \times 10^5 \) है, तो पारे की बूँद के भीतर दाब-अधिक्य भी ज्ञात कीजिए।

Answer:

पारे की बूँद की त्रिज्या, \( r = 3.00\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} \)
पारे का पृष्ठ तनाव, \( S = 4.65 \times 10^{-1}\text{ N m}^{-1} \)
वायुमंडलीय दाब, \( P_0 = 1.01 \times 10^5\text{ Pa} \)
पारे की बूँद के अंदर दाब दबाव = पारे के अंदर दाब-अधिक्य + वायुमंडलीय दाब
\( = \frac{2S}{r} + P_0 = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}} + 1.01 \times 10^5 \)
\( = 1.0131 \times 10^5 = 1.01 \times 10^5\text{ Pa} \)
दाब-अधिक्य = \( \frac{2S}{r} = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}} = 310\text{ Pa} \)

मुख्य बिंदु:

• बूँद के भीतर दाब-अधिक्य का सूत्र \( \Delta P = \frac{2S}{r} \) होता है (बूँद में केवल एक मुक्त सतह होती है)।
• कुल दाब, वायुमंडलीय दाब और दाब-अधिक्य का योग होता है।
• सभी राशियों को SI मात्रक में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• बूँद और बुलबुले के सूत्र में अंतर न करना (बूँद के लिए \( 2S/r \) और बुलबुले के लिए \( 4S/r \) होता है)।

Exam Tips:

a) दाब-अधिक्य और कुल दाब दोनों के सूत्र अलग-अलग लिखें।
b) गणना में इकाई का ध्यान रखें।

Question 9.20: \( 5.00\text{ mm} \) त्रिज्या के किसी साबुन के विलयन के बुलबुले के भीतर दाब-अधिक्य क्या है? (\( 20^{\circ}\text{C} \) ताप पर साबुन के विलयन का पृष्ठ तनाव \( 2.50 \times 10^{-2}\text{ N m}^{-1} \text{है} \) । यदि इसी विमा का कोई वायु का बुलबुला \( 1.20 \) आपेक्षिक घनत्व के विलयन से भरे किसी पात्र में \( 40.0\text{ cm} \) गहराई पर बनता, तो इस बुलबुले के भीतर क्या दाब होता, ज्ञात कीजिए। (\( 1 \) वायुमंडलीय दाब \( 1.01 \times 10^5\text{ Pa} \))

Answer:

साबुन के बुलबुले के अंदर दाब-अधिक्य \( 20\text{ Pa} \) है;
हवा के बुलबुले के अंदर दबाव \( 1.06 \times 10^5\text{ m} \) है
साबुन के बुलबुले की त्रिज्या, \( r = 5.00\text{ mm} = 5 \times 10^{-3}\text{ m} \)
साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव, \( S = 2.50 \times 10^{-2}\text{ N m}^{-1} \)
साबुन के घोल का आपेक्षिक घनत्व = \( 1.20 \)
साबुन के घोल का घनत्व, \( \rho = 1.2 \times 10^3\text{ kg/m}^3 \)
हवा के बुलबुले की गहराई, \( h = 40\text{ cm} = 0.4\text{ m} \)
हवा के बुलबुले की त्रिज्या, \( r = 5\text{ mm} = 5 \times 10^{-3}\text{ m} \)
\( 1 \) वायुमंडलीय दाब = \( 1.01 \times 10^5\text{ Pa} \)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \( g = 9.8\text{ m/s}^2 \)
इसलिए, साबुन के बुलबुले के अंदर दाब-अधिक्य निम्न संबंध द्वारा दिया है:
\( P = \frac{4S}{r} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} = 20\text{ Pa} \)
इसलिए, साबुन के बुलबुले के अंदर दाब-अधिक्य \( 20\text{ Pa} \) है。
हवा के बुलबुले के अंदर दाब-अधिक्य निम्न संबंध द्वारा दिया है:
\( P = \frac{2S}{r} = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}} = 10\text{ Pa} \)
इसलिए, हवा के बुलबुले के अंदर दाब-अधिक्य \( 10\text{ Pa} \) है।
\( 0.4 \) मीटर की गहराई पर, हवा के बुलबुले के अंदर का कुल दबाव = वायुमंडलीय दाब + \( h\rho g + P' \)
\( = 1.01 \times 10^5 + 0.4 \times 1.2 \times 10^3 \times 9.8 + 10 \)
\( = 1.057 \times 10^5\text{ Pa} = 1.06 \times 10^5\text{ Pa} \)
इसलिए, हवा के बुलबुले के अंदर दबाव \( 1.06 \times 10^5\text{ Pa} \) है।

मुख्य बिंदु:

• साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं, अतः दाब-अधिक्य \( \Delta P = \frac{4S}{r} \) होता है।
• वायु के बुलबुले की एक ही सतह होती है, अतः \( \Delta P = \frac{2S}{r} \) ।
• कुल दाब वायुमंडलीय दाब, द्रव स्तंभ के दाब (\( h\rho g \)), और दाब-अधिक्य का योग होता है।

आम गलतियाँ:

• साबुन के बुलबुले और पानी के बुलबुले के सूत्रों (\( 4S/r \) और \( 2S/r \)) में भ्रम करना।

Exam Tips:

a) दोनों स्थितियों के लिए सही सूत्रों का चयन करें।
b) गहराई पर कुल दाब निकालते समय सभी घटकों को जोड़ें।
c) गणना को ध्यानपूर्वक हल करें।