NCERT Solutions Class 11 Physics Chapter 06 System of Particles and Rotational Motion (कणों के निकाय तथा घूर्णी गति) in Hindi

Question 6.1: एकसमान द्रव्यमान घनत्व के निम्नलिखित पिंडों में प्रत्येक के द्रव्यमान केंद्र की अवस्थिति लिखिए:
(i) गोला, (ii) सिलिंडर, (iii) छल्ला था (iv) घन।
क्या किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र आवश्यक रूप से उस पिंड के भीतर स्थित होता है ?

Answer:

ज्यामितीय केंद्र; नहीं
किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र (C.M.) एक ऐसा बिंदु है जहाँ किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्रित होना चाहिए। एक समान द्रव्यमान घनत्व वाली दी गई ज्यामितीय आकृतियों के लिए, C.M. उनके संबंधित ज्यामितीय केंद्रों पर स्थित होता है। यह जरूरी नहीं कि किसी पिंड के द्रव्यमान का केंद्र उसके भीतर ही हो। उदाहरण के लिए, एक वलय, एक खोखला गोला आदि जैसे पिंड के द्रव्यमान केंद्र पिंड बाहर स्थित होते हैं।

मुख्य बिंदु:

• एकसमान घनत्व वाले सममित पिंडों का द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
• खोखले पिंडों जैसे वलय और छल्ले का द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जो पिंड के पदार्थ से बाहर होता है।
• द्रव्यमान केंद्र का पिंड के अंदर होना अनिवार्य नहीं है।

आम गलतियाँ:

• विद्यार्थियों को लगता है कि द्रव्यमान केंद्र हमेशा पिंड के ठोस भाग के अंदर ही होता है।
• खोखले पिंडों के मामले में केंद्र को गलत बताना।
• ज्यामितीय केंद्र और द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा में भ्रम होना।

Exam Tips:

a) सममित आकृतियों के लिए सीधे ज्यामितीय केंद्र का उल्लेख करें।
b) "नहीं" शब्द लिखकर खोखले पिंडों का उदाहरण अवश्य दें।
c) परिभाषा स्पष्ट और संक्षिप्त रखें।

Question 6.2: HCl अणु में दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच की पृथकन लगभग \( 1.27 \, \text{Å} \) (\( 1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m} \)) है। इस अणु के द्रव्यमान केंद्र की लगभग अवस्थिति ज्ञात कीजिए। यह ज्ञात है कि क्लोरीन का परमाणु हाइड्रोजन की तुलना में 35.5 गुना भारी होता है तथा किसी परमाणु का समस्त द्रव्यमान उसके नाभिक पर केंद्रित होता है।

Answer:

दी गई स्थिति को इस प्रकार दिखाया जा सकता है:
H और Cl परमाणुओं के बीच की दूरी \( d = 1.27 \, \text{Å} \)
H परमाणु का द्रव्यमान = \( m \)
Cl परमाणु का द्रव्यमान = \( 35.5m \)
माना निकाय का द्रव्यमान केंद्र Cl परमाणु से \( x \) दूरी पर स्थित है।
H परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी = \( (1.27 - x) \)
आइए मान लें कि दिए गए अणु के द्रव्यमान का केंद्र मूल बिंदु पर है। इसलिए, हमारे पास हो सकते हैं:
\( \frac{m(1.27 - x) + 35.5mx}{m + 35.5m} = 0 \)
\( M(1.27 - x) + 35.5mx = 0 \)
\( 1.27 - x = -35.5x \)
\( x = \frac{-1.27}{(35.5 - 1)} = -0.037 \, \text{Å} \)
यहाँ ऋणात्मक चिन्ह इंगित करता है कि द्रव्यमान का केंद्र अणु के बाईं ओर स्थित है। अतः HCl अणु का द्रव्यमान केंद्र Cl परमाणु से \( 0.037 \, \text{Å} \) स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• भारी परमाणु के समीप द्रव्यमान केंद्र होता है।
• मूल बिंदु की अवधारणा का उपयोग करके गणना सरल हो जाती है।
• दूरियों का अनुपात द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

आम गलतियाँ:

• द्रव्यमान के मानों को सही से समीकरण में न रखना।
• ऋणात्मक चिह्न के महत्व को नजरअंदाज करना।
• एंगस्ट्रॉन्ग इकाई को मीटर में बदलने में गलती करना (हालांकि यहाँ Å में उत्तर मान्य है)।

Exam Tips:

a) पहले आरेख बनाकर दूरियों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) समीकरण लिखते समय द्रव्यमान और दूरी के गुणनफल का ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर में स्थिति (किस परमाणु से कितनी दूरी पर) स्पष्ट लिखें।

Question 6.3: कोई बच्चा किसी चिकने क्षैतिज फर्श पर एकसमान चाल \( v \) से गतिमान किसी लंबी ट्राली के एक सिरे पर बैठा है। यदि बच्चा खड़ा होकर ट्राली पर किसी भी प्रकार से दौड़ने लगता है, तब निकाय (ट्राली + बच्चा) के द्रव्यमान केंद्र की चाल क्या है?

Answer:

कोई परिवर्तन नहीं होता है, बच्चा \( v \) वेग से चलती ट्रॉली पर मनमाने ढंग से दौड़ रहा है। हालांकि, बच्चे के दौड़ने से ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि लड़के की गति के कारण लगने वाला बल विशुद्ध रूप से आंतरिक है। आंतरिक बल उन पिंडों की गति पर कोई प्रभाव नहीं डालते जिन पर वे कार्य करते हैं। चूंकि बच्चा-ट्रॉली सिस्टम में कोई बाहरी बल शामिल नहीं है, लड़के की गति ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग में कोई बदलाव नहीं लाएगी।

मुख्य बिंदु:

• आंतरिक बल निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं करते हैं।
• बाह्य बल की अनुपस्थिति में कुल संवेग और द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है।
• बच्चे और ट्रॉली का आंतरिक संवाद केवल आंतरिक बल उत्पन्न करता है।

आम गलतियाँ:

• बच्चे की दौड़ने की गति को द्रव्यमान केंद्र की गति में जोड़ देना।
• आंतरिक और बाह्य बलों के प्रभाव को मिला देना।

Exam Tips:

a) संवेग संरक्षण और न्यूटन के गति नियमों का संदर्भ दें।
b) स्पष्ट करें कि बल आंतरिक होने के कारण कुल वेग पर प्रभाव शून्य होगा।
c) उत्तर सैद्धांतिक रूप से स्पष्ट और सटीक लिखें।

Question 6.4: दर्शाइये कि \( \vec{a} \) एवं \( \vec{b} \) के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \, |\vec{a} \times \vec{b}| \) के परिमाण का आधा है।

Answer:

दो सदिशों पर विचार करें, \( \sin\theta = \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{|\vec{b}|} \) और \( Om = |\vec{b}| \) कोण पर झुके हों, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। \( \Delta OMN \) में, हम संबंध लिख सकते हैं:
\( \sin\theta = \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{|\vec{b}|} \)
\( MN = |\vec{b}|\sin\theta \)
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \)
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b}|\sin\theta \cdot MN \times \frac{2}{2} = 2 \times \Delta OMK \) का क्षेत्रफल
\( \Delta OMK \) का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \, |\vec{a} \times \vec{b}| \)

मुख्य बिंदु:

• सदिश गुणनफल (Cross product) का परिमाण दो संलग्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
• \( |\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta \) का उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{2} \) गुणांक भूल जाना।
• सदिश और अदिश रूप में अंतर न करना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय आरेख बनाकर ऊँचाई \( MN \) को स्पष्ट करें।
b) त्रिकोणमितीय अनुपातों को सही से प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6.5: दर्शाइये कि \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \) का परिमाण तीन सदिशों, \( \vec{a}, \vec{b} \) एवं \( \vec{c} \) से बने समान्तर षट्फलक के आयतन के बराबर है।

Answer:

एक समांतर षट्फलक जिसका मूल \( 0 \) है और भुजाएँ \( \vec{a}, \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं को निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
दिए गए समांतर षट्फलक का आयतन = \( abc \)
\( \vec{OC} = \vec{a} \)
\( \vec{OB} = \vec{b} \)
\( \vec{OC'} = \vec{c} \)
मान लीजिए \( \hat{n} \) एक इकाई सदिश है जो \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) दोनों के लंबवत है। इसलिए, \( \hat{n} \) और \( \vec{a} \) की दिशा समान है।
\( \therefore \vec{b} \times \vec{c} = bc\sin 90^\circ\hat{n} = bc\hat{n} \)
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot (bc\hat{n}) = abc\cos\theta\hat{n} = abc\cos 0^\circ = abc \)
= समांतर षट्फलक का आयतन

मुख्य बिंदु:

• यह अदिश त्रिक गुणनफल (Scalar triple product) को दर्शाता है।
• \( \vec{b} \times \vec{c} \) आधार का क्षेत्रफल देता है जो \( \vec{a} \) के साथ मिलकर आयतन बनाता है।
• \( \cos 0^\circ = 1 \) का उपयोग किया जाता है क्योंकि \( \vec{a} \) और \( \hat{n} \) एक ही दिशा में हैं।

आम गलतियाँ:

• इकाई सदिश \( \hat{n} \) की दिशा को समझने में भूल करना।
• डॉट और क्रॉस प्रोडक्ट के चिन्हों में गड़बड़ी करना।

Exam Tips:

a) त्रि-विमीय ज्यामिति का उपयोग करके आयतन के सूत्र को समझाएं।
b) अदिश त्रिक गुणनफल के ज्यामितीय अर्थ को स्पष्ट करें।
c) अंतिम परिणाम को बॉक्स में बंद करें।

Question 6.6: एक कण, जिसके स्थिति सदिश \( \vec{r} \) के \( x, y, z \) अक्षों के अनुदिश अवयव क्रमशः \( x, y, z \) हैं, और रेखीय संवेग सदिश \( \vec{p} \) के अवयव \( p_x, p_y, p_z \) हैं, के कोणीय संवेग 1 के अक्षों के अनुदिश अवयव ज्ञात कीजिए। दर्शाइये, कि यदि कण केवल \( x-y \) तल में ही गतिमान हो तो कोणीय संवेग का केवल \( z \)-अवयव ही होता है।

Answer:

\( l_x = ypz - zpy \)
\( l_y = zpx - xpz \)
\( l_z = xpy - ypx \)
कण का रेखीय संवेग, \( \vec{p} = p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k} \)
कण की स्थिति सदिश, \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)
कोणीय संवेग, \( \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} \)
\( = (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \times (p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k}) \)
सारणिक रूप से हल करने पर:
\( l_x = ypz - zpy \)
\( l_y = zpx - xpz \)...(i)
\( l_z = xpy - ypx \)
कण \( x - y \) तल में गति करता है। इसलिए, स्थिति सदिश का \( z \)-घटक और रेखीय संवेग सदिश शून्य हो जाता है, अर्थात \( z = p_z = 0 \)
इस प्रकार, समीकरण (i) को लिख सकते हैं:
\( l_x = 0 \)
\( l_y = 0 \)
\( l_z = xpy - ypx \)
इसलिए, जब कण \( x - y \) तल में गति करने के लिए सीमित होता है, तो कोणीय गति की दिशा \( z \)-दिशा के साथ होती है।

मुख्य बिंदु:

• कोणीय संवेग का सूत्र \( \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} \) है।
• सारणिक विधि से तीनों घटकों (\( l_x, l_y, l_z \)) निकाले जाते हैं।
• \( x-y \) तल में गति होने पर \( z \) और \( p_z \) शून्य होते हैं।

आम गलतियाँ:

• क्रॉस गुणनफल के घटकों को आपस में गलत लिख देना।
• तल की शर्तों (जैसे \( z=0 \)) को समीकरण में न रखना।

Exam Tips:

a) सदिश गुणनफल को सारणिक (Determinant) रूप में हल करें।
b) प्रत्येक घटक को अलग-अलग स्पष्ट करें।
c) अंत में निष्कर्ष लिखें कि केवल \( l_z \) शेष रहता है।

Question 6.7: दो कण जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान \( m \) एवं चाल \( v \) है \( d \) दूरी पर, समान्तर रेखाओं के अनुदिश, विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं। दर्शाइये कि इस द्विकण निकाय का सदिश कोणीय वेग समान रहता है, चाहे हम जिस बिन्दु के परि처ः कोणीय संवेग लें।

Answer:

मान लीजिए कि एक निश्चित क्षण में दो कण बिंदु \( P \) और \( Q \) पर हैं, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
बिंदु \( p \) के बारे में निकाय का कोणीय संवेग:
\( L_p = mv \times 0 + mv \times d = mvd \)...(i)
बिंदु \( Q \) के परि처ः निकाय का कोणीय संवेग:
\( L_q = mv \times d + mv \times 0 = mvd \)...(ii)
एक बिंदु \( R \) पर विचार करें, जो बिंदु \( Q \) से \( y \) की दूरी पर है, अर्थात, \( QR = y \)
\( \therefore PR = d - y \)
बिंदु \( R \) के परि처ः निकाय का कोणीय संवेग:
\( L_r = mv \times (d - y) + mv \times y \)
\( = mvd - mvy + mvy = mvd \)...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \( L_p = L_q = L_r \)

मुख्य बिंदु:

• समानांतर और विपरीत दिशा में गतिमान दो कणों का कुल रेखीय संवेग शून्य होता है।
• किसी भी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग निकाय की स्थिति पर निर्भर नहीं करता यदि कुल संवेग शून्य हो।
• \( L = mvd \) सभी बिंदुओं के लिए नियत रहता है।

आम गलतियाँ:

• लंबवत दूरियों को लेते समय दिशा का ध्यान न रखना।
• कोणीय संवेग के योग में चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) विभिन्न बिंदुओं \( P, Q, R \) के लिए अलग-अलग समीकरण बनाएं।
b) आरेख बनाकर लंबवत दूरियों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंत में सिद्ध करें कि सभी का मान समान है।

Question 6.8: \( w \) भार की एक असमांग छड़ को, उपेक्षणीय भार वाली दो डोरियों से चित्र 7.39. में दर्शाइये अनुसार लटका कर विरामवस्था में रखा गया है। डोरीियों द्वारा ऊर्ध्वाधर से बने कोण क्रमशः \( 36.9^\circ \) एवं \( 53.1^\circ \) हैं। छड़ \( 2m \) लम्बाई की है। छड़ के बाईं सिरे से इसके गुरुत्व केंद्र की दूरी \( d \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

छड़ का मुक्त पिंड आरेख निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
छड़ की लंबाई, \( l = 2 \, \text{m} \)
\( T_1 \) तथा \( T_2 \) क्रमशः बाएँ और दाएँ तार में उत्पन्न तनाव हैं।
स्थानांतरीय संतुलन पर, हमारे पास है:
\( T_1\sin 36.9^\circ = T_2\sin 53.1^\circ \)
\( \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 53.1^\circ}{\sin 36.9^\circ} = \frac{0.800}{0.600} = \frac{4}{3} \)
\( \Rightarrow T_1 = \frac{4}{3}T_2 \)
घूर्णी संतुलन के लिए, गुरुत्वाकर्षण केंद्र (C.G.) के परि처ः बल-आघूर्ण लेने पर, हमारे पास है:
\( T_1\cos 36.9^\circ \times d = T_2\cos 53.1^\circ (2 - d) \)
\( T_1 \times 0.800d = T_2 0.600(2 - d) \)
\( \frac{4}{3} \times T_2 \times 0.800d = T_2[0.600 \times 2 - 0.600d] \)
\( 1.067d + 0.6d = 1.2 \)
\( \Rightarrow d = \frac{1.2}{1.67} = 0.72 \, \text{m} \)
इसलिए, दी गई छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र (C.G.) इसके बाएं सिरे से \( 0.72 \) मीटर की दूरी पर स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• संतुलन की दो शर्तें: \( \Sigma F_x = 0 \) और \( \Sigma \tau = 0 \)
• ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में तनाव \( T_1 \) और \( T_2 \) को विभाजित करना।
• गुरुत्व केंद्र के परितः कुल बल-आघूर्ण शून्य होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• sin और cos घटकों को आपस में बदल देना।
• दूरी \( (2-d) \) को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) मुक्त पिंड आरेख (Free Body Diagram) परीक्षा में जरूर बनाएं।
b) त्रिकोणमितीय मानों को ध्यान से रखें।
c) समीकरणों को चरणबद्ध तरीके से हल करें।

Question 6.9: एक कार का भार \( 1800\text{kg} \) है। इसकी अगली और पिछली धुरियों के बीच की दूरी \( 1.8\text{m} \) है। इसका गुरुत्व केन्द्र, अगली धुरी से \( 1.05\text{m} \) पीछे है। समतल धरती द्वारा इसके प्रत्येक अगले और पिछले पहियों पर लगने वाले बल की गणना कीजिए।

Answer:

कार का द्रव्यमान, \( m = 1800 \, \text{kg} \)
आगे और पीछे के धुरों के बीच की दूरी, \( d = 1.8 \, \text{m} \)
गुरुत्वाकर्षण केंद्र (C.G.) और पीछे के ध्रुव के बीच की दूरी = \( 1.05 \, \text{m} \)
कार पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों को इस चित्र में दिखाया गया है।
\( R_f \) और \( R_b \) क्रमशः आगे और पीछे के पहियों पर समतल जमीन द्वारा लगाए गए बल हैं।
स्थानांतरीय संतुलन पर:
\( R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \, \text{N} \)...(i)
घूर्णी संतुलन के लिए, गुरुत्वाकर्षण केंद्र के परि처ः में बल-आघूर्ण लेने पर, हमारे पास है:
\( R_f(1.05) = R_b(1.8 - 1.05) \)
\( R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75 \)
\( \frac{R_f}{R_b} = \frac{0.75}{1.05} = \frac{5}{7} \Rightarrow R_f = 1.4R_b \)...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
\( 1.4R_f + R_f = 17640 \Rightarrow R_f = \frac{17640}{2.4} = 7350 \, \text{N} \)
\( \therefore R_b = 17640 - 7350 = 10290 \, \text{N} \)
इस प्रकार, अगले पहिए पर लगने वाला बल = \( \frac{7350}{2} = 3675 \, \text{N} \)
पिछले पहिए पर लगने वाला बल = \( \frac{10290}{2} = 5145 \, \text{N} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल बल पहियों के प्रतिक्रिया बलों के योग के बराबर होता है (\( R_f + R_b = mg \))।
• गुरुत्व केंद्र के परितः कुल बल-आघूर्ण शून्य होता है।
• दोनों पहियों पर बल निकालने के लिए 2 से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• दूरियों का अंतर निकालते समय गलत मान घटाना।
• कुल बल को 2 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) बलों और दूरियों का स्पष्ट आरेख बनाएं।
b) समीकरण (i) और (ii) को प्रतिस्थापन विधि से हल करें।
c) प्रति पहिया बल निकालते समय स्पष्ट उल्लेख करें।

Question 6.10: समान द्रव्यमान और त्रिज्या के एक खोखले बेलन और एक ठोस गोले पर समान परिमाण के बल आघूर्ण लगाये जाते हैं। बेलन अपनी सामान्य सममित अक्ष के परितः घूम सकता है और गोला अपने केन्द्र से गुजरने वाली किसी अक्ष के परितः। एक दिए गये समय के बाद दोनों में कौन अधिक कोणीय चाल प्राप्त कर लेगा?

Answer:

माना कि \( m \) और \( r \) खोखले बेलन और ठोस गोले के संबंधित द्रव्यमान हैं।
अपने मानक अक्ष के परितः: खोखले बेलन का जड़्त्व आघूर्ण, \( I = mr^2 \)
अपने केन्द्र से गुजरने वाली किसी अक्ष के परितः गोले का जड़्त्व आघूर्ण, \( I = \frac{2}{5}mr^2 \)
हम संबंध को लिख सकते हैं: \( \tau = I\alpha \)
जहाँ, \( \alpha = \) कोणीय त्वरण, \( \tau = \) बल-आघूर्ण और \( I = \) जड़्त्व आघूर्ण
खोखले सिलिंडर के लिए, \( \tau_1 = I_1\alpha_1 \)
ठोस गोले के लिए, \( \tau_h = I_h\alpha_h \)
दोनों पिंडों पर एक समान बलाघूर्ण के रूप में लगाया जाता है, है \( \tau_1 = \tau_2 \)
\( \therefore \alpha_1I_1 = \frac{mr^2}{2} \)
\( \alpha_hI_h = \frac{2}{5}mr^2 \)
\( \alpha_{II} < \alpha_t \)...(i)
अतः, संबंध का उपयोग करते हुए: \( \omega = \omega_0 + \alpha t \)
जहाँ, \( \omega_0 = \) प्रारंभिक कोणीय वेग, \( t = \) घूर्णन का समय
\( \omega = \) अंतिम कोणीय वेग
\( \omega \) और \( \tau \) के लिए, \( \omega \propto \alpha \) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से हम लिख सकते हैं:
\( \omega_{II} > \omega_t \)
अतः ठोस गोले का कोणीय वेग खोखले बेलन के कोणीय वेग से अधिक होगा।

मुख्य बिंदु:

• खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण ठोस गोले से अधिक होता है।
• समान बल-आघूर्ण के लिए, कम जड़त्व आघूर्ण वाले पिंड का कोणीय त्वरण अधिक होता है।
• कोणीय वेग त्वरण के समानुपाती होता है।

आम गलतियाँ:

• जड़त्व आघूर्ण के सूत्रों में भ्रम होना।
• कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के संबंध को उल्टा समझ लेना।

Exam Tips:

a) दोनों पिंडों के जड़त्व आघूर्ण के सूत्र अलग-अलग लिखें।
b) संबंध \( \tau = I\alpha \) और \( \omega = \alpha t \) का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) अंतिम निष्कर्ष तार्किक रूप से दें।

Question 6.11: \( 20\text{kg} \) द्रव्यमान का कोई ठोस सिलिंडर अपने अक्ष के परितः \( 100\text{rad s}^{-1} \) की कोणीय चाल से घूर्णन कर रहा है। सिलिंडर की त्रिज्या \( 0.25\text{m} \) है। सिलिंडर के घूर्णन से संबद्ध गतिज ऊर्जा क्या है? सिलिंडर का अपने अक्ष के परितः कोणीय संवेग का परिमाण क्या है?

Answer:

सिलेंडर का द्रव्यमान, \( m = 20 \, \text{kg} \)
कोणीय गति, \( \omega = 100 \, \text{rad s}^{-1} \)
सिलेंडर की त्रिज्या, \( r = 0.25 \, \text{m} \)
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण:
\( I = \frac{mr^2}{2} = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.25)^2 = 0.625 \, \text{kg m}^2 \)
\( \therefore \) गतिज ऊर्जा = \( \frac{1}{2}I\omega^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 6.25 \times (100)^2 = 3125 \, \text{J} \)
\( \therefore \) कोणीय संवेग, \( L = I\omega = 6.25 \times 100 = 62.5 \, \text{Js} \)

मुख्य बिंदु:

• ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण \( I = \frac{1}{2}mr^2 \) होता है।

घूर्णी गतिज ऊर्जा \( E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 \) होती है।
• कोणीय संवेग \( L = I\omega \) होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या का वर्ग करना भूल जाना।
• SI मात्रकों (जैसे J और Js) को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) मानों को पहले मानक इकाइयों में लिखें।
b) सूत्र लिखकर ही गणना करें।
c) उत्तर के साथ सही मात्रक अवश्य लिखें।

Question 6.12:
(a) कोई बच्चा किसी घूर्णिता (घूर्णनर्ंच) पर अपनी दोनों भुजाओं को बाहर की ओर फैलाकर खड़ा है। घूर्णिता को \( 40\text{rev/min} \) की कोणीय चाल से घूर्णन कराया जाता है। यदि बच्चा अपने हाथों को वापस सिकुड़ कर अपना जड़त्व आघूर्ण अपने आरंभिक जड़त्व आघूर्ण का \( 2/5 \) गुना कर लेता है, तो इस स्थिति में उसकी कोणीय चाल क्या होगी ? यह मानिए कि घूर्णिता की घूर्णन गति घर्षणरहित है।
(b) यह दर्शाइए कि बच्चे की घूर्णन की नयी गतिज ऊर्जा उसकी आरंभिक घूर्णन की गतिज ऊर्जा से अधिक है। आप गतिज ऊर्जा में हुई इस वृद्धि की व्याख्या किस प्रकार करेंगे?

Answer:

(a) \( 100\text{rev/min} \)
प्रारंभिक कोणीय वेग, \( \omega_1 = 40\text{rev/min} \)
अंतिम कोणीय वेग = \( \omega_2 \)
हाथ फैलाए लड़के का जड़त्व आघूर्ण = \( I_1 \)
हाथ सिकोड़े लड़के का जड़त्व आघूर्ण = \( I_2 \)
दोनों जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं संबंधित हैं: \( I_2 = \frac{2}{5}I_1 \)
चूँकि लड़के पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए कोणीय संवेग \( L \) एक नियतांक है।
इसलिए, दोनों स्थितियों के लिए, हम लिख सकते हैं:
\( I_2\omega_2 = I_1\omega_1 \Rightarrow \omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1 = \frac{I_1}{\frac{2}{5}I_1} \times 40 = 100\text{rev/min} \)
(b) अंतिम गतिज ऊर्जा = \( 2.5 \times \) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा, \( E_f = \frac{1}{2}I_2\omega_2^2 \)
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा, \( E_i = \frac{1}{2}I_1\omega_1^2 \)
\( \frac{E_f}{E_i} = \frac{\frac{1}{2}I_2\omega_2^2}{\frac{1}{2}I_1\omega_1^2} = \frac{2I_1(100)^2}{5I_1(40)^2} \)
\( = \frac{2}{5} \times \frac{100 \times 100}{40 \times 40} \times \frac{5}{2} = 2.5 \)
\( \therefore E_f = 2.5E_i \)
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि लड़के की आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के कारण होता है।

मुख्य बिंदु:

• बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (\( I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \))।
• जड़त्व आघूर्ण घटने से कोणीय चाल बढ़ जाती है।
• गतिज ऊर्जा में वृद्धि आंतरिक मांसपेशियों द्वारा किए गए कार्य के कारण होती है।

आम गलतियाँ:

• \( I_1 \) और \( I_2 \) के अनुपात को उल्टा रख देना।
• गतिज ऊर्जा के सूत्र में वर्ग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) दोनों भागों (a) और (b) को अलग-अलग स्पष्ट रूप से हल करें।
c) ऊर्जा में वृद्धि का कारण आंतरिक कार्य (internal work) बताएं।

Question 6.13: \( 3\text{kg} \) द्रव्यमान तथा \( 40\text{cm} \) त्रिज्या के किसी खोखले सिलिंडर पर कोई नगण्य द्रव्यमान की रस्सी लपेटी गई है। यदि रस्सी को \( 30\text{N} \) बल से खींचा जाए तो सिलिंडर का कोणीय त्वरण क्या होगा? रस्सी का रेखीय त्वरण क्या है? यह मानिए कि इस प्रकरण में कोई फिसलन नहीं है।

Answer:

खोखले सिलिंडर का द्रव्यमान, \( m = 3 \, \text{kg} \)
खोखले बेलन की त्रिज्या, \( r = 40 \, \text{cm} = 0.4 \, \text{m} \)
प्रयुक्त बल, \( F = 30 \, \text{N} \)
अपने ज्यामितीय अक्ष के परितः खोखले सिलिंडर का जड़त्व आघूर्ण: \( I = mr^2 = 3 \times (0.4)^2 = 0.48 \, \text{kg m}^2 \)
बल-आघूर्ण, \( \tau = F \times r \Rightarrow 30 \times 0.4 = 12 \, \text{Nm} \)
कोणीय त्वरण \( \alpha \) के लिए, बलाघूर्ण भी संबंध द्वारा दिया जाता है: \( \tau = I\alpha \)
\( \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12}{0.48} = 25 \, \text{rad s}^{-2} \)
रेखीय त्वरण = \( r\alpha = 0.4 \times 25 = 10 \, \text{m s}^{-2} \)

मुख्य बिंदु:

• खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण \( I = mr^2 \) होता है।
• बल-आघूर्ण \( \tau = F \times r \) और \( \tau = I\alpha \) का उपयोग किया जाता है।
• रेखीय त्वरण और कोणीय त्वरण में संबंध \( a = r\alpha \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सेंटीमीटर को मीटर में बदलना भूल जाना।
• खोखले और ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण में भ्रम होना।

Exam Tips:

a) सभी राशियों को SI पद्धति में बदलें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर में सही मात्रक लिखें।

Question 6.14: किसी घूर्ṇक(रोटर) की \( 200\text{rad s}^{-1} \) की एकसमान कोणीय चाल बनाए रखने के लिए एक इंजन द्वारा \( 180\text{N m} \) का बल आघूर्ण प्रेषित करना आवश्यक होता है। इंजन के लिए आवश्यक शक्ति ज्ञात कीजिए। (नोट: घर्षण की अनुपस्थिति में एकसमान कोणीय वेग होने में यह सम्भावित है कि बल आघूर्ण शून्य है। दिए गए गए बल आघूर्ण की आवश्यकता घर्षण बल आघूर्ण को निरस्त करने के लिए होती है।) यह मानिए कि इंजन की दक्षता \( 100\% \) है।

Answer:

घूर्ṇक की कोणीय गति, \( \omega = 200 \, \text{rad/s} \)
आवश्यक बल-आघूर्ण, \( \tau = 180 \, \text{Nm} \)
घूर्ṇक की शक्ति (\( P \)), बल-आघूर्ण और कोणीय गति से निम्न प्रकार संबंधित है:
\( P = \tau\omega = 180 \times 200 = 36 \times 10^3 = 36 \, \text{kW} \)
इसलिए, इंजन के लिए आवश्यक शक्ति \( 36\text{ kW} \) है।

मुख्य बिंदु:

• शक्ति और बल-आघूर्ण का संबंध \( P = \tau\omega \) होता है।
• घर्षण बल आघूर्ण को संतुलित करने के लिए इंजन को लगातार कार्य करना पड़ता है।
• वाट को किलोवाट में बदलने के लिए \( 10^3 \) से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन में शून्य की गणना में गलती करना।
• kW और W के रूपांतरण में चूक होना।

Exam Tips:

a) सूत्र \( P = \tau\omega \) का उल्लेख करें।
b) गणना को सावधानी से करें।
c) उत्तर किलोवाट (kW) में व्यक्त करना अधिक उपयुक्त है।

Question 6.15: \( R \) त्रिज्या वाली समांग डिस्क से \( R/2 \) त्रिज्या का एक वृत्ताकार भाग काट कर निकाल दिया गया है। इस प्रकार बने वृत्ताकार सुरख का केन्द्र मूल डिस्क के केन्द्र से \( R/2 \) दूरी पर है। अवशेष डिस्क के गुरुत्व केन्द्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( R/6 \); डिस्क के मूल केंद्र से और कटे हुए हिस्से के केंद्र के विपरीत।
मूल डिस्क का द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्रफल = \( \sigma \)
मूल डिस्क की त्रिज्या = \( R \)
मूल डिस्क का द्रव्यमान, \( M = \pi R^2\sigma \)
कटे भाग के साथ डिस्क को निम्न आकृति में दिखाया गया है:
छोटी डिस्क की त्रिज्या = \( \frac{R}{2} \)
छोटी डिस्क का द्रव्यमान, \( M' = \pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\sigma = \pi\frac{R^2}{4}\sigma = \frac{M}{4} \)
मान लीजिए कि \( 0 \) और \( 0' \) मूल डिस्क और मूल डिस्क से काटी गई डिस्क के संबंधित केंद्र हैं। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार, मूल डिस्क के द्रव्यमान का केंद्र \( 0 \) पर केंद्रित होना चाहिए, जबकि छोटी डिस्क का \( 0' \) पर केंद्रित होना चाहिए।
यह दिया गया है कि: \( OO' = \frac{R}{2} \)
छोटी डिस्क को मूल डिस्क से काट दिए जाने के बाद, शेष भाग को दो द्रव्यमान \( M \) (\( 0 \) पर केंद्रित), और \( -M' \left(= -\frac{M}{4}\right) \) \( 0' \) पर केंद्रित है।
(ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि इस भाग को मूल डिस्क से हटा दिया गया है)
मान लीजिए \( x \) वह दूरी है जिससे शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र बिंदु \( 0 \) से स्थानांतरित होता है।
दो द्रव्यमानों के द्रव्यमान केंद्रों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: \( x = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2} \)
दी गई निकाय के लिए, हम लिख सकते हैं: \( x = \frac{M \times 0 - M'\left(\frac{R}{2}\right)}{M + (-M')} \)
\( x = \frac{-\frac{M}{4} \frac{R}{2}}{M - \frac{M}{4}} = \frac{-MR}{8} \frac{4}{3M} = -\frac{4}{3 \times 8}R = -\frac{R}{6} \)
(ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि द्रव्यमान का केंद्र बिंदु \( 0 \) के बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है)।

मुख्य बिंदु:

• कटे हुए भाग के द्रव्यमान को ऋणात्मक द्रव्यमान मानकर हल किया जाता है।
• द्रव्यमान केंद्र के सूत्र \( x = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} \) का उपयोग किया जाता है।
• क्षेत्रफलों का अनुपात द्रव्यमान के अनुपात के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• कटे हुए भाग के द्रव्यमान को धनात्मक ले लेना।
• मूल केंद्र से दूरी \( R/2 \) को गलत जगह प्रतिस्थापित करना।

Exam Tips:

a) मूल डिस्क और कटे हुए भाग के द्रव्यमान का संबंध स्थापित करें।
b) ऋणात्मक द्रव्यमान विधि (Negative mass method) का स्पष्ट प्रयोग करें।
c) ऋणात्मक चिन्ह के अर्थ को वाक्यों में समझाएं।

Question 6.16: एक मीटर छड़ के केन्द्र के नीचे क्षुर-धार रखने पर यह इस पर संतुलित हो जाती है जब दो सिक्के, जिनमें प्रत्येक का द्रव्यमान \( 5\text{g} \) है, \( 12.0\text{cm} \) के चिन्ह् पर एक के ऊपर एक रखे जाते हैं तो छड़ \( 45.0\text{cm} \) चिन्ह् पर संतुलित हो जाती है। मीटर छड़ का द्रव्यमान क्या है?

Answer:

माना \( W \) और \( W' \) मीटर छड़ और सिक्के के संबंधित वजन हैं
मीटर स्टिक का द्रव्यमान इसके मध्य-बिंदु पर, अर्थात \( 50 \) सेमी के निशान पर केंद्रित होता है।
मीटर स्टिक का द्रव्यमान = \( m' \)
प्रत्येक सिक्के का द्रव्यमान, \( m = 5 \, \text{g} \)
जब सिक्कों को अंत बिंदु \( P \) से \( 12 \) सेमी दूर रखा जाता है, तो द्रव्यमान का केंद्र बिंदु \( R \) से अंत \( P \) की ओर \( 5 \) सेमी स्थानांतरित हो जाता है। द्रव्यमान केंद्र बिंदु \( P \) से \( 45 \) सेमी की दूरी पर स्थित है।
\( R \) के परिचरः घूर्णी संतुलन के लिए घूर्ण बलाघूर्ण को संरक्षित किया जाएगा।
\( 10 \times g(45 - 12) - m'(50 - 45) = 0 \)
\( \therefore m' = \frac{10 \times 33}{5} = 66 \, \text{g} \)
अतः मीटर छड़ का द्रव्यमान \( 66\text{g} \) है।

मुख्य बिंदु:

• आघूर्ण का सिद्धांत (\( \tau_1 = \tau_2 \)) संतुलन की स्थिति में लागू होता है।

छड़ का भार उसके मध्य-बिंदु (50 cm) पर कार्य करता है।
• दूरियों का सही अंतर निकालकर बलाघूर्ण संतुलित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• छड़ के मध्य-बिंदु को नजरअंदाज करना।
• उत्तोलक भुजा की लंबाइयों की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) संतुलन बिंदु के दोनों ओर बल-आघूर्ण को बराबर रखें।
b) सभी दूरियों को केंद्र \( R \) या छड़ के केंद्र से मापें।
c) द्रव्यमान और भार के अंतर को समझें।

Question 6.17: एक ठोस गोला, भिन्न नति के दो आनत तलों पर एक ही ऊँचाई से लुढ़कने दिया जाता है। (a) क्या वे दोनों बार समान चाल से तली में पहुँचेंगे? (b) क्या उसको एक तल पर लुढ़कने में दूसरे से अधिक समय लगेगा? (c) यदि हाँ, तो किस पर और क्यों?

Answer:

(a) हाँ
गोले का द्रव्यमान = \( m \)
तल की ऊँचाई = \( h \)
समतल के तल पर गोले का वेग = \( v \)
तल के शीर्ष पर, गोले की कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा = \( mgh \)
समतल के तल पर, गोले में स्थानांतरण और घूर्णी दोनों ऊर्जाएँ होती हैं।
इसलिए, कुल ऊर्जा = \( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \)
ऊर्जा संरक्षण के नियम का प्रयोग करते हुए हम लिख सकते हैं: \( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = mgh \)...(i)
एक ठोस गोले के लिए, उसके केंद्र के परिचरः जड़त्व आघूर्ण, \( I = \frac{2}{5}mr^2 \)
इसलिए, समीकरण (i) से,
\( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\omega^2 = mgh \Rightarrow \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{5}r^2\omega^2 = gh \)
किन्तु, संबंध \( v = r\omega \) से
\( \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{5}v^2 = gh \)
\( \Rightarrow v^2\left(\frac{7}{10}\right) = gh \)
\( \Rightarrow v = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \)
अतः, तल पर गोले का वेग केवल ऊँचाई (\( h \)) और गुरुपीय त्वरण (\( g \)) पर निर्भर करता है। ये दोनों मान अचर हैं। इसलिए, जिस भी झुकाव वाले तल से गोले को लुढ़काया जाता है, उसके तल पर वेग समान रहता है।
(b) हाँ,
(c) कम झुकाव पर
दो झुकाव वाले तलों पर विचार करें जिनके झुकाव \( \theta_1 \) तथा \( \theta_2 \) हैं, इस प्रकार संबंधित: \( \theta_1 < \theta_2 \)
जब गोला \( \theta_1 \) पर झुके हुए तल पर लुढ़कता है तो गोले में उत्पन्न त्वरण है: \( g\sin\theta_1 \), गोले पर कार्यरत विभिन्न बलों को निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
\( R_1 \) गोले के पर लंबवत प्रतिक्रिया है।
इसी प्रकार, \( \theta_2 \) झुके हुए तल पर लुढ़कने पर गोले में उत्पन्न त्वरण है: \( g\sin\theta_2 \), गोले पर कार्यरत विभिन्न बलों को निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
\( R_2 \) गोले के पर लंबवत प्रतिक्रिया है।
\( \theta_2 > \theta_1 \); \( \sin\theta_2 > \sin\theta_1 \)...(i)
\( a_2 > a_1 \)...(ii)
प्रारंभिक वेग, \( u = 0 \)
अंतिम वेग, \( v = \text{स्थिर} \)
गति के पहले समीकरण का उपयोग करके, हम लुढ़कने का समय इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:
\( v = u + at \), \(\therefore t \propto \frac{1}{a} \)
\( \theta_1 \) झुकाव के लिए: \( t_1 \propto \frac{1}{a_1} \)
\( \theta_2 \) झुकाव के लिए: \( t_2 \propto \frac{1}{a_2} \)
समीकरण (ii) और (iii) से, \( t_2 < t_1 \)
इसलिए, कम झुकाव वाले तल की तली तक पहुँचने में गोले को अधिक समय लगेगा।

मुख्य बिंदु:

• ऊर्जा संरक्षण से स्पष्ट है कि वेग केवल प्रारंभिक ऊँचाई \( h \) पर निर्भर करता है, झुकाव कोण पर नहीं।
• कम झुकाव वाले तल पर त्वरण कम होता है, इसलिए समय अधिक लगता है।
• स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग कुल ऊर्जा के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि कम झुकाव पर वेग भी कम हो जाएगा।
• समय और वेग के अंतर को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) भाग (a) के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके सूत्र व्युत्पन्न करें।
b) भाग (b) और (c) के लिए गति के समीकरणों और त्वरण की तुलना करें।
c) दोनों तलों के लिए निष्कर्ष अलग-अलग लिखें।

Question 6.18: \( 2\text{m} \) त्रिज्या के एक वलय (छल्ले) का भार \( 100\text{kg} \) है। यह एक क्षैतिज फर्श पर इस प्रकार लोटनिक गति करता है कि इसके द्रव्यमान केन्द्र की चाल \( 20\text{cm/s} \) है। इसको रोकने के लिए कितना कार्य करना होगा?

Answer:

वलय की त्रिज्या, \( r = 2 \, \text{m} \)
वलय का द्रव्यमान, \( m = 100 \, \text{kg} \)
वलय का वेग, \( v = 20 \, \text{cm/s} = 0.2 \, \text{m/s} \)
वलय की कुल ऊर्जा = स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा + घूर्णी गतिज ऊर्जा
\( E_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \)
केंद्र के परिचरः वलय का जड़त्व आघूर्ण, \( I = mr^2 \)
\( E_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)\omega^2 \)
हमारे पास समीकरण है, \( v = r\omega \)
\( \therefore E_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mr^2\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2 \)
वलय को रोकने के लिए किया जाने वाला कार्य \( w \) वलय की कुल ऊर्जा के बराबर होता है।
\( \therefore \) किया जाने वाला कार्य, \( W = mv^2 = 100 \times (0.2)^2 = 4 \, \text{J} \)

मुख्य बिंदु:

• लोटनिक गति में कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णी दोनों ऊर्जाओं का योग होती है।
• वलय के लिए \( I = mr^2 \) होता है।
• किया गया कार्य कुल गतिज ऊर्जा को शून्य करने के बराबर होता है (कार्य-ऊर्जा प्रमेय)।

आम गलतियाँ:

• cm/s को m/s में बदलना भूल जाना।
• केवल स्थानांतरीय ऊर्जा लेकर गणना करना।

Exam Tips:

a) इकाइयों को मानक SI प्रणाली में बदलें।
b) वलय की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र व्युत्पन्न करें।
c) अंतिम उत्तर जूल (J) में दें।

Question 6.19: ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान \( 5.30 \times 10^{-26}\text{kg} \) है तथा इसके केन्द्र से होकर गुजरने वाले और इसके दोनों परमाणुओं को मिलाने वाली रेखा के लम्बवत अक्ष के परिचरः जड़त्व आघूर्ण \( 1.94 \times 10^{-46}\text{kg m}^2 \) है। मान लीजिए कि गैस के अणु की औसत चाल \( 500\text{m/s} \) है और इसके घूर्णन की गतिज ऊर्जा, स्थानांतरीय की गतिज ऊर्जा की दो तिहाई है। अणु का औसत कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

Answer:

ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान, \( m = 5.30 \times 10^{-26} \, \text{kg} \)
जड़त्व आघूर्ण, \( I = 1.94 \times 10^{-46} \, \text{kg m}^2 \)
ऑक्सीजन अणु का वेग, \( v = 500 \, \text{m/s} \)
ऑक्सीजन अणु के दो परमाणुओं के बीच की दूरी = \( 2r \)
प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान = \( \frac{m}{2} \)
इसलिए, जड़त्व आघूर्ण \( I \) की गणना इस प्रकार की जाती है: \( I = \left(\frac{m}{2}\right)r^2 + \left(\frac{m}{2}\right)r^2 = mr^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{I}{m}} \)
यह दिया गया है कि: \( KE_{\text{rot}} = \frac{2}{3}KE_{\text{trans}} \)
\( \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{2}mv^2\right) \Rightarrow \frac{1}{2}mr^2\omega^2 = \frac{1}{3}mv^2 \Rightarrow \omega = \frac{v}{r}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2v}{\sqrt{3}r} = \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{500}{0.6 \times 10^{-10}} = 6.80 \times 10^{12} \, \text{rad/s} \)

मुख्य बिंदु:

• द्विपरमाणुक अणु के लिए जड़त्व आघूर्ण \( I = mr^2 \) होता है।
• घूर्णी गतिज ऊर्जा और स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का अनुपात दिया गया है।
• कोणीय वेग \( \omega \) की गणना ऊर्जा समीकरणों से की जाती है।

आम गलतियाँ:

• परमाणु के द्रव्यमान और अणु के द्रव्यमान में भ्रम होना।
• वर्गमूल और घात की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) दिए गए मानों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्घ करें।
b) ऊर्जा के दोनों संबंधों को बराबर रखकर हल करें।
c) वैज्ञानिक संकेतन (Scientific notation) का सही प्रयोग करें।

Question 6.20: एक बेलन \( 30^\circ \) कोण बनाते आनत तल पर लुढ़कता हुआ ऊपर चढ़ता है। आनत तल की तली में बेलन के द्रव्यमान केन्द्र की चाल \( 5\text{m/s} \) है:
(a) आनत तल पर बेलन कितना ऊपर जायेगा?
(b) वापस तली तक लौट आने में इसे कितना समय लगेगा?

Answer:

एक झुकाव पर लुढ़कता हुआ एक ठोस सिलिंडर निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।
ठोस बेलन का रैखिक वेग, \( v = 5 \, \text{m/s} \), झुकाव का कोण, \( \theta = 30^\circ \)
सिलिंडर द्वारा प्राप्त ऊँचाई = \( h \), बिंदु \( A \) पर बेलन की ऊर्जा:
\( KE_{\text{trans}} = KE_{\text{rot}} \Rightarrow \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 \)
बिंदु \( B \) पर बेलन की ऊर्जा = \( mgh \)
ऊर्जा संरक्षण के नियम का प्रयोग करते हुए हम लिख सकते हैं: \( \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mgh \)
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण, \( I = \frac{1}{2}mr^2 \)
\( \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^2\right)\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mgh \Rightarrow \frac{1}{4}mr^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mgh \)
हमारे पास समीकरण है, \( v = r\omega \)
\( \frac{1}{4}v^2 + \frac{1}{2}v^2 = gh \Rightarrow \frac{3}{4}v^2 = gh \)
\( \therefore h = \frac{3v^2}{4g} = \frac{3 \times 5^2}{4 \times 9.8} = \frac{5 \times 5}{9.8} = 1.91 \, \text{m} \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \sin\theta = \frac{BC}{AB} \)
\( \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{h}{AB} \)
\( \Rightarrow AB = \frac{1.91}{0.5} = 3.82 \)
इसलिए, सिलिंडर झुकाव वाले तल पर \( 3.82 \) मीटर ऊपर चढ़ेगा।
घूर्णन चक्कर की त्रिज्या \( K \) के लिए, बेलन के नीचे की ओर लुढ़कने पर उसका वेग निम्न द्वारा दिया जाता है:
\( v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}} \), \( \frac{K^2}{R^2} = \frac{R^2}{2} \)
\( \therefore v = \left(\frac{2g\text{ AB}\sin\theta}{1 + \frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{4}{3}g\text{ AB}\sin\theta\right)^{\frac{1}{2}} \)
वापस तली पर लौटने में लगने वाला समय है:
\( t = \frac{\text{AB}}{v} = \frac{\text{AB}}{\left(\frac{4}{3}g\text{ AB}\sin\theta\right)^{\frac{1}{2}}} = \left(\frac{3\text{ AB}}{4g\sin\theta}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{11.46}{19.6}\right)^{\frac{1}{2}} = 0.764 \, \text{s} \)
इसलिए, बेलन को तली पर वापस आने में लिया गया कुल समय (\( 2 \times 0.764 \)) = \( 1.53 \, \text{s \) है।

मुख्य बिंदु:

• ऊर्जा संरक्षण के नियम से अधिकतम ऊँचाई \( h \) ज्ञात की जाती है।
• आनत तल पर तय की गई दूरी \( AB = \frac{h}{\sin\theta} \) होती है।
• ऊपर जाने और नीचे आने में कुल समय जाने के समय का दोगुना होता है।

आम गलतियाँ:

• ऊँचाई और तल की लंबाई (\( AB \)) में अंतर न समझना।
• कुल समय निकालते समय केवल एक तरफ का समय लिखकर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) भाग (a) में ऊर्जा संरक्षण का उपयोग कर ऊँचाई निकालें।
b) त्रिकोणमिति का उपयोग करके तल की दूरी \( AB \) ज्ञात करें।
c) भाग (b) में आने और जाने दोनों का समय जोड़कर कुल समय निकालें।