NCERT Solutions Class 11 Physics Chapter 05 Work Energy and Power (कार्य ऊर्जा और शक्ति) in Hindi

Question 5.1: किसी वस्तु पर किसी बल द्वारा किए गए कार्य का चिह्न समझना महत्वपूर्ण है। सावधानीपूर्वक बताइए कि निम्नलिखित राशियाँ धनात्मक हैं या ऋणात्मक:
(a) किसी व्यक्ति द्वारा किसी कुएँ में से रस्सी से बँधी बाल्टी को रस्सी द्वारा बाहर निकालने में किया गया कार्य।
(b) उपर्युक्त स्थिति में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य।
(c) किसी आनत तल पर फिसलती हुई किसी वस्तु पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य।
(d) किसी खुरदरे क्षैतिज तल पर एकसमान वेग से गतिमान किसी वस्तु पर लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य।
(e) किसी दोलायमान लोलक को विश्रामवस्था में लाने के लिए वायु के प्रतिरोधي बल द्वारा किया गया कार्य।

Answer:

(a) धनात्मक: दिए गए मामले में, बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं। इसलिए, किए गए कार्य का चिह्न धनात्मक है। इस मामले में, बाल्टी पर कार्य किया जाता है।
(b) ऋणात्मक: दिए गए मामले में, बल की दिशा (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) और विस्थापन (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर) एक दूसरे के विपरीत हैं। अतः किए गए कार्य का चिह्न ऋणात्मक है।
(c) ऋणात्मक: चूूँकि घर्षण बल की दिशा गति की दिशा के विपरीत होती है, इस स्थिति में घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
(d) धनात्मक: यहाँ पिंड खुरदरे क्षैतिज तल पर गति कर रहा है। घर्षण बल पिंड की गति का विरोध करता है। इसलिए, एक समान वेग बनाए रखने के लिए, पिंड पर एक समान बल लगाया जाना चाहिए। चूूँकि लगाया गया बल वस्तु की गति की दिशा में कार्य करता है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक होता है।
(e) ऋणात्मक: वायु का प्रतिरोध बल लोलक की गति की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसलिए, इस मामले में किया गया कार्य ऋणात्मक है।

मुख्य बिंदु:

• कार्य धनात्मक होता है जब बल और विस्थापन एक ही दिशा में हों。
• कार्य ऋणात्मक होता है जब बल और विस्थापन विपरीत दिशा में हों。
• घर्षण और वायु प्रतिरोध हमेशा गति का विरोध करते हैं, इसलिए उनके द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• बल और विस्थापन के बीच के कोण को ध्यान में न रखना।
• गुरुत्वीय बल और बाहरी व्यक्ति के बल के कार्य को एक समझना।
• चिह्न परिपाटी (Sign Convention) में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) बल (\( \vec{F} \)) और विस्थापन (\( \vec{s} \)) के बीच का कोण पहचानें और \( W = Fs \cos\theta \) का प्रयोग करें।
b) गुरुत्वाकर्षण और घर्षण जैसे बलों के लिए दिशा का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर लिखते समय धनात्मक या ऋणात्मक होने का स्पष्ट कारणज भी दें।

Question 5.2: 2 kg द्रव्यमान की कोई वस्तु जो आरंभ में विश्रामवस्था में है, 7 N के किसी क्षैतिज बल के प्रभाव से एक मेज पर गति करती है। मेज का गतिज-घर्षण गुणांक 0.1 है। निम्नलिखित का परिकलन कीजिए और अपने परिणामों की व्याख्या कीजिए:
(a) लगाए गए बल द्वारा 10 s में किया गया कार्य।
(b) घर्षण द्वारा 10 s में किया गया कार्य।
(c) वस्तु पर कुल बल द्वारा 10 s में किया गया कार्य।
(d) वस्तु की गतिज ऊर्जा में 10 s में परिवर्तन।

Answer:

पिंड का द्रव्यमान, \( m = 2 \text{ kg} \)
लगाया गया बल, \( F = 7 \text{ N} \)
गतिज घर्षण का गुणांक, \( \mu = 0.1 \)
प्रारंभिक वेग, \( u = 0 \)
समय, \( t = 10 \text{ s} \)
लगाए गए बल द्वारा पिंड में उत्पन्न त्वरण न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है:
\( a' = \frac{F}{m} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ m/s}^2 \)
घर्षण बल: \( f = \mu mg = 0.1 \times 2 \times 9.8 = -1.96 \text{ N} \)
घर्षण बल द्वारा उत्पन्न त्वरण: \( a'' = \frac{1.96}{2} = -0.98 \text{ m/s}^2 \)
पिंड का कुल त्वरण:
\( a = a' + a'' = 3.5 + (-0.98) = 2.52 \text{ m/s}^2 \)
पिंड द्वारा तय की गई दूरी गति के समीकरण द्वारा दी गई है:
\( s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.52 \times (10)^2 = 126 \text{ m} \)
(a) लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य, \( W_a = F \times s = 7 \times 126 = 882 \text{ J} \)
(b) घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य, \( W_f = F \times s = -1.96 \times 126 = -247 \text{ J} \)
(c) शुद्ध बल = \( 7 + (-1.96) = 5.04 \text{ N} \)
कुल बल द्वारा किया गया कार्य, \( W_{\text{net}} = 5.04 \times 126 = 635 \text{ J} \)
(d) गति के पहले समीकरण से, अंतिम वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
\( v = u + at = 0 + 2.52 \times 10 = 25.2 \text{ m/s} \)
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन \( = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2} \times 2(25.2^2 - 0^2) = 635 \text{ J} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल कार्य, वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है (कार्य-ऊर्जा प्रमेय)।
• घर्षण बल हमेशा गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
• नेट त्वरण प्राप्त करने के लिए सभी बलों का बीजगणितीय योग करना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• घर्षण बल के कारण उत्पन्न होने वाले त्वरण को कुल त्वरण से न घटाना।
• कार्य निकालते समय गलत विस्थापन मान का प्रयोग करना।
• गति के समीकरणों में प्रारंभिक वेग शून्य न मानना।

Exam Tips:

a) सभी बलों और उनके कारण उत्पन्न त्वरण को अलग-अलग स्पष्ट रूप से निकालें।
b) कार्य-ऊर्जा प्रमेय (\( W_{\text{net}} = \Delta K \)) का उपयोग करके अपने उत्तर की जाँच अवश्य करें।
c) मात्रकों (Units) का सही उपयोग करें जैसे N, J और m/s²।

Question 5.3: चित्र 5.11 में कुछ एकविम स्थितिज ऊर्जा-फलनों के उदाहरण दिए गए हैं। कण की कुल ऊर्जा कोटि-अक्ष पर क्रॉस द्वारा निर्देशित की गई है। प्रत्येक स्थिति में, कोई ऐसे क्षेत्र बताइए, यदि कोई हैं, जिनमें दी गई ऊर्जा के लिए, कण को नहीं पाया जा सकता। इसके अतिरिक्त, अन्य की कुल न्यूनतम ऊर्जा भी निर्देशित कीजिए। कुछ ऐसे भौतिक संदर्भों के विषय में सोचिए जिनके लिए ये स्थितिज ऊर्जा आकृतियाँ प्रासंगिक हों।

Answer:

\( x > a \); 0
एक निकाय की कुल ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी जाती है: \( E = P.E. + K.E. \)
\( K.E. = E - P.E. \)
निकाय की गतिज ऊर्जा एक धनात्मक राशि है। यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, कण उस क्षेत्र में मौजूद नहीं होगा जहाँ \( K.E. \) ऋणात्मक हो जाती है।
दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा (\( V_0 \)), \( x > a \) के लिए कुल ऊर्जा (\( E \)) से अधिक हो जाती है। अतः इस क्षेत्र में गतिज ऊर्जा ऋणात्मक हो जाती है। इसलिए, इस क्षेत्र में कण मौजूद नहीं होगा। कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा शून्य है।
\( x > a \) तथा \( x < b \); \( -V_1 \)
दिए गए मामले में, \( K.E. \) केवल \( x > a \) और \( x < b \) के बीच के क्षेत्र में संतुष्ट होती है।
इस स्थिति में न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा \( -V_1 \) है। इसलिए, \( K.E. = E - (-V_1) = E + V_1 \)
अतः गतिज ऊर्जा की धनात्मकता के लिए कण की कुल ऊर्जा \( -V_1 \) से अधिक होनी चाहिए। तो, कण के पास न्यूनतम कुल ऊर्जा \( -V_1 \) होनी चाहिए।
\( -\frac{b}{2} < x < \frac{b}{2} \); \( -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2} \)
दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा (\( V_0 \)) कुल ऊर्जा (\( E \)) से अधिक हो जाती है
\( -\frac{b}{2} < x < \frac{b}{2} \) और \( -a/2 < x < a/2 \) के लिए
इसलिए, इन क्षेत्रों में कण मौजूद नहीं होगा।

मुख्य बिंदु:

• गतिज ऊर्जा कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती (\( K.E. \ge 0 \))।
• जहाँ स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा से अधिक हो (\( V > E \)), वहाँ कण का अस्तित्व संभव नहीं है।
• न्यूनतम कुल ऊर्जा ग्राफ के सबसे निचले बिंदु (निम्निष्ठ) पर निर्धारित होती है।

आम गलतियाँ:

• स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा के ग्राफ को गलत पढ़ना।
• ऋणात्मक गतिज ऊर्जा वाले क्षेत्रों को संभव मान लेना।
• न्यूनतम ऊर्जा के स्तर को पहचान न पाना।

Exam Tips:

a) सूत्र \( K.E. = E - V(x) \) को हमेशा याद रखें। b) ग्राफ में जहाँ वक्र कुल ऊर्जा रेखा (\( E \)) से ऊपर जाता है, वह क्षेत्र वर्जित क्षेत्र (Forbidden region) होता है। c) स्थितिज ऊर्जा वक्रों के न्यूनतम बिंदुओं को ध्यान से देखें।

Question 5.4: रेखीय सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण का स्थितिज ऊर्जा फलन \( V(x) = kx^2/2 \) है, जहाँ \( k \) दोलक का बल नियतांक है। \( k = 0.5 \text{ N m}^{-1} \), के लिए \( V(x) \) वक्र के मध्य ग्राफ चित्र 6.12 में दिखाया गया है। यह दिखाइए कि इस विभव के अंतर्गत गतिमान कुल 1 J ऊर्जा वाला कण को अवश्य ही 'वापिस आना' चाहिए जब वह \( x = \pm 2 \text{ m} \) पर पहुंचता है।

Answer:

कण की कुल ऊर्जा, \( E = 1 \text{ J} \)
बल स्थिरांक, \( k = 0.5 \text{ N m}^{-1} \)
कण की गतिज ऊर्जा, \( K = \frac{1}{2}mv^2 \)
ऊर्जा संरक्षण नियम के अनुसार: \( E = V + K \)
\( 1 = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{2}mv^2 \)
वापस मुड़ने वाले क्षण पर, वेग (और इसलिए \( K \)) शून्य हो जाता है।
\( \therefore 1 = \frac{1}{2}kx^2 \Rightarrow \frac{1}{2} \times 0.5x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
अतः जब कण \( x = \pm 2 \text{ m} \) पर पहुँच जाता है तो वह वापस मुड़ जाता है।

मुख्य बिंदु:

• सरल आवर्त गति में कुल ऊर्जा स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग होती है।
• चरम बिंदुओं (Extreme points) पर वेग और गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।
• कण केवल वहीं तक जा सकता है जहाँ तक उसकी कुल ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा के बराबर या उससे अधिक हो।

आम गलतियाँ:

• वापसी के बिंदु पर गतिज ऊर्जा को शून्य न मानना।
• गणना करते समय \( k \) के मान को गलत रखना।
• समीकरण हल करते समय वर्गमूल (\( \sqrt{4} = \pm 2 \)) के चिह्नों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि चरम बिंदुओं पर संपूर्ण ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदल जाती है (\( E = V \))।
b) \( x \) के मान निकालते समय धन (+) और ऋण (-) दोनों चिन्हों को दर्शाएं।
c) ग्राफ और समीकरण दोनों के माध्यम से अपने उत्तर की पुष्टि करें।

Question 5.5: निम्नलिखित का उत्तर दीजिए:
(a) किसी राकेट का बाह्य आवरण उड़ान के दौरान घर्षण के कारण जल जाता है। जलने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा किसके व्यय पर प्राप्त की गई-राकेट या वातावरण?
(b) धूमकेतु सूर्य के चारों ओर बहुत ही दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में घूमते हैं। साधारणतया धूमकेतु पर सूर्य का गुरुत्वीय बल धूमकेतु के लंबवत नहीं होता है। फिर भी धूमकेतु की संपूर्ण कक्षा में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। क्यों?
(c) पृथ्वी के चारों ओर बहुत ही क्षीण वायुमंडल में घूमते हुए किसी कृत्रिम उपग्रह की ऊर्जा धीरे-धीरे वायुमंडलीय प्रतिरोध (चाहे वह कितना ही कम क्यों न हो) के क्षय के कारण कम होती जाती है फिर भी जैसे-जैसे कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के समीप आता है तो उसकी चाल में लगातार वृद्धि क्यों होती है?
(d) चित्र 6.13(1) में एक व्यक्ति अपने हाथों में 15 kg का कोई द्रव्यमान लेकर 2 m चलता है। चित्र 6.13 (ii) में वह उतनी ही दूरी अपने पीछे रस्सी को खींचते हुए चलता है। रस्सी घिरनी पर चढ़ी हुई है और उसके दूसरे सिरे पर 15 kg का द्रव्यमान लटका है। परिकलन कीजिए कि किस स्थिति में किया गया कार्य अधिक है?

Answer:

(a) उड़ान में (घर्षण के कारण) राकेट के आवरण के जलने से रॉकेट के द्रव्यमान में कमी आती है। ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: कुल ऊर्जा (\( T.E. \)) \( = \) स्थितिज ऊर्जा (\( P.E. \)) \( + \) गतिज ऊर्जा (\( K.E. \)) \( = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \)
रॉकेट के द्रव्यमान में कमी से कुल ऊर्जा में गिरावट आती है। इसलिए, जलने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा रॉकेट से प्राप्त की जाती है।
(b) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है। चूूँकि एक बंद पथ पर एक संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है, इसलिए धूमकेतु की प्रत्येक पूर्ण कक्षा पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
(c) जब कोई कृत्रिम उपग्रह, पृथ्वी की परिक्रमा करते हुए, पृथ्वी के निकट जाता है, तो ऊँचाई में कमी के कारण उसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। चूूँकि निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है, P.E. में कमी के कारण K.E. में वृद्धि होती है अतः उपग्रह का वेग बढ़ जाता है। हालांकि, वायुमंडलीय घर्षण के कारण, उपग्रह की कुल ऊर्जा थोड़ी मात्रा में घट जाती है।
(d) दिए गए चित्र के अनुसार:
स्थिति (i)
द्रव्यमान, \( m = 15 \text{ किग्रा} \)
विस्थापन, \( s = 2 \text{ m} \)
किया गया कार्य, \( W = Fs \cos\theta \)
जहाँ, \( \theta = \) बल और विस्थापन के बीच का कोण
\( W = mgs \cos\theta = 15 \times 2 \times 9.8 \cos 90^\circ = 0 \) (\( \because \cos 90^\circ = 0 \))
स्थिति (ii)
द्रव्यमान, \( m = 15 \text{ किग्रा} \), विस्थापन, \( s = 2 \text{ m} \)
यहाँ रस्सी पर लगने वाले बल की दिशा तथा रस्सी के विस्थापन की दिशा समान होती है।
इसलिए, उनके बीच का कोण, \( \theta = 0^\circ \)
चूूँकि \( \cos 0^\circ = 1 \), किया गया कार्य, \( W = Fs \cos\theta = mgs = 15 \times 9.8 \times 2 = 294 \text{ J} \)
इसलिए, दूसरे मामले में अधिक काम किया जाता है।

मुख्य बिंदु:

• संरक्षी बलों (Conservative forces) द्वारा बंद पथ पर किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
• उपग्रह जब पृथ्वी के पास आता है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है।
• कार्य का मान बल और विस्थापन के बीच के कोण पर निर्भर करता है (\( W = Fs \cos\theta \))।

आम गलतियाँ:

• घर्षण और गुरुत्वाकर्षण बलों के प्रभाव में अंतर न समझ पाना।
• उपग्रह के समीप आने पर चाल और ऊर्जा परिवर्तन के संबंध में भ्रम होना।
• स्थिति (i) में बल और विस्थापन के लंबवत होने पर भी कार्य शून्य न मानना।

Exam Tips:

a) वैचारिक प्रश्नों (Conceptual questions) में ऊर्जा संरक्षण और बल के प्रकार (संरक्षी/असंरक्षी) का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) भाग (d) में कोण \( \theta \) को सावधानीपूर्वक पहचानें।
c) अपने उत्तर को भौतिकी के सिद्धांतों के साथ तार्किक रूप से समझाइए।

Question 5.6: सही विकल्प को रेखांकित कीजिए:
(a) जब कोई संरक्षी बल किसी वस्तु पर धनात्मक कार्य करता है तो वस्तु की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है/घटती है/अपरिवर्तित रहती है।
(b) किसी वस्तु द्वारा घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का परिणाम हमेशा इसकी गतिज/स्थितिज ऊर्जा में क्षय होता है।
(c) किसी बहुकण निकाय के कुल संवेग-परिवर्तन की दर निकाय के बाह्य/आंतरिक बलों के जोड़ के अनुक्रमानुपाती होती है।
(d) किन्हीं दो पिंडों के अप्रत्याशित संघट्ट में वे राशियाँ, जो संघट्ट के बाद नहीं बदलती हैं; निकाय की कुल गतिज ऊर्जा/रेखीय संवेग/कुल ऊर्जा हैं।

Answer:

(a) घटती है: एक संरक्षी बल एक पिंड पर धनात्मक कार्य करता है जब वह पिंड को बल की दिशा में विस्थापित करता है। नतीजतन, पिंड बल के केंद्र की ओर बढ़ता है। यह दोनों के बीच दूरी को कम करता है, जिससे पिंड की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है।
(b) गतिज ऊर्जा: घर्षण की दिशा के विरुद्ध किया गया कार्य किसी पिंड के वेग को कम कर देता है। इसलिए, पिंड की गतिज ऊर्जा का क्षय होता है।
(c) बाह्य बल: आंतरिक बल, चाहे उनकी दिशा कुछ भी हो, किसी पिंड के कुल संवेग में कोई परिवर्तन नहीं कर सकते। अतः बहु-कण निकाय का कुल संवेग निकाय पर कार्य करने वाले बाह्य बलों के समानुपाती होता है।
(d) कुल रेखीय संवेग: कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है चाहे वह प्रत्यास्थ संघट्ट हो या अप्रत्याशित संघट्ट।

मुख्य बिंदु:

• संरक्षी बल द्वारा धनात्मक कार्य होने पर स्थितिज ऊर्जा में कमी आती है।
• बाह्य बल ही किसी निकाय के कुल संवेग को बदल सकते हैं।
• संघट्ट चाहे जैसा भी हो, कुल रेखीय संवेग सदैव संरक्षित रहता है।

आम गलतियाँ:

• संरक्षी बल और स्थितिज ऊर्जा के संबंध को विपरीत समझ लेना।
• आंतरिक और बाह्य बलों के प्रभाव में अंतर न पहचान पाना।
• अप्रत्याशित संघट्ट में गतिज ऊर्जा संरक्षित न होने के बावजूद उसे सही मान लेना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सही अवधारणा को दिमाग में रखकर तुरंत सटीक विकल्प चुनें।
b) याद रखें कि संवेग संरक्षण का नियम हर प्रकार के संघट्ट पर लागू होता है।
c) घर्षण हमेशा गतिज ऊर्जा का ह्रास करता है।

Question 5.7: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।
(a) किन्हीं दो पिंडों के प्रत्यास्थ संघट्ट में, प्रत्येक पिंड का संवेग व ऊर्जा संरक्षित रहती है।
(b) किसी पिंड पर चाहे कोई भी आंतरिक व बाह्य बल क्यों न लग रहा हो, निकाय की कुल ऊर्जा सर्वदा संरक्षित रहती है।
(c) प्रकृति में प्रत्येक बल के लिए किसी बंद लूप में, किसी पिंड की गति में किया गया कार्य शून्य होता है।
(d) किसी अप्रत्यास्थ संघट्ट में, किसी निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा, आरंभिक गतिज ऊर्जा से हमेशा कम होती है।

Answer:

बताइए कि निम्नलिखित कथन में से प्रत्येक कथन सही है या गलत। अपने जवाब के लिए कारण दें।
(a) असत्य: एक प्रत्यास्थ संघट्ट में, दोनों निकायों की कुल ऊर्जा और संवेग, संरक्षित रहता है अलग-अलग पिंड का नहीं।
(b) असत्य: यद्यपि आंतरिक बल संतुलित हैं, उनके द्वारा पिंड पर कोई कार्य नहीं होता है। बाह्य बल ही कार्य करने की क्षमता रखते हैं। इसलिए, बाह्य बल एक निकाय की ऊर्जा को बदलने में सक्षम है।
(c) असत्य: एक बंद लूप के ऊपर एक पिंड की गति में किया गया कार्य केवल एक संरक्षी बल के लिए शून्य होता है।
(d) सत्य: एक अप्रत्यास्थ संघट्ट में, अंतिम गतिज ऊर्जा हमेशा निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से कम होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह के संघट्ट में हमेशा ऊष्मा, ध्वनि आदि के रूप में ऊर्जा का हास होता है।

मुख्य बिंदु:

• प्रत्यास्थ संघट्ट में निकाय की कुल ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं, व्यक्तिगत पिंड के नहीं।
• बाह्य बल ही निकाय की कुल ऊर्जा में परिवर्तन ला सकते हैं।
• अप्रत्याशित संघट्ट में गतिज ऊर्जा का क्षय (Loss) होता है।

आम गलतियाँ:

• व्यक्तिगत पिंड और पूरे निकाय के संरक्षण नियमों में भ्रमित होना।
• सभी बलों को संरक्षी मान लेना।
• अप्रत्याशित संघट्ट में ऊर्जा संरक्षण को गतिज ऊर्जा संरक्षण समझ लेना।

Exam Tips:

a) कथनों को ध्यान से पढ़ें और 'निकाय' (System) तथा 'व्यक्तिगत पिंड' (Individual body) के शब्दों पर गौर करें।
b) संरक्षी और असंरक्षी बलों के अंतर को स्पष्ट रूप से याद रखें।
c) सत्य/असत्य के साथ संक्षिप्त किंतु सटीक कारण अवश्य दें।

Question 5.8: निम्नलिखित का उत्तर ध्यानपूर्वक, कारण सहित दीजिए:
(a) किन्हीं दो बिलियर्ड्स-गेंदां के प्रत्यास्थ संघट्ट में, क्या गेंदों के संघट्ट की अल्पावधि में (जब वे संपर्क में होती हैं) कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है?
(b) दो गेंदों के किसी प्रत्यास्थ संघट्ट की लघु अवधि में क्या कुल रेखीय संवेग संरक्षित रहता है?
(c) किसी अप्रत्याशस्थ संघट्ट के लिए प्रश्न (a) व (b) के लिए आपके उत्तर क्या हैं?
(d) यदि दो बिलियर्ड्स-गेंदां की स्थितिज ऊर्जा केवल उनके के मध्य, पृथक्करण-दूरी पर निर्भर करती है तो संघट्ट प्रत्यास्थ होगा या अप्रत्याशस्थ? (ध्यान दीजिए कि यहाँ संघट्ट के दौरान बल के संगत स्थितिज ऊर्जा की बात कर रहे हैं, ना कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की)।

Answer:

(a) नहीं, एक प्रत्यास्थ संघट्ट में, गेंदों की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा गेंदों की कुल अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होगी। दो गेंदें एक दूसरे के संपर्क में आने पर यह गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। वास्तव में संघट्ट के समय गेंदों की गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी।
(b) हाँ, प्रत्यास्थ संघट्ट में, निकाय का कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
(c) एक अप्रत्याशस्थ संघट्ट में हमेशा गतिज ऊर्जा का हास होता है, यानी संघट्ट से पहले बिलियर्ड्स गेंदों की कुल गतिज ऊर्जा संघट्ट के बाद की तुलना में हमेशा अधिक होगी। बिलियर्ड्स गेंदों के निकाय का कुल रेखीय संवेग एक अप्रत्याशस्थ संघट्ट की स्थिति में भी संरक्षित रहेगा।
(d) दिए गए मामले में, शामिल बल संरक्षी हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे बिलियर्ड्स गेंदों के केंद्रों के बीच अलगाव पर निर्भर करते हैं। इसलिए, संघट्ट प्रत्यास्थ है।

मुख्य बिंदु:

• संघट्ट के ठीक संपर्क के समय गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा में बदल जाती है, अतः उस क्षण गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती।
• रेखीय संवेग हर प्रकार के संघट्ट में हमेशा संरक्षित रहता है।
• यदि बल संरक्षी हैं, तो संघट्ट प्रत्यास्थ (Elastic) होता है।

आम गलतियाँ:

• संघट्ट के दौरान (संपर्क काल में) गतिज ऊर्जा को संरक्षित मान लेना।
• अप्रत्याशित और प्रत्यास्थ संघट्ट में संवेग संरक्षण के नियम को भूल जाना।
• स्थितिज ऊर्जा और बल के संबंध को न समझ पाना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि तात्क्षणिक संपर्क के दौरान गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।
b) संवेग संरक्षण सार्वभौमिक है और हर संघट्ट पर लागू होता है।
c) संरक्षी बलों के अंतर्गत होने वाले संघट्ट हमेशा प्रत्यास्थ होते हैं।

Question 5.9: कोई पिंड जो विश्रामवस्था में है, अचर त्वरण से एकविमयी गति करता है। इसको किसी समय \( t \) पर दी गई शक्ति अनुक्रमानुपाती है:
(i) \( t^{1/2} \)
(ii) \( t \)
(iii) \( t^{3/2} \)
(iv) \( t^2 \)

Answer:

पिंड का द्रव्यमान \( = m \)
पिंड का त्वरण \( = a \)
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, पिंड द्वारा अनुभव किया गया बल निम्न द्वारा दिया जाता है समीकरण:
\( F = ma \)
\( m \) और \( a \) दोनों अचर हैं। अतः बल \( F \) भी अचर होगा।
\( F = ma = \text{Constant} \) ... (i)
वेग \( v \) के लिए त्वरण इस प्रकार दिया जाता है,
\( a = \frac{dv}{dt} = \text{अचर} \)
\( dv = \text{अचर} \times dt \)
\( v = at \) ... (ii)
जहाँ \( a \) एक स्थिरांक है
\( v \propto t \) ... (iii)
शक्ति को निम्न संबंध द्वारा व्यक्त करते हैं:
\( P = F \cdot v \)
समीकरण (i) और (iii) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
\( P \propto t \)
इसलिए, शक्ति समय के समानुपातिक है।

मुख्य बिंदु:

• शक्ति का सूत्र \( P = F \cdot v \) होता है।
• अचर त्वरण के लिए वेग समय के समानुपाती होता है (\( v \propto t \))।
• बल अचर होने पर शक्ति सीधे वेग पर निर्भर करती है।

आम गलतियाँ:

• शक्ति और कार्य के सूत्रों में अंतर न करना।
• वेग और समय के संबंध को गलत समझना।
• अचर बल और परिवर्ती बल की स्थिति में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) चरण-दर-चरण समीकरण बनाएं: पहले बल निकालें, फिर वेग और अंत में \( P = Fv \) का प्रयोग करें।
b) समानुपातिक संबंधों (\( \propto \)) को ध्यान से हल करें।
c) सही विकल्प (ii) को चुनें।

Question 5.10: एक पिंड अचर शक्ति के स्रोत के प्रभाव में एक ही दिशा में गतिमान है। इसका समय \( t \) समय में विस्थापन, अनुक्रमानुपाती है:
(i) \( t^{1/2} \)
(ii) \( t \)
(iii) \( t^{3/2} \)
(iv) \( t^2 \)

Answer:

(iii) \( t^{3/2} \)
शक्ति निम्न संबंध द्वारा व्यक्त की जा सकती है:
\( P = Fv = mav = m\frac{dv}{dt}v = \text{अचर } (k) \)
\( \therefore vdv = \frac{k}{m}dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
\( \frac{v^2}{2} = \frac{k}{m}t \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2kt}{m}} \)
पिंड के विस्थापन \( x \) के लिए, हमारे पास है:
\( v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \frac{1}{t^2} \Rightarrow dx = k' t^{1/2} dt \)
जहाँ \( k' = \sqrt{\frac{2k}{3}} = \) नया स्थिरांक
दोनों पक्षों को समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \( x = \frac{2}{3}k' t^{3/2} \)
\( \therefore x \propto t^{3/2} \)

मुख्य बिंदु:

• शक्ति को \( P = Fv = m v \frac{dv}{dt} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
• अवकल समीकरण (Differential equation) को हल करने के लिए समाकलन (Integration) का प्रयोग होता है।
• विस्थापन प्राप्त करने के लिए वेग का पुनः समाकलन करना पड़ता है।

आम गलतियाँ:

• समाकलन करते समय घातों (Powers) का गलत आकलन करना।
• स्थिरांकों को सही से न संभालना।
• वेग और विस्थापन के बीच के समाकलन चरण को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्युत्पत्ति वाले बहुविकल्पीय प्रश्नों के लिए समाकलन के मूलभूत नियमों को पक्का करें।
b) अंतिम परिणाम में समानुपात (\( x \propto t^{3/2} \)) स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) सही विकल्प (iii) चिह्नित करें।

Question 5.11: किसी पिंड पर नियत बल लगाकर उसे किसी निर्देशक प्रणाली के अनुसार z-अक्ष के अनुदिश गति करने के लिए बाध्य किया गया है जो इस प्रकार है: \( \vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N} \)
जहाँ \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) क्रमशः x-, y- एवं z-अक्ष के अनुदिश एकांक सदिश हैं। इस वस्तु को z-अक्ष के अनुदिश 4 m की दूरी तक गति कराने के लिए आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा?

Answer:

पिंड पर लगाया गया बल, \( \vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N} \)
विस्थापन, \( \vec{s} = 4\hat{k} \text{ m} \)
किया गया कार्य, \( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{k}) = 0 + 0 - 3 \times 4 = 12 \text{ J} \)
इसलिए, पिंड पर बल द्वारा 12 J कार्य किया जाता है।

मुख्य बिंदु:

• कार्य दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Dot product) होता है: \( W = \vec{F} \cdot \vec{s} \)。
• एकांक सदिशों के गुणन नियम: \( \hat{i}\cdot\hat{i} = 1, \hat{j}\cdot\hat{j} = 1, \hat{k}\cdot\hat{k} = 1 \) तथा लंबवत सदिशों का गुणन शून्य होता है।
• विस्थापन केवल z-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए केवल k के घटकों का गुणा होगा।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणनफल की जगह सदिश गुणनफल (Cross product) कर देना।
• x और y घटकों को भी कार्य की गणना में जोड़ देना।
• मात्रक (Joules) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सदिश रूप में दिए गए बलों के लिए हमेशा डॉट प्रोडक्ट \( F_x s_x + F_y s_y + F_z s_z \) का उपयोग करें।
b) ध्यान दें कि विस्थापन किस अक्ष के अनुदिश दिया गया है।
c) अंतिम उत्तर के साथ मात्रक 'जूल' (J) अवश्य लिखें।

Question 5.12: किसी अंतरिक्ष किरण प्रयोग में एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन का संसूचन होता है जिसमें पहले कण की गतिज ऊर्जा 10 keV, है और दूसरे कण की गतिज ऊर्जा 100 keV है। इनमें कौन-सा तीव्रगामी है, इलेक्ट्रॉन या प्रोटॉन? इनकी चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = \( 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg} \), प्रोटॉन का द्रव्यमान = \( 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \), 1 eV = \( 1.60 \times 10^{-19} \text{ J} \)).

Answer:

इलेक्ट्रॉन की गति ज्यादा तेज है; गति का अनुपात \( 13:54:1 \) है
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg} \)
प्रोटॉन का द्रव्यमान, \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \)
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा, \( E_{ke} = 10 \text{ keV} = 10^4 \text{ eV} = 10^4 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.60 \times 10^{-15} \text{ J} \)
प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा, \( E_{kp} = 100 \text{ keV} = 10^5 \text{ eV} = 1.60 \times 10^{-14} \text{ J} \)
एक इलेक्ट्रॉन के वेग \( v_e \) के लिए, इसकी गतिज ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी गई है:
\( E_{ke} = \frac{1}{2}mv_e^2 \Rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2 \times E_{ke}}{m}} \)
\( v_e = \sqrt{\frac{2 \times 1.60 \times 10^{-15}}{9.11 \times 10^{-31}}} = 5.93 \times 10^7 \text{ m/s} \)
एक प्रोटॉन के वेग \( v_p \) के लिए, इसकी गतिज ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी गई है:
\( E_{kp} = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v_p = \sqrt{\frac{2 \times E_{kp}}{m}} \)
\( v_p = \sqrt{\frac{2 \times 1.60 \times 10^{-14}}{1.67 \times 10^{-27}}} = 4.38 \times 10^6 \text{ m/s} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन की तुलना में तेजी से आगे बढ़ रहा है।
उनकी गति का अनुपात:
\( \frac{v_e}{v_p} = \frac{5.93 \times 10^7}{4.38 \times 10^7} = 13.54 : 1 \)

मुख्य बिंदु:

• गतिज ऊर्जा से वेग निकालने का सूत्र: \( v = \sqrt{\frac{2K}{m}} \)。
• ऊर्जा को keV से Joules में बदलने के लिए \( 1.6 \times 10^{-19} \) से गुणा करना पड़ता है।
• इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान प्रोटॉन से बहुत कम होता है।

आम गलतियाँ:

• keV को J में बदलते समय घातों (Powers of 10) की गलती करना।
• इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के द्रव्यमानों को आपस में मिला देना।
• वर्गमूल निकालते समय गणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय वैज्ञानिक संकेतन (Scientific notation) का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
b) इकाइयों को हमेशा SI पद्धति (जैसे Joules और kg) में बदलें।
c) अंत में दोनों वेदों का अनुपात स्पष्ट रूप से निकालें।

Question 5.13: 2 mm त्रिज्या की वर्षा की कोई बूँद 500 m की ऊँचाई से पृथ्वी पर गिरती है। यह अपनी आरंभिक ऊँचाई के आधे हिस्से तक (वायु के श्यान प्रतिरोध के कारण) घटते त्वरण के साथ गिरती है और अपनी अधिकतम (सीमान्त) चाल प्राप्त कर लेती है, और उसके बाद एकसमान चाल से गति करती है। वर्षा की बूँद पर उसकी यात्रा के पहले व दूसरे अर्ध भागों में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा? यदि बूँद की चाल पृथ्वी तक पहुँचने पर \( 10 \text{ m s}^{-1} \) हो तो संपूर्ण यात्र में प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा?

Answer:

बारिश की बूँद की त्रिज्या, \( r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} \)
बारिश की बूँद की मात्रा, \( nv = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \text{ m}^{-3} \)
पानी का घनत्व, \( \rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3} \)
बारिश की बूँद का द्रव्यमान, \( m = \rho V \)
\( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 10^3 \text{ Kg} \)
गुरुत्वाकर्षण बल, \( f = mg \)
\( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 10^3 \times 9.8 \text{N} \)
अपनी यात्रा के पहले भाग में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा बूँद पर किया गया कार्य:
\( W_1 = Fs \)
\( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 10^3 \times 9.8 \times 250 = 0.082 \text{ J} \)
कार्य की यह मात्रा यात्रा के दूसरे आधे भाग में बूँद पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर है, अर्थात, \( W_{ii} = 0.082 \text{ J} \)
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, यदि कोई प्रतिरोध बल मौजूद नहीं है, तो बारिश की बूँद की कुल ऊर्जा समान रहेगी।
\( \therefore \) शीर्ष पर कुल ऊर्जा:
\( E_T = mgh + 0 \)
\( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 10^3 \times 9.8 \times 500 = 0.164 \text{ J} \)
एक प्रतिरोधक बल की उपस्थिति के कारण, बूँद जमीन पर \( 10 \text{ m/s} \) के वेग से टकराती है।
\( \therefore \) जमीन पर कुल ऊर्जा:
\( = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 10^3 \times 9.8 \times (10)^2 = 1.675 \times 10^{-3} \text{ J} \)
प्रतिरोधक बल \( = E_G - E_T = -0.162 \text{ J} \)

मुख्य बिंदु:

• बूँद का द्रव्यमान उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल से निकाला जाता है (\( m = V\rho \))।
• यात्रा को दो बराबर भागों (प्रत्येक 250 m) में विभाजित किया गया है।
• कुल ऊर्जा में परिवर्तन, संरक्षी और असंरक्षी (प्रतिरोध) बलों द्वारा किए गए कार्य का योग होता है।

आम गलतियाँ:

• बूँद के आयतन के गोले के सूत्र \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) में त्रिज्या का मात्रक मीटर में बदलना भूल जाना।
• ऊँचाई के आधे भाग (250 m) का उपयोग कार्य निकालने में न करना।
• प्रतिरोध बल के कार्य को धनात्मक ले लेना जबकि वह ऊर्जा का ह्रास करता है।

Exam Tips:

a) ऐसे लंबे संख्यात्मक प्रश्नों को छोटे भागों (द्रव्यमान निकालना, कार्य निकालना, ऊर्जा संरक्षण) में तोड़कर हल करें।
b) सभी अंतःकीट गणनाओं में इकाई (Units) का ध्यान रखें।
c) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का सही अनुप्रयोग करें।

Question 5.14: किसी गैस-पात्र में कोई अणु \( 200 \text{ m s}^{-1} \) की चाल से अभिलंब के साथ \( 30^\circ \) का कोण बनाता हुआ क्षैतिज दीवार से टकराकर पुनः उसी चाल से वापस लौट जाता है। क्या इस संघट्ट में संवेग संरक्षित है? यह संघट्ट प्रत्यास्थ है या अप्रत्यास्थ?

Answer:

गैस के अणु का संवेग संरक्षित रहता है चाहे संघट्ट प्रत्यास्थ हो या अप्रत्याशस्थ।
गैस का अणु \( 200 \text{ m/s} \) के वेग से गति करता है और उसी गति से पलटते हुए, कंटेनर की स्थिर दीवार से टकराता है। यह दर्शाता है कि दीवार का पलटताव वेग शून्य रहता है। इसलिए, टक्कर के दौरान अणु की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। दी गई संघट्ट, प्रत्यास्थ संघट्ट का एक उदाहरण है।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी बंद निकाय में बाह्य बल की अनुपस्थिति में कुल संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
• यदि टक्कर के बाद चाल (वेग का परिमाण) नहीं बदलती है, तो गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
• समान चाल से वापस लौटना प्रत्यास्थ संघट्ट (Elastic collision) की पहचान है।

आम गलतियाँ:

• दीवार के स्थिर होने के कारण संवेग संरक्षण को नजरअंदाज करना।
• चाल न बदलने पर भी उसे अप्रत्याशस्थ मान लेना।
• कोण (\( 30^\circ \)) को अनावश्यक रूप से गतिज ऊर्जा गणना में उलझा देना जबकि चाल अपरिवर्तित है।

Exam Tips:

a) याद रखें कि आदर्श गैस अणुओं की दीवारों के साथ टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ होती है।
b) यदि प्रारंभिक और अंतिम चाल समान है, तो गतिज ऊर्जा संरक्षित है।
c) संवेग हर प्रकार के संघट्ट में संरक्षित रहता है।

Question 5.15: किसी भवन के भूतल पर लगा कोई पंप 30 \text{ m}^3 आयतन की पानी की टंकी को 15 min मिनट में भर देता है। यदि टंकी पृथ्वी तल से 40 m ऊपर हो और पंप की दक्षता 30%, हो तो पंप द्वारा कितनी विद्युत शक्ति का उपयोग किया गया था?

Answer:

टैंक का आयतन, \( V = 30 \text{ m}^3 \)
संचालन का समय, \( t = 15 \text{ min} = 15 \times 60 = 900 \text{ s} \)
टैंक की ऊँचाई, \( h = 40 \text{ m} \)
पंप की दक्षता, \( \eta = 30\% \)
पानी का घनत्व, \( \rho = 10^3 \text{ kg/m}^3 \)
पानी का द्रव्यमान, \( m = \rho V = 30 \times 10^3 \text{ kg} \)
उत्पन्न शक्ति को इस रूप में प्राप्त कर सकते हैं:
\( P_0 = \frac{\text{किया गया कार्य}}{\text{समय}} = \frac{mgh}{t} \)
\( P_0 = \frac{30 \times 10^3 \times 9.8 \times 40}{900} = 13.067 \times 10^3 \text{ W} \)
निवेश शक्ति \( P_i \) के लिए, दक्षता \( \eta \) संबंध द्वारा दी गई है:
\( \eta = \frac{P_0}{P_i} = 30\% \)
\( P = \frac{13.067}{30} \times 100 \times 10^3 \)
\( = 0.436 \times 10^5 \text{ W} = 43.6 \text{ kW} \)

मुख्य बिंदु:

• पंप द्वारा किया गया उपयोगी कार्य पानी को ऊपर उठाने में खर्च होता है (\( W = mgh \))。
• दक्षता (\( \eta \)) का सूत्र आउटपुट पावर और इनपुट पावर का अनुपात होता है: \( \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \)。
• समय को हमेशा सेकंड में बदलना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• समय को मिनट से सेकंड में बदलना भूल जाना।
• दक्षता (Efficiency) के प्रतिशत को भिन्न में बदलते समय गलती करना।
• पानी का द्रव्यमान निकालने के लिए घनत्व और आयतन का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) पंप और इंजनों से जुड़े प्रश्नों में दक्षता के सूत्र का अभ्यास अच्छे से करें।
b) सभी मानों को SI पद्धति में रखकर ही गणना शुरू करें।
c) अंत में उत्तर को किलोवॉट (kW) में बदलना न भूलें।

Question 5.16: दो समरूपी बॉल-बियरिंग एक-दूसरे के संपर्क में हैं और किसी घर्षणरहित मेज पर विश्रामवस्था में हैं। इनके साथ समान द्रव्यमान का कोई दूसरा बॉल-बियरिंग, जो आरंभ में \( v \) चाल से गतिमान है, सम्मुख संघट्ट करता है। यदि संघट्ट प्रत्यास्थ है तो संघट्ट के पश्चात् निम्नलिखित (चित्र) में से कौन-सा परिणाम संभव है?

Answer:

स्थिति (ii)
यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक स्थिति में संघट्ट से पहले और बाद में कुल संवेग स्थिर रहता है।
एक प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए, एक निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संघट्ट से पहले और बाद में संरक्षित रहती है।
प्रत्येक बॉल-बियरिंग के द्रव्यमान \( m \) के लिए, हम लिख सकते हैं:
टक्कर से पहले निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
\( = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(2m)0 = \frac{1}{2}mv^2 \)
स्थिति (i)
संघट्ट के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा:
\( = \frac{1}{2}m \times 0 + \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}mv^2 \)
अतः निकाय की गतिज ऊर्जा स्थिति (i) में संरक्षित रहती है।
स्थिति (ii)
संघट्ट के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा:
\( = \frac{1}{2}(2m)0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2 \)
अतः निकाय की गतिज ऊर्जा स्थिति (ii) में संरक्षित रहती है।
स्थिति (iii)
संघट्ट के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा:
\( = \frac{1}{2}(3m)\left(\frac{v}{3}\right)^2 = \frac{1}{6}mv^2 \)
इसलिए, स्थिति (iii) में सिस्टम की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• प्रत्यास्थ संघट्ट में संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
• समान द्रव्यमान की वस्तुओं के प्रत्यास्थ संघट्ट में वे अपने वेग आपस में बदल लेती हैं (head-on collision)।
• ऊर्जा संरक्षण के नियम से असम्भव विकल्पों को हटाया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• केवल संवेग संरक्षण की जाँच करना और गतिज ऊर्जा संरक्षण की उपेक्षा करना।
• गतिज ऊर्जा के सूत्र में वेग के वर्ग (\( v^2 \)) का ध्यान न रखना।
• चित्रों के परिणामों को गलत समझना।

Exam Tips:

a) ऐसे बहुविकल्पीय सैद्धांतिक प्रश्नों में कुल गतिज ऊर्जा (\( \sum \frac{1}{2}mv^2 \)) की गणना करके देखें।
b) याद रखें कि समान द्रव्यमान की दो गेंदों के प्रत्यास्थ संघट्ट में गतिमान गेंद रुक जाती है और दूसरी गेंद उतनी ही चाल से आगे बढ़ जाती है।
c) सही स्थिति (ii) का चयन करें।

Question 5.17: किसी लोलक के गोलक A को, जो ऊर्ध्वाधर से \( 30^\circ \) का कोण बनाता है, छोड़े जाने पर मेज पर, विश्रामवस्था में रखे दूसरे गोलक B से टकराता है जैसा कि चित्र 5.15 में प्रदर्शित है। ज्ञात कीजिए कि संघट्ट के पश्चात् गोलक A कितना ऊंचा उठता है? गोलकों के आकार की उपेक्षा कीजिए और मान लीजिए कि संघट्ट प्रत्यास्थ है।

Answer:

समान द्रव्यमानों के दो गोलकों के बीच प्रत्यास्थ संघट्ट में जिसमें एक स्थिर है, गोलक A बिल्कुल भी नहीं उठेगा, जबकि दूसरा कुछ वेग से आगे बढ़ेगा, स्थिर द्रव्यमान एकसमान वेग प्राप्त करता है, जबकि गतिमान द्रव्यमान टक्कर के तुरंत बाद विश्रामवस्था में आ जाता है। इस स्थिति में, गतिमान द्रव्यमान से स्थिर द्रव्यमान में संवेग का पूर्ण स्थानांतरण होता है। इसलिए, \( m \) द्रव्यमान का गोलक A, समान द्रव्यमान वाले गोलक B से टकराने के बाद विश्रामवस्था में आ जाएगा, जबकि गोलक B टक्कर के तुरंत बाद गोलक A के वेग से गति करेगा। यहाँ ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि मूल केंद्रक के भाग एक दूसरे के विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।

मुख्य बिंदु:

• समान द्रव्यमान के पिंडों के प्रत्यास्थ संघट्ट में वे अपने वेग पूर्णतः आपस में बदल लेते हैं।
• जब एक गतिमान पिंड स्थिर पिंड से टकराता है, तो पहला पिंड रुक जाता है और दूसरा उतनी ही चाल से आगे बढ़ जाता है।
• यहाँ गोलक A अपनी सारी गतिज ऊर्जा गोलक B को दे देता है।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि गोलक A टकराकर वापस लौटेगा या ऊपर उठेगा।
• संवेग और ऊर्जा के पूर्ण स्थानांतरण के सिद्धांत को भूल जाना।
• गोलकों के द्रव्यमान समान होने के नियम को ध्यान में न रखना।

Exam Tips:

a) प्रत्यास्थ संघट्ट के विशेष प्ररूपी परिणामों (समान द्रव्यमान के लिए वेगों का अदलाबदली) को याद रखें।
b) स्पष्ट करें कि गोलक A टक्कर के बाद स्थिर हो जाता है, अतः वह ऊपर नहीं उठेगा (ऊँचाई = 0)।
c) उत्तर को संक्षिप्त और तार्किक रूप से लिखें।

Question 5.18: किसी लोलक के गोलक को क्षैतिज अवस्था से छोड़ा गया है। यदि लोलक की लंबाई \( 1.5 \text{ m} \) है, तो निम्नतम बिंदु पर आने पर गोलक की चाल क्या होगी? यह दिया गया है कि इसकी आरंभिक ऊर्जा का 5% अंश वायु प्रतिरोध के विरुद्ध क्षय हो जाता है।

Answer:

लोलक की लंबाई, \( l = 1.5 \text{ m} \)
गोलक का द्रव्यमान \( = m \)
ऊर्जा क्षय \( = 5\% \)
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
क्षितिज स्थिति में:
गोलक की स्थितिज ऊर्जा, \( E_p = mgl \)
गोलक की गतिज ऊर्जा, \( E_k = 0 \)
कुल ऊर्जा \( = mgl \) ... (i)
सबसे निचले बिंदु पर (मध्य स्थिति):
गोलक की स्थितिज ऊर्जा, \( E_p = 0 \)
गोलक की गतिज ऊर्जा, \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)
कुल ऊर्जा \( = \frac{1}{2}mv^2 \) ... (ii)
जैसे ही गोलक क्षैतिज स्थिति से सबसे निचले बिंदु पर जाता है, इसकी 5% ऊर्जा क्षय हो जाती है। सबसे निचले बिंदु पर कुल ऊर्जा क्षैतिज बिंदु पर कुल ऊर्जा के 95% के बराबर है,
\( \frac{1}{2}mv^2 = \frac{95}{100} \times mgl \)
\( v = \sqrt{\frac{2 \times 95 \times 1.5 \times 9.8}{100}} = 5.28 \text{ m/s} \)

मुख्य बिंदु:

• क्षैतिज स्थिति में संपूर्ण ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा होती है (\( mgl \))।
• सबसे निचले बिंदु पर संपूर्ण ऊर्जा गतिज ऊर्जा होती है (\( \frac{1}{2}mv^2 \))।
• वायु प्रतिरोध के कारण 5% ऊर्जा का ह्रास होता है, अतः शेष 95% ऊर्जा ही गतिज ऊर्जा में बदलती है।

आम गलतियाँ:

• 5% ऊर्जा क्षय को कुल ऊर्जा में से न घटाना (अर्थात 95% का उपयोग न करना)।
• लोलक की लंबाई \( l \) को ऊँचाई \( h \) के रूप में उपयोग करते समय गलती करना।
• वर्गमूल निकालते समय गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ऊर्जा ह्रास वाले प्रश्नों में प्रारंभिक ऊर्जा का बचा हुआ प्रतिशत (यहाँ 95%) ही अंतिम ऊर्जा के बराबर रखें।
b) सूत्र \( v = \sqrt{2gh \times \text{Efficiency}} \) का उपयोग समझदारी से करें।
c) अंतिम उत्तर का मात्रक \( \text{m/s} \) लिखना न भूलें।

Question 5.19: 300 kg द्रव्यमान की कोई ट्रॉली, 25 kg रेत का बोरा लिए हुए किसी घर्षणरहित पथ पर \( 27 \text{ km/h} \) की एकसमान चाल से गतिमान है। कुछ समय पश्चात् बोरे में किसी छिद्र से रेत \( 0.05 \text{ kg s}^{-1} \) की दर से लिखकर ट्रॉली के फर्श पर गिरने लगती है। रेत का बोरा खाली होने के पश्चात ट्रॉली की चाल क्या होगी?

Answer:

रेत के थैले को एक ट्रॉली पर रखा जाता है जो 27 किमी/घंटा की एकसमान गति से चलती है। रेत के थैले और ट्रॉली के निकाय पर कार्य करने वाले बाहरी बल शून्य हैं। जब थैले से रेत रिसने लगेगी, तो ट्रॉली के वेग में कोई परिवर्तन नहीं होगा। ऐसा इसलिए क्योंकि रिसने की क्रिया निकाय पर कोई बाहरी बल उत्पन्न नहीं करती है। यह न्यूटन के गति de पहले नियम के अनुसार है। अतः ट्रॉली की गति 27 किमी/घंटा रहेगी।

मुख्य बिंदु:

• यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, तो उसका वेग अपरिवर्तित रहता है।
• रेत का नीचे गिरना एक आंतरिक प्रक्रिया (Internal process) है, यह बाह्य बल उत्पन्न नहीं करती।
• न्यूटन के प्रथम नियमानुसार, बाह्य बल की अनुपस्थिति में वस्तु अपनी एकसमान गति बनाए रखती है।

आम गलतियाँ:

• द्रव्यमान घटने से वेग में परिवर्तन होने का भ्रम पालना।
• आंतरिक और बाह्य बलों के प्रभाव को न समझ पाना।
• चाल बदलने की अनावश्यक गणना करने बैठ जाना।

Exam Tips:

a) वैचारिक प्रश्नों को न्यूटन के नियमों के आधार पर तार्किक रूप से हल करें।
b) पहचानें कि द्रव्यमान का कम होना यदि आंतरिक कारणों से है, तो वेग पर प्रभाव नहीं पड़ेगा।
c) अंतिम उत्तर में प्रारंभिक चाल (27 km/h) ही सही उत्तर के रूप में लिखें।

Question 5.20: 0.5 kg द्रव्यमान का एक कण \( v = ax^{3/2} \) वेग से सरल रेखीय गति करता है जहाँ \( a = 5 \text{ m}^{-1/2}\text{s}^{-1} \) है। \( x = 0 \text{ to } x = 2 \text{ m} \) तक इसके विस्थापन में कुल बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा?

Answer:

पिंड का द्रव्यमान, \( m = 0.5 \text{ kg} \)
पिंड का वेग निम्न समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है:
\( v = ax^{3/2} \), जहाँ \( a = 5 \text{ m}^{-1/2}\text{s}^{-1} \)
प्रारंभिक वेग, \( u \) (at \( x = 0 \)) = 0
अंतिम वेग, \( v \) (at \( x = 2 \text{ m} \)) \( = 10\sqrt{2} \text{ m/s} \)
किया गया कार्य, \( W = \) गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
\( = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2) \)
\( = \frac{1}{2} \times 0.5 \left[(10\sqrt{2})^2 - (0)^2\right] \)
\( = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10 \times 10 \times 2 = 50 \text{ J} \)

मुख्य बिंदु:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, कुल बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है (\( W = \Delta K \))。
• \( x = 0 \) और \( x = 2 \text{ m} \) पर वेग के मान निकालें।
• \( \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) \) सूत्र का प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• बल को सीधे विस्थापन से गुणा करने की कोशिश करना (जबकि बल परिवर्ती है)।
• वेग के समीकरण में \( x \) का मान रखते समय गलती करना।
• गतिज ऊर्जा के सूत्र में द्रव्यमान का मान आधा रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) जब वेग स्थिति \( x \) का फलन दिया हो, तो कार्य-ऊर्जा प्रमेय (\( W = \Delta K \)) का प्रयोग करना सबसे आसान होता है।
b) सीमाएँ (Limits) \( x = 0 \) और \( x = 2 \) रखकर प्रारंभिक व अंतिम वेग निकालें।
c) गणना को सावधानी से हल करके मात्रक जूल (J) में दें।

Question 5.21: किसी पवनचक्की के ब्लेड, क्षेत्रफल \( A \) के वृत्त जितना क्षेत्रफल प्रसर프 करते हैं। (a) यदि हवा \( v \) वेग से वृत्त के लंबवत् दिशा में बहती है तो \( t \) समय में इससे गुजरने वाली वायु का द्रव्यमान क्या होगा? (b) की गतिज ऊर्जा क्या होगी? (c) मान लीजिए कि पवनचक्की की हवा की 25% ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में रूपान्तरित कर देती है। यदि \( A = 30 \text{ m}^2 \), और \( v = 36 \text{ km/h} \) और वायु का घनत्व \( 1.2 \text{ kg m}^{-3} \) है तो उत्पन्न विद्युत शक्ति का परिकलन कीजिए।

Answer:

पवनचक्की द्वारा प्रसरफ वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( = A \)
हवा का वेग \( = v \) तथा वायु का घनत्व \( = \rho \)
(a) पवनचक्की से प्रति सेकंड बहने वाली हवा का आयतन \( = Av \)
पवनचक्की से प्रति सेकंड बहने वाली हवा का द्रव्यमान \( = \rho Av \)
\( t \) समय में पवनचक्की से बहने वाली हवा का द्रव्यमान \( m_t = \rho Avt \)
(b) हवा की गतिज ऊर्जा \( = \frac{1}{2}mv^2 \)
\( = \frac{1}{2}(\rho Avt)v^2 = \frac{1}{2}\rho Av^3t \)
(c) पवनचक्की द्वारा प्रसरफ वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( A = 30 \text{ m}^2 \)
हवा का वेग \( v = 36 \text{ km/h} \)
वायु का घनत्व, \( \rho = 1.2 \text{ kg m}^{-3} \)
उत्पादित विद्युत ऊर्जा \( = \) पवन ऊर्जा का 25%
\( = \frac{25}{100} \times \text{हवा की गतिज ऊर्जा} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\rho Av^3t \)
विद्युत शक्ति \( = \frac{\text{विद्युत ऊर्जा}}{\text{समय}} \)
\( = \frac{1}{8}\rho Av^3t / t = \frac{1}{8}\rho Av^3 \)
\( = \frac{1}{8} \times 1.2 \times 30 \times (10)^3 \)
\( = 4.5 \times 10^3 \text{ W} = 4.5 \text{ kW} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रति सेकंड गुजरने वाली वायु का आयतन क्षेत्रफल और वेग के गुणनफल (\( Av \)) के बराबर होता है।
• गतिज ऊर्जा का सूत्र \( \frac{1}{2}mv^2 \) है, जहाँ द्रव्यमान समय के साथ बदलता है (\( m = \rho Avt \))。
• शक्ति, ऊर्जा को समय से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

आम गलतियाँ:

• वेग को km/h से m/s में बदलना भूल जाना (\( 36 \text{ km/h} = 10 \text{ m/s} \))。
• 25% दक्षता (Efficiency) को सूत्र में शामिल न करना।
• शक्ति और ऊर्जा की इकाइयों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) ऐसे व्यावहारिक प्रश्नों को भागों (a, b, c) के अनुसार क्रमिक रूप से हल करें।
b) वेग को हमेशा SI मात्रक (m/s) में बदलें।
c) अंतिम उत्तर को वॉट (W) या किलोवॉट (kW) में स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 5.22: कोई व्यक्ति वजन कम करने के लिए 10 kg द्रव्यमान को \( 0.5 \text{ m} \) की ऊँचाई तक 1000 बार उठाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक बार द्रव्यमान को नीचे लाने में खोई हुई ऊर्जा क्षयित हो जाती है। (a) वह गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कितना कार्य करता है? (b) यदि वसा \( 3.8 \times 10^7 \text{ J} \) ऊर्जा प्रति किलोग्राम आपूर्ति करता है जो कि 20% दक्षता की दर से यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है तो वह कितनी वसा खर्च कर डालेगा?

Answer:

(a) भार का द्रव्यमान, \( m = 10 \text{ kg} \)
जिस ऊँचाई तक व्यक्ति भार उठाता है, \( h = 0.5 \text{ m} \)
भार उठाने की संख्या, \( n = 1000 \)
\( \therefore \) गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य: \( = n(mgh) \)
\( = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 0.5 = 49 \times 10^3 = 49 \text{ KJ} \)
(b) 1 किलो वसा के बराबर ऊर्जा \( = 3.8 \times 10^7 \text{ J} \)
दक्षता दर \( = 20\% \)
व्यक्ति के शरीर द्वारा आपूर्ति की जाने वाली यांत्रिक ऊर्जा:
\( = \frac{20}{100} \times 3.8 \times 10^7 \)
\( = \frac{1}{5} \times 3.8 \times 10^7 \)
आहार द्वारा वसा हानि का समतुल्य द्रव्यमान:
\( = \frac{1}{1/5 \times 3.8 \times 10^7} \times 49 \times 10^3 \)
\( = \frac{245}{3.8} \times 10^{-4} = 6.45 \times 10^{-3} \text{ kg} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल कार्य, उठाई गई कुल बारों की संख्या और एक बार के कार्य के गुणनफल के बराबर होता है (\( W = nmgh \))。
• शरीर की दक्षता 20% है, जिसका अर्थ है कि कुल वसा ऊर्जा का केवल 20% ही यांत्रिक कार्य में बदलता है。
• वसा हानि निकालने के लिए कुल कार्य को प्रभावी ऊर्जा आपूर्ति से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• 1000 बार उठाने की संख्या से गुणा करना भूल जाना।
• 20% दक्षता को ध्यान में न रखना और पूरी 100% वसा ऊर्जा मान लेना।
• घातों (Powers of 10) की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे जीवन-आधारित (Real-life) प्रश्नों को ध्यान से पढ़कर प्रत्येक आंकड़े को सूत्र में रखें।
b) दक्षता (Efficiency) का प्रतिशत हमेशा उपयोगी ऊर्जा या कार्य के साथ समायोजित करें।
c) द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम (kg) में स्पष्ट रूप से निकालें।

Question 5.23: कोई परिवार \( 8 \text{ kW} \) विद्युत - शक्ति का उपभोग करता है। (a) किसी क्षैतिज सतह पर सीधे आपित होने वाली सौर ऊर्जा की औसत दर \( 200 \text{ W m}^{-2} \) है। यदि इस ऊर्जा का 20% भाग लाभदायक विद्युत ऊर्जा में रूपान्तरित किया जा सकता है तो \( 8 \text{ kW} \) की विद्युत आपूर्ति के लिए कितने क्षेत्रफल की आवश्यकता होगी? (b) इस क्षेत्रफल की तुलना किसी विशिष्ट भवन की छत के क्षेत्रफल से कीजिए।

Answer:

(a) \( 200 \text{ m}^2 \)
परिवार द्वारा उपयोग की जाने वाली शक्ति, \( P = 8 \text{ kW} = 8 \times 10^3 \text{ W} \)
प्रति वर्ग मीटर प्राप्त सौर ऊर्जा \( = 200 \text{ W} \)
सौर से विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन की क्षमता \( = 20\% \)
वांछित बिजली उत्पन्न करने के लिए आवश्यक क्षेत्रफल \( = A \)
प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार,
\( 8 \times 10^3 = 20\% \times (A \times 200) \)
\( = \frac{20}{100} \times A \times 200 \)
\( \therefore A = \frac{8 \times 10^3}{40} = 200 \text{ m}^2 \)
(b) 8 किलोवाट बिजली उत्पन्न करने के लिए आवश्यक सौर प्लेट का क्षेत्रफल \( 14 \text{ m} \times 14 \text{ m} \) आयाम वाले भवन की छत के क्षेत्रफल के लगभग बराबर है।

मुख्य बिंदु:

• सौर पैनल द्वारा प्राप्त कुल शक्ति उसके क्षेत्रफल और सौर तीव्रता के गुणनफल पर निर्भर करती है।
• 20% दक्षता का अर्थ है कि कुल आपतित सौर ऊर्जा का केवल पाँचवाँ हिस्सा ही विद्युत में बदलता है।
• क्षेत्रफल निकालने के लिए कुल आवश्यक शक्ति को प्रभावी सौर शक्ति प्रति वर्ग मीटर से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• kW को W में बदलना भूल जाना (\( 8 \text{ kW} = 8000 \text{ W} \))。
• दक्षता प्रतिशत को समीकरण में गलत जगह रखना।
• क्षेत्रफल की तुलना करते समय विमाओं का सही आकलन न करना।

Exam Tips:

a) शक्ति, क्षेत्रफल और तीव्रता के संबंध \( P = \text{ क्षेत्रफल} \times \text{तीव्रता} \times \text{दक्षता} \) को अच्छी तरह याद रखें।
b) इकाइयों को हमेशा संगत (Consistent) बनाएं।
c) भाग (b) में व्यावहारिक उदाहरण (जैसे भवन की छत का आकार) से तुलना स्पष्ट रूप से करें।