Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 13 सांख्यिकी
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Question 1: निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।
मासिक खपत (इकाइयों में) : 65 - 85, 85 - 105, 105 - 125, 125 - 145, 145 - 165, 165 - 185, 185 - 205
उपभोक्ताआं की संख्या : 4, 5, 13, 20, 14, 8, 4
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में मासिक खपत (इकाइयों में) और उपभोक्ताओं की संख्या का बारंबारता बंटन दिया गया है।
माध्य ज्ञात करने के लिए, संचयी बारंबारता बंटन सारणी बनाई जाती है जहाँ \( n = 68 \), इसलिए \( \frac{n}{2} = 34 \) है।
माध्यक वर्ग 125 - 145 है, जहाँ निम्न सीमा \( (l) = 125 \), वर्ग माप \( (h) = 20 \), माध्यक वर्ग की बारंबारता \( (f) = 20 \) और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की संचयी बारंबारता \( (cf) = 22 \) है।
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 125 + \left(\frac{34 - 22}{20}\right) \times 20 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 125 + 12 = 137 \)
बहुलक ज्ञात करने के लिए, सबसे अधिक बारंबारता 20 है जो वर्ग 125 - 145 की है। अतः बहुलक वर्ग 125 - 145 है।
\(
\Rightarrow\) बहुलक \( = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) बहुलक \( = 125 + \left(\frac{20 - 13}{2 \times 20 - 13 - 14}\right) \times 20 \)
\(
\Rightarrow\) बहुलक \( = 125 + \frac{7}{13} \times 20 = 125 + 10.76 = 135.76 \)
प्रत्यक्ष विधि या कल्पित माध्य विधि से माध्य \( = 137.058 \)
अतः, इस बंटन में माध्यक, बहुलक और माध्य क्रमशः 137, 135.76 और 137.05 हैं।
Exam Tips:
a) माध्यक और बहुलक के सूत्रों में सभी मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें।
b) संचयी बारंबारता (cf) निकालते समय जोड़ की गलती से बचें।
c) माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की पहचान सही ढंग से करें।
Question 2: यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
वर्ग अन्तराल : 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50, 50 - 60
बारंबारता : 5, x, 20, 15, y, 5
योग : 60
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में वर्ग अंतराल और बारंबारता दी गई है जिनका कुल योग 60 है।
कुल बारंबारता \( n = 60 \), इसलिए \( 45 + x + y = 60 \) या \( x + y = 15 \) ... (1)
माध्यक 28.5 वर्ग अंतराल 20 - 30 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग \( = 20 - 30 \), निम्न सीमा \( (l) = 20 \), वर्ग माप \( (h) = 10 \), बारंबारता \( (f) = 20 \) और संचयी बारंबारता \( (cf) = 5 + x \) है।
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( 28.5 = 20 + \left(\frac{30 - (5 + x)}{20}\right) \times 10 \)
\(
\Rightarrow\) \( 8.5 = \frac{25 - x}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( 17 = 25 - x \)
\(
\Rightarrow\) \( x = 8 \)
समीकरण (1) में मान रखने पर, \( 8 + y = 15
\Rightarrow y = 7 \)
अतः, x और y के मान क्रमशः 8 और 7 हैं।
Exam Tips:
a) अज्ञात बारंबारताओं वाले प्रश्नों में कुल योग का उपयोग करके समीकरण बनाएं।
b) माध्यक वर्ग की पहचान दिए गए माध्यक के आधार पर करें।
c) समीकरणों को हल करते समय पक्षांतर के नियमों का पालन करें।
Question 3: एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 वर्ष से कम हो।
आयु (वर्षों में) : 20 से कम, 25 से कम, 30 से कम, 35 से कम, 40 से कम, 45 से कम, 50 से कम, 55 से कम, 60 से कम
पॉलिसी धारकों की संख्या : 2, 6, 24, 45, 78, 89, 92, 98, 100
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन दिया गया है।
इसे वर्ग अंतराल में बदलने पर: 20 - 25, 25 - 30, 30 - 35, 35 - 40, 40 - 45, 45 - 50, 50 - 55, 55 - 60 और संगत बारंबारताएँ क्रमशः 2, 4, 18, 21, 33, 11, 3, 6, 2 प्राप्त होती हैं।
यहाँ \( n = 100 \), इसलिए \( \frac{n}{2} = 50 \) है।
माध्यक वर्ग 35 - 40 है, जहाँ \( l = 35 \), \( h = 5 \), \( f = 33 \), और \( cf = 45 \) है।
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 35 + \left(\frac{50 - 45}{33}\right) \times 5 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 35 + \frac{25}{33} = 35 + 0.76 = 35.76 \)
अतः, दिए गए बंटन की माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।
Exam Tips:
a) 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता को साधारण बारंबारता में बदलना आवश्यक है।
b) वर्ग अंतराल का आकार समान रूप से व्यवस्थित करें।
c) गणना में दशमलव के दो स्थानों तक मान निकालें।
Question 4: एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटर्स में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है:
लंबाई (mm में) : 118 - 126, 127 - 135, 136 - 144, 145 - 153, 154 - 162, 163 - 171, 172 - 180
पत्तियों की संख्या : 3, 5, 9, 12, 5, 4, 2
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में पत्तियों की लंबाई (असतत वर्ग अंतराल) और उनकी संख्या दी गई है।
वर्ग सतक नहीं हैं, इसलिए ऊपरी और निम्न सीमाओं में अंतर 1 का आधा यानी 0.5 जोड़ते और घटाते हैं।
नए वर्ग अंतराल: 117.5 - 126.5, 126.5 - 135.5, ..., 171.5 - 180.5 हैं।
यहाँ \( n = 40 \), इसलिए \( \frac{n}{2} = 20 \) है। माध्यक वर्ग 144.5 - 153.5 है।
\( l = 144.5 \), \( h = 9 \), \( f = 12 \), \( cf = 17 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 144.5 + \left(\frac{20 - 17}{12}\right) \times 9 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 144.5 + \frac{27}{12} = 144.5 + 2.25 = 146.75 \)
अतः, पत्तियों का माध्यक 146.75 mm है।
Exam Tips:
a) यदि वर्ग अंतराल असतत हों, तो उन्हें पहले सतक (Continuous) में बदलें।
b) वर्ग माप (h) निकालते समय नए वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा में से निम्न सीमा घटाएँ।
c) संचयी बारंबारता की सारणी की जाँच अवश्य करें।
Question 5: निम्नलिखित सारणी 400 नियन लैंपों के जीवन कालो को प्रदर्शित करती है:
जीवन काल (घंटों में) : 1500 - 2000, 2000 - 2500, 2500 - 3000, 3000 - 3500, 3500 - 4000, 4000 - 4500, 4500 - 5000
लैंपों की संख्या : 14, 56, 60, 86, 74, 62, 48
एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में नियन लैंपों का जीवन काल और उनकी संख्या दी गई है।
यहाँ \( n = 400 \), इसलिए \( \frac{n}{2} = 200 \) है।
माध्यक वर्ग 3000 - 3500 है, जहाँ \( l = 3000 \), \( h = 500 \), \( f = 86 \), और \( cf = 130 \) है।
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 3000 + \left(\frac{200 - 130}{86}\right) \times 500 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 3000 + \frac{35000}{86} = 3000 + 406.978 = 3406.978 \)
अतः, एक लैंप का माध्यक जीवन काल 3406.98 घंटे है।
Exam Tips:
a) वर्ग अंतराल के मानों को सूत्र में सही ढंग से रखें।
b) संचयी बारंबारता का अंतिम मान कुल बारंबारता (n) के बराबर होना चाहिए।
c) गणना को दशमलव के तीन स्थानों तक हल करें।
Question 6: एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमे प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ:
अक्षरों की संख्या : 1 - 4, 4 - 7, 7 - 10, 10 - 13, 13 - 16, 16 - 19
कुलनामों की संख्या : 6, 30, 40, 16, 4, 4
कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में कुलनामों में अक्षरों की संख्या और कुलनामों की संख्या दी गई है।
यहाँ \( n = 100 \), इसलिए \( \frac{n}{2} = 50 \) है। माध्यक वर्ग 7 - 10 है।
\( l = 7 \), \( h = 3 \), \( f = 40 \), \( cf = 36 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 7 + \left(\frac{50 - 36}{40}\right) \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05 \)
माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि का उपयोग करने पर, माध्य \( = 8.32 \)
बहुलक ज्ञात करने के लिए, सबसे अधिक बारंबारता 40 है जो वर्ग 7 - 10 की है।
\(
\Rightarrow\) बहुलक \( = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) बहुलक \( = 7 + \left(\frac{40 - 30}{2 \times 40 - 30 - 16}\right) \times 3 = 7 + \frac{10}{34} \times 3 = 7 + 0.88 = 7.88 \)
अतः, माध्यक 8.05, माध्य 8.32 और बहुलक 7.88 है।
Exam Tips:
a) एक ही प्रश्न में माध्य, माध्यक और बहुलक तीनों ज्ञात करने के लिए अलग-अलग सारणियाँ बनाएँ।
b) कल्पित माध्य विधि से गणना आसान हो जाती है।
c) बहुलक वर्ग की पहचान सबसे बड़ी बारंबारता से करें।
Question 7: नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
भार (किलोग्राम में) : 40 - 45, 45 - 50, 50 - 55, 55 - 60, 60 - 65, 65 - 70, 70 - 75
विद्यार्थियों की संख्या : 2, 3, 8, 6, 6, 3, 2
Answer:
आकृति का विवरण: दी गई तालिका में विद्यार्थियों का भार और उनकी संख्या का बंटन दिया गया है।
यहाँ कुल विद्यार्थियों की संख्या \( n = 30 \) है, इसलिए \( \frac{n}{2} = 15 \) है।
माध्यक वर्ग 55 - 60 है, क्योंकि संचयी बारंबारता 19 के अंतर्गत यह मान आता है।
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा \( (l) = 55 \), वर्ग माप \( (h) = 5 \), बारंबारता \( (f) = 6 \) तथा ठीक पहले वर्ग की संचयी बारंबारता \( (cf) = 13 \) है।
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = l + \left(\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 55 + \left(\frac{15 - 13}{6}\right) \times 5 \)
\(
\Rightarrow\) माध्यक \( = 55 + \frac{2}{6} \times 5 = 55 + \frac{5}{3} = 55 + 1.67 = 56.67 \)
अतः, विद्यार्थियों का माध्यक भार 56.67 kg है।
Exam Tips:
a) n/2 के मान के आधार पर सही संचयी बारंबारता और तदनुसार माध्यक वर्ग चुनें।
b) सूत्र में मान रखते समय ध्यान रखें कि cf माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग का हो।
c) गणना में भिन्न को दशमलव में बदलते समय सावधानी बरतें।
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